Vấn đề 1: Toạ độ phẳng – góc – khoảng cách
Dạng 1: Toạ độ điểm – véc tơ
A, lý thuyết và phương pháp giải:
Toạ độ phẳng:
Hai véc tơ đơn vị ji
,, M(x; y) hay M = (x; y) khi jyixMO
Véc tơ ));(();( yxuyxu
nếu jyixu
Hai véc tơ );(),;( yxvyxu
thì:
yyxxvu
;
,
kykxuk ;.
, 22
,. yxuyyxxvu
2222 .
,cos
yxyx
yyxx
vu
Hai điểm
2211 ;,; yxByxA thì :
1212 ;yyxxAB và
2
12
2
12 yyxxAB
M chia AB theo tỉ số k
k
kyy
k
kxx
Mk 1
;
1
:1 2121 :
Chú ý:
Với A, B, C bất kì thì : ACABBCACAB
Với vu
, bất kì thì : vuvu
..
Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi : ACkAB .
Ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự khi : AB + BC = AC.
Cách tìm chân phân giác trong AD của tam giác ABC: Dùng tỉ lệ
AC
AB
DC
DB và hai véc tơ DCDB,ngược hướng nên D chia đoạn BC
theo tỉ số
AC
AB
k
Cách tìm hình chiếu của điểm M lên đường thẳng d : Lập phương
trình đường thẳng d
qua M và vuông góc với d, hình chiếu H là
giao điểm của d với d
. Từ đó suy ra điểm
M
đối xứng của M
qua d, nhờ H là trung điểm của
M
M
. Ta có thể viết d dưới dạng
tham số , toạ độ H thuộc d, tính t nhờ quan hệ : 0.
d
uMH
Phương pháp chung:
Để xác định 1 điểm là tìm công thức mô tả, tìm quan hệ véc tơ, quan
hệ góc, quan hệ khoảng cách và quan hệ tương giao.
Phương trình đường thẳng:
Đường thẳng đi qua
000 ;yxM và có VTPT
BAn ;
có phương
trình tổng quát:
Ax + By + C = 0, A2 + B2 0
hay
0
00 yyBxxA
Đường thẳng đi qua
000 ;yxM và có VTCP );( bau
có phương
trình tham số:
0
22
0
0
ba
btyy
atxx
Với điều kiện 0.
ba thì đường thẳng có phương trình chính tắc:
yy
xx 00
Phương trình đường tròn: Đường tròn (C) tâm I(a; b) , bán kính R
có PTTQ là: (x - a)2 + (y - b)2 = R2
Hay : x2 +y2 – 2ax- 2by + c = 0 có tâm I(a; b) bán kính :
cbaR 22 với điều kiện cba 22 > 0.
Bài tập dạng 1:
Câu 1: Trong mp Oxy cho 3 điểm
3;3,1;1,5;2 CBA
a, Tìm toạ độ điểm D sao cho : ACABAD 23
b, Tìm toạ độ điểm E sao cho ABCE là hình bình hành. Tìm toạ độ tâm hình
bình hành đó.
ĐS:
a,
3;3 D
b,
4;
2
5
,7;4 IE
Câu 2: Cho đường thẳng
ty
tx
21
22
: và điểm M (3 ; 1)
Tìm điểm B trên
sao cho MB ngắn nhất.
ĐS:
2
3
;
2
1
B
Câu 3: Cho tam giác ABC có
3;5,1;1 BA , đỉnh C thuộc Oy và trọng tâm
G thuộc Ox. Tìm toạ độ đỉnh C.
ĐS:
2;0,0;
3
4CG
Câu 4: Tìm điểm A trên trục hoành, điểm B trên trục tung sao cho A và B
đối xứng với nhau qua đường thẳng d : x – 2y + 3 = 0.
ĐS:
2;0 , 0;4
A B
Câu 5: Cho tam giác ABC cân tại A, trọng tâm
3
1
;
3
4
G và phương trình hai
cạnh BC, BG lần lượt là : 0847;042
yxyx . Tìm toạ độ A, B, C.
ĐS:
0;4,2;0,3;0 CBA
Câu 6: Cho tam giác ABC biết
2;2,4;0,2;2 CBA . Tìm toạ độ trực tâm
và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
HD: Tam giác vuông tại C
ĐS:
1;1; ICH
Câu 7 : Trong mp Oxy cho
1;3,2;0 BA . Tìm toạ độ trực tâm và tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB.
(Đề KA - 2007)
ĐS:
1;3,1;3 BH
Câu 8: Cho tam giác ABC biết phương trình 3 cạnh AB, BC,CA lần lượt là:
092;022;052
yxyxyx . Tìm toạ độ tâm đường tròn nội
tiếp tam giác ABC.
ĐS: I(-1 ; 2)
Câu 9: Trong mp Oxy cho tam giác ABC vuông tại A, phương trình cạnh
BC là: 033 yx . Điểm A, B thuộc trục hoành ; Bán kính đường tròn
nội tiếp r = 2.Tìm toạ độ trọng tâm tam giác ABC.
HD: ACABrpS .
1
.
ĐS:
3
326
;
3
134
;
3
326
;
3
347 GG
Câu 10: Cho tam giác ABC có
3
4
;1,3;2,2;1 GBA . Tìm toạ độ đỉnh C và
tâm đường trong ngoại tiếp tam giác ABC.
Câu 11: Ttrong mp Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(1; 3) ; đường cao BH
có phương trình: 2x – 3y – 10 = 0 ; BC có phương trình : 5x – 3y – 34 = 0.
Xác định toạ độ B, C.
ĐS: B (8 ; 2); C( 5; -3).