Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 1: Biến cố và xác suất - GV. Lê Văn Minh

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

261
lượt xem 30
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 1: Biến cố và xác suất nhằm giúp sinh viên phân biệt được thí nghiệm ngẫu nhiên và thí nghiệm tất định, nắm được các khái niệm về biến cố ngẫu nhiên, các công thức xác suất cơ bản, tính độc lập của các biến cố, áp dụng được các công thức xác suất đầy đủ, Bayes.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 1: Biến cố và xác suất - GV. Lê Văn Minh

3 CHƯƠNG 1 NỘI DUNG CHƯƠNG 1.1 Thí nghiệm ngẫu nhiên 1.2 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT 1.3 Tính độc lập của các biến cố 1.4 Công thức xác suất đầy đủ. Công thức Bayes 1 ThS Lê Văn Minh 2 4 MỤC TIÊU CHƯƠNG 1.1 Thí nghiệm ngẫu nhiên (tnnn)  Phân biệt được thí nghiệm ngẫu nhiên và thí 1.1.1 Các thí nghiệm nghiệm tất định. i) Thả hòn đá xuống hồ xem nó chìm hay nổi  Nắm được các khái niệm về biến cố ngẫu nhiên, ii) Nung CaCO3 ở nhiệt độ cao xem kết quả 0 các công thức xác suất cơ bản. CaCO3  CaO  CO2  t   Tính độc lập của các biến cố Đây là các thí nghiệm tất định, vì có hậu quả duy nhất dù lặp đi lặp lại nhiều lần.  Áp dụng được các công thức xác suất đầy đủ, Bayes. iii) Tung đồng xu cân bằng đồng chất và xem hậu quả: L1: mặt Số (S); L2: mặt Hình (H); L3: H; L4: S; L5: S; …. ThS Lê Văn Minh ThS Lê Văn Minh 1
5 7 1.1 Thí nghiệm ngẫu nhiên 1.1 Thí nghiệm ngẫu nhiên iv) Tung con xúc sắc và xem hậu quả: iii) Cho thí nghiệm ngẫu nhiên  . Tập hợp tất cả L1: 1chấm; L2: 2chấm; L3: 6chấm; L4: 2 chấm;… các hậu quả có thể xảy ra trong một thí nghiệm v) Đếm số xe mô tô chạy qua ngã tư trong mỗi được gọi là không gian mẫu hay không gian xác khoảng đèn xanh-đỏ: 0, 1, 2, 3, 4, … suất và kí hiệu:  {1 , 2 ,..., n } , trong đó Các thí nghiệm iii) –v) là các thí nghiệm ngẫu i , i  1, n là hậu quả của thí nghiệm. nhiên. Ví dụ 1.1.1: Viết không gian mẫu cho các thí nghiệm ở 1.1.1 iii)   {S , H } iv)   {1ch, 2ch, 3ch, 4ch, 5ch, 6ch} v)   {0,1, 2,3, 4,...} ThS Lê Văn Minh ThS Lê Văn Minh 6 8 1.1 Thí nghiệm ngẫu nhiên 1.2 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.2.1 Biến cố ngẫu nhiên 1.1.2 Các định nghĩa Định nghĩa: Cho tnnn  có không gian xác suất i) Thí nghiệm ngẫu nhiên hay phép thử là loại thí (kgxs) ={1, 2,…, n}. Mỗi hậu quả k, k=1,..,n nghiệm cho những hậu quả khác nhau không đoán được gọi là một biến cố sơ cấp. Mỗi tập con trước được khi thí nghiệm được lặp đi lặp lại nhiều A={1,.., k}   gọi là một biến cố. lần trong những điều kiện không đổi. - Tập  là biến cố không thể. ii) Lý thuyết xác suất là ngành toán học chuyên nghiên cứu phân tích các mô hình của thí nghiệm - Tập  là biến cố chắc chắn. ngẫu nhiên. Ví dụ 1.2.1 Tung con xúc sắc cân bằng một lần. Hãy viết các biến cố: a) Được mặt nhỏ hơn 4 chấm. b) Được mặt lớn hơn 3 chấm. ThS Lê Văn Minh ThS Lê Văn Minh 2
9 11 1.2 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.2 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất Giải 1.2.2 Định nghĩa xác suất a) A=“ được mặt < 4 chấm”={1ch, 2ch, 3ch}  Cho tnnn  có kgxs ={1, 2,…, n}. Người ta gọi các trị số pk  p(k ), k  1, n là xác suất của b) B=“được mặt > 3 chấm”={4ch, 5ch,6ch} các biến cố sơ cấp k nếu: Định nghĩa: Cho tnnn  có kgxs ={1, 2,…, n} i) 0  p1 , p2 ,.., pn  1 và A, B  là 2 biến cố. Khi đó: n i) A  B  Nếu A xảy ra thì B xảy ra ii ) p k 1 k  p1  p2    pn  1 (1.2.1) ii) A  B  Hai biến cố A và B đồng thời xảy ra  Cho biến cố A={1,.., k}, (kn). Người ta gọi iii) A  B  Hoặc A xảy ra, hoặc B xảy ra hoặc xác suất của biến cố A là trị số: cả A và B xảy ra P ( A)  p1  p2    pk (1.2.2) ThS Lê Văn Minh ThS Lê Văn Minh 10 12 1.2 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.2 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất iv) AB=  A và B là hai biến cố xung khắc Trong đó: pi là xác suất của biến cố sơ cấp i, với nhau, i.e., nếu A xảy ra thì B không xảy ra hoặc i=1,..,k. nếu B xảy ra thì A không xảy ra.  Người ta gọi bảng phân phối xác suất (ppxs) v) Ac = \A  A, Ac là hai biến cố đối lập, i.e., nếu của tnnn  là bảng sau: A xảy ra thì Ac không xảy ra hoặc nếu A không xảy  1 2 ….. n ra thì Ac xảy ra. pk p1 P2 ….. pn Ví dụ 1.2.2 Cho tnnn là tung đồng xu cân bằng 1 lần. Hãy tìm bảng ppxs của thí nghiệm. Giải ThS Lê Văn Minh ThS Lê Văn Minh 3
13 15 1.2 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.2 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất Ta có ={S,H}. Đặt p1=P(S), p2=P(H). Khi đó: 1.2.3 Công thức tính xác suất p1  p2  1 Cho tnnn  có kgxs ={1, 2,…, n}, trong đó k, k=1,..,n là các biến cố sơ cấ đồng khả năng. Cho Mặt khác: do đồng xu cân bằng nên p1  p2 . A là biến cố bất kỳ. Khi đó Suy ra p1  p2  1 / 2 Soá phaàn töû cuûa A n( A) P ( A)   (1.2.3) Bảng ppxs của thí nghiệm: Soá phaàn töû cuûa  n( )  S H Ví dụ 1.2.4a: Cho một lọ đựng 13 hòn bi giống hệt pk 1/2 1/2 nhau, trong đó có 5 bi trắng và 8 bi đen. Rút ngẫu nhiên một hòn bi mà không nhìn vào lọ. Hãy tìm xác suất để rút đuợc bi trắng? ThS Lê Văn Minh ThS Lê Văn Minh 14 16 1.2 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.2 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất Ví dụ 1.2.3 Tung 2 đồng xu cân bằng đồng chất Giải một lần. Hãy tìm xác suất để ít nhất có một mặt H? Gọi A=“Rút được bi trắng”. Ta có n( A)  5; n()  13 Giải n( A) 5  P( A)   Không gian xs của tnnn:   {SH , SS , HS , HH } n() 13  Cho tnnn  có kgxs ={1, 2,…, n}. A,B . Lý luận tương tự Ví dụ 1.2.2 ta được bảng ppxs: Khi đó:  SH HS SS HH 1. P()  1; P()  0 2. A  , P( A)  0 pi 1/4 1/4 1/4 1/4 2. A  B  P( A)  P( B) 4. P ( Ac )  1  P( A) Gọi A=“có ít nhất một mặt H”={SH, HS, HH}. (1.2.4) 5. A, B  , A  B    P( A  B)  P( A)  P ( B) 1 1 1 3  P ( A)  P ( SH )  P( HS )  P( HH )     6. P( A  B )  P ( A)  P( B )  P( A  B) 4 4 4 4 ThS Lê Văn Minh ThS Lê Văn Minh 4
17 19 1.2 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.2 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất Ví dụ 1.2.3b: Cho một lọ đựng 5 bi trắng, 10 bi đỏ Ví dụ 1.2.4a: Tung đồng xu cân bằng 2 lần liên tiếp và 15 bi xanh giống hệt nhau. Rút ngẫu nhiện một bi với quy uớc thắng thua như sau: mà không nhìn vào lọ. Hãy tìm xác suất để hòn bi - Ta thắng: SH, HS rút đuợc có màu trắng hoặc đỏ? - Ta thua: SS, HH Giải và biết rằng có ít nhất một mặt “H”. Hãy tìm xác Gọi A=“Rút được bi trắng”; B=“Rút được bi đỏ”; suất để ta thắng? C=“Rút được bi trắng hoặc đỏ”=AB. Giải Do chỉ rút một lần nên AB =. Do đó Ta có bảng PPXS của tn: P (C )  P( A  B)  P( A)  P( B)  SH HS SS HH Pi 1/4 1/4 1/4 1/4 ThS Lê Văn Minh ThS Lê Văn Minh 18 20 1.2 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.2 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất n(A) 3 1 n( B) 10 1 Ta có: P(“ta thắng”)=P(SH)+P(HS)=1/2 Ta có P( A)    ; P( B)    n( ) 30 6 n( ) 30 3 1 1 1 A = “Có ít nhất một mặt hình” = { SH, HS, HH}  P(C )    P (" Ta thaéng " A) 3 6 2  P (" Ta thaéng "/ A)  P ( A) 1.2.4 Xác suất có điều kiện P (SH, HS) 1/ 4 1/ 4 2    Xác suất của biến cố B với điều kiện biến cố A P (SH,HS,HH) 1 / 4  1 / 4  1 / 4 3 xảy ra đuợc gọi là xác suất có điều kiện, kí hiệu Ví dụ 1.2.4b: Cho một bộ gồm 52 lá đuợc trộn P(B/A) và kỹ. Rút ngẫu nhiên một lá. Biết rằng đã rút đuợc lá P( A  B) P( B / A)  , P ( A)  0 (1.2.4) đỏ. Tìm xác suất để lá bài rút đuợc là Ách cơ? P ( A) Giải ThS Lê Văn Minh ThS Lê Văn Minh 5
21 23 1.2 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.3. Tính độc lập của các biến cố Biến cố độc lập là hai sự kiện không liên quan nhau Gọi A=“Rút đuợc lá đỏ”=“2 rô, 2 cơ, …, ách cơ”; mà có thể xảy ra đồng thời. Chẳng hạn A = “a=1”; B=“ B = “ách cơ”. Thiên thạch rơi ở Nga” thì A và B là hai biến cố độc lập.  A  B  " aùch cô " Định nghĩa 1.3.1: Hai biến cố A và B đuợc gọi là độc n( A) 1 1 lập với nhau, nếu P(A/B) =P(A). P( A)   ; P( A  B)  n ( ) 2 52 Định lý 1.3.1: Cho A, B là hai biến cố độc lập. Khi đó 3 điều kiện sau là tuơng đuơng P ( A  B ) 1 / 52 1  P ( B / A)    i ) P( A / B)  P( A) P ( A) 1 / 2 26 ii ) P( B / A)  P ( B) (1.3.1) iii ) P( A.B)  P( A).P( B) ThS Lê Văn Minh ThS Lê Văn Minh 22 24 1.2 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.3. Tính độc lập của các biến cố 1.2.5 Công thức nhân xác suất Ví dụ 1.3.1: Cho một hộp đựng 5 bi trắng và 4 bi Ký hiệu: P(AB)=P(A.B). đen giống hệt nhau. Lấy ngẫu nhiên 2 viên (lấy có hoàn lại). Tìm xác suất để lấy đuợc bi trắng truớc và i ) P ( A.B)  P( A)  P ( B / A) bi đen sau? ii ) P( A.B.C )  P( A).P( B / A).P(C / A.B) Giải iii ) P( A.B.C.D)  P( A).P( B / A).P(C / A.B) P( D / A.B.C ) Gọi A = “bi trắng”; B = “bi đen”. “Trắng truớc và đen sau” = A.B (1.2.5) Vì A, B là 2 biến cố độc lập, nên 5 4 20  P ( A.B )  P ( A).P ( B )     9 9 81 ThS Lê Văn Minh ThS Lê Văn Minh 6
25 27 1.3. Tính độc lập của các biến cố 1.3. Tính độc lập của các biến cố Định nghĩa 1.3.2: Ba biến cố A, B, C gọi là độc Giải lập với nhau nếu Gọi A=“Điểm tối đa môn Toán”, B=“Điểm tối đa môn i ) P ( A.B.C )  P ( A).P( B).P(C ) Lý”, C=“Điểm tối đa môn Hóa” ii ) P( A.B)  P( A).P( B)  A.B.C =“ đậu thủ khoa” (1.3.2) 30 30 iii ) P ( B.C )  P ( B).P(C )  P ( A)  1 1 1 1 1 1 1 1      , P( B )       4 4 4 4 4 4 4 4 iv) P(C. A)  P(C ).P( A) 30 1 1 1 1 Vi dụ 1.3.2a: Tung đồng xu cân bằng 3 lần liên P (C )      4 4 4 4 tiếp (các lần tung độc lập). Tìm xác suất để các 3 lần Do A, B, C độc lập nên: tung đều được mặt hình. 1 90 Giải P( A.B.C )  P( A) P( B ) P(C )    4 ThS Lê Văn Minh ThS Lê Văn Minh 26 28 1.4. Công thức xác suất đầy đủ và công thức 1.3. Tính độc lập của các biến cố xác suất Bayes Gọi Ai=”Đuợc mặt H trong lần i”, i=1,2,3. 1.4.1 Công thức xác suất đầy đủ A= “Được mặt H trong cả 3 lần tung”=A1.A2.A3 Cho tnnn , có kgxs . Cho { Ai }in1 là một họ đầy n Vì các lần tung độc lập nên A1, A2 và A3 là các đủ các biến cố của , i.e., Ai  Aj  ,  Ai   . Cho i 1 biến cố độc lập. Do đó B   là một biến cố bất kỳ. Khi đó: 1 1 1 1 P ( A)  P ( A1. A2 . A3 )  P ( A1 ) P( A2 ) P ( A3 )     2 2 2 8 P ( B )  P ( A1 ) P ( B / A1 )  P ( A2 ) P ( B / A2 )    P ( An ) P ( B / An ) Ví dụ 1.3.2b: Trong một kỳ thi tuyển vào đại học n   P ( Ai ) P ( B / Ai ) 1.4.1 bằng cách thi trắc nghiệm: Toán 30 câu, Lý 30 câu i 1 và Hóa 30 câu. Mỗi câu gồm 4 lựa chọn. Tìm xác suất để một nguời không thuộc bài đậu thủ khoa? ThS Lê Văn Minh ThS Lê Văn Minh 7
29 31 1.4. Công thức xác suất đầy đủ và công thức 1.4. Công thức xác suất đầy đủ và công thức xác suất Bayes xác suất Bayes 1.4.2 Công thức Bayes Nghĩa là {A1, A2 } là một họ đầy đủ các biến cố. Giả thiết như 1.4.1. Ta có: Do đó theo CT xác suất đầy đủ ta có: P( Ak ) P( B / Ak ) P( Ak ) P( B / Ak ) P ( B )  P( A1 ) P ( B / A1 )  P( A2 ) P ( B / A2 ) P( Ak / B)  n  ,(k  1, n) (1.4.2)  P( A ) P( B / A ) i i P( B) Theo đề: i 1 P ( A2 )  4 P ( A1 )  1 4   P ( A1 )  , P( A2 )  P ( A1  A2 )  P ( A1 )  P ( A2 )  1 n trong đó: P( B)   P( Ai ) P( B / Ai ) 5 5 i 1 Mặt khác: P( B / A1 )  100%  1 / 10; P( B / A2 )  20%  2 / 10 1 1 4 2 9 Suy ra P( B)      5 10 5 10 50 ThS Lê Văn Minh ThS Lê Văn Minh 30 32 1.4. Công thức xác suất đầy đủ và công thức 1.4. Công thức xác suất đầy đủ và công thức xác suất Bayes xác suất Bayes Ví dụ 1.4.1a: Một nhà máy sản xuất bóng đèn, có Ví dụ 1.4.1b: Với giả thiết như Ví dụ 1.4.1a, hai phân xưởng I và II. Biết rằng phân xưởng II sản nhưng khi thực sự mua thì mua đuợc bóng hư. Tìm xuất gấp 4 lần phân xuởng I và tỷ lệ phế phẩm của xác suất để bóng hư này do phân xưởng I sản xuất. hai phân xuởng I và II là 10% và 20%. Hãy tìm xác Giải suất để khi ta mua một bóng đèn thì đuợc bóng hư? Gọi A1/B=”Bóng đèn do phân xưởng I sản xuất Giải biết rằng đã mua đuợc bóng hư” Gọi B=” Mua đuợc bóng hư”; A1=”Bóng đèn do phân xưởng I sản xuất”, ” A2=“Bóng đèn do phân P ( A1 ) P( B / A1 )  1 1  50 1  P ( A1 / B)      xưởng II sản xuất”. P( B)  5 10  9 9 Ta có: A1  A2   và A1  A2   ThS Lê Văn Minh ThS Lê Văn Minh 8