Tuyển tập bài tập Giải tích I giải sẵn (In lần thứ tư): Phần 1

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:241

Thêm vào BST

Báo xấu

17
lượt xem 13
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cuốn sách "Bài tập giải sẵn giải tích I" chọn lọc các bài từ dễ, trung bình đến khó, đại diện cho các loại tương ứng với các phần lý thuyết theo chương trình toán giải tích hiện tại. Những bài khó có đánh dấu nhằm bồi dưỡng thêm cho sinh viên khá và giỏi. Sách được chia thành 2 phần, mời các bạn cùng tham khảo nội dung phần 1 cuốn sách.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tuyển tập bài tập Giải tích I giải sẵn (In lần thứ tư): Phần 1

TRẨN BÌNH BÀI TẬP GIẢI SẴN GIẢI TÍCH I T Ó M TẮ T LÝ T H U Y Ế T V À C H Ọ N LỌC P H Ụ C H Ư Ơ N G : C Á C Đ Ề THI H Ọ C K Ỳ I C Á C N Ă M 2 0 0 3 - 2 0 0 7 In lần thứ tư có sửa chữa và b ổ sung N H À X U Ấ T BẢN K H O A H Ọ C VÀ KỸ T H U Ậ T HÀ NỘI
LỜI NÓI ĐẦU Sau khi bộ giáo trình GIẢI TÍCH (2 tập) của rác giả do N hà xuất bản Khoa học và K ỹ thuật ấn hành (1998 - 2000), nhiều độc giả đ ã đề nghị viết tiếp bộ Bài tập giải tích giải sẵn có phần tóm tắt lý thuyết như m ộ t s ổ tay toán học giải tích cho sinh viên kỹ tlìiiật và kỹ sư, dựa trên bộ giáo trình GIẢI TÍCH. Đ ể đáp ứng yêu cầu đó nhằm nâng cao chất lượng đào tạo trong hiện tại và tương lai, tác giả dã soạn bộ bài tập n à \ (Tập 1 (II): Gidi rích I (II, III), ứng với các nội dung học ở học kỳ I (II, III). Plìần bài tập, tác giá đã chọn lọc các bài từ dề, trung bình đến khó, đại diện clìo các loại rương ứng với các phần lý thuyết theo chương trình toán giải tích hiện tại. Những bài khó có đánh dấu * nhằm bồi dưỡng thêm cho sinh viên (nhất là các sinh viên khá, giỏi). Cuối sách có phần phụ chương: Các đề thi Giải tícli học ký I các năm 2003 - 2007 cùa Đại học Bách khoa đ ể sinh viên tham khảo. T ác giả xin chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp, nhất là PGS. TS. Dương Quốc Việt đ ã đọc rất kỹ bản tháo và cho nhiều ý kiến quý báu. Vì sách mới xuất bán, không tránli kliòi những thiếu sót, rất mong bạn đọc cho lìliững V kiến chỉ giáo. Xin chân thành cảm ƠI1. Hà Nội tháng 5 năm 2005 TÁC GIẢ 3
MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU 3 C h ư ơ n g I. SỐ THỰC - G IỚ I HẠN C Ủ A DÀY SỐ THỰC 11 § l ằ Khái niệm cơ bản 11 1. 1. K ý h i ệ u l o g i q u e 11 1. 2. T ậ p h ợ p 12 1. 3. Á n h xạ 12 1. 4. P h ư ơ n g p h á p q u y n ạ p T o á n h ọ c 12 1. 5. N h ị t h ứ c Nevvton 13 1. 6. Đ ả n g t h ứ c và b ấ t đ ả n g t h ứ c c ầ n d ù n g 13 BÀI TẬP 14 §2. Tập hợp các số thực 18 B ÀI TẬP 20 §3. D ãy số thực - Giới hạn 25 3.1. Đ ịn h n g h ĩ a 25 3 . 2 . T í n h c h ấ t và p h é p t o á n 26 3 . 3 . T i ê u c h u ẩ n t ồ n t ại g i ớ i h a n 26 BÀI TẬP 27 5
C h ư ơ n g 2. HÀM s ố MỘT BIẾN s ố 46 § 1. K h á i n i ệ m c ơ b ản 46 1.1. Đ ị n h n g h ĩ a 46 1 . 2 ệ C á c h à m s ố sơ c ấ p c ơ b ả n 47 B À I TẬP 49 § 2 . G i ớ i h ạ n c ủ a h à m số 2.1. Đ ịn h ngh ĩa 63 2 . 2 . T í n h c h ấ t và p h é p t o á n 64 2 . 3 . V ô c ù n g b é ( V C B ) , vô c ù n g l ớn ( V C L ) 65 2 . 4 . C á c gi ới h ạ n và c ô n g t hứ c t ư ơn g đ ư ơn g t h ô n g d ụ n g 66 2.5. C ác tiêu ch u ẩ n tồn tại giới hạn 67 B À I TẬP 67 §3. H à m liên tục 89 3.1. Đ ịn h n g h ĩ a 89 3 . 2 . C á c p h é p t o á n về h à m l i ê n t ụ c - Sự l i ên t ục 90 c ủ a h à m sơ c ấ p 3 . 3 . C á c đ ị n h lý về h à m l i ê n t ụ c t r o n g m ộ t đ o ạ n 90 3.4. H àm liên tục đều 91 B À I TẬP 91 C h ư ơ n g 3. Đ Ạ O H À M - VI P H Â N - Á P D Ụ N G 105 §1. Đ ị n h n g h ĩ a - Tính chấ t - Q uy tắc tính 105 1. 1. Đ ạ o h à m 105 1.2. Vi p h â n 105 1. 3. T í n h c h ấ t 106 1.4. Q u y t á c t í n h 106 1. 5. B ả n g đ ạ o h à m và vi p h á n c ơ b ả n lOk 6
1. 6. Đ ạ o h à m v à vi p h â n c ấ p c a o 1. 7. C ô n g t h ứ c t h ô n g d ụ n g 108 B À I TẬP 109 § 2 . C á c đ ị n h lý về h à m k h ả vi 146 2.1. C ác định lý t ru n g b ì n h 146 2.2. C ô ng thức T a y l o r và M a c la u ri n 147 B À I TẬP 149 § 3 . K h ả o s á t h à m sô' y = f ( x ) 168 3.1. C h iề u b iế n th iên 168 3 . 2 . C ự c t rị 168 3 . 3 . Bề l ồ i ( l õ m ) - Đ i ể m u ố n 169 3 .4 . T iệ m c ậ n c ủ a đổ thị h à m số 170 3 . 5 . Sơ đ ồ k h ả o s á t v à vẽ d ồ t h ị c ù a y = f ( x ) 171 B ÀI TẬP 171 § 4 . K h ả o s á t h à m s ố c h o t h e o t h a m sô' v à t r o n g t o ạ đ ộ 218 đ ộc cực 4 . 1 . H à m s ố c h o t h e o t h a m sô 218 4 .2 . H àm sô ch o t h e o toạ độ độc cực 218 B a T t ÄP 220 C h ư ơ n g 4. TÍC H PH Â N BẤT ĐỊNH 245 §1. K hái niệ m c ơ bản 245 1. 1. N g u y ê n h à m 245 1. 2. T í c h p h â n b ấ t đ ị n h 245 1 .3. T í n h c h ấ t 245 1. 4. B ả n a t í c h p h â n c ơ b ả n 246 1. 5. H a i p h ư ơ n a p h á p t í n h c ơ b ả n 248 7
B À I TẬP 248 § 2 . T í c h p h â n các h à m hữ u tỳ 270 2.1. Phương pháp c h u n g 270 2.2. Phương pháp O s t r o g r a d s k i 27 1 B À I TẬP 271 § 3 . T í c h p h â n c á c h à m v ô tỷ và l ư ợ n g g i á c 286 m r 1 2 8 6 „ , _ _ r fax + b V fax + b V 3 . 1 . D ạ n g I = Í R X, ---- -— , ---- — dx J l^cx + d j ^cx + d j 3 . 2 . D ạ n g I = J x m(a + b x n)pdx (vi phân nhị thứ c) 286 3.3. D ạ ng I = |R(x,Vax2 +bx +c)dx 3 . 4 . D ạ n g I = | R ( s i n x c o s x)dx 288 3 . 5 . D ạ a g I = j sinv Xcos“ xdx 288 BÀI TẬP 289 C h ư ơ n g 5. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 314 §1. Khái niệm cơ bản 314 1.1. Đ ị n h n g h ĩ a 3 14 1. 2. Đ i ề u k i ệ n k h ả t í c h 314 1.3. Ý n g h ĩ a h ì n h h ọ c và c ơ h ọ c 315 1. 4. T í n h c h ấ t 3 Ị5 B À I TẬP 316 §2. Đ ạ o h àm theo cậ n - C ô n g thức N e w to n - L e ib n iz - 329 C ác phương pháp tính cơ bản 2.1. Đạo hàm theo cận trên 329 8
2.2. C ô n g thức N e w to n - L e ib n iz 329 2.3. Phư ơng ph áp tích phân từng phần 330 2 . 4 . P h ư ơ n g p h á p d ổ i b i ế n sô 330 BÀI TẬP 331 § 3. Áp d ụ n g c ủ a tích phân 3.1. Tính diên tích phảng 351 3.2. T ính dộ dài đường cong 352 3.3. T ín h thể tích 353 3.4. T ín h diện tích m ạt tròn xoay 354 BÀI TẬP 3 55 §4. T ích p h â n suy rộ n g 390 4.1. Đ ịnh n g h ĩa 390 4 .2 . T iê u c h u ẩ n hội tụ c ủ a tích p hân suy rộn g lo ạ i 1 391 4.3. T iê u c h u ẩ n hội tụ c ủ a tích phân suy rộ ng loại 2 392 BÀI TẬP 393 C h ư ơ n g 6. HÀM s ố N H IỀU BIẾN 410 §1. K hông gian v e c te u r n chiều R n 410 1 .1. Đ ị n h n g h ĩ a . 410 1. 2. T ậ p h ợ p i n ở v à đ ó n g t r o n g R n. 410 §2. K h á i n i ệ m c ơ b ả n - Đ ạ o h à m v à vi p h â n c ủ a h à m 411 nhiều biến 2.1. Đ ịn h n g h ĩa 41 1 2 . 2 ệ G i ớ i h ạ n v à l i ê n t ục 412 2.3. Đạo hàm riêng. 412 2 . 4 . Sự k h ả vi - vi p h â n t o à n p h ầ n 413 2 .5 . Đ ạ o h à m c ủ a h àm hợp 413 ♦ \)
2.6. Đạo hàm của hàm ẩn 414 2 . 7 . Đ ạ o h à m v à vi p h â n c ấ p c a o 414 B À I TẬP 415 § 3 . C ô n g t h ứ c T a y l o r - C ự c t rị 3.1. C ôn g thức T a y lo r 444 3 . 2 . Đ ị n h n g h ĩ a c ự c trị - Đ i ề u k i ệ n c ầ n 445 3 . 4 . C ự c trị c ủ a h à m ẩ n 446 3 . 5 . C ự c trị c ó đ i ề u k i ệ n 446 3 . 6 . Bài t o á n t ì m g i á t rị l ớ n ( b é ) n h ấ t 447 BÀI TẬP 447 Phụ ch ư ơ n g . C Á C ĐỀ THI G IẢ I T ÍC H HỌC KỲ I 480 2002 - 2 0 0 5 C Ủ A Đ Ạ I H Ọ C B Á C H K H O A T ài liệ u tham kh d o 535 10
CHUONG 1 SỐ THỰC - GIỚI HẠN CỦA DÃY s ố THựC • • ẵ §1. KHÁI NIỆM C ơ BẢN 1.1. Ký hiệu logique X é t A , B, c , ... l à c á c m ệ n h d ề t o á n h ọ c : A ( k h ô n g A ) ( m ệ n h để p h ủ đ ị n h c ủ a A) A & B ( A v à B) ( m ệ n h dề h ộ i ) A V B ( A h o ặ c B) ( m ệ n h đ ề t u y ể n ) A => B ( A k é o t h e o B, n ế u A t h ì B, . .. ) ( m ệ n h đ ể k é o t h e o , đ iể u k iệ n đề) A B (A t ư ơ n g d ư ơ n g với B: A => B & B => A ) ( m ệ n h d ề tương đương) Vx P ( x ) ( v ớ i m ọ i X, P ( x ) ) ( m ệ n h để k h á i q u á t ) 3 x P ( x ) ( t ồ n t ạ i h a y c ó m ộ t X, P ( x ) ) ( m ệ n h để t ồ n t ạ i ) A « A (qu y luật phủ đ ịn h của phủ định) ( A => B . B => C ) => ( A => C ) ( q u y l u ậ t b á c c ầ u ) A => B c=> B => A ( q u y l u ậ t p h ả n đ ả o ) Vx p(x) 3x p(x) (quy luật đối ngẫu) 3x p(x) Vx p(x) 11
1.2. Tập họp: A , B , ... X e A (x e A ) (x t h u ộ c A (X k h ô n g t h u ộ c A ) ) x: p h ầ n t ử c ủ a A A c B ( A b a o h à m t i On g B: X e A => X e B) A = B (A b à n g B: A c B & B c A ) A ^ B (A h ợ p B : x e A ^ B c = > x e A v x e B ) A r> B (A g i a o B : x e A o B < = > x e A & x e B ) A \ B (A t r ừ B: X e A & X e B) A c = X \ A ( p h ầ n bù c ủ a A ) , X: t ập c ố đ ị n h A = A, . A 2 ... A n ( t ậ p h ợ p t í c h : ( x , , x 2, x n) € A X, e A , , X, e A , , x n e A n). A: t í c h D e c a r t e s . 0 : tập hợp trống (rỗng) 1.3. Ánh xạ f : X — Y » ( q u y l u ậ t t ư ơ n g ứ n g: Vx e X , ứ n g v ó i m ộ t p h ầ n t ử d u y n h ấ t y e Y) y = f ( x ) ( ả n h c ủ a X £ X q u a á n h x ạ f) f : đ ơ n á n h ( t o à n á n h ) ( p h ư ơ n g t r ì n h f ( x ) = y, Vy 6 Y c ó n h i ề u n h ấ t m ộ t n g h i ệ m ( c ó n g h i ệ m ) t r o n g X. f : s o n g á n h ( v ừ a là đ ơ n á n h v ừa là t o à n á n h ) . f ' 1 : X = f ‘( y ) (á nh xạ n g ượ c) f . g : z = g [f (x )] (ánh xạ hợp). 1.4. Phưong pháp quy nạp toán học C h o m ệ n h dề p p h ụ t h u ộ c n : n e N = { 1, 2 , 3, n, N ế u P ( l ) đ ú n g v à từ g i ả t h i ế t P ( n ) đ ú n g ta c h ứ n g m i n h đươc P ( n + 1 ) đ ú n g t h ì P ( n ) đ ú n g Vn € N. 12
1.5. Nhị thức Newton n! = 1 . 2 . 3 ... n (n g i a i t h ừ a h a y g i a i t h ừ a n, n G N ) . A n = n ( n - 1 ) ( n - 2) ... (n - k + 1) ( s ố c h ỉ n h h ợ p k h ô n g l ặp k c h ậ p k c ủ a n p h ầ n tử, Itiỗi c h ỉ n h h ợ p k h ô n g l ạp c h ậ p k c ủ a n p h ầ n t ử l à m ỗ i n h ó m k p h ầ n t ử l ấ y từ n p h ầ n tử đ ó s a o c h o c á c n h ó m đ ó k h á c n h a u vì b ả n t h â n c á c p h ầ n t ử h o ặ c vì t h ứ t ự c á c p h ầ n tử và m ỗi p hần tử có m ạt k h ô n g quá m ột lần tro n g m ỗi nh ó m đó). Ak C* = —— ( s ô t ổ h ơ p c h â p k c ủ a n p h ầ n t ử , m ỗ i t ổ h ơ p c h â p k n! c ủ a 11 p h ầ n t ử l à m ộ t c h ỉ n h h ợp k h ô n g l ặp c h ậ p k c ủ a n p h ầ n tử k h ô n g k ể t h ứ t ự ). 0! = 1 ( q u y ư ớ c ) , V = n! ■ n (n-k)ì k! (n - k)ì c ° =C" = 1 CÏ = c r k k-1 I k _ /-k -1 n- 1 *~n-l - n Nhị thức Newton: (X + a)" = ¿ c kx n- ka k = c ° x n + c lă~ n ẵa + ... + n x k=0 + c„kx n"ka k + . . . + C " a n 1.6. Đẳng thức và bất đang thức cần dùng n 1°) 1 + 2 + 3 + ... + n = — + l) -, n(n v ' 2 n .2 -.2 2 n(ll + 1 X2 1 1 + 1 ) 2°) I + 2- + ... + n = 6 13
3 °) l 3 + 2 3 + . . . + n 3 = (1 + 2 + . . . + n ) 2 X, + x 2 +... + X 4°) s- > ^ J x ìx 2. . x a (Cauchy) 1 1 Ỹ ( n V _5_ ^ 5°) ¿ x ,y B < ¿X ? Vi=l 11 = ) / \ Vi=l J\>=I / \ 11 = / X, , y 4: t u ỳ ý ( C a u c h y - B o u n i a k o v s k i ) 6°) (1 + x , ) ( l + x 2) ... (1 + x n) > 1 + X, + x 2 + ... + XD X, c ù n g d ấ u , > - l ( B e r n o u l l i ) 7°) (1 + x ) D > 1 + n x , n > 1, X > -1 / \n n n 8 °) < n! < n + 1 n > 1 l 2 J 9°) s i n ^ x , < ^ s i n x , , 0 < X, < 71, i = 1, 2, n Í=1 Í=1 ^ . n +1 . n s i n ------ x s i n —X 10 °) s i n x + s i n 2 x + ... + s i n n x = 2 2 . X sin — 2 n+1 n cos— — x.sin —X 11 °) c o s x + c o s 2 x + ... + c o s n x = 2 2 . X sin — 2 1 „ _ sin(2n + l)x 1 2 °) — 4- c o s 2 x + ... + c o s 2 n x = — — -----— 2 2 sin X B ÀI TẬP 1. B à n g p h ư ơ n g p h á p q u \ n ạ p , c h ứ n g m i n h : 1) n n+l > ( n + 1)" n > 3 14
2) X! . x 2 ... x n = 1 => X| + x ; + ... x n > n X, > 0, i = 1 , 2 ............ n 3) 5 . 2 3n' 2 + 3 3- 1 c h i a h ế t c h o 19 1 1 1 n 4) SD = a r c t g —+ a r c t g — + ... + a r c t g - ^ - = a r c t g 2 8 2n n+1 B ài g iả i 1) n = 3: 3-,+1 > (3 + l ) 3 đ ú n g G i ả sử: n ntl > (n + 1)" đ ú n g , n h â n h a i v ế b ấ t đ ả n g t h ứ c n à y (n + l)n+2 v ớ i ------— n — ta được: -t-1 n n+l 2 ( n+l ) (n + l ) n+- > n+1 n“ ỵ(n+l) m ặt khác: ^ ------ > (n + 2 ) D+1, vì %n+1 n ”Ỷ | (n + l ) 2ln + " - n D+l(n + 2 ) n+1 = = ( n 2 + 2n + l ) n+l - ( n 2 + 2 n ) n+l > 0 V ậ y (n + l ) n+- > (n + 2 ) n+' 2) n = 1 , t ừ X, = 1 , t a c ó X, > 1: d ú n g G i ả s ử đ i ề u k h ả n g đ ị n h đ ú n g với n = k. X c t X Ị, X x k, X^+Ị ^ 0 Víì X, . X, . .. Xj. . x k+1 — 1. C ó t h ể x ả y ra h a i t r ư ờ n g hợ p: h o ặ c X, = x : = ... x k = x k+1 = 1 k h i đó : X, + X; + ... + x k + x k+| > k + 1 là đ ú n g , h o ặ c t r o n « c á c sô d ó c ó m ộ t sô k h á c 1, c h ả n g h ạ n x k > 1 khi d ó p h ả i c ó ít n h ấ t m r t s ô k h á c , c h ả n g hạn: x k+| < 1. B â y g i ờ x é t k số: X,, x : , x k. , , x k. x k+1 T h eo giả th iết quy nạp:
X, + x 2 + . . . + x k., + x kx k+i £ k D o đó: X| + x 2 + . . . + x k + x k+l > k - x kx k+v + x k + x k+1 “ k + 1 + x k( 1 - Xk+|) - (1 ■ x k+l) = k + 1 + ( x k - 1)(1 - x k+i) > k + 1 ( C hú ý: D ấ u = c h ỉ x ả y ra kh i và c h ỉ kh i X| = x 2 = ... = x n = 1). 3) n = 1: 5 . 2 3 12 + 3 3 Ễ = 10 + 9 = 1 9 : đ ú n g -1 G i ả s ử n = k: 5 . 2 3k' 2 + 3 3k l c h i a h ế t c h o 19. K h i đó: 5. 2 3(k+1)-2 + 3 3 ! ự x , . x : . .j ín , X, > 0 16
_ JL L L 2) 1 - < ^ ---- Í 1 --------- í s _ , x m> 0 V x .-x 2 - x n n 2 í n > í" " > ( n ^ * 3 ) < È * . y ẩ É * ? ± y f ^ 1=1 J ^ 1=1 B à i giải' 1) Xé t X, > 0 (i = 1 , 2 , n) , ( t r ư ờ n g h ợ p m ộ t t r o n g c á c s ố b à n g 0 h o ã c m ọ i s ố b à n g 0 t h ì bấ t đ ả n g t h ứ c h i ể n n h i ê n là đ ú n g ) . X é t c á c số: X. X; xn ĩựx, JC2 . . A n ^/x, JC2..A„ ^/x , A 2 ..JÍn 10 r à n g t í c h c ủ a c h ú n g b à n g 1, á p d ụ n g b ài 1.2) t a có: ^ \ t JÍ2..X n íựx, JÍ2..JÍn D o đ ó , ta c ó : 1) R õ r à n g d ấ u = c h ỉ x ả y r a k h i v à c h ỉ k hi : X, = x 2 = ... = xn / . , , 1 1 1 _ 4 _ 2) A p d ụ n g 1) với c á c s ố — , — — ta dược: X, X, xn 3) X é t ¿ ( x , t + y,)2 > 0 1= 1 hay ‘: Ẻ x f + 2 t ị x , y , > 0 17
V ế t r á i là m ộ t t a m thức b ậ c h ai với b i ế n t, t a m t h ứ c > 0 k hi : d o d ó ta c ó 3). D ấ u = c h ỉ x ả y r a khi và c hỉ kh i x,t + y, = 0 (i = 1, 2 , n) n g h ĩ a là t ồ n t ại X * 0 s ao c h o y, = >.x, (i = 1 , 2 , n) h o ặ c m ọ i X, h o ặ c m ọ i y, đ ề u b à n g 0 (i = 1, 2 ........ n ) . §2. TẬP HỢP CÁC SÓ THỰC Tập hợp số tự nhiên: N = { 1, 2, . . ệ, n , . . ệ} Tập hợp số n g u y ên : z = { ... - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , ...} T ậ p h ợ p sô' h ữ u tỉ: Q = {x = —, p, q e z , q * 0} q T ậ p h ợ p sô' t h ự c R , c á c p h ầ n t ử l à c á c sô t h ự c . T r ị s ố t u y ệ t d ố i c ủ a sô' t h ự c: X : X> 0 X - X: X 0) - M < X < M Ịx+yị < |x| + || y | x - y | > |x| - |y| Ỉ8
|x.y| = |x |. |y| A c R g ọ i là bị c h â n t r ê n ( d ư ớ i , bị c h ặ n ) 3 c 6 R , Vx 6 A : X < c (> c , |x| < c (c > ())). M ( m ) e R g ọ i là S u p r e m u m ( i n f i m u m ) c ù a A c R , kỹ h i ệ u M = s u p A ( m = i n f A) 1° V x e A ; x < M ( > m ) 2° Ve > 0 , 3 x E A : X > M - 6 ( < in + e) T ậ p h ợ p c á c sô t h ự c R t h ỏ a m ã n m ọ i t í n h c h ấ t c ủ a t ậ p h ợp c á c s ố h ữ u tỉ Q , n g o à i ra c ò n t h o ả m ã n t í n h c h ấ t s a u đ â y g ọ i là t i ê n để l i ê n t ụ c c ù a R ( t i ê n đề s u p r e m u m ) . T i ề n d ề S u p r e m u n : M ọ i A c R. A í Q bị c h ạ n t r ê n ( d ư ớ i ) đ ề u c ó s u p r e m u n ( i n f i m u m ) t r o n g R. T ậ p h ợ p R c ũ n g g ọ i là đ ư ờ n g t h ả n g s ố t h ự c R. K ý h i ệ u R = (- 00 , + 00 ). T r o n g R: Đoạn [a, b] = {X : a < X < b } Klioảng ( a , b) = {x : a < X < b} [ a . h ) = {X : a < X < b } ( a , b ] = { x : a
B À I TẬP 3 Ề C'liifng m i n h : 1) ||aị-|b|| < | a - b | < |a| + |b| 2) |a + a, + a 2 +... + a n| > |a| - (|a,|-t-|a2| +... + |an|) B à i g iả i 1) |a —b| = |a + (-b)ị < |a| + Ị—b| < |a| + |b| mạt khác a = a - b + b => |a| < | a - b | + Ịb| => |a - b| > |a| - |b| ; b = b - a + a => |b| < |a - b| + |a| => | a - b | > |b| - |a| = - ( |a| - |b| ) v ậ y ||a|-|b|| < | a - b | và Ị|a| —|b|| < | a - b | < |a| + |b| ( đ . c . m ) . 2) Đ ặ t y = a, + a ; + ... + a n |a + a , + a , + . . . + a n| = |a - ( - y)Ị > |a| - | - y | = |a| - |y| M ạ t k h á c : |y| < |a, I+ |a2| + ... + |an| vậy: j a + a [ + a 2 +... + a n| > |a| - (ja,I + |a,| +... + |an|). *4. C h ứ n g m i n h 1) V a , b e R , a > 0 => 3 n e N : n a > b (Tính chất A rchim ede) 2) Va, b e R , a 3 r 6 Q : a < r < b (T ính trù m ật của Q trong R). B à i giả i 1) G i ả sử n g ư ợ c lại : Vil e N : na < h. Kh i d ó A = {x = n a , Vn 6 N I hị c h ạ n t r ê n bởi b. 20
T h e o t i ê n dẻ s u p c ó M = s u p A : Ve > o , 3 m e N , m a 6 A , M M - £ < m a . Vi a > o n ê n M > o l ấy t t hì : 2 M M - — < ma 2 hay M < 2 nía e A: C h ứ n g t ỏ M k h ô n g p h ả i là s u p A , vô lý. 2) T h e o 1) t h ì : Bn e N : n . 1 > ^ b-a h a y — n . b . G ọ i p' là sô bé n h ấ t s a o c h o : — > b thì p' - 1 < n b hay —— b-(b-a) = a n n n * ỉ * Ị và a < —— < b, n g h ĩ a l à 3 r = —— 6 Q : a < r 3 c e R: a < c - M. Do ció sự t ồ n t ại s u p A s u y r a sự t ồ n tại i n f B. G i à s ử s u p A = M n g h ĩ a là: Vx e A : X < M 21
và Ve > 0, 3 x e A : M - e < x < : M , k h i d ó ; - X > - M v à - M < - x < - M + e với - x ’ e B n g h ĩ a là inf B = - M = - sup A 2) C h ứ n g m i n h t ư ơ n g t ự n h ư 1) *6. C h o A = {X }, B = {y }, c = {x + y }, D = {x . y } X > 0, y > 0 Chứng minh: 1) inf c = inf A + inf B 2) sup c = sup A + sup B 3) sup D = sup A . sup B 4) inf D = inf A . inf B B à i giả i 1) G i ả s ử A , B bị c h ặ n d ư ớ i , k h i d ó t ồ n tại: rnJ = i n f A , m 2 = inf B Theo định nghĩa: Vx e A : X > c , Vy e B : y > C ; D o d ó V ( x + y ) e c : X + y > c , + C ; , n g h ĩ a l à c bị c h ặ n d ư ớ i , v ậ y t ồ n t ại i n f c . Theo định nghĩa của inf : Vx e A : X > m J Vy 6 B : y > m, V ậ y V ( x + y) e c : X + y > m, + m 2 e Ve>0 Bx e A : m, < X < m, + — e By e B : m, < y < m, + — V ậ y m, + m ; < X + y < 1 1 1 , + m ; + e 22