intTypePromotion=1

§7. CÁC TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ HỘI TỤ

Chia sẻ: Phan Duy Hùng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

0
272
lượt xem
28
download

§7. CÁC TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ HỘI TỤ

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

1) Giới hạn bảo toàn các phép tính của dãy: Cho hai dãy số hội tụ (xn) và (yn) và cho số thực (i) lim( xn yn ) lim xn lim yn (ii) lim( xn ) (iii) Nếu lim yn . Khi đó lim xn và lim( xn yn ) lim xn . lim yn . 0 và yn . 0, n n0 (n0 là số tự nhiên nào đó) thì lim xn yn lim yn lim xn 2) Giới hạn bảo toàn thứ tự các dãy: Cho hai dãy số hội tụ (xn) và (yn) (i) Nếu xn yn , n n0 (với n0 nào đó) thì lim xn (ii) [tiêu chuẩn...

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: §7. CÁC TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ HỘI TỤ

  1. §7. CAÙC TÍNH CHAÁT CUÛA DAÕY SOÁ HOÄI TUÏ 1) Giôùi haïn baûo toaøn caùc pheùp tính cuûa daõy: Cho hai daõy soá hoäi tuï (xn) vaø (yn) vaø cho soá thöïc . Khi ñoù (i) lim( xn yn ) lim xn lim yn (ii) lim( xn ) lim xn vaø lim( xn yn ) lim xn . lim yn . (iii) Neáu lim yn 0 vaø yn 0, n n0 (n0 laø soá töï nhieân naøo ñoù) thì xn lim xn lim . yn lim yn 2) Giôùi haïn baûo toaøn thöù töï caùc daõy: Cho hai daõy soá hoäi tuï (xn) vaø (yn) (i) Neáu xn yn , n n0 (vôùi n0 naøo ñoù) thì lim xn lim yn . (ii) [tieâu chuaån “giôùi haïn keïp”] Neáu lim xn lim yn a vaø coù theâm daõy soá (an) thoûa xn an yn , n n0 thì lim an a. 3) Tính chaát bò chaën cuûa daõy hoäi tuï: daõy soá naøo hoäi tuï thì daõy soá ñoù bò chaën. Nhö vaäy, daõy soá naøo khoâng bò chaën thì daõy soá ñoù phaân kyø. 4) Caùc giôùi haïn cô baûn: 1 (i) Vôùi r > 0, ta coù lim r 0, n n (ii) Vôùi r > 0, ta coù lim n r (iii) lim n n 1, 1, n n n (iv) Vôùi r > 0 vaø , ta coù lim 0, r)n (1 n 1 , ta coù lim xn (v) Vôùi x 0. n Chöùng minh. 1/ r 1 0 tuøy yù, choïn p 1. Khi ñoù (i) Vôùi 1 1 n p, 0 Nhö vaäy giôùi haïn ñöôïc chöùng minh theo r pr n ñònh nghóa.
  2. Sv caàn döï caùc giôø giaûng & thöïc haønh treân lôùp ñeå hieåu toùm taét noäi dung n (ii) Xeùt tröôøng hôïp r > 1 vaø xeùt daõy (xn) ñònh bôûi xn r 1, n . n Theo khai trieån cuûa nhò thöùc Newton thì r xn ) nxn (do (1 r xn 0 ) neân n xn . Duøng tieâu chuaån giôùi haïn keïp thì ,0 n 0, suy ra lim n r lim xn 1. 1 Tröôøng hôïp r = 1 thì hieån nhieân. Khi 0 < r < 1 thì s 1, r 1 1 aùp duïng tröôøng hôïp tröôùc, ta coù lim n s 1 lim . Vaäy n lim n r r lim n r 1. n n , xn n 1 0 neân (iii) Vì n(n 1) 2 xn )n 22 n 2, n Cn xn xn (khai trieån nhò thöùc (1 2 2 n xn 2, 0 . Duøng tieâu chuaån Newton). Töø ñoù ta suy ra 1)1/ 2 (n 0. Vaäy lim n n giôùi haïn keïp vaø keát quaû (i) ta suy ra xn 1. r)n Cn r3 , n 3 thì (1 3. (iv) Ñeå deã hình dung, ta xeùt (Tröôøng hôïp toång quaùt, choïn soá töï nhieân k [] 1 thì ta coù n Cn rk , k r) n k ). Ta suy ra, vôùi moïi n (1 3 thì n2,7 n2,7 n2,7 n3 3! 6 1 0 . n(n 1)(n 2) n Cn r3 3 3 3 3 n0,3 r) r r (n (1 2) Duøng tieâu chuaån giôùi haïn keïp vaø keát quaû caâu (i), ta coù ñpcm. 1x (v) Khi x = 0 thì hieån nhieân. Neáu 0 x 1 , choïn r 0 thì x 1 1 n vaø xn x ta coù x 0 0 khi n . p 1 r)n (1 Baøi taäp 2
  3. Daøn baøi toùm taét noäi dung moân Giaûi Tích Haøm Moät Bieán 1. Vôùi taäp con A cuûa khaùc roãng bò chaën treân, haõy chöùng minh raèng coù daõy soá ( xn ) A sao cho xn sup A khi n . Phaùt bieåu keát quaû töông töï khi A bò chaën döôùi. 2. n , xn xn 1 . Cho daõy soá (xn) bò chaën treân vaø coù tính chaát Chöùng minh raèng (xn) laø daõy hoäi tuï. 3. n , xn xn 1 . Cho daõy soá (xn) bò chaën döôùi vaø coù tính chaát Chöùng minh raèng (xn) laø daõy hoäi tuï. 4. Cho daõy soá (xn) hoäi tuï veà 0 vaø daõy soá (yn) bò chaën. C/m raèng daõy soá (xnyn) hoäi tuï veà 0 (tích cuûa moät daõy hoäi tuï veà 0 vôùi moät daõy bò chaën laø moät daõy hoäi tuï veà 0). 5. Cho (xn) laø daõy soá döông hoäi tuï veà x > 0. Chöùng minh raèng lim n xn 1. Neáu x = 0 thì keát quaû coøn ñuùng khoâng? n 6. Vôùi soá thöïc x tuøy yù, chöùng minh raèng coù moät daõy (qn) goàm caùc soá höõu tæ vaø moät daõy (rn) goàm caùc soá voâ tæ sao cho qn x vaø rn x khi n . n 1 7. Cho hai daõy soá (en) vaø (En) ñònh bôûi en 1 ; n n1 1 En 1 . Chöùng minh raèng n n1 en n 1 1 1 n , en en . Hdaãn: a) 1 , duøng 1 en n 1)2 (n baát ñaúng thöùc Bernouli. n2 En n 1 n , En En 1. Hdaãn: 1 . b) En n n(n 2) 1 1 c) Chöùng minh toàn taïi caùc giôùi haïn sau lim en lim En. §8. DAÕY SOÁ ÑÔN ÑIEÄU VAØ DAÕY CON Vieäc kieåm chöùng söï hoäi tuï cuûa daõy soá baèng ñònh nghóa ñoøi hoûi ta phaûi bieát giôùi haïn cuûa noù. Nhöng ñoái vôùi daõy ñôn ñieäu thì khoâng caàn nhö vaäy. 3
  4. Sv caàn döï caùc giôø giaûng & thöïc haønh treân lôùp ñeå hieåu toùm taét noäi dung 1. Ñònh nghóa: Daõy soá (xn) ñöôïc goïi laø ñôn ñieäu taêng (noùi vaén taét laø daõy taêng) nghóa laø n , xn xn 1 . Neáu chieàu baát ñaúng thöùc ngöôïc laïi thì ta noùi daõy soá laø ñôn ñieäu giaûm. Daõy taêng hoaëc giaûm ñöôïc goïi chung laø daõy ñôn ñieäu. 2. Ñònh lyù 7.1. Neáu (xn) laø daõy soá taêng vaø bò chaën treân thì noù hoäi tuï veà sup xn vôùi sup xn sup xn n . n n Neáu (xn) laø daõy soá giaûm vaø bò chaën döôùi thì noù hoäi tuï veà inf xn vôùi inf xn inf xn n . n n Chöùng minh. sinh vieân laøm baøi taäp ôû baøi hoïc tröôùc. n 1 3. Ñònh lyù 7.2. Daõy (en) ñònh bôûi en laø daõy soá taêng, bò 1 n chaën treân. Do ñoù, daõy naøy coù giôùi haïn ñöôïc kyù hieäu laø e lim en . Soá e ñöôïc goïi laø soá Neùper. Chöùng minh. sinh vieân laøm baøi taäp ôû baøi hoïc tröôùc. 4. Ñònh nghóa daõy con: Cho (nk) laø daõy taêng ngaët caùc soá töï nhieân, nghóa laø k , nk nk 1 vaø nk . ÖÙng vôùi moãi daõy soá (xn), ta ñaët , thì daõy soá môùi (yk) ñöôïc goïi laø daõy con cuûa daõy (xn), yk xn , k k vaø thay vì vieát (yk), ta vieát ( xn )k . Ta xeùt caùc ví duï ñaëc bieät sau ñaây: k Xeùt nk k, k , thì daõy con ( xn ) cuõng chính laø daõy ( xn ) . k Nhö vaäy moïi daõy ñeàu laø daõy con cuûa chính noù. Xeùt nk k p, k , vôùi p laø soá töï nhieân coá ñònh, thì daõy con ( xn ) laø tònh tieán cuûa daõy (xn). Ví duï daõy ( xk 2 )k laø tònh tieán k cuûa daõy (xn) sang phaûi hai ñôn vò. 5. Meänh ñeà 7.3. * Daõy soá (xn) hoäi tuï neáu vaø chæ neáu moïi daõy con cuûa noù ñeàu laø daõy hoäi tuï vaø coù cuøng moät giôùi haïn. * Vôùi moät daõy soá laø ñôn ñieäu, neáu noù coù moät daõy con hoäi tuï thì noù cuõng hoäi tuï; neáu noù coù moät daõy con phaân kyø thì noù cuõng phaân kyø. Sinh vieân töï chöùng minh meänh ñeà treân. 4
  5. Daøn baøi toùm taét noäi dung moân Giaûi Tích Haøm Moät Bieán 6. Ñònh lyù Bolzano-Weierstrass. Moïi daõy soá thöïc bò chaën ñeàu coù ít nhaát moät daõy con hoäi tuï. Chöùng minh. Tröôùc heát ta chöùng minh “daõy soá thöïc (xn) baát kyø luoân coù ít nhaát moät daõy con ñôn ñieäu”. Thaät vaäy, xeùt taäp hôïp A n m n, xm xn . Caùc chæ soá n thuoäc A ñöôïc goïi laø “ñænh” (ñænh cao). Coù hai tröôøng hôïp xaûy ra: (i) Neáu A coù voâ haïn ñænh, ta ñaët n1 min A vaø nk 1 min A \ n1 , , nk , k . thì (nk) laø daõy taêng ngaët caùc soá töï nhieân vaø xn xn ,k , nghóa k k1 laø ( xn ) laø daõy con ñôn ñieäu giaûm. k (ii) Neáu A coù höõu haïn phaàn töû, hoaëc laø taäp roãng, khi ñoù ta ñaët n1 1 max A, thì n1 khoâng thuoäc A, do ñoù coù n2 > n1 sao cho xn . Töông töï, n2 cuõng khoâng thuoäc taäp A, ta coù n3 > n2 sao cho xn 2 1 xn xn v.v.. Nghóa laø ta coù theå ñònh nghóa ñöôïc daõy con ( xn ) ñôn k 3 2 ñieäu giaûm. Tieáp theo, ta giaû söû theâm daõy (xn) bò chaën. Töø boå ñeà ñaõ chöùng minh treân, ta coù daõy con ñôn ñieäu bò chaën, do ñoù daõy con naøy hoäi tuï, ta keát thuùc chöùng minh ñònh lyù. 7. Ñònh lyù (veà tính ñaày ñuû cuûa ). Moïi daõy soá trong hoäi tuï khi vaø chæ khi noù laø daõy Cauchy. Chöùng minh. Trong baøi taäp tröôùc, ta ñaõ chöùng minh neáu daõy soá (xn) laø hoäi tuï thì noù laø daõy Cauchy. Ta xeùt vaán ñeà ngöôïc laïi, giaû söû (xn) laø daõy Cauchy, khi ñoù daõy naøy bò chaën (baøi taäp trong baøi daõy soá hoäi tuï). Theo ñònh lyù B-W thì coù daõy con ( xn ) hoäi tuï veà x. Ta chöùng minh k (xn) cuõng hoäi tuï veà x. Thaät vaäy, cho tröôùc soá 0, do tính chaát daõy 5
  6. Sv caàn döï caùc giôø giaûng & thöïc haønh treân lôùp ñeå hieåu toùm taét noäi dung m, n p, xn xm Cauchy, toàn taïi soá töï nhieân p sao cho Vì daõy 2 (nk) laø daõy soá töï nhieân taêng ngaët neân nk p khi k ñuû lôùn, vaø luùc ñoù n p, xn x xn xn xn x xn x. 2 k k k Do tính chaát baûo toaøn thöù töï cuûa giôùi haïn, ta cho k thì ta ñöôïc n p, xn x , 2 töø ñaây suy ra daõy (xn) hoäi tuï veà x. 8. Nhaän xeùt. - Neáu moät daõy soá khoâng bò chaën thì noù phaân kyø. - Neáu moät daõy soá coù hai daõy con hoäi tuï veà hai giôùi haïn khaùc nhau thì noù phaân kyø. - Neáu moät daõy soá khoâng phaûi laø daõy Cauchy thì noù phaân kyø. Baøi taäp 1. Chöùng minh raèng neáu ( xn ) laø daõy con cuûa daõy (xn) thì k k , nk k. 2. Chöùng minh raèng daõy soá (xn) khoâng bò chaën khi vaø chæ khi coù daõy con ( xn ) sao cho k , xn k. k k 6 xn 3. * Cho daõy soá (xn) ñònh bôûi x1 n , xn 2, . 1 2 xn 1 * n , xn 0. 1) Chöùng minh * 3. (Gôïi yù: xn 3 0 ). n , xn 2) Chöùng minh 3) Khaûo saùt tính ñôn ñieäu cuûa daõy (xn) vaø tìm giôùi haïn (neáu coù) cuûa daõy naøy. 4. Cho daõy soá (xn) ñöôïc ñònh nghóa nhö sau: x1 a 0 vaø n , xn a xn . Chöùng minh daõy (xn) ñôn ñieäu vaø bò 1 chaën. Tính lim xn . 5. Hoûi nhö baøi treân nhöng vôùi daõy soá nhö sau: x1 a 0 vaø n , xn a xn . 1 6
  7. Daøn baøi toùm taét noäi dung moân Giaûi Tích Haøm Moät Bieán 6. Cho daõy soá (xn) ñöôïc ñònh nghóa nhö sau: x1 2, 5 vaø 12 6). Chöùng minh daõy (xn) ñôn ñieäu vaø bò n , xn (x 5n 1 chaën. Tính lim xn . 7. Cho daõy soá (xn) ñöôïc ñònh nghóa nhö sau: x1 1 vaø xn 1 . Chöùng minh daõy (xn) ñôn ñieäu vaø bò n , xn 1 [ xn ] 2 chaën. Tính lim xn . 8. Cho daõy soá (xn) ñöôïc ñònh nghóa nhö sau: x1 10 vaø xn 1 . Chöùng minh daõy (xn) ñôn ñieäu vaø bò n , xn 1 xn 2 chaën. Tính lim xn . 9. Cho daõy soá (xn). Giaû söû hai daõy con ( x2 k ) vaø ( x2k 1 ) hoäi tuï veà cuøng moät giôùi haïn x. Hoûi raèng daõy soá (xn) coù hoäi tuï khoâng? 7
ADSENSE
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2