Tuyển tập đề thi hoc sinh giỏi Hải Dương P2

Chia sẻ: Trần Bá Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

Thêm vào BST

Báo xấu

165
lượt xem 42
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'tuyển tập đề thi hoc sinh giỏi hải dương p2', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tuyển tập đề thi hoc sinh giỏi Hải Dương P2

Câu V: Cho ư ng th ng a c t ư ng g p khúc kín L t i 1997 i m. Có t n t i m t ư ng th ng c t L t i không ít hơn 1998 i m hay không? 17
THI H C SINH GI I C P T NH MÔN TOÁN NĂM H C 1997-1998 – TH I GIAN 150 PHÚT Câu I: 1) Gi i và bi n lu n phương trình: 2m ( m 2 − 1) m − 1 3m + 1 + = (x là n, m là tham s ) x 2 − m2 m−x x+m 2) Tìm các s t nhiên a, b, c th a mãn h phương trình: a 3 = b3 + c 3 + 3abc    a = 2(b + c ) 2  Câu II: Cho a, b là hai s dương a b 1 1) Ch ng minh r ng + 4 ≤ a 4 + b 2 b + a 2 ab a+b ab 2) Tìm giá tr nh nh t c a + ab a + b Câu III: 1) Cho t giác l i ABCD, bi t góc BAC = 300 ; ADB = 500 ; DCA = 400 ; CDB = 600 ; và ABC + ADC < 1800 . Tính các góc c a t giác ABCD. 2) Cho hình vuông ABCD có c nh b ng a. M t góc 450 quay xung quanh nh A và n m bên trong hình vuông c t c nh BC, CD l n lư t M và N. a) Ch ng minh r ng ( BM + DN ) a + BM .DN = a 2 . b) ư ng th ng AM c t ư ng th ng CD t i E. Ch ng minh 1 1 1 + = 2 AM 2 AE 2 a 18
THI H C SINH GI I C P T NH MÔN TOÁN NĂM H C 1998-1999 – TH I GIAN 150 PHÚT Câu I: 1) Rút g n: 7 − 48 + 5 − 24 + 3 − 8 2) Cho a, b là hai s dương có t ng b ng 2 2 2  1  1 Ch ng minh b t ng th c  a +  +  b +  ≥ 9  b  a Câu II: Cho phương trình x 2 − 2 x + 1 − 4a 2 = 0 (x là n s ) 1) Gi i phương trình khi a = 1. 2) Tìm a phương trình có 4 nghi m x1 , x2 , x3 , x4 . Khi ó tìm giá tr l n nh t c a bi u th c x12 + x2 + x3 + x4 2 2 2 Câu III: 1) Cho t giác ABCD, sao cho AB, CD kéo dài c t nhau t i M; AD, BC kéo dài c t nhau t i N, ư ng phân giác AMD và CND c t nhau t i P. Ch ng minh r ng: N u t giác ABCD n i ti p thì tam giác MNP vuông. i u ngư c l i có úng không? 2) Cho tam giác cân ABC ( AB = AC ) . Trên ư ng cao AH l y i m D và trên c nh AC l y i m E sao cho EBC = ACD và BEC = AED . Tính EBC . 19
THI H C SINH GI I C P T NH MÔN TOÁN NĂM H C 1999-2000 – TH I GIAN 150 PHÚT Câu I: Rút g n bi u th c A = 1 + 1 − a2 ( (1 + a ) 3 − (1 − a ) 3 ) v i −1 ≤ a ≤ 1 2 + 1 − a2 Câu II: Cho hai s a và b nguyên. Ch ng minh r ng phương trình x + 3ax − 3 ( b 2 + 1) = 0 không có nghi m nguyên. 2 Câu III: Cho hai ư ng tròn tâm O1 và tâm O2 c t nhau t i A và B, qua A k cát tuy n b t kỳ c t ư ng tròn tâm O1 t i C và ư ng tròn tâm O2 t i D. 1) ư ng th ng AO2 c t ư ng tròn tâm O1 t i P, ư ng th ng AO1 c t ư ng tròn tâm O2 t i Q. Ch ng minh r ng PCA = QDA . 2) G i M, N là i m chính gi a cung CB và BD (không ch a A), K là trung i m o n CD. Ch ng minh r ng MK vuông góc v i NK. Câu IV: m Cho 2− > 0 (m, n là các s t nhiên khác 0). Ch ng minh r ng n m 1 2− > n 3mn 20
THI H C SINH GI I C P T NH MÔN TOÁN NĂM H C 2000-2001– TH I GIAN 150 PHÚT Câu I: ( 1) Cho x + 1 + x 2 )( y + ) 1 + y 2 = 1. Tính x + y . 2) Cho ( x + 1 + y )( y + 2 1 + x ) = 1 . Ch ng minh r ng x + y = 0 . 2 Câu II: 1) Tìm s nguyên x 2 x 2 + 3x − 35 = p 2 v i p là s nguyên t .  x2 + y2 = 1 2) Gi i h phương trình  3 x + y =1 3 Câu III: Cho hai i m C và D n m trên n a ư ng tròn tâm O ư ng kính AB (C n m gi a A và D). ư ng tròn qua 3 i m A, C, O c t ư ng tròn qua 3 i m B, D, O t i N. ư ng th ng AD c t ư ng th ng BC I. 1) Ch ng minh r ng b n i m A, B, I, N cùng n m trên m t ư ng tròn. Và b n i m C, D, I, N cũng n m trên m t ư ng tròn. 2) Ch ng minh r ng tam giác ONI vuông. Câu IV: Cho hai s th c x và y. Ch ng minh r ng luôn t n t i m t s h u t xen gi a hai s y. 21
THI H C SINH GI I C P T NH MÔN TOÁN NĂM H C 2001-2002 – TH I GIAN 150 PHÚT Câu I: Cho phương trình: x 2 − ( 2m − 1) x + ( m 2 − 2m − 1) = 0 1) Tìm i u ki n c a m phương trình có hai nghi m. G i x1 , x2 là hai nghi m c a phương trình. Tìm ng th c liên h gi a x1 và x2 không ph thu c vào m. 2) Tìm giá tr c a m x13 + x2 = 36 . 3 Câu II:  x 2 + x + y − 0,75 + y 2 + x + y − 0,75 + x + y = 4,5  Gi i h phương trình   x + x + y − 0,75 + y + x + y − 0,75 − x − y = 1 2 2  Câu III: Cho tam giác ABC vuông t i A. K ư ng cai AH ( H ∈ BC ) . G i D là i m i x ng c a A qua H. I là i m trên HD. Qua I k ư ng th ng c t c nh AC t i M và CD kéo dài t i N sao cho IM = IN . Ch ng minh r ng tam giác BMN là tam giác cân Câu IV: Cho a, b, c là các s th c không âm th a mãn ab + bc + ca + abc = 4 . Ch ng minh r ng a + b + c ≥ ab + bc + ca . 22
THI H C SINH GI I C P T NH MÔN TOÁN NĂM H C 2002-2003 – TH I GIAN 150 PHÚT Câu I: Tình giá tr c a bi u th c A = x 2 + 2002 x − 2003 v i x= ( 27 + 10 2 ) ( 27 − 10 2 − 27 − 10 2 ) 27 + 10 2 ( 13 − 3 + 13 + 3 :) 13 + 2 Câu II: 1) Cho phương trình x 2 + ( a − 4 ) x + a 2 − 3a + 3 = 0 . G i x1 , x2 là hai nghi m ax12 ax22 8 c a phương trình. Tìm giá tr c a a + =− 1 − x1 1 − x2 9   y 2 = ( x + 8) ( x2 + 2) 2) Gi i h phương trình  2  y + 16 ( x + 1) = 5 x + ( 8 + 4 x ) y 2  Câu III: Cho a giác ABCDE n i ti p trong m t ư ng tròn. G i M là giao i m c a AC và BD, N là giao i m c a AD và CE, các tam giác ABM, AMN, AEN, CDM, CDN có di n tích b ng nhau. Ch ng minh r ng: 1) T giác CMND là hình thang cân 2) AB 2 + AC. AE = AD 2 Câu IV: Cho a, b, c là các s th c không âm và a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Ch ng minh r ng a + b + c ≤ 2abc + 2 23
THI H C SINH GI I C P T NH MÔN TOÁN NĂM H C 2003-2004 – TH I GIAN 150 PHÚT Câu I : Gi i phương trình: xy − x − y + a + x 2 y 2 + x 2 y + xy 2 − 4b = 0 a= ( 57 + 3 6 + 38 + 6 )( 57 − 3 6 − 38 + 6 ) b = 17 − 12 2 + 3 − 2 2 + 3 + 2 2 Câu II: Hai phương trình x 2 + ( a − 1) x + 1 = 0; x 2 + ( b + 1) x + c = 0 có nghi m chung, ng th i hai phương trình x 2 + x + ( a − 1) = 0; x 2 + cx + ( b + 1) = 0 cũng có nghi m chung. 2004a Tính giá tr c a bi u th c b+c Câu III: Cho hai ư ng tròn ( O1 ) và ( O2 ) c t nhau t i A và B. ư ng th ng O1 A c t ( O2 ) t i D. ư ng th ng O2 A c t ( O1 ) t i C. Qua A k ư ng th ng song song v i CD c t ( O1 ) t i M và c t ( O2 ) t i N. Ch ng minh r ng: 1) Năm i m B, C , D, O1 , O2 cùng n m trên m t ư ng tròn. 2) BC + BD = MN Câu IV: Tìm các s th c x và y th a mãn x 2 + y 2 = 3 và x + y là m t s nguyên. 24
THI H C SINH GI I C P T NH MÔN TOÁN NĂM H C 2004-2005 – TH I GIAN 150 PHÚT Câu I: 1) G i x1 , x2 là nghi m c a phương trình x 2 + 2004 x + 1 = 0 và x3 , x4 là nghi m c a phương trình x 2 + 2005 x + 1 = 0 . Tính giá tr c a bi u th c ( x1 + x3 )( x2 + x3 ) ( x1 − x4 )( x2 − x4 ) 2) Cho a, b, c, d là các s th c và a 2 + b 2 < 1 . Ch ng minh r ng phương trình ( a 2 + b2 − 1) x 2 − 2 ( ac + bd − 1) x + c 2 + d 2 − 1 = 0 luôn có nghi m. Câu II: m +1 n +1 Cho hai s t nhiên m và n th a mãn + là s nguyên. Ch ng minh n m r ng ư c chung l n nh t c a m và n không l n hơn m + n . Câu III: Cho hai ư ng tròn ( O1 ) và ( O2 ) c t nhau t i A và B. Ti p tuy n chung c a hai ư ng tròn g n B có ti p i m là C và D; C ∈ ( O1 ) ; D ∈ ( O2 ) . Qua A k ư ng th ng song song v i CD, c t ( O1 ) t i M và c t ( O2 ) t i N. ư ng th ng BC, BD c t ư ng th ng MN t i P, Q. ư ng th ng CM và DN c t nhau t i E. Ch ng minh r ng: 1) ư ng th ng AE vuông góc v i ư ng th ng CD 2) Tam giác EPQ là tam giác cân Câu IV:  x + y =1 Gi i h phương trình  5  x + y = 11 5 25
THI H C SINH GI I C P T NH MÔN TOÁN NĂM H C 2005-2006 – TH I GIAN 150 PHÚT Câu I: Rút g n bi u th c a 3 − 5a + ( a 2 − 1) a 2 − 9 + a 2 + 3 A= a 3 − 5a + ( a 2 − 1) a 2 − 9 − a 2 − 3 Câu II: 5 −1 Ch ng minh r ng cos 720 = 4 Câu III: 1) Cho phương trình 3x 2 − ( 2 p − 1) x + p 2 − 6 p + 11 = 0 (p là tham s ) Tìm các s h u t p phương trình có ít nh t m t nghi m nguyên. 2) Gi i h phương trình   1   ( )  x − 2 y 1 −  2y x  =3   2  1   ( x + 4 y ) 1 + 4 xy 2  = 25    Câu IV: Cho hai ư ng tròn ( O1 ) , ( O2 ) c t nhau t i A và B. 1) M t i m M trên ( O1 ) , Qua M k ti p tuy n MD v i ( O2 ) (D là ti p MD 2 i m). Ch ng minh r ng bi u th c không ph thu c vào v trí MA.MB c a M trên ( O1 ) . 2) Kéo dài AB v phía B l y i m C. T C k hai ti p tuy n CE, CF v i ư ng tròn ( O1 ) (E, F là các ti p i m và F n m cùng phía v i ( O2 ) b AB). ư ng th ng BE và BF c t ư ng tròn ( O2 ) t i P và Q. G i I là trung i m c a PQ. Ch ng minh r ng ba i m E, F, I th ng hàng. 26
PH N III M TS BÀI TOÁN T CÁC THI KHÁC 27
Bài 1: Cho tam giác cân ABC ( AB = AC ) . M là i m chuy n ng trên c nh áy BC. D ng ư ng tròn th nh t i qua M và ti p xúc v i AB t i B, ư ng tròn th hai i qua M ti p xúc v i AC t i C. Hai ư ng tròn này c t nhau t i D. 1) Ch ng minh ư ng th ng DM luôn i qua 1 i m c nh 2) Ch ng minh t ng dài hai ư ng tròn trên không ph thu c vào v trí c a M. ( thi tuy n sinh vào THPT Chuyên Nguy n Trãi- năm 1997-1998 – Môn Toán cho các l p chuyên KHTN – ã c i biên) Bài 2: Cho 1997 s th c a1 , a2 ,..., a1997 th a mãn  a1 + a2 + a3 + ... + a1997 = 0  2 a1 + a2 + a3 + ... + a1997 = 1997 2 2 2 Ch ng minh r ng trong 1997 s ó bao gi cũng t n t i hai s có tích không vư t quá −1 . ( thi tuy n sinh vào THPT Chuyên Nguy n Trãi- năm 1997-1998 – Môn Toán cho các l p chuyên KHTN) Bài 3: Cho tam giác nh n ABC. D là m t i m trên c nh BC. 1) G i O; O1; O2 th t làm tâm các ư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC; ABD; ADC. Ch ng minh r ng OO1O2 là tam giác cân khi và ch khi AD là phân giác BAC . S ABD 2) D ng i m D sao cho = 2 S ADC ( thi tuy n sinh vào THPT Chuyên Nguy n Trãi- năm 1998-1999 – Môn Toán cho các l p chuyên KHTN- ã c i biên) Bài 4: Tìm các c p s t nhiên ( x, y ) th a mãn phương trình: x 2 − 3 xy − 2 y 2 + 8 = 0 ( thi tuy n sinh vào THPT Chuyên Nguy n Trãi- năm 1998-1999 – Môn Toán cho các l p chuyên KHTN) Bài 5: Cho n a ư ng tròn tâm O, ư ng kính AB, M là i m chuy n ng trên n a ư ng tròn. Ti p tuy n t i M c t ti p tuy n t i A và B l n lư t C và D. ư ng th ng OC c t AM t i E và ư ng th ng OD c t BM t i F. Ch ng minh t giác CEFD n i ti p và xác nh v trí c a M ư ng tròn ngo i ti p t giác CEFD có chu vi nh nh t. ( thi tuy n sinh vào THPT Chuyên Nguy n Trãi- năm 1999-2000 – Môn Toán cho các l p chuyên KHTN- ã c i biên) 28
Bài 6: Tìm các s nguyên x, y, z v i x < y < z th a mãn phương trình: x 4 ( y 2 + z 2 ) + y 4 ( x 2 + z 2 ) + z 4 ( x 2 + y 2 ) + 2 x 2 y 2 z 2 = 50 ( thi tuy n sinh vào THPT Chuyên Nguy n Trãi- năm 1999-2000 – Môn Toán cho các l p chuyên KHTN) Bài 7: Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c M = x 2 + 2 y 2 − z 2 v i x, y, z th a  2x + y − z = 2 mãn:  4 x + 3 y − z = 10 ( thi tuy n sinh vào THPT Chuyên Nguy n Trãi- năm 2000-2001 – Môn Toán cho các l p chuyên KHTN) Bài 8: Cho ư ng tròn ( O ) và dây BC không qua tâm. A là i m chuy n ng trên ư ng tròn sao cho tam giác ABC nh n. BM và CN là các ư ng cao c a tam giác ABC. ( M ∈ AC ; N ∈ AB ) . Ch ng minh r ng dài ư ng tròn ngo i ti p tam giác AMN không i. ( thi tuy n sinh vào THPT Chuyên Nguy n Trãi- năm 2000-2001 – Môn Toán cho các l p chuyên KHTN- ã c i biên) Bài 9: Cho x, y, z là các s dương và xy + yz + zx = 1 . Ch ng minh r ng: x 2 + xy + y 2 + y 2 + yz + z 2 + z 2 + zx + x 2 ≥ 3 ( thi tuy n sinh vào THPT Chuyên Nguy n Trãi- năm 2001-2002 – Môn Toán cho các l p chuyên KHTN) Bài 10: Ch ng minh r ng a 2 + b 2 − a 2 + c 2 ≤ b − c v i a, b, c ∈ R ( thi tuy n sinh vào THPT Chuyên Nguy n Trãi- năm 2002-2003 – Môn Toán cho các l p chuyên KHTN) Bài 11: Cho ư ng tròn ( O ) và dây AB, M là i m chuy n ng trên ư ng tròn. T M k MH vuông góc AB ( H ∈ AB ) . G i E và F là hình chi u c a H trên MA và MB. Qua M k ư ng th ng vuông góc v i EF c t dây AB t i D. 1) Ch ng minh r ng ư ng th ng MD luôn i qua 1 i m c d nh khi M thay i trên ư ng tròn. MA AH AD 2) Ch ng minh = MB BD BH ( thi tuy n sinh vào THPT Chuyên Nguy n Trãi- năm 2003-2004 – Môn Toán cho các l p chuyên KHTN) 29
Bài 12: Cho ba s th c dương a, b, c th a mãn ab > c; a 3 + b3 = c3 + 1 . Ch ng minh r ng a + b > c + 1. ( thi tuy n sinh vào THPT Chuyên Nguy n Trãi- năm 2004-2005 – Môn Toán cho các l p chuyên KHTN) Bài 13: Cho ư ng tròn ( O ) và dây AB không qua tâm. M là i m trên ư ng tròn sao cho tam giác ABM nh n. Phân giác MAB và MBA c t ( O ) l n lư t t i P và Q. G i I và giao i m c a AP và BQ. 1) Ch ng minh r ng MI vuông góc PQ 2) Ch ng minh r ng ti p tuy n chung c a ư ng tròn tâm P ti p xúc v i MB, và ư ng tròn tâm Q ti p xúc v i MA luôn song song v i m t ư ng th ng c nh khi M thay i. ( thi tuy n sinh vào THPT Chuyên Nguy n Trãi- năm 2004-2005 – Môn Toán cho các l p chuyên KHTN) Bài 14: Cho tam giác nh n ABC n i ti p ư ng tròn ( O ) . Góc BAC = 600 . H là tr c tâm tam giác ABC. ư ng th ng OH c t AB và AC l n lư t M và N. Ch ng minh r ng BM + CN = MN ( thi tuy n sinh vào THPT Chuyên Nguy n Trãi- năm 2005-2006 – Môn Toán cho các l p chuyên KHTN – ã c i biên) Bài 15: Cho phương trình ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) có hai nghi m là x1 , x2 th a mãn ax1 + bx 2 +c = 0 . Tính giá tr c a bi u th c M = a 2 c + ac 2 + b3 − 3abc ( thi tuy n sinh vào THPT Chuyên Nguy n Trãi- năm 2005-2006 – Môn Toán cho các l p chuyên KHTN) x5 − 4 x3 − 3x + 9 x 1 Bài 16: Tính giá tr c a A = v i 2 = x 4 + 3x 2 + 11 x + x +1 4 ( thi tuy n sinh vào THPT – năm h c 2004-2005) Bài 17: Tìm s nguyên m m 2 + m + 20 là s h u t . ( thi tuy n sinh vào THPT – năm h c 2003-2004) ( ) 7 Bài 18: Tìm s nguyên l n nh t không vư t quá 7 + 4 3 ( thi tuy n sinh vào THPT – năm h c 2002-2003) 30
Bài 19: Tìm c p s nguyên ( x, y ) th a mãn phương trình: 3 x + 7 y = 3200 ( thi tuy n sinh vào THPT – năm h c 2001-2002) Bài 20: Tam giác ABC có các c nh th a mãn i u ki n BC ≥ AC ( AB + AC ) . Gi s D là m t i m trên BC kéo dài sao cho CAD = ABC . Ch ng minh r ng: BD − AD AB 2 ≥ AD BD 2 − AD 2 Bài 21: Ch ng minh b t ng th c sau v i a, b, c dương: bc ac ab + 2 + 2 ≤1 a + 2bc a + 2ac c + 2ab 2 ( thi ch n i tuy n h c sinh gi i T nh H i Dương – vòng 1 – Năm h c 1997- 1998- ã c biên) Bài 22: Cho t giác ABCD n i ti p ư ng tròn tâm O. G i H, K l n lư t là tr c tâm c a các tam giác BCD và ACD. Ch ng minh AH, BK c t nhau t i trung i m m i o n. ( thi ch n i tuy n h c sinh gi i T nh H i Dương - vòng 1 – Năm h c 1997- 1998) Bài 23: 1) Tìm s có ba ch s aba sao cho aba = ( a + b ) 3 a+b 3 2) Tìm các s nguyên a, b th a mãn 2 = a − ab + b 2 7 ( thi ch n i tuy n h c sinh gi i T nh H i Dương – vòng2 – Năm h c 1997- 1998) Bài 24: Cho a, b là các s th c dương và a 2 + b3 ≥ a 3 + b 4 . Ch ng minh r ng a 3 + b3 ≤ 2 . ( thi tuy n sinh vào THPT Chuyên Nguy n Trãi) Bài 25: Gi i phương trình x 2 + x − 1 + x − x 2 + 1 = x 2 − x + 2 . ( thi tuy n sinh vào THPT Chuyên Nguy n Trãi – D b ) (Còn ti p trang sau) 31
5 bài toán t 26 t i 30 là 5 bài toán trong thi ch n i tuy n h c sinh gi i t nh H i Dương năm 1997. Bài 26: Tìm t t c các s t nhiên k th a mãn: Tích các ch s c a k b ng 44k − 86868 .  x 3 − y 3 = 2b Bài 27: Gi i h phương trình  2  x y − xy = b 2 Bài 28: Tìm m i liên h gi a a, b, c bi t r ng tích m t nghi m c a phương trình x 2 + ax + 1 = 0 v i m t nghi m nào ó c a phương trình x 2 + bx + 1 = 0 là m t nghi m c a phương trình x 2 + cx + 1 = 0 . Bài 29: Cho MN là m t dây c a ư ng tròn ( O ) . V m t tam giác ABC b t kì có AB là ư ng kính c a ư ng tròn và hai c nh AC, BC l n lư t i qua M, N. Ch ng minh r ng ư ng cao h t C c a tam giác ABC i qua m t i m c nh. Bài 30: Trong l c giác l i ABCDEF dài các ư ng chéo AD, BE, CF u l n hơn 2. H i có th luôn tìm ư c l c giác ó m t c nh có dài l n hơn 1 hay không? ___H T___ 32