intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

XÁC ĐỊNH THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM

Chia sẻ: Vo Hong Nhung | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:11

Thêm vào BST
Báo xấu
1.251
lượt xem 103
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài toán dạng này thường xuất hiện trong đề thi tuyển sinh vào Đại học & Cao đẳng và thuộc vào loại khó đối với học sinh. Để giúp học sinh có một cách nhìn bài toán rõ ràng và biết cách giải quyết nó. Chúng tôi xin trích dẫn một số đề thi vào Đại học & Cao đẳng các năm qua và đưa ra cách giải , qua đó giúp học sinh nắm được phương pháp giải .Cuối mỗi phần có bài tập tương tự để học sinh kiểm tra kỹ năng tiếp thu của mình....

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: XÁC ĐỊNH THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM

  1. Tổ Toán – Tin ,Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- THAM LUẬN XÁC ĐỊNH THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM Bài toán dạng này thường xuất hiện trong đề thi tuyển sinh vào Đại học & Cao đẳng và thuộc vào loại khó đối với học sinh. Để giúp học sinh có một cách nhìn bài toán rõ ràng và biết cách giải quyết nó. Chúng tôi xin trích dẫn một số đề thi vào Đại học & Cao đẳng các năm qua và đưa ra cách giải , qua đó giúp học sinh nắm được phương pháp giải .Cuối mỗi phần có bài tập tương tự để học sinh kiểm tra kỹ năng tiếp thu của mình. I.Xác định tham số để phương trình có nghiệm trên tập D A. Phương pháp giải: +Biến đổi (có thể đặt ẩn phụ) đưa về dạng f(x) = m (hoặc f(t) = m) +Lập BBT hàm số suy ra kết quả *Ví dụ 1: Xác định các giá trị m để phương trình sau có nghiệm thực: m( 1 + x 2 − 1 − x 2 + 2) = 2 1 − x 4 + 1 + x 2 − 1 − x 2 (1) ( ĐH khối B – 2004 ) HD: ĐK −1 x 1 . Đặt t = 1 + x 2 − 1 − x 2 . Lập BBT suy ra 0 t 2 , ∀x [– 1; 1] −t 2 + t + 2 (1) trở thành: m(t + 2) = 2 – t2 + t m= (2) t+2 +Phương trình (1) có nghiệm (2) có nghiệm t [0; 2] −t + t + 2 2 +Đặt f(t) = . Lập BBT từ đó suy ra : phương trình có nghiệm 0m1 t+2 *Ví dụ 2: Xác định các giá trị m để phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt: (ĐH khối B – 2006) x 2 + mx + 2 = 2 x + 1 (1) 1 − 1 x 0 2x +1 0 x− 2 2 HD: (1) x 2 + mx + 2 = 4 x 2 + 4 x + 1 1 m = 3 x + 4 − (2) mx = 3 x 2 + 4 x − 1 x 1 (2) có 2 nghiệm phân biệt x � − ;0) �(0; +� [ ) (1) có 2 nghiệm phân biệt 2 1 9 +Đặt f(x) = 3x + 4 − . Lập BBT từ đó suy ra :phương trình có 2 nghiệm phân biệt m x 2 *Ví dụ 3:Xác định các giá trị m để phương trình sau có nghiệm thực: (ĐH khối A – 2007) 3 x − 1 + m x + 1 = 2 4 x 2 − 1 (1) x −1 x −1 + m = 24 HD: ĐK x 1 . Ta có (1) (2) 3 x +1 x +1 x −1 , 0 t < 1 thì (2) trở thành: m = – 3t2 + 2t (3) +Đặt t = 4 x +1 +(1) có nghiệm (3) có nghiệm t [0; 1). 1 −1 < m Đặt f(t) = – 3t2 + 2t . Lập BBT từ đó suy ra: phương trình có nghiệm 3 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Xác định tham số để phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm 86
  2. Tổ Toán – Tin ,Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- *Ví dụ 4:Xác định các giá trị m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [1; 3 3 ] log 3 x + log3 x + 1 − 2m − 1 = 0 (1) 2 2 (ĐH khối A – 2002) 12 log 3 x + 1 thì (1) trở thành t2 + t – 2m – 2 = 0 2 HD: Đặt t = m= (t + t – 2) (2) 2 + Ta có 1 ��� 3 1t 2 x3 0 log 3 x 3 + (1) có ít nhất một nghiệm x [1; 3 3 ] (2) có ít nhất một nghiệm t [1; 2] 1 + Đặt f(t) = (t2 + t – 2). Lập BBT suy ra kết quả: 0 m 2 2 *Ví dụ 5: Xác định các giá trị m để phương trình sau có 4 nghiệm thực phân biệt : x + 9 − x = − x 2 + 9 x + m (1) 0 x9 x(9 − x) (2) , ta có pt : – t2 + 2t + 9 = m (3) . Đặ t t = HD:(1) 9 + 2 x(9 − x ) = − x 2 + 9 x + m t 0 t 0 x(9 − x) t= t = x(9 − x ) x − 9 x + t 2 = 0(*) 2 2 t 0 9 0 t< + (2) có 2 nghiệm phân biệt (*) có 2 nghiệm phân biệt ∆ = 81 − 4t > 0 2 2 9 phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt t [0, ) + Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt 2 +Đặt f(t) = – t2 + 2t + 9 . Lập BBT suy ra kết quả 9 m < 10 B. Một số bài tập tương tự để luyện tập: Bài 1:Xác địnhcác giá trị m để phương trình sau có nghiệm thực: 3 + x + 5 − x + (3 + x )(5 − x) = m (1) HD: ĐK −3 t2 = 8 + 2 (3 + x)(5 − x ) 3+ x + 5− x x 5 . Đặ t t = BĐT Cô-Si: 2 (3 + x)(5 − x ) t2 8 8 16 22 t 4 t −8 2 (1) trở thành t + = m (2) . Phương trình (1) có nghiệm (2) có nghiệm t [2 2; 4] 2 t2 − 8 +Đặt f(t) = t + . Lập BBT suy ra kết quả 2 2 m 8 2 Bài 2:Xác định các giá trị m để phương trình sau có nghiệm thực: x − 1 + 4m 4 x 2 − 3x + 2 + ( m + 3) x − 2 = 0 (1) x−2 x−2 1 + 4m 4 + (m + 3) = 0 (2) HD:ĐK x 2 . Ta có (1) x −1 x −1 x−2 , 0 t < 1 thì (2) trở thành: 1 + 4mt + (m + 3)t2 = 0 +Đặt t = m(t2 + 4t) = – 3t2 – 1 (3) 4 x −1 −3t 2 − 1 +Vì t = 0 không thỏa (3) , nên với 0 < t < 1 thì (3) tương đương m = (4) t 2 + 4t +(1) có nghiệm (4) có nghiệm t (0; 1). --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Xác định tham số để phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm 87
  3. Tổ Toán – Tin ,Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- −3t 2 − 1 3 m− Đặt f(t) = . Lập BBT suy ra phương trình có nghiệm t 2 + 4t 4 Bài 3:Xác định các giá trị m để phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt : mx 2 − 2(m + 3) x + 3m + 1 = x − 1 (1) x1 x1 HD: (1) x2 + 4x mx 2 − 2(m + 3) + 3m + 1 = x 2 − 2 x + 1 m= (2) x2 − 2x + 3 (2) có 2 nghiệm phân biệt x � +� [1; ) +(1) có 2 nghiệm phân biệt x2 + 4x 5 m 0 . Phương trình (1) trở thành t2 – (m – 1)t + 2m = 0 m(t – 2) = t2 + t (2) x t2 + t + Vì t = 2 không thỏa (2). Với 0 < t 2 thì (2) tương đương m = (3) t −2 + (1) có nghiệm duy nhất (3) có đúng 1 nghiệm trên (0; + ) \ {2} { } t +t 2 . Lập BBT suy ra kết quả m �(−� � 5 + 2 6 ;0) + Đặt f(t) = t −2 Bài 6:Xác định các giá trị m để phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt (m − 1) log 3 ( x − 2) − (m − 5) log 3 ( x − 2) + m − 1 = 0 (1) 2 HD: Với ĐK x > 2 , đặt t = log 3 ( x − 2) thì (1) trở thành t 2 − 5t + 1 (m – 1)t2 – (m – 5)t + m – 1 = 0 m(t2 – t + 1) = t2 – 5t +1 m= (2) t2 − t +1 + (1) có 2 nghiệm phân biệt (2) có 2 nghiệm phân biệt 7 −3 < m < t 2 − 5t + 1 + Đặt f(t) = 2 . Lập BBT suy ra (2) có 2 nghiệm phân biệt 3 t − t +1 m1 Bài 7: Xác định các giá trị m để phương trình sau có nghiệm: --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Xác định tham số để phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm 88
  4. Tổ Toán – Tin ,Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- x m log 2 x − (m + 3) log x + 3m + 1 = log 2 ( ) 2 2 2 HD: + Với x > 0, đặt log 2 x = t . Khi đó phương trình (1) có dạng: t1 mt 2 − 2(m + 3)t + 3m + 1 = t − 1 mt 2 − 2(m + 3)t + 3m + 1 = t 2 − 2t + 1 t1 t1 (2) t 2 + 4t �2 � m(t − 2t + 3) = t 2 + 4t m= 2 t − 2t + 3 + Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi (2) có nghiệm t 2 + 4t Đường thẳng y = m cắt đồ thị f(t) = 2 trên miền [1; + ) t − 2t + 3 Từ BBT suy ra phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 1 < m 4 II. Xác định tham số để bất phương trình có nghiệm trên D hoặc đúng mọi x D A.Phương pháp giải: Trong trường hợp tồn tại max f ( x ) , min f ( x) xD xD max f ( x ) < m + f(x) < m, ∀x D xD min f ( x) > m + f(x) > m , ∀x D xD min f ( x) < m + f(x) < m có nghiệm x D xD max f ( x ) > m + f(x) > m có nghiệm x D xD Chú ý: Trong trường hợp không tồn tại max f ( x ) , min f ( x) thì dựa vào BBT để kết luận cụ xD xD thể *Ví dụ 1: Xác định các giá trị m để bất phương trình sau có nghiệm : mx − x − 3 m + 1 (1) x − 3 +1 x − 3 +1 HD: ĐK x 3 thì (1) m(x – 1) m (2) x −1 x − 3 +1 2 +1 m x� +�) f ( x ) max + Đặt f(x) = . Ta có bpt (2) có nghiệm m [3; x −1 4 *Ví dụ 2:Xác định các giá trị m để bất phương trình sau có nghiệm : −4 (4 − x)(2 + x) x 2 − 2 x + m − 18 (1) HD: ĐK (4 – x)(2 + x) � � −2 � � . Đặt t = (4 − x)(2 + x) , 0 t 0 x4 3 (1) trở thành t – 4t + 10 m (2). Đặt f(t) = t2 – 4t + 10 2 min f (t ) m + (1) có nghiệm (2) có nghiệm t [0; 3] 6m t [ 0;3] *Ví dụ 3: Xác định các giá trị m để bất phương trình sau có nghiệm: x + x + 9 ≤ m log 2 (2 + 4 − x ) x + x+9 ≤m HD:ĐK: 0 ≤ x ≤ 4 . Khi đó log2(2+ 4 − x ) ≥ 1. Bpt tương đương: log 2 (2 + 4 − x ) x + x+9 u '.v − v'.u với 0 ≤ x ≤ 4 . Ta có f’(x) = + Đặt f(x) = , trong đó : v2 log 2 (2 + 4 − x ) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Xác định tham số để phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm 89
  5. Tổ Toán – Tin ,Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- −1 1 1 ; v = log2(2+ 4 − x ) ⇒ v ' = x + x + 9 ⇒ u' = + u= . 2 4 − x .( 2 + 4 − x ) ln 2 2 x 2 x+9 + Suy ra f’(x)> 0, ∀x (0; 4) . Vì f(x) liên tục trên đoạn [0; 4] nên f(x) đồng biến trên [0; 4]. 3 f(x) ≤ m có nghiệm trên [0; 4] ⇔ M inf( x) ≤ m ⇔ f (0) ≤ m ⇔ ≤ m 2 x∈ [ 0; 4 ] *Ví dụ 4: Xác định các giá trị m để bất phương trình sau đúng với mọi x [0; 2] ( x 2 + 1) 2 + m x x 2 + 2 + 4 (1) HD: Đặt t = x x 2 + 2 thì (1) có dạng : t2 + 1 + m t + 4 m – t2 + t + 3 (2) x2 x2 + 2 + > 0 t đồng biến trên [0; 2] 0 t + Hàm t = x x + 2 có t’(x) = 26 2 x2 + 2 + (1) đúng với mọi x [0; 2] (2) đúng với mọi t [0; 2 6] m min f (t ) , với f(t) = – t2 + t + 3 m 2 6 − 21 t [0;2 6 ] *Ví dụ 5:Xác định các giá trị m để bất phương trình sau đúng với mọi x (m − 1)4 x + 2 x +1 + m + 1 > 0 (1) t 2 − t −1 HD:Đặt t = 2x , t > 0 .Khi đó (1) trở thành : (m – 1 )t2 + 2t + m + 1 > 0 m> (2) t2 +1 + (1) đúng với mọi x (2) đúng mọi t > 0 t − t −1 2 . Lập BBT hàm f(t) suy ra : m > f(t), ∀t �(0; +�) + Đặt f(t) = 2 m1 t +1 B. Một số bài tập tương tự để luyện tập: Bài 1:Xác định các giá trị m để bất phương trình sau có nghiệm 2 2 2 2cos x + 3sin x m.3cos x (1) cos2 x cos 2 x 2 1 �� �� m . Đặt t = cos 2 x , 0 t + 3� � HD: (1) 1, �� 3 9 �� �� t t t t 2 1 2 1 �� �� �� �� + (1) thở thành � �+ 3 � � m (2). Đặt f(t) = � �+ 3 � � . 3 9 3 9 �� �� �� �� (2) có nghiệm t [0; 1] m max f (t ) Ta có (1) có nghiệm m4 t [0;1] Bài 2: Xác định các giá trị m để bất phương trình sau có nghiệm x x + x + 16 m.log 3 (3 + 9 − x ) (1) x x + x + 16 m (2) HD:ĐK 0 x 9 . Khi đó (1) log 3 (3 + 9 − x ) x x + x + 16 min f ( x) m + Đặt f(x) = . Ta có f(x) m có nghiệm trên [0;9] log 3 (3 + 9 − x ) x [ 0;9] 4 4 +Hàm f(x) đồng biến trên [0; 9] nên xmin f ( x) = f(0) = . Vậy m log 3 6 log 3 6 [0;9] Bài 3: Xác định các giá trị m để bất phương trình sau đúng với mọi x 0 m.2 x +1 + (2m + 1)(3 − 5) x + (3 + 5) x < 0 (1) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Xác định tham số để phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm 90
  6. Tổ Toán – Tin ,Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- x x x �− 5 � �+ 5 � �− 5 � 3 3 3 2m + (2m + 1) � �+ � �< 0 (2) . Đặt t = � � 2 �, với x 0 t 1 HD: (1) �2 ��2 � � � �� � � � −t − 1 1 2 + (2) trở thành 2m + (2m + 1)t + < 0 2m(1 + t) < (3) t t −t 2 − t + (1) đúng với mọi x 0 (3) đúng với mọi t 1 với mọi t 1 m< 2t (t + 1) −t 2 − t 1 m< − + Đặt f(t) = . Lập BBT suy ra m < f(t) với mọi t 1 2t (t + 1) 2 III. Xác định tham số để hệ phương trình có nghiệm 1.Loại dùng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai và định lý Vi-ét *Ví dụ 1: Xác định các giá trị m để hệ sau có nghiệm: x + y + x 2 + y 2 = 24 (I) xy ( x + 1)( y + 1) = m 1 1 HD: Đặt u = x + x2 , v = y + y2 , điều kiện u − , v − 4 4 u + v = 24 Hệ trở thành: . Khi đó u, v là hai nghiệm phương trình: t2 – 24t + m = 0 (1) uv = m 1 Hệ (I) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm t1, t2 thỏa mãn − t1 t2 4 ∆' 0 144 − m 0 1 1 1 97 (t1 + ) + (t2 + ) 0 24 + − 0 m 144 4 4 2 16 1 1 1 (t1 + )(t2 + ) 0 m+6+ 0 4 4 16 *Ví dụ 2: Xác định các giá trị m để hệ sau có nghiệm: x −1 + y + 2 = m (I) x + y = 2m y + 2 , điều kiện u 0 , v 0 x −1 , v = HD: Đặt u = u+v = m u+v = m Hệ trở thành: 2 2 . 1 uv = (m 2 − 2m − 1) u + v = 2m + 1 2 1 Khi đó u, v là hai nghiệm phương trình : t2 – mt + (m2 – 2m – 1) = 0 (1) 2 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Xác định tham số để phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm 91
  7. Tổ Toán – Tin ,Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ∆0 Hệ (I) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm t1, t2 thỏa 0 t1 t2 S0 P0 − m 2 + 4m + 2 0 2− 6 m 2+ 6 m0 m0 1+ 2 2+ 6 m 12 m +1 −� m 1 2 ‫2ڳ‬ (m − 2m − 1) 0 2 *Ví dụ 3: Xác định các giá trị m để hệ sau có nghiệm: 3 x 2 + 2 xy + y 2 = 11 x 2 + 2 xy + 3 y 2 = m y 2 = 11 HD: +Nều x = 0 thì hệ trở thành . Với m = 33 thì hệ có nghiệm 3y2 = m +Xét m 33 thì x = 0 không thỏa hệ. Với x 0, đặt y = tx khi đó hệ trở thành x 2 (3 + 2t + t 2 ) = 11 m(3 + 2t + t 2 ) = 11(1 + 2t + 3t 2 ) x 2 (1 + 2t + 3t 2 ) = m x 2 (3 + 2t + t 2 ) = 11 (33 − m)t 2 + (22 − 2m)t + 11 − 3m = 0(1) x 2 (3 + 2t + t 2 ) = 11(2) + Vì t2 + 2t + 3 > 0 , ∀ t. Suy ra (2) có nghiệm x với mọi t. ∆ ' = (11 – m)2 – (33 – m)(11 – 3m) 0 ( m Hệ có nghiệm (1) có nghiệm 33 ) 22 − 363 m 22 + 363 – m2 + 44 – 121 0 Vậy : 22 − 363 m 22 + 363 2. Loại dùng điều kiện cần và đủ *Ví dụ 1: Xác định các giá trị m để hệ sau có nghiệm duy nhất: xy + x 2 = m( y − 1) xy + y 2 = m( x − 1) HD: Giả sử (x0, y0) là nghiệm của hệ thì (y0, x0) cũng là nghiệm của hệ. 2 2 x0 – mx0 + m = 0 (*) Hệ có nghiệm duy nhất x0 = y0 ∆ = m2 – 8m = 0 m = 0 hoặc m = 8 (*) có nghiệm duy nhất xy + x 2 = 0 x( x + y ) = 0 + Với m = 0 ta có � hệ có vô số nghiệm thỏa x + y = 0 � y( x + y) = 0 xy + y = 0 2 ( x − y )( x + y + 8) = 0 � + x 2 = 8( y − 1) � 2 − y 2 = 8( y − x ) xy x � � + Với m = 8 ta có � � xy + x 2 = 8( y − 1) � + y = 8( x − 1) � + y = 8( x − 1) 2 2 xy xy x= y y = −x − 8 (I) hoặc (II) 2x2 − 8x + 8 = 0 x (− x − 8) + x 2 = 8(− x − 9) Hệ (I) có nghiệm duy nhất x = y = 2 , hệ (II) vô nghiệm . Vậy m = 8 thỏa bài toán *Ví dụ 2 : Xác định các giá trị m để hệ sau có nghiệm duy nhất: --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Xác định tham số để phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm 92
  8. Tổ Toán – Tin ,Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 y − m x2 + 1 = 1 1 x+ y+ = m2 x + x +1 2 3 y − m x2 + 1 = 1 HD:Hệ tương đương . Giả sử hệ có nghiệm (x0, y0 ) thì ( – x0, y0) cũng là y + x 2 + 1 = m2 nghiệm của hệ. Vì hệ có nghiệm duy nhất suy ra x0 = – x0 x0 = 0. Thay vào hệ ta có m = −1 3 y0 = m + 1 2 3m – m – 4 = 0 4 m= y0 = m 2 − 1 3 �y + x + 1 = 1 � + x2 + 1 = 1 x=0 2 3 y + Nếu m = – 1 hệ trở thành � � y=0 2y = 0 y + x2 + 1 = 1 Hệ có nghiệm duy nhất (0, 0) khi m = – 1 42 x=0 3y − x +1 = 1 �y − 4 x +1 = 3 � 2 9 �3 4 �� �� 7 + Nếu m = hệ trở thành � �=9 � + x 2 + 1 = 16 y 3 � x2 + 1 = 1 y 9 7 4 Hệ có nghiệm duy nhất (0, ) khi m = 9 3 4 Kết luận : m = – 1 , m = 3 3. Loại dùng phương pháp hàm số *Ví dụ 1: Xác định các giá trị m để hệ sau có nhiều hơn 2 nghiệm x+ y =m ( y + 1) x 2 + xy = m( x + 2) y = m−x HD: Hệ tương đương x 3 − mx 2 + 2m = 0 (1) + Hệ có nhiều hơn 2 nghiệm khi và chỉ khi (1) có 3 nghiệm phân biệt Hàm f(x) = x3 – mx2 + 2m có cực đại và cực tiểu , đồng thời GTCĐ và GTCT trái dấu + Hàm có cực đại và cực tiểu f’(x) = 3x2 – 2mx có 2 nghiệm phân biệt m 0 2m 2m 27 36 m> x = 0 hoặc x = m2 > + Ta có f’(x) = 0 . Khi đó f(0).f( )< 0 3 3 2 2 36 m> Vậy hệ có nghiệm 2 *Ví dụ 2:Với giá trị nào của m thì hệ phương trình sau có nghiệm thực: ln(1 + x) − ln(1 + y ) = y − x (1) x 2 (1 − m) + y 2 + x + 3 y + 5 − m = 0 (2) HD: ĐK: x > – 1 và y > – 1 . Ta có (1) ln(1 + x) + x = ln(1 + y) + y 1 + 1 > 0, ∀ t > – 1 f(t) đồng biến trên (-1,+ + Xét f(t) = ln(1 + t) + t , t > – 1 thì f’(t) = ) 1+ t --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Xác định tham số để phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm 93
  9. Tổ Toán – Tin ,Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 x2 + 4x + 5 (1) có dạng f(x) = f(y) x = y. Thế vào (2) ta có x2(2 – m) + 4x + 5 – m = 0 m= x2 + 1 2 x2 + 4x + 5 −4 x 2 − 6 x + 4 1 + Đặt f(x) = thì f’(x) = , f’(x) = 0 x=–2 x= x2 + 1 x2 + 1 2 x –1 1/2 + f’(x) + 0 – 6 f(x) 3/2 2 3 0 hệ sau có nghiệm duy nhất e x − e y = ln(1 + x) − ln(1 + y ) (ĐH khối D – 2006) y−x=a y =a+x HD: ĐK x > – 1 và y > – 1 . Hệ tương đương e x − e a + x = ln(1 + x) − ln(1 + x + a ) y = a+ x . Hệ có nghiệm duy nhất (1) có nghiệm duy nhất � 1+ x � (e a − 1)e x + ln � = 0 (1) � �+ x + a � 1 � 1+ x � a � f’(x) = (e − 1)e + (1 + x)(1 + x + a) a x Đặt f(x) = (e − 1)e + ln � a x thì �+ x + a � 1 + Do a > o nên e – 1> 0 suy ra f’(x) > 0 với mọi x > – 1 suy ra f(x) đồng biến trên (–1, + ) a Ta có lim f ( x) = + và lim + f ( x) = − suy ra phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất ( −1) + x x Bài tập tương tự: Bài 1: Xác định các giá trị m để hệ sau có nghiệm: x +1 + y − 2 = m (m 0) y +1 + x − 2 = m x −1 − x − 2 = y − 1 − y − 2(1) 2 và y 2 . Hệ tương đương HD: ĐK: x y + 1 + x − 2 = m (2) Đặt f(t) = t + 1 − t − 2 , f(t) nghịch biến trên [2, + ) . Nên (1) f(x) = f(y) x=y Thế vào (2) ta có x + 1 + x − 2 = m (3) . Hệ có nghiệm (3) có nghiệm m 3. Bài 2: xác định các giá trị m để hệ có nghiệm duy nhất --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Xác định tham số để phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm 94
  10. Tổ Toán – Tin ,Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- m2 2x2 = y + y m2 2 y2 = x + x HD: ĐK x 0 và y 0. 2 x2 y = y 2 + m2 2 x2 y = y 2 + m2 x= y>0 Hệ tương đương 2 y x = x + m ( x − y )(2 x 2 + 2 y 2 + x + y ) = 0 2 2 2 2 x 3 − x 2 = m 2 (1) x > 0; y > 0 x > 0; y > 0 Hệ có nghiệm duy nhất phương trình (1) có nghiệm dương duy nhất Đường thẳng y = m2 cắt đồ thị f(x) = 2x3 – x2 trên khoảng (0, + ) tại một điểm duy nhất + Lập BBT hàm f(x) suy ra hệ có nghiệm duy nhất với mọi m 4. Loại dùng phương pháp hình học x + my − m = 0 *Ví dụ 1: xác định tham số m để hệ sau có nghiệm x2 + y 2 − x = 0 HD: phương trình x + my – m = 0 là phương trình một đường thẳng d 1 1 Phương trình x2 + y2 – x = 0 là phương trình đường tròn (C) tâm I(– , 0 ) bán kính R = 2 2 Hệ có nghiệm d và (C) có điểm chung d(I, d) R 1 −m 32 4 m −m 0 1 2 0m 4 3 1 + m2 2 Bài tập tương tự: Bài 1: Xác định m để hệ sau có nghiệm duy nhất: x + y + 2 xy + m = 1 x+ y 1 x+ y 1 x+ y 1 HD:Hệ tương đương 2 xy + m = [1 − ( x + y )]2 2 xy + m = 1 − ( x + y ) x + y 1(1) ( x − 1) 2 + ( y − 1) 2 = m + 1(2) (1)là nửa dưới mặt phẳng xác định bởi đường thẳng x + y = 1( phần chứa gốc O) kể cả biên, còn (2) là đường tròn (C) tâm I(1, 1) bán kính R = m + 1 (m 1, khi m = 1 thì (2) là một điểm (1, 1)) + Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi đường thẳng d: x + y – 1 = 0 tiếp xúc đường tròn (C) 1 1 = m +1 � m = − d(I,d) = R 2 2 Tam Kỳ, ngày 10 tháng 3 năm 2011 Tổ Toán - Tin Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Xác định tham số để phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm 95
  11. Tổ Toán – Tin ,Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Xác định tham số để phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm 96
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2