Ước lượng xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm tổng quát điều khiển được với dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc

ISSN: 1859-2171<br /> TNU Journal of Science and Technology 204(11): 131 - 136<br /> e-ISSN: 2615-9562<br /> <br /> <br /> ƯỚC LƯỢNG XÁC SUẤT THIỆT HẠI TRONG<br /> MÔ HÌNH BẢO HIỂM TỔNG QUÁT ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC<br /> VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC<br /> Phùng Duy Quang1*, Nguyễn Ngọc Hải2<br /> 1<br /> Trường Đại học Ngoại thương, 2Trường Đại học Công đoàn<br /> <br /> TÓM TẮT<br /> Trong bài báo này, chúng tôi mở rộng mô hình của Maikol A. Diasparra và Rosaria Romera<br /> (2009) với dãy tiền chi trả bảo hiểm là phụ thuộc Markov và dãy tiền lãi là phụ thuộc hồi quy cấp<br /> 1. Từ đó, chúng tôi đưa ra các ước lượng xác suất thiệt hại cho mô hình đó. Phương pháp đệ quy<br /> được sử dụng để thiết lập bất đẳng thức Lundberg tổng quát cho các xác suất thiệt hại. Kết quả<br /> đáng chú ý trong công trình hiện tại là định lý: Xây dựng các ước lượng chặn trên cho xác suất<br /> thiệt hại của mô hình dưới dạng hàm mũ bằng phương pháp đệ quy.<br /> Từ khóa: xác suất thiệt hại; xích Markov thuần nhất, quá trình rủi ro điều khiển được, phương<br /> pháp đệ quy, phụ thuộc Markov, phụ thuộc hồi quy<br /> <br /> Ngày nhận bài: 06/5/2019; Ngày hoàn thiện: 13/8/2019; Ngày đăng: 19/8/2019<br /> <br /> RUIN PROBABILITY IN A CONTROLLED RISK PROCESS UNDER RATES<br /> OF INTEREST WITH DEPENDENT RANDOM VARIABLES<br /> Phung Duy Quang1*, Nguyen Ngoc Hai2<br /> 1<br /> Foreign Trade University, 2Trade Union University<br /> <br /> ABSTRACT<br /> In this paper, we extend the model reviewed by Maikol A. Diasparra and Rosaria Romera (2009)<br /> to produce ruin probability estimates for the general insurance model with the effect of interest rate<br /> with Markov's range of insurance payouts is dependent and the range of interest is dependent on<br /> fisrt order regression with the range of insurance payments and the range of interest is a series of<br /> random variables that receive values in positive numbers. The main purpose of the paper is that we<br /> use recursive methods to establish general Lundberg inequalities for ruin probabilities. Since then,<br /> this paper obtained the main result is Theorem 2, constructing the upper bound estimates for the<br /> ruin probability of the model in exponential form by recursive method.<br /> Key words: ruin probability, homogenous Markov chain, autoregressive process, recursive<br /> technique<br /> <br /> Received: 06/5/2019; Revised: 13/8/2019; Published: 19/8/2019<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> * Corresponding author. Email: quangpd@ftu.edu.vn<br /> <br /> http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn 131<br />  Phùng Duy Quang và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 204(11): 131 - 136<br /> <br /> 1. Giới thiệu nhiên, việc có được các giải pháp tối ưu rõ<br /> Gần đây, bài toán thiệt hại trong các mô hình ràng là một nhiệm vụ khó khăn trong một bối<br /> bảo hiểm đã thu hút được nhiều sự quan tâm cảnh chung. Maikol A. Diasparra và Rosaria<br /> nghiên cứu [1], [2], [3]. Trong mô hình bảo Romera [9] đã thu được các ước lượng<br /> hiểm cổ điển, quá trình yêu cầu bồi thường Lundberg đối với xác suất thiệt hại trong một<br /> được giả định là một quá trình Poisson và số quá trình rủi ro thời gian rời rạc điều khiển<br /> tiền bồi thường cá nhân được mô tả là các được với dãy lãi suất phụ thuộc Markov, các<br /> biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng phân dãy biến ngẫu nhiên là độc lập. Trong công<br /> phối.Teugels và Sundt [2] nghiên cứu xác trình [19], Phùng Duy Quang đã mở rộng kết<br /> suất thiệt hại theo mô hình bảo hiểm Poisson quả cho dãy phụ thuộc Markov sử dụng<br /> phức hợp với lãi suất hằng số. Yang [4] đã phương pháp ước lượng Martingale. Trong<br /> xây dựng được các ước lượng chặn trên dạng công trình này, chúng tôi mở rộng mô hình<br /> mũ và không dạng mũ cho các xác suất thiệt được xem xét bởi Maikol A. Diasparra và<br /> hại của mô hình bảo hiểm với lãi suất hằng và Rosaria Romera [9] để đưa ra các ước lượng<br /> các dãy tiền thu và dãy tiền chi trả bảo hiểm xác suất thiệt hại cho mô hình bảo hiểm tổng<br /> là độc lập. Cai ([5], [6]) đã ước lượng được quát có tác động của lãi suất có điều khiển<br /> các xác suất thiệt hại trong các mô hình bảo được với dãy tiền chi trả bảo hiểm là phụ<br /> hiểm với dãy tiền thu và chi bảo hiểm là các thuộc Markov và dãy lãi suất là phụ thuộc hồi<br /> dãy biến ngẫu nhiên độc lập, còn lãi suất là quy cấp 1 với phương pháp ước lượng được<br /> quá trình tự hồi quy cấp 1. Cai và Dickson [7] sử dụng trong bài báo này là phương pháp đệ<br /> đã xây dựng các bất đẳng thức Lundberg của quy chứ không phải là phương pháp<br /> xác suất thiệt hại trong các mô hình bảo hiểm Martingale.<br /> thời gian rời rạc với lãi suất là phụ thuộc<br /> 2. Mô hình và các giả thiết<br /> Markov và dãy tiền thu và chi bảo hiểm là<br /> Gọi Yn là số tiền chi trả thứ n, Zn là biến<br /> dãy biến ngẫu nhiên độc lập. Xu và Wang [9]<br /> ngẫu nhiên chỉ khoảng cách giữa hai thời<br /> đưa ra các ước lượng chặn trên cho xác suất<br /> điểm chi trả thứ n và n -1, In là lãi suất thứ n.<br /> thiệt hại trong mô hình bảo hiểm có tác động<br /> Chúng ta giả thiết Yn, Zn, In là các biến ngẫu<br /> của lãi suất với dãy tiền thu và chi bảo hiểm nhiên xác định trên không gian xác suất<br /> là các quá trình tự hồi quy cấp 1, còn lãi suất (, A, P) . Khi đó, chúng ta xét quá trình rủi<br /> là dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov.<br /> ro tái bảo hiểm với thời gian rời rạc U n n  0<br /> Phùng Duy Quang [14], [15], [16], [17], [18]<br /> đã đưa ra các ước lượng chặn trên cho xác với vốn ban đầu u được xác định như sau:<br /> suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm có tác U n  U n1 (1  I n )  C(bn1 ).Zn  h(bn 1 , Yn ), n  1, (1) .<br /> động của lãi suất với dãy tiền biến ngẫu nhiên Ý nghĩa của các biến và hàm được mô tả<br /> phụ thuộc Markov bằng phương pháp đệ quy trong 8 giả thiết sau:<br /> hoặc bằng phương pháp Martingale. Giả thiết 1. U o  u  0 .<br /> Ngoài ra, nhiều kết quả đã nghiên cứu một Giả thiết 2. Yn n  0 là xích Markov thuần<br /> mô hình bảo hiểm, nơi mà quá trình rủi ro có nhất, sao cho Yn nhận giá trị trên tập số không<br /> thể được kiểm soát bằng tái bảo hiểm tỷ lệ. âm GY   y1 , y2 ,..., yn ,... với Yo = yi và<br /> Tiêu chí thực hiện là lựa chọn các chiến lược pij  P  : Yn 1 ()  y j Yn ()  yi  (n  N , yi  GY , y j  GY ),<br /> kiểm soát tái bảo hiểm để ràng buộc xác suất <br /> phá hoại của một quá trình rời rạc với lãi suất Ở đây, 0  pij  1,  pij  1.<br /> j 1<br /> phụ thuộc Markov. Kiểm soát quá trình rủi ro<br /> là một lĩnh vực hoạt động rất rộng, đặc biệt là Giả thiết 3. I n n0 là dãy biến ngẫu nhiên<br /> trong thập kỷ qua; xem [8], [11], [12]. Tuy không âm, tuân theo mô hình tự hồi quy cấp 1:<br /> 132 http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn<br />  Phùng Duy Quang và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 204(11): 131 - 136<br /> <br /> I n  I n1  Wn , 0    1, I o  io  0,  Wn n  0 là Xét trạng thái ban đầu tùy ý: U o  u  0 và<br /> dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập và một quá trình điều khiển   an n 1 . Khi đó,<br /> cùng phân phối với hàm phân phối: với mỗi n  1, U n được xác định như sau:<br /> G(t)  P   ; Wo ()  t  . n n<br />  n<br /> <br /> U n  u ( 1  I l )    C( bn 1 )Z l  bl 1 .Yl  ( 1  I m ) ,( 3 )<br /> Giả thiết 4. Z n n  0 là dãy biến ngẫu nhiên l 1 l 1  m  l 1 <br /> Xác suất thiệt hại khi dùng quá trình điều<br /> liên tục độc lập và cùng phân phối với hàm<br /> phân phối xác suất: khiển  , với vốn ban đầu u, và số tiền chi trả<br /> ban đầu Yo  yi , giá trị lãi suất ban<br /> F ( z )  P   ; Z o ()  z  .<br /> đầu I o  ir thỏa mãn các giả thiết 1 đến 8 được<br /> Giả thiết 5. Chúng ta ký hiệu C( b ) là tác động xác định như sau:<br /> bên trái của thu bảo hiểm đối với công ty bảo<br />  <br /> hiểm nếu mức duy trì b được chọn:   ( u, yi ,io )  P  (U k  0 ) U o  u,Yo  yi , I o  io  ,( 4 )<br />  k 1 <br /> 0  C (b)  c, b  B .<br /> Quá trình có thể điều khiển được bằng tái bảo Hay có thể viết:<br /> hiểm, ứng với việc chọn mức b  B ở đây<br />   (u, yi ,io )  P Uk  0 , k  1 Uo  u,Yo  yi ,Io  io  ,( 5 )<br /> B : bmin ,1 , bmin   0,1 . Tỷ suất thu bảo<br /> hiểm c là cố định<br /> Tương tự, xác suất thiệt hại với thời gian hữu<br /> Giả thiết 6. Chúng ta ký hiệu hàm<br /> hạn khi dùng quá trình điều khiển  , với vốn<br /> h( b, y ) nhận giá trị trong khoảng  0, y  quy<br /> ban đầu u, và số tiền chi trả ban đầu Yo  yi ,<br /> định cụ thể phần yêu cầy bồi thường y do giá trị lãi suất ban đầu I o  io thỏa mãn các giả<br /> công ty bảo hiểm chi trả và nó cũng phụ thuộc<br /> thiết 1 đến 8 được xác định như sau:<br /> vào mức duy trì b vào đầu kỳ. Do đó y - h(b,<br />  n <br /> y) là phần do bên tái bảo hiểm chi trả. Mức  n ( u, yi ,io )  P  (U k  0 ) U o  u,Yo  yi , I o  io  ,( 6 )<br /> duy trì b = 1 thay cho việc không có tái bảo  k 1 <br /> <br /> hiểm. Trong bài báo này chúng ta xét trường Từ (5) và (6), dễ dàng thu được:<br /> hợp tái bảo hiểm theo tỷ lệ, với hàm h xác lim n ( u, yi ,io )    ( u, yi ,io ).<br /> định bởi: n<br /> <br /> <br /> h( b, y )  b.y, với b  B. (2) Ký hiệu  là không gian các quá trình điều<br /> khiển. Một quá trình điều khiển  được gọi<br /> *<br /> Thông thường, hằng số bm in trong giả thiết 5<br /> là tối ưu nếu với mỗi cặp giá trị ban đầu (Yo,<br /> được chọn bởi:<br /> Io) = (yi, ir), chúng ta có:<br /> bmin : min b  0,1; C (b)  0.<br />  (u, yi , io )   (u, yi , io )<br /> *<br /> <br /> <br /> <br /> Giả thiết 7. Chúng ta giả thiết các dãy<br /> Yn n  0 , Wn n0 và I n n0 là dãy biến ngẫu với mọi .<br /> nhiên độc lập. 3. Kết quả và thảo luận<br /> Mục đích của công trình là sử dụng phương<br /> Giả thiết 8. Chúng ta xem xét một quá trình<br /> pháp đệ quy để xây dựng ước lượng chặn trên<br /> điều khiển Markov   an n 1 , mà tại mỗi<br /> cho xác suất thiệt hại của mô hình (1). Để mở<br /> thời điểm n chỉ phụ thuộc vào trạng thái hiện rộng kết quả của Maikol A. Diasparra và<br /> tại: an (U n ) : bn với n  0 . Về mặt hình thức Rosaria Romera [9], tác giả bài báo đề xuất<br /> có thể ký hiệu: a :   B, với    ,B là các giả thiết từ 1 đến 8 và xây dựng được kết<br /> không gian quyết định. quả nghiên cứu là định lý 2. Để chứng minh<br /> <br /> http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn 133<br />  Phùng Duy Quang và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 204(11): 131 - 136<br /> <br /> được định lý 2, trước hết chúng ta chứng E   e i  o 1 o 1  Yo  y i   1(10).<br />  R C( b )Z  b Y <br /> <br /> minh định lý 1 sau đây:  <br /> Định lý 1. Cho mô hình (1) với các giả thiết Chứng minh<br /> từ 1 đến 8, với mỗi n = 1, 2, 3, ... ta có Xét hàm số<br />   t C(b )Z  b Y  <br />  fi (t)  E  e  o 1 o 1  Y1  yi   1, t   0;    .<br /> bo y j  u(1io  t)<br /> <br />    C(bo )  <br />  n 1 (u, yi , i o )   pij    dF(z) <br /> j1 0  0<br /> Từ các tính chất của hàm fi(t): Hàm fi(t) là<br />  hàm lồi và<br />  fi (0)  0; fi' (0)  0; lim fi (t)   suy ra điều phải<br />   t <br /> <br /> <br /> <br />  n  (u(1  io  t)  bo y j  C(b o )z, y j , i o  t)dF(z)  dG(t) (7) chứng minh.<br /> bo y j  u(1io  t) <br /> C(bo )  Sử dụng kết quả của Định lý 1 và bổ đề,<br /> và chúng ta chứng minh kết quả chính của bài<br />  bo y j  u(1io  t) báo là định lý 2 dưới đây.<br />    C(bo )<br /> 1 (u, yi , i o )   pij   0 dF(z)  Định lý 2.<br /> j1 0  Với giả thiết đã cho ở Định lý 1 và Bổ đề 1 và<br /> <br /> Ro > 0. Với mỗi yi  GY   y1 , y2 ,..., yn ,... và<br /> <br />   u  0 thì<br />     (u(1  io  t)  bo y j  C(b o )z, y j , i o  t)dF(z)  dG(t) (8)<br /> bo y j  u(1io  t)   (u, yi , io )  E e Ro u(1 I1 ) Io  io  . (11)<br /> C(bo ) <br /> Với quy ước: Trong đó<br /> i) Nếu v  0 thì F(v)  0 , t<br /> e R o C(bo )t  e  R o C(bo )z dF(z)<br />  <br /> <br /> v  0 thì  dF(z)   dF(z) , 1  inf , 0    1.(12)<br /> 0<br /> ii) Nếu t 0 F(t)<br /> v 0<br /> <br /> v Chứng minh<br /> iii) Nếu v  0 thì    (h(z), yi , io )dF(z)  0. Ta xét 2 trường hợp:<br /> 0<br /> <br /> Chứng minh Trường hợp 1.<br /> t<br /> Sử dụng định nghĩa (4), (6) và tính chất của<br /> eR oC(bo )t  eR oC(bo )z dF(z)<br /> xác suất cổ điển, ta dễ dàng suy ra điều phải<br /> chứng minh. inf 0<br />  .<br /> t 0 F(t)<br /> Để thiết lập được kết quả ước lượng chặn trên<br /> Từ (12) suy ra 0    1 và với mọi v > 0 thì<br /> xác suất thiệt hại cho mô hình (1), ta sử dụng<br /> bổ đề sau: <br /> F(v)  .eRo C(bo )v .E eRoC(bo )Z1 .(13) <br /> Bổ đề. Cho mô hình (1) với các giả thiết từ 1<br /> Đặt<br /> đến 8,<br />  bo y j  u(1  i o  t) <br /> E (bo Y1  C(bo )Z1 ) Yo  yi   0 , K1   j  1, 2,... :  0 ,<br />  C(b o ) <br /> và  bo y j  u(1  i o  t) <br /> K 2   j  1, 2,... :  0 .<br /> P  bo Y1  C(bo )Z1  0 Yo  yi   0 , (9)  C(bo ) <br /> Từ công thức (8) ta có:<br /> Với mỗi yi  GY thì tồn tại một số dương R i<br /> thỏa mãn: 1 (u, yi , i o )<br /> <br /> 134 http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn<br />  Phùng Duy Quang và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 204(11): 131 - 136<br /> <br />    bo y j  u(1  i o  t)   1    Ro u(1 I1 )<br />  n (u, yi , io )  Io  i o  .(17)<br />   ij   F <br /> p  dG(t) <br /> E e<br />  <br /> jK1  0  C(b o )  <br /> Cho n dần đến vô cùng trong (17), ta có<br />    bo y j  u(1  i o  t)  <br />   pij   F   dG(t) 1    Ro u(1 I1 )<br />   C(bo )     (u, yi , io )  E e Io  io  .(18)<br /> jK 2  0    <br /> Sử dụng công thức (13) ta có Với   n (n  N* ), công thức (18) trở thành<br />    bo y j  u(1  io  t)  <br />  ij   F <br /> p  dG(t)  (u, yi , io ) <br /> 1    Ro u(1 I1 )<br /> E e Io  io  .(19)<br /> jK 2  0  C(bo )   n  <br />   R C(b )y u(1io  t)   Cho n dần đến vô cùng trong (19) ta thu được<br />    pij   e o  o j<br /> jK 2  0<br />    <br />  .E  e  R oC(bo )Z1 dG(t).(14)<br />   (u, yi , io )  0  E  e Ro u(1 I1 ) Io  i o  .<br />   <br />  bo y j  u(1  i o  t) <br /> Đồng thời F    0 khi<br /> Do vậy, bất đẳng thức (11) đúng khi   0 .□<br />  C(b o ) <br /> 4. Kết luận<br /> j  K1 nên suy ra<br /> Bài báo này sử dụng phương pháp đệ quy xét<br />    bo y j  u(1  io  t)   mô hình được đưa ra bởi Maikol A. Diasparra<br />  ij   F <br /> p  dG(t)  0<br /> jK1  0  C(bo )   và Rosaria Romera [9]. Chúng tôi đã mở<br />   R C(b )y u(1io  t)   rộng được kết quả của Maikol A. Diasparra<br />    pij   e o  o j<br /> <br /> jK1  0<br /> <br />  .E  e  R oC(bo )Z1<br />  dG(t).(15) và Rosaria Romera [9] để đưa ra các ước<br />  lượng xác suất thiệt hại cho mô hình bảo hiểm<br /> Từ (14) và (15) ta thu được tổng quát có tác động của lãi suất có điều<br /> 1 (u, yi , io )  E e Ro u(1 I1 ) Io  io  khiển được với dãy tiền chi trả bảo hiểm là<br /> phụ thuộc Markov và dãy tiền lãi suất là phụ<br /> Sử dụng bổ đề 1, định lý 1 và bằng chứng thuộc hồi quy cấp 1, các dãy này nhận các giá<br /> minh quy nạp chúng ta thu được: trị trong tập số dương.<br /> n (u, yi , io )  E e Ro u(1 I1 ) Io  io  .(16) Ghi chú: Bài viết này là một kết quả của<br /> nhóm nghiên cứu “Mô hình Toán ứng dụng<br /> Cho n dần đến vô cùng trong (16) ta thu được trong một số vấn đề kinh tế -xã hội” thuộc<br /> bất đẳng thức (11). trường Đại học Ngoại thương do TS Phùng<br /> Trường hợp 2. Duy Quang làm Trưởng nhóm nghiên cứu.<br /> Nếu<br /> t TÀI LIỆU THAM KHẢO<br /> e R o C(bo )t  e  R o C(bo )z dF(z) [1]. B. Sundt and J. L. Teugels, “Ruin estimates<br /> inf 0<br />      0. under interest force”, Insurance: Mathematics and<br /> t 0 F(t) Economics, 16 (1995), pp. 7-22, 1995.<br /> [2]. B. Sundt and J. L. Teugels, “The adjustment<br /> t<br /> function in ruin estimates under interest force”.<br /> e R o C(bo )t  e  R o C(bo )z dF(z)<br /> Insurance: Mathematics and Economics, 19<br /> Với bất kỳ   0 : 0<br />  (1997), pp. 85-94, 1997.<br /> F(t)<br /> [3]. H. U. Gerber, An Introduction to Mathematical<br /> và Risk Theory, Monograph Series, Vol.8.S.S. Heubner<br /> v Foundation, Philadelphia, 1979.<br /> 1<br /> F(v)  eR oC(bo )v  eR oC(bo )z dF(z). [4]. H. Yang, “Non – exponetial bounds for ruin<br />  0<br /> probability with interest effect included”,<br /> Scandinavian Actuarial Journal, 2(1999), pp. 66-<br /> Chứng minh tương tự như mục a), ta có 79, 1999.<br /> <br /> http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn 135<br />  Phùng Duy Quang và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 204(11): 131 - 136<br /> <br /> [5]. J. Cai, “Discrete time risk models under rates Mathematics and Economics, 10 (1991), pp. 99-<br /> of interest”. Probability in the Engineering and 107, 1991.<br /> Informational Sciences, 16 (2002), pp. 309-324, [14]. P. D Quang, “Ruin Probability in a<br /> 2002. Generalized Risk Process under Rates of Interest<br /> [6]. J. Cai, “Ruin probabilities with dependent with Homogenous Marrkov Chain premiums”,<br /> rates of interest”, Journal of Applied Int.J.Stat. Probab., 2 (2013), pp. 85-92, 2013.<br /> Probability, 39 (2002), pp. 312-323, 2002. [15]. P. D. Quang, “Upper bounds for Ruin<br /> [7]. J. Cai and D. C. M. Dickson, “Ruin Probability in a Generalized Risk Process under<br /> Probabilities with a Markov chain interest model”. Rates of Interest with Homogenous Markov Chain<br /> Insurance: Mathematics and Economics, 35 claims”, Asian J. Math. Stats., 7 (2014), pp. 1-11<br /> (2004), pp. 513-525, 2004. 2014.<br /> [8]. J. Grandell, Aspects of Risk Theory, Springer, [16]. P. D. Quang, “Upper bounds for Ruin<br /> Berlin, 1991. Probability in a Generalized Risk Process under<br /> [9]. L. Xu and R. Wang, “Upper bounds for ruin Rates of Interest with Homogenous Markov Chain<br /> probabilities in an autoregressive risk model with claims and Homogenous Markov Chain<br /> Markov chain interest rate”, Journal of Industrial premiums”, Applied Mathematical Sciences,<br /> and Management optimization, Vol.2 No.2 Vol.8, No.29, pp. 1445-1454 (Scopus), 2014.<br /> (2006),165- 175, 2006. [17]. P. D. Quang, “Martingale Method for Ruin<br /> [9]. Maikol A. Diasparra and Rosaria Romera, Probability in a Generalized Risk Process under<br /> Inequalities for the ruin probability in a controlled Rates of Interest with Homogenous Markov Chain<br /> discrete-time risk process, Woking paper, Premiums and Homogenous Markov Chain<br /> Statistics and Econometrics Series, 2009. Interests”, Journal of tatistics Applications &<br /> [10]. O. Hernández-Lerma, J. B. Lasserre, Probability Letters, Vol.2, No.1, pp. 15-22, 2015.<br /> Discrete- Time Markov Control Processes: Basic [18]. P. D. Quang, “Ruin Probability in a<br /> Optimality Crieria, Springer- Verlag, New York, Generalised Risk Process under Rates of Interest<br /> 1996. with Homogenous Markov Chains”, East Asian<br /> [11]. O. Hernández-Lerma, J. B. Lasserre, Further Journal on Applied Mathematics, Vol.4, No.3, pp.<br /> Topics on Discrete- Time Markov Control 283-300 (SCIE), 2014.<br /> Processes, Springer- Verlag, New York, 1999. [19] P. D. Quang, “Phương pháp Martingale ước<br /> [12]. O. Hernández-Lerma, J. B. Lasserre, Markov lượng xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm<br /> Chains and Invariant Probabilities. Birkhauser, tổng quát có điều khiển được với dãy biến ngẫu<br /> Basel, 2003. nhiên phụ thuộc Markov”, Tạp chí KH & CN- Đại<br /> [13]. S. D. Promislow, “The probability of ruin in học Thái Nguyên, Tập 178 (Số 2), tr. 139-144,<br /> a process with dependent increments". Insurance: 2017.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 136 http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn<br />