TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC
BÀI GIẢNG
XÁC SUẤT THỐNG KÊ
NGUYỄN THỊ THU THỦY
BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG
HÀ NỘI – 9/2020
MỤC LỤC
Chương 1. Sự kiện ngẫu nhiên và phép tính xác suất 6
1.1 Sự kiện. Quan hệ giữa các sự kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Phép thử. Sự kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 Phân loại sự kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3 Quan hệ giữa các sự kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Giải tích kết hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1 Quy tắc cộng. Quy tắc nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2 Chỉnh hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.3 Chỉnh hợp lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.4 Hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.5 Tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Khái niệm và các định nghĩa xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.1 Khái niệm xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.2 Định nghĩa cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.3 Định nghĩa hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.4 Định nghĩa thống kê về xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.5 Nguyên lý xác suất nhỏ, nguyên lý xác suất lớn . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4 Công thức cộng và nhân xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.1 Xác suất điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.2 Công thức nhân xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.3 Công thức cộng xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5 Công thức Béc–nu–li . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5.1 Dãy phép thử độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5.2 Lược đồ Béc–nu–li . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5.3 Công thức Béc–nu–li . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5.4 Số có khả năng nhất trong lược đồ Béc–nu–li . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.5.5 Công thức xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.6 Công thức xác suất đầy đủ. Công thức Bay–ét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.6.1 Công thức xác suất đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.6.2 Công thức Bay–ét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1
MI2020-KỲ 20201–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST
1.7 Tổng hợp một số đề thi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Bài tập Chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Chương 2. Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất 50
2.1 Định nghĩa và phân loại biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.1.1 Định nghĩa biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.1.2 Phân loại biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2 Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2.1 Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc . . . . . . . . . . . 53
2.2.2 Hàm phân phối xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.2.3 Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục . . . . . . . . . . . . . 59
2.3 Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.3.1 Kỳ vọng (Expected Value) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.3.2 Phương sai (Variance) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.3.3 Độ lệch chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.3.4 Một số đặc trưng khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.4 Một số phân phối xác suất thông dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.4.1 Phân phối đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.4.2 Phân phối nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.4.3 Phân phối Poa–xông (Poisson) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.4.4 Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối Poa-xông . . . . . . . . . . . 80
2.4.5 Phân phối mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.4.6 Phân phối chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.4.7 Phân phối khi bình phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.4.8 Phân phối Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.5 Tổng hợp một số đề thi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Bài tập Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Chương 3. Biến ngẫu nhiên nhiều chiều 105
3.1 Khái niệm và phân loại biến ngẫu nhiên nhiều chiều . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.1.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.1.2 Phân loại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.2 Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc . . . . . . . . . . 107
3.2.1 Bảng phân phối xác suất đồng thời . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.2.2 Bảng phân phối xác suất thành phần (biên) . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.2.3 Phân phối có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.3 Hàm phân phối xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.3.1 Hàm phân phối xác suất đồng thời . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.3.2 Hàm phân phối xác suất thành phần (biên) . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
MỤC LỤC 2
MI2020-KỲ 20201–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST
3.4 Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục . . . . . . . . . . . 113
3.4.1 Hàm mật độ xác suất đồng thời . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.4.2 Hàm mật độ xác suất biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.4.3 Hàm mật độ xác suất có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.5 Tính độc lập của các biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.6 Hàm của hai biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.6.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.6.2 Phân phối xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.7 Đặc trưng của biến ngẫu nhiên hai chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.7.1 Kỳ vọng, phương sai của biến ngẫu nhiên thành phần . . . . . . . . . . . 125
3.7.2 Kỳ vọng, phương sai của hàm của hai biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . 126
3.7.3 Hiệp phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.7.4 Hệ số tương quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.8 Luật số lớn và định lý giới hạn trung tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3.8.1 Sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3.8.2 Luật số lớn Trê-bư-sep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.8.3 Luật số lớn Béc-nu-li . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.8.4 Định lý giới hạn trung tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
3.8.5 Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối chuẩn . . . . . . . . . . . . . 136
3.8.6 Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối Poa-xông . . . . . . . . . . . 138
3.9 Tổng hợp một số đề thi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Bài tập Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Chương 4. Thống kê. Ước lượng tham số 148
4.1 Lý thuyết mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.1.1 Tổng thể và mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.1.2 Mẫu ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.1.3 Mô tả giá trị của mẫu ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.1.4 Đại lượng thống kê và một số thống kê thông dụng . . . . . . . . . . . . 156
4.1.5 Cách tính giá trị cụ thể của một số thống kê thông dụng . . . . . . . . . 160
4.2 Ước lượng điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.2.1 Phương pháp hàm ước lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
4.2.2 Ước lượng điểm cho một số tham số thông dụng . . . . . . . . . . . . . . 166
4.2.3 Phương pháp ước lượng hợp lý cực đại (maximum-likelihood estimation)168
4.3 Ước lượng khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
4.3.1 Khoảng tin cậy cho kỳ vọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
4.3.2 Khoảng tin cậy cho phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
4.3.3 Khoảng tin cậy cho xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
4.3.4 Xác định kích thước mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
MỤC LỤC 3
MI2020-KỲ 20201–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST
Bài tập Chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
Chương 5. Kiểm định giả thuyết thống kê 193
5.1 Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
5.1.1 Giả thuyết thống kê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
5.1.2 Tiêu chuẩn kiểm định. Mức ý nghĩa. Miền bác bỏ . . . . . . . . . . . . . 194
5.1.3 Sai lầm loại I. Sai lầm loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
5.2 Kiểm định giả thuyết về tham số của một tổng thể . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
5.2.1 Kiểm định giả thuyết về kỳ vọng/giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . 197
5.2.2 Kiểm định giả thuyết về tỷ lệ hay xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
5.2.3 Kiểm định giả thuyết về phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
5.3 Kiểm định giả thuyết về tham số của hai tổng thể . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5.3.1 So sánh giá trị trung bình của hai tổng thể . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5.3.2 So sánh hai tỷ lệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
5.3.3 So sánh hai phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
Bài tập Chương 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
Chương 6. Phụ lục các bảng số 230
6.1 Phụ lục các bảng số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
6.1.1 Phụ lục 1: Giá trị hàm Gao-xơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
6.1.2 Phụ lục 2: Giá trị hàm Láp-la-xơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
6.1.3 Phụ lục 3: Giá trị hàm phân phối chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
6.1.4 Phụ lục 4: Giá trị phân phối Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
6.1.5 Phụ lục 5: Giá trị hàm khối lượng xác suất Poa-xông . . . . . . . . . . . . 230
6.2 Hướng dẫn sử dụng các bảng số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
6.2.1 Bảng giá trị hàm Gao-xơ (Phụ lục 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
6.2.2 Bảng giá trị hàm Láp-la-xơ (Phụ lục 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
6.2.3 Bảng giá trị hàm phân phối chuẩn tắc (Phụ lục 3) . . . . . . . . . . . . . 237
6.2.4 Bảng giá trị tn
1−αcủa phân phối Student (Phụ lục 4) . . . . . . . . . . . . 237
MỤC LỤC 4