15 đề thi Toán tuyển sinh vào đại học cao đẳng

Chia sẻ: Le Hien | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:68

Thêm vào BST

Báo xấu

606
lượt xem 285
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo đề thi - kiểm tra '15 đề thi toán tuyển sinh vào đại học cao đẳng', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: 15 đề thi Toán tuyển sinh vào đại học cao đẳng

/ *** ************************ NĂM HỌC 2011-2012
ĐỀ SỐ 1 y = x3 − 3mx 2 + 4m3 (m là tham số) có đồ thị là (Cm) Câu 1 (2.0 điểm): Cho hàm số 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2. Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x. Câu 2 (2.0 điểm ) : 4 + 2sin 2 x 3 + − 2 3 = 2(cotg x + 1) . 1. Giải phương trình: cos 2 x sin 2 x x3 − y 3 + 3 y 2 − 3x − 2 = 0 2. Tìm m để hệ phương trình: có nghiệm thực. 2 2 2 x + 1− x − 3 2y − y + m = 0 Câu 3 (2.0 điểm): 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng (d) lần lượt có phương trình: x y +1 z − 2 = = (P): 2x − y − 2z − 2 = 0; (d): −1 2 1 1. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 2 và vắt mặt phẳng ( P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 3. 2. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (d) và tạo với mặt phẳng (P) một góc nhỏ nhất. Câu 4 (2.0 điểm): 1. Cho parabol (P): y = x2. Gọi (d) là tiếp tuyến của (P) tại điểm có hoành độ x = 2. Gọi (H) là hình giới hạn bởi (P), (d) và trục hoành. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) khi quay quanh trục Ox. là các số thực dương thỏa mãn: x2 + y2 + z2 ≤ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2. Cho x, y, z 1 1 1 P= + + 1 + xy 1 + yz 1 + zx Câu 5 (2.0 điểm): x2 y2 + = 1 và parabol (P): y2 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hãy lập phương trình tiếp tuyến chung của elip ( E): 8 6 = 12x. 12 1� � trong khai triển Newton: 1 − x 4 − 2. Tìm hệ số của số hạng chứa x 8 � � x� � ĐỀ SỐ 2 Câu I. (5,0 điểm) Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + 1 (m là tham số) (1) 1. Tìm m để hàm số (1) đạt cực trị tại x1, x2 thỏa mãn x1 + 2x2 = 3. 2. Tìm m để đường thẳng y = 1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A(0;1), B, C sao cho các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại B và C vuông góc với nhau. Câu II. (4,0 điểm) x x −8 y = x + y y 1. (x, y ∈ R) Giải hệ phương trình: x − y = 5.
π sin 4 x + cos 4 x = 4 2 sin ( x + ) − 1 . 2. (x ∈ R) Giải phương trình: 4 Câu III.(2,0 điểm) log( x 2 + 10 x + m) = 2log(2 x + 1) Cho phương trình: (với m là tham số) (2) Tìm m để phương trình (2) có hai nghiệm thực phân biệt. Câu IV. (2,0 điểm) π 4 tan xdx Tính tích phân: . cos x 1 + cos x 2 0 Câu V. (4,0 điểm) 1. Trong hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(3; 2), các đường thẳng ∆ 1: x + y – 3 = 0 và đường thẳng ∆ 2: x + y – 9 = 0. Tìm tọa độ điểm B thuộc ∆ 1 và điểm C thuộc ∆ 2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A. 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-3; 5; -5), B(5; -3; 7) và mặt phẳng (P): x + y + z - 6 = 0. Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA2 + MB2 đạt giá trị nhỏ nhất. Câu VI. (2,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng 600. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD. Câu VII. (1,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3. a3 b3 c3 3 +2 +2 Chứng minh rằng: . b2 + 3 c + 3 a + 3 4 ĐỀ SỐ 3 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7.0 điểm) Câu I. (2.0 điểm) Cho hàm số y = (C) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) 2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất. Câu II. (2.0 điểm) 2cos6x+2cos4x- 3cos2x = sin2x+ 3 1. Giải phương trình 1 2x2 + x − =2 y 2. Giải hệ phương trình y − y 2 x − 2 y 2 = −2 Câu III. (1.0 điểm) 1 x ( x 2 sin x3 + )dx Tính tích phân 1+ x 0 Câu IV. (1.0 điểm) 111 ++ 2 Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 và thoả mãn điều kiện xyz Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1). Câu V. (1.0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi. SA = x (0 < x < ) các cạnh còn lại đều bằng 1. Tính thể tích của hình chóp S.ABCD theo x PHẦN RIÊNG ( 3.0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần A hoặc B (Nếu thí sinh làm cả hai phần sẽ không dược chấm điểm). A. Theo chương trình nâng cao
Câu VIa. (2.0 điểm) 1. 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d1) : 4x - 3y - 12 = 0 và (d2): 4x + 3y - 12 = 0. Tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có 3 cạnh nằm trên (d1), (d2), trục Oy. 2. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 2. Gọi M là trung điểm của đoạn AD, N là tâm hình vuông CC’D’D. Tính bán kính mặt cầu đi qua các điểm B, C’, M, N. Câu VIIa. (1.0 điểm) log 3 ( x + 1) 2 − log 4 ( x + 1)3 >0 Giải bất phương trình x2 − 5x − 6 B. Theo chương trình chuẩn Câu VIb. (2.0 điểm) 1. Cho điểm A(-1 ;0), B(1 ;2) và đường thẳng (d): x - y - 1 = 0. Lập phương trình đường tròn đi qua 2 điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng (d). 2. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A(1 ;0 ; 1), B(2 ; 1 ; 2) và mặt phẳng (Q): x + 2y + 3z + 3 = 0. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B và vuông góc với (Q). Câu VIIb. (1.0 điểm) C xx + 2C xx −1 + C xx − 2 = Cx2+ 2 3 ( Cn là tổ hợp chập k của n phần tử) x− k Giải phương trình ĐỀ SỐ 4 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH 2x − 3 y= Câu I (2 điểm) Cho hàm số có đồ thị (C). x−2 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C) 2. Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất . Câu II (2 điểm) 1. Giải phương trình: 2( tanx – sinx ) + 3( cotx – cosx ) + 5 = 0 2. x +5 Giải phương trình: x2 – 4x - 3 = Câu III (1 điểm) 1 dx Tính tích phân: 1+ x + 1+ x2 −1 Câu IV (1 điểm) Khối chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và SA vuông góc với mặt ph ẳng (ABC), SC = a . Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp lớn nhất . Câu V ( 1 điểm ) 111 1 1 1 + + = 4 . CMR: + + 1 Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn 2 x + y + z x + 2 y + z x + y + 2z xyz PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chọn một trong hai phần A hoặc B A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a.( 2 điểm ) 1. Tam giác cân ABC có đáy BC nằm trên đường thẳng : 2x – 5y + 1 = 0, cạnh bên AB nằm trên đường thẳng : 12x – y – 23 = 0 . Viết phương trình đường thẳng AC biết rằng nó đi qua điểm (3;1) 2. Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho mp(P) : x – 2y + z – 2 = 0 và hai đường thẳng : x = 1 + 2t x +1 3 − y z + 2 y = 2+t = = (d) và (d’) −1 1 2 z = 1+ t Viết phương trình tham số của đường thẳng ( ∆ ) nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng (d) và (d’) . CMR (d) và (d’) chéo nhau và tính khoảng cách giữa chúng . Câu VIIa . ( 1 điểm ) S = C5 C5 + C1 C7 + C5 C3 + C3C7 + C5 C1 + C5C7 0 4 2 2 4 0 Tính tổng : 7 5 7 5 7 5 B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b.( 2 điểm ) 1. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn : (C1) : (x - 5)2 + (y + 12)2 = 225 và (C2) : (x – 1)2 + ( y – 2)2 = 25 2. Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng :
x=t x=t (d) y = 1 + 2t y = −1 − 2t và (d’) z = 4 + 5t z = −3t a. CMR hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau . b. Viết phương trình chính tắc của cặp đường thẳng phân giác của góc tạo bởi (d) và (d’) . Câu VIIb.( 1 điểm ) Giải phương trình : 2log5 ( x +3) = x ĐỀ SỐ 5 I.PhÇn chung cho tÊt c¶ thÝ sinh (7 ®iÓm) 2x + 1 y= C©u I (2 ®iÓm). Cho hµm sè cã ®å thÞ lµ (C) x+2 1.Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè 2.Chøng minh ®êng th¼ng d: y = -x + m lu«n lu«n c¾t ®å thÞ (C) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B. T×m m ®Ó ®o¹n AB cã ®é dµi nhá nhÊt. C©u II (2 ®iÓm) 1.Gi¶i ph¬ng tr×nh 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8 log 2 x − log 2 x 2 − 3 > 5 (log 4 x 2 − 3) 2.Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh 2 dx C©u III (1 ®iÓm). T×m nguyªn hµm I = ∫ sin 3 x. cos 5 x C©u IV (1 ®iÓm). Cho l¨ng trô tam gi¸c ABC.A 1B1C1 cã tÊt c¶ c¸c c¹nh b»ng a, gãc t¹o bëi c¹nh bªn vµ mÆt ph¼ng ®¸y b»ng 300. H×nh chiÕu H cña ®iÓm A trªn mÆt ph¼ng (A 1B1C1) thuéc ®êng th¼ng B1C1. TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®êng th¼ng AA1 vµ B1C1 theo a. C©u V (1 ®iÓm). Cho a, b, c 0 và a 2 + b 2 + c 2 = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a3 b3 c3 P= + + 1 + b2 1 + c2 1 + a2 II.PhÇn riªng (3 ®iÓm) 1.Theo ch¬ng tr×nh chuÈn C©u VIa (2 ®iÓm). 1.Trong mÆt ph¼ng víi hÖ täa ®é Oxy cho ® êng trßn (C) cã ph¬ng tr×nh (x-1)2 + (y+2)2 = 9 vµ ®êng th¼ng d: x + y + m = 0. T×m m ®Ó trªn ® êng th¼ng d cã duy nhÊt mét ®iÓm A mµ tõ ®ã kÎ ® îc hai tiÕp tuyÕn AB, AC tíi ®êng trßn (C) (B, C lµ hai tiÕp ®iÓm) sao cho tam gi¸c ABC vu«ng. 2.Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é Oxyz cho ®iÓm A(10; 2; -1) vµ ® êng th¼ng d cã ph¬ng tr×nh  x = 1 + 2t  y = t . LËp ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) ®i qua A, song song víi d vµ kho¶ng c¸ch tõ d tíi (P) lµ lín nhÊt.  z = 1 + 3t  C©u VIIa (1 ®iÓm). Cã bao nhiªu sè tù nhiªn cã 4 ch÷ sè kh¸c nhau vµ kh¸c 0 mµ trong mçi sè lu«n lu«n cã mÆt hai ch÷ sè ch½n vµ hai ch÷ sè lÎ. 2.Theo ch¬ng tr×nh n©ng cao (3 ®iÓm) C©u VIb (2 ®iÓm) 1.Trong mÆt ph¼ng víi hÖ täa ®é Oxy cho ® êng trßn (C): x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0 vµ ® êng th¼ng d cã ph - ¬ng tr×nh x + y + m = 0. T×m m ®Ó trªn ® êng th¼ng d cã duy nhÊt mét ®iÓm A mµ tõ ®ã kÎ ® îc hai tiÕp tuyÕn AB, AC tíi ®êng trßn (C) (B, C lµ hai tiÕp ®iÓm) sao cho tam gi¸c ABC vu«ng. 2.Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é Oxyz cho ®iÓm A(10; 2; -1) vµ ® êng th¼ng d cã ph¬ng tr×nh x −1 y z −1 == . LËp ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) ®i qua A, song song víi d vµ kho¶ng c¸ch tõ d tíi (P) lµ lín 2 1 3 nhÊt. C©u VIIb (1 ®iÓm) Cã bao nhiªu sè tù nhiªn cã 5 ch÷ sè kh¸c nhau mµ trong mçi sè lu«n lu«n cã mÆt hai ch÷ sè ch½n vµ ba ch÷ sè lÎ. ĐỀ SỐ 6
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu I (2 điểm) ( )( ) y = x 3 − 3mx 2 + 3 m 2 − 1 x − m 2 − 1 ( m là tham số) Cho hàm số (1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0. 3. 4. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương . Câu II (2 điểm) π� � 2sin � − � 4sin x + 1 = 0. + 2x 3. Giải phương trình: 6� � ( x − y ) ( x 2 + y2 ) = 13 ( x, y ﾡ ). 4. Giải hệ phương trình: ( x + y) ( x ) = 25 2 2 −y Câu III (1 điểm) ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh Cho hình chóp S.ABCD có đáy a3 . Mặt phẳng ( BCM ) cắt SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 60o. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM = 3 cạnh SD tại điểm N . Tính thể tích khối chóp S.BCNM. Câu IV (2 điểm) 6 dx I= 1. Tính tích phân: 2 2x + 1 + 4x + 1 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = 2sin8x + cos42x PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chọn câu V.a hoặc câu V.b Câu V.a.( 3 điểm ) Theo chương trình Chuẩn ( x − 1) + ( y − 3) = 4 và điểm M(2;4) . 2 2 1. Cho đường tròn (C) : Viết phương trình đường thẳng đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của AB a) Viết phương trình các tiếp tuyến của đường tròn (C) có hệ số góc k = -1 . b) 2. Cho hai đường thẳng song song d1 và d2. Trên đường thẳng d1 có 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d2 có n điểm phân biệt ( n 2 ). Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho. Tìm n. Câu V.b.( 3 điểm ) Theo chương trình Nâng cao (x ) 100 2 +x 1. Áp dụng khai triển nhị thức Niutơn của , chứng minh rằng: 99 100 198 199 1 1 1 1 0 �� 1 �� 100 � � − 199C99 100C100 � � − 101C100 � � + �� 100 � � + 200C100 � � = 0. 2 2 2 2 �� 2. . Cho hai đường tròn : (C1) : x2 + y2 – 4x +2y – 4 = 0 và (C2) : x2 + y2 -10x -6y +30 = 0 có tâm lần lượt là I, J a) Chứng minh (C1) tiếp xúc ngoài với (C2) và tìm tọa độ tiếp điểm H . b) Gọi (d) là một tiếp tuyến chung không đi qua H của (C 1) và (C2) . Tìm tọa độ giao điểm K của (d) và đường thẳng IJ . Viết phương trình đường tròn (C) đi qua K và tiếp xúc với hai đường tròn (C1) và (C2) tại H . ----------------------------- Hết ----------------------------- ĐỀ SỐ 7 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH: ( 7 điểm) 2x −1 y= Câu I: (2 điểm) Cho hàm số x +1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Chứng minh rằng đường thẳng d: y = - x + 1 là truc đối xứng của (C). Câu II: (2 điểm) x 4cos3xcosx - 2cos4x - 4cosx + tan t anx + 2 2 1 Giải phương trình: =0 2sinx - 3 x 2 − 3 x + 2.log 2 x 2 x 2 − 3 x + 2.(5 − log 2) 2. Giải bất phương trình: x
Câu III: ( 1 điểm). Gọi (H) là hình phẳng giới hạn đồ thi (C) của hàm sô y = x3 – 2x2 + x + 4 và tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x0 = 0. Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox. Câu IV: (1điểm) Cho hình lặng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a. Biết khoảng cách giữa hai a 15 đường thẳng AB và A’C bằng . Tính thể tích của khối lăng trụ 5 Câu V:(1điểm) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: (2 x + 1)[ln(x + 1) - lnx] = (2y + 1)[ln(y + 1) - lny] (1) y-1 − 2 4 ( y + 1)( x − 1) + m x + 1 = 0 (2) II. PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh chỉ làm một trong hai phần (Phần 1 hoặc phần 2 Phần 1: Theo chương trình chuẩn Câu VI.a: ( 2 điểm). 1. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): x2 + y2 = 1; và phương trình: x2 + y2 – 2(m + 1)x + 4my – 5 = 0 (1) Chứng minh rằng phương trình (1) là phương trình của đường tròn với mọi m.Gọi các đường tròn tương ứng là (Cm). Tìm m để (Cm) tiếp xúc với (C). x −1 y + 2 z = = và mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + 2 = 0. Lập phương trình 2. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d: 1 1 1 mặt cầu (S) có tâm nằm trên d, tiếp xúc với mặt phẳng (P) và đi qua điểm A(2; - 1;0) Câu VII.b: ( 1 điểm). Cho x; y là các số thực thoả mãn x2 + y2 + xy = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 5xy – 3y2 Phần 2: Theo chương trình nâng cao: Câu VI.b: ( 2 điểm). x −2 y −3 z −3 = = d1 : 1.Trong không gian Oxyz cho điểm A(3;2;3) và hai đường thẳng và −2 1 1 x −1 y − 4 z − 3 = = d2 : . Chứng minh đường thẳng d1; d2 và điểm A cùng nằm trong một mặt phẳng. Xác định toạ độ −2 1 1 các đỉnh B và C của tam giác ABC biết d1 chứa đường cao BH và d2 chứa đường trung tuyến CM của tam giác ABC. � 1� F1 (− 3;0); F2 ( 3;0) và đi qua điểm A � 3; �Lập phương trình 2.Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E) có hai tiêu điểm . � 2� chính tắc của (E) và với mọi điểm M trên elip, hãy tính biểu thức: P = F1M2 + F2M2 – 3OM2 – F1M.F2M Câu VII.b:( 1 điểm). Tính giá trị biểu thức: S = C2010 − 3C2010 + 32 C2010 + ... + (−1) k C2010 + ... + 31004 C2010 − 31005 C2010 0 2 4 2k 2008 2010 ------------------------------------Hết -------------------------------------- ĐỀ SỐ 8 Câu I: (2 điểm). Cho hàm số y = - x3 + 3mx2 -3m – 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 1. 2. Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Với giá trị nào c ủa m thì đ ồ thị hàm s ố có đi ểm c ực đ ại, đi ểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x + 8y – 74 = 0. Câu II: (2 điểm). 1. 3 (sinx + cosx) + sin2x + cos2x = 0 Giải phương trình : 1+ x+2 x 2 − 2 x + m.( x − 4). + 2 8 + 2 x − x 2 − 14 − m = 0 có nghiệm thực. 2. Tìm m để phương trình 4− x Câu III: (2 điểm). x y z = =, Trong không gian với hệ trục toạ độ Đềcác Oxyz, cho hai đường thẳng ∆ 1 : ∆2 : 1 −2 1 x −1 y +1 z −1 = = −1 1 3 1. Chứng minh hai đường thẳng ∆ 1 và ∆ 2 chéo nhau. 2. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆ 2 và tạo với đường thẳng ∆ 1 một góc 300. Câu IV: (2 điểm).
2 ln( x 2 + 1) Tính tích phân : I = dx . 1. x3 1 Cho x, y, z > 0 và x + y + z ≤ xyz . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức. 2. 1 1 1 P= +2 +2 x + 2 yz y + 2 zx z + 2 xy 2 Câu Va: (2 điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đềcác Oxy, cho tam giác ABC cân tại A , phương trình c ạnh AB: x + y – 3 = 0 , 1. phương trình cạnh AC : x – 7y + 5 = 0, đường thẳng BC đi qua điểm M(1; 10). Vi ết ph ương trình c ạnh BC và tính di ện tích của tam giác ABC. n � 1� − 2. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của � x + � , biết rằng An2 − Cnn+11 = 4n + 6 2. x� � k k (n là số nguyên dương, x > 0, An là số chỉnhhợp chập k của n phần tử, Cn là số tổ hợp chập k của n phần tử) ĐỀ SỐ 9 PhÇn dµnh chung cho tÊt c¶ c¸c thÝ sinh (7 ®iÓm) C©u 1: Cho hµm sè : y = x − 3mx + 3(m − 1) x − (m − 1) (1) 3 2 2 2 a, Víi m = 0 , kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè (1) . b, T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè (1) c¾t trôc Ox t¹i ba ®iÓm ph©n biÖt cã hoµnh ®é d ¬ng. π C©u 2: a, Gi¶i ph¬ng tr×nh : sin2x + (1 + 2cos3x)sinx - 2sin 2 (2x+ )=0 4 b, X¸c ®Þnh a ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm duy nhÊt : 2 x + x = y + x2 + a x2 + y2 = 1 sin xdx C©u 3 : T×m : (sin x + 3 cos x)3 ' ), ( AB 'C ), ( A' BC ) c¾t nhau C©u 4 : Cho l¨ng trô ®øng ABC. A' B 'C ' cã thÓ tÝch V. C¸c mÆt ph¼ng ( ABC . t¹i O. TÝnh thÓ tÝch khèi tø diÖn O.ABC theo V. C©u 5 : Cho x,y,z lµ c¸c sè thùc d¬ng . Chøng minh r»ng : x y z 4( x 3 + y 3 ) + 3 4( y 3 + z 3 ) + 3 4( z 3 + x 3 ) + 2( + 2 + 2) 3 P= 12 2 y z x PhÇn riªng (3 ®iÓm): ThÝ sinh chØ lµm mét trong hai phÇn (phÇn A hoÆc B ) A. Theo ch¬ng tr×nh chuÈn C©u 6a : a, Cho ®êng trßn (C) cã ph¬ng tr×nh : x + y − 4 x − 4 y + 4 = 0 vµ ®êng th¼ng 2 2 (d) cã ph¬ng tr×nh : x + y – 2 = 0 Chøng minh r»ng (d) lu«n c¾t (C) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A,B . T×m to¹ ®é ®iÓm C trªn ® êng trßn . . . (C) sao cho diÖn tÝch tam gi¸c ABC lín nhÊt. b, Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho ®iÓm A(1;2;3)vµ hai ® êng th¼ng cã ph¬ng tr×nh : x = 4t ' x y +1 z − 2 (d 2 ) : y = −2 = = (d1 ) : −2 2 1 z = 3t ' ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ( ∆ )®i qua ®iÓm A vµ c¾t c¶ hai ®êng th¼ng(d 1 ), (d 2 ). C©u 7a : T×m sè h¹ng kh«ng chøa x trong khai triÓn : 7 � 1� �x+ 3 � 4 ( víi x > 0 ) x� � B . Theo ch¬ng tr×nh n©ng cao C©u 6b : a, ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng chøa c¸c c¹nh cña tam gi¸c ABC biÕt B(2;-1) , ® êng cao vµ . . ®êng ph©n gi¸c trong qua ®Ønh A,C lÇn lît lµ : 3x -4y + 27 =0 vµ x + 2y – 5 = 0 . b, Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho A(2;4;1) , B(3;5;2) vµ ® êng th¼ng ( ∆ ) cã ph¬ng 2x − y + z + 1 = 0 tr×nh : x− y+z+2=0
T×m to¹ ®é ®iÓm M n»m trªn ®êng th¼ng ( ∆ )sao cho : MA + MB nhá nhÊt . (1 + x + x 2 )12 = a0 + a1 x + a2 x 2 + ...a24 x 24 . TÝnh hÖ sè a 4 . C©u 7b : Cho ------ HÕt. -------- ĐỀ SỐ 10 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH I. Câu I( 2,0 điểm): Cho hàm số: (C) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số 1. Cho điểm A( 0; a) Tìm a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2 phía 2. của trục hoành. Câu II (2,0 điểm): 1. Giải phương trình lượng giác. Giải hệ phương trình. 2. Câu III(1,0 điểm): Tính tích phân sau. π 3 dx I=∫ sin x. cos 4 x 2 π 4 Câu IV(1,0 điểm): Cho ba số thực thỏa mãn ,Chứng minh rằng: Câu V(1,0 điểm): Cho tứ diện ABCD có AC = AD = , BC = BD = a, khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACD) bằng . Tính góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD). Biết thể của khối tứ diện ABCD bằng . PHẦN RIÊNG (Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 phần A hoặc B) II. Theo chương trình chuẩn. A. Câu VIa(2,0 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 4 điểm : A(1;2; 2) B(-1;2;-1) C(1;6;-1) D(-1;6;2). Tìm tọa độ hình chiếu 1. vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (BCD) 2. Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn : x2 +y2 -2x +6y -15=0 (C ). Viết PT đường thẳng (Δ) vuông góc với đường thẳng : 4x-3y+2 =0 và cắt đường tròn (C) tại A; B sao cho AB = 6 Câu VIIa(1,0 điểm): Xác định hệ số của x5 trong khai triển (2+x +3x2 )15 Theo chương trình nâng cao. B. Câu VIb(2,0 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 4 điểm : A(1;2; 2) B(-1;2;-1) C(1;6;-1) D(-1;6;2). Tìm tọa độ hình chiếu 1. vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (BCD) 2. Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn : x2 +y2 -2x +6y -15=0 (C ). Viết PT đường thẳng (Δ ) vuông góc với đường thẳng : 4x-3y+2 =0 và cắt đường tròn (C) tại A; B sao cho AB = 6 Câu VIIb(1,0 điểm):Giải phương trình: ĐỀ SỐ 11 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 07 điểm ) y = f ( x ) = x 4 + 2 ( m − 2 ) x 2 + m 2 − 5m + 5 Câu I ( 2,0điểm) Cho hàm số 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số với m = 1 2/ Tìm các giá trị của m để ®å thÞ hµm sè có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác vuông cân.
x + y + x 2 − y 2 = 12 Câu II(2.0điểm) 1/ Giải hệ phương trình: y x 2 − y 2 = 12 log 2 x − log 2 x 2 − 3 > 5 (log 4 x 2 − 3) 2/ Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh : 2 cos 2 x 1 x ∈ (0; π ) + sin 2 x − sin 2 x . Câu III (1.0 điểm) T×m tho¶ m·n ph¬ng tr×nh: cot x - 1 = 1 + tan x 2 π 2 Câu IV(1.0 điểm) Tính tích phân : I = cos 2 x cos 2 xdx 0 a ﾡﾡ , SA = a 3 , SAB = SAC = 300 . Câu V(1.0 điểm) Cho h×nh chãp S.ABC cã AB = AC = a, BC = 2 Gäi M lµ trung ®iÓm SA , chøng minh SA ⊥ ( MBC ) . TÝnh VSMBC PHẦN RIÊNG CHO TỪNG CHƯƠNG TRÌNH ( 03 điểm ) A/ Phần đề bài theo chương trình chuẩn Câu VI.a: (2.0điểm) 2 x + y + 1 = 0 và phân giác trong 1, Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy cho ∆ ABC có đỉnh A(1;2), đường trung tuyến BM: CD: x + y − 1 = 0 . Viết phương trình đường thẳng BC. 2, Cho P(x) = (1 + x + x2 + x3)5 = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + …+ a15x15 a) Tính S = a0 + a1 + a2 + a3 + …+ a15 b) Tìm hệ số a10. Câu VII.a: (1,0điểm) Trong không gian Oxyz cho hai điểm A (-1;3;-2), B (-3,7,-18) và mặt phẳng (P): 2x - y + z + 1 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mp (P). B/ Phần đề bài theo chương trình nâng cao Câu VI.b: (2 điểm) 1, Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết A(1;0), B(0;2) và giao điểm I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng y = x. Tìm tọa độ đỉnh C và D.. 2, Cho P(x) = (1 + x + x2 + x3)5 = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + …+ a15x15 a) Tính S = a0 + a1 + a2 + a3 + …+ a15 b) Tìm hệ số a10. x 2 − 2x + 2 (C) vµ d1: y = −x + m, d2: y = x + 3. Câu VII.b: (1.0 điểm) Cho hàm số y = x −1 Tìm tất cả các giá trị của m để (C) cắt d1 tại 2 điểm phân biệt A,B đối xứng nhau qua d2. ******* HÕt ******* ĐỀ SỐ 12 PhÇn chung cho tÊt c¶ c¸c thÝ sinh (7 ®iÓm ) C©u I: (2 ®iÓm) 2x − 3 y= Cho hµm sè x−2 1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè. 2. Cho M lµ ®iÓm bÊt k× trªn ( C). TiÕp tuyÕn cña (C) t¹i M c¾t c¸c ®êng tiÖm cËn cña (C) t¹i A vµ B. Gäi I lµ giao ®iÓm cña c¸c ®êng tiÖm cËn. T×m to¹ ®é ®iÓm M sao cho ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c IAB cã diÖn tÝch nhá nhÊt. C©u II (2 ®iÓm) π x x x 1 + sin sin x − cos sin2 x = 2 cos2  −  1. Gi¶i ph¬ng tr×nh 2 2  4 2 1  log2 (4x 2 − 4x + 1) − 2x > 2 − ( x + 2) log 1  − x  2. Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh 2 2  C©u III (1 ®iÓm)
e   ln x I = ∫ + 3x 2 ln x dx TÝnh tÝch ph©n   1  x 1 + ln x  C©u IV (1 ®iÓm) a ﾡ AB ﾡ AC = 300 . TÝnh thÓ tÝch khèi chãp . SA = a 3 , S = S Cho h×nh chãp S.ABC cã AB = AC = a. BC = 2 S.ABC. 3 C©u V (1 ®iÓm) Cho a, b, c lµ ba sè d¬ng tho¶ m·n : a + b + c = . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc 4 1 1 1 P= +3 +3 a + 3b b + 3c c + 3a 3 PhÇn riªng (3 ®iÓm) ThÝ sinh chØ ®îc lµm mét trong hai phÇn: PhÇn 1 hoÆc phÇn 2 PhÇn 1:(Theo ch¬ng tr×nh ChuÈn) C©u VIa (2 ®iÓm) d1 : 2 x − y + 5 = 0 . 1. Trong mÆt ph¼ng víi hÖ trôc to¹ ®é Oxy cho cho hai ®êng th¼ng d 2: 3x +6y – 7 = 0. LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua ®iÓm P( 2; -1) sao cho ®êng th¼ng ®ã c¾t hai ®êng th¼ng d1 vµ d2 t¹o ra mét tam gi¸c c©n cã ®Ønh lµ giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng d1, d2. 2. Trong kh«ng gian víi hÖ trôc to¹ ®é Oxyz cho 4 ®iÓm A( 1; -1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3; 2), D( 4; -1; 2) vµ mÆt ph¼ng (P) cã ph¬ng tr×nh: x + y + z − 2 = 0 . Gäi A’lµ h×nh chiªó cña A lªn mÆt ph¼ng Oxy. Gäi ( S) lµ mÆt cÇu ®i qua 4 ®iÓm A’, B, C, D. X¸c ®Þnh to¹ ®é t©m vµ b¸n kÝnh cña ®êng trßn (C) lµ giao cña (P) vµ (S). C©u VIIa (1 ®iÓm) T×m sè nguyªn d¬ng n biÕt: 2C2n+1 − 3.2.2C2n+1 + .... + (−1)k k(k − 1)2k−2 C2n+1 + .... − 2n(2n + 1)22n−1 C2n+1 = −40200 2 n+1 2 3 k PhÇn 2: (Theo ch¬ng tr×nh N©ng cao) C©u VIb (2 ®iÓm) x 2 y2 − = 1 . ViÕt ph¬ng tr×nh 1.Trong mÆt ph¼ng víi hÖ trôc to¹ ®é Oxy cho Hypebol (H) cã ph¬ng tr×nh: 16 9 chÝnh t¾c cña elip (E) cã tiªu ®iÓm trïng víi tiªu ®iÓm cña (H) vµ ngo¹i tiÕp h×nh ch÷ nhËt c¬ së cña (H). ( P) : x + 2 y − z + 5 = 0 2. Trong kh«ng gian víi hÖ trôc to¹ ®é Oxyz cho vµ ®êng th¼ng x+3 = y + 1 = z − 3 , ®iÓm A( -2; 3; 4). Gäi ∆ lµ ®êng th¼ng n»m trªn (P) ®i qua giao ®iÓm cña ( d) vµ (P) (d ) : 2 ®ång thêi vu«ng gãc víi d. T×m trªn ∆ ®iÓm M sao cho kho¶ng c¸ch AM ng¾n nhÊt. C©u VIIb (1 ®iÓm): 23 x+1 + 2 y−2 = 3.2y+3x  Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh   3x 2 + 1 + xy = x + 1  -------------- HÕt-------------- ĐỀ SỐ 13 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7,0 điểm ) Câu I (2,0 điểm). Cho hàm số y = -x3+3x2+1 1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số 2. Tìm m để phương trình x3-3x2 = m3-3m2 có ba nghiệm phân biệt. Câu II (2,0 điểm ). x+4 + x−4 x + x 2 − 16 − 6 1. Giải bất phương trình: 2 1 3 sin 2 x + sin 2 x = tan x 2.Giải phương trình: 2 Câu III (1,0 điểm).
ln 3 e 2 x dx I= Tính tích phân: ex −1 + ex − 2 ln 2 Câu IV (1,0 điểm). ﾡ Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC= a 2 . Đáy là tam giác ABC cân BAC = 1200 , cạnh BC=2a Tính thể tích của khối chóp S.ABC.Gọi M là trung điểm của SA.Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC). Câu V (1,0 điểm). 1 1 1 � 3� +c c+a a +b � b � (a + b3 + c 3 ) � 3 + 3 + 3 � � + + 3 Cho a,b,c là ba số thực dương. Chứng minh: � a b c � 2�a b c� � II. PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm ) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B). A. Theo chương trình Chuẩn : Câu VI.a(2,0 điểm). 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Cho đường tròn (C) : x 2 + y 2 − 4 x − 2 y + 1 = 0 và điểm A(4;5). Chứng minh A nằm ngoài đường tròn (C) . Các tiếp tuyến qua A tiếp xúc với (C) tại T1, T2, viết phương trình đường thẳng T1T2. 2. Trong không gian Oxyz. Cho mặt phẳng (P): x+y-2z+4=0 và mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y + 2 z − 3 = 0 Viết phương trình tham số đường thẳng (d) tiếp xúc với (S) tại A(3;-1;1) và song song với mặt phẳng (P). Câu VII.a(1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ. Tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn các điều kiện: z − i = z − 2 − 3i . Trong các số phức thỏa mãn điều kiện trên, tìm số phức có mô đun nhỏ nhất. B. Theo chương trình Nâng cao : Câu VI.b(2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy. Cho tam giác ABC cân tại A có chu vi bằng 16, A,B thuộc đường thẳng d: 2 2 x − y − 2 2 = 0 và B, C thuộc trục Ox . Xác định toạ độ trọng tâm của tam giác ABC. 2. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz. Cho tam giác ABC có: A(1;-2;3), B(2;1;0), C(0;-1;-2). Viết phương trình tham số đường cao tương ứng với đỉnh A của tam giác ABC. Câu VII.b(1,0 điểm). x2 − x + m y= Cho hàm số (Cm): (m là tham số). Tìm m để (Cm) cắt Ox tại hai điểm phân biệt A,B sao cho tiếp tuyến x −1 của (Cm) tại A, B vuông góc. ..……………………….Hết………………………… ĐỀ SỐ 14 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH(7 điểm). Câu I ( 2 điểm) Cho hàm số y = x 3 + (1 − 2m) x 2 + ( 2 − m) x + m + 2 (1) m là tham số. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) với m=2. 1. y + 7 = 0 góc α , biết Tìm tham số m để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x + 2. 1 cos α = . 26 Câu II (2 điểm)  2x  −4 ≤ 5 . log 2  1. Giải bất phương trình: 1 4− x 2 3 sin 2 x.( 2 cos x + 1) + 2 = cos 3 x + cos 2 x − 3 cos x. 2. Giải phương trình: Câu III (1 điểm) 4 x +1 ∫ (1 + Tính tích phân: I = dx . ) 2 1 + 2x 0 Câu IV(1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A, AB = a 2 . Gọi I là trung điểm của BC, hình chiếu vuông góc H của S lên mặt đáy (ABC) thỏa mãn: IA = −2 IH , góc giữa SC và mặt đáy (ABC) bằng 60 0 .Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trung điểm K của SB tới (SAH).
Câu V(1 điểm) x 2 + y 2 + z 2 ≤ xyz . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi và thỏa mãn: x y z P= +2 +2 . x + yz y + zx z + xy 2 PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm): Thí sinh chỉ chọn làm một trong hai phần ( phần A hoặc phần B ). A. Theo chương trình chuẩn: Câu VI.a (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A(3;0), đường cao từ đỉnh B có phương trình x + y + 1 = 0 , trung tuyến từ đỉnh C có phương trình: 2x-y-2=0. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1;1;0), B(0;0;-2) và C(1;1;1). Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A và B, đồng thời khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) bằng 3 . Câu VII.a (1 điểm) (1 + 2 x ) 10 ( x 2 + x + 1) 2 = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + ... + a14 x14 . Hãy tìm giá trị của a6 . Cho khai triển: B. Theo chương trình nâng cao: Câu VI.b (2 điểm) 5,5 và trọng tâm G 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết A(1;-1), B(2;1), diện tích bằng thuộc đường thẳng d: 3 x + y − 4 = 0 . Tìm tọa độ đỉnh C. x − 2 y −1 z −1 2.Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P) x + y − z + 1 = 0 ,đường thẳng d: = = −1 −3 1 ∆ nằm trong (P), vuông góc với d và cách Gọi I là giao điểm của d và (P). Viết phương trình của đường thẳng I một khoảng bằng 3 2 . Câu VII.b (1 điểm) 3  z+i  = 1. Giải phương trình ( ẩn z) trên tập số phức:  i− z ĐỀ SỐ 15 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm). 2x + 4 y= Câu I (2 điểm): Cho hàm số . 1− x ( C) 1) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số trên. 2) MN = 3 10 . Gọi (d) là đường thẳng qua A( 1; 1 ) và có hệ số góc k. Tìm k sao cho (d) cắt ( C ) tại hai điểm M, N và Câu II (2 điểm): 1) Giải phương trình: sin 3 x − 3sin 2 x − cos 2 x + 3sin x + 3cos x − 2 = 0 . x 2 + y 2 + xy + 1 = 4 y 2) Giải hệ phương trình: . y( x + y)2 = 2 x 2 + 7 y + 2 π 3sin x − 2 cos x 2 Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I= dx (sin x + cos x)3 0 Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với SA vuông góc với đáy, G là trọng tâm tam giác SAC, mặt phẳng (ABG) cắt SC tại M, cắt SD tại N. Tính thể tích của khối đa diện MNABCD biết SA=AB=a và góc hợp bởi đường thẳng AN và mp(ABCD) bằng 300 . a, b, c : ab + bc + ca = 3. Câu V (1 điểm): Cho các số dương 1 1 1 1 + + . Chứng minh rằng: 1 + a (b + c) 1 + b (c + a ) 1 + c (a + b) 2 2 2 abc II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) (Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2)). 1. Theo chương trình Chuẩn : Câu VI.a (2 điểm): (C ) : x 2 + y 2 – 2 x – 2 y + 1 = 0, 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn (C ') : x 2 + y 2 + 4 x – 5 = 0 cùng đi qua M(1; 0). Viết phương
trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn (C ), (C ') lần lượt tại A, B sao cho MA= 2MB. 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy xác định toạ độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3). Câu VII.a (1 điểm): (1 − 3 x) 20 = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a20 x 20 . Tính tổng: S = a0 + 2 a1 + 3 a2 + ... + 21 a20 . Khai triển đa thức: 2. Theo chương trình Nâng cao : Câu VI.b (2 điểm) H (1;0) , chân đường 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trực tâm K (0; 2) , trung điểm cạnh AB là M (3;1) . cao hạ từ đỉnh B là x +1 y z −1 xyz = = và (d 2 ) : == (d1 ) : 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: . −2 112 1 1 (d1 ) và N thuộc (d 2 ) sao cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng Tìm tọa độ các điểm M thuộc ( P) : x – y + z + 2010 = 0 độ dài đoạn MN bằng 2. 2 log1− x (− xy − 2 x + y + 2) + log 2 + y ( x 2 − 2 x + 1) = 6 Câu VII.b (1 điểm): Giải hệ phương trình log1− x ( y + 5) − log 2+ y ( x + 4) =1 ………………………………….....................HẾT…………………………………………………… ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 1 Nội dung Câu I 1. Khi m = 1, hàm số có dạng: y = x3 − 3x2 + 4 + TXĐ: R + Sự biến thiên: y’ = 3x2 − 6x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2 Hàm số đồng biến trên: (−∞; 0) và (2; +∞ ) Hàm số nghich biến trên: (0; 2) Hàm số đạt CĐ tại xCĐ = 0, yCĐ = 4; đạt CT tại xCT = 2, yCT = 0 y” = 6x − 6 = 0 ⇔ x = 1 Đồ thị hàm số lồi trên (−∞; 1), lõm trên (1; +∞ ). Điểm uốn (1; 2) � 3 4� lim y = lim x3 �− + 3 �= 1 Giới hạn và tiệm cận: � x x� x x LËp BBT: x 2 0 +∞ −∞ − 0 + y’ 0 + +∞ 4 y 0 −∞ §å thÞ: y
x O x=0 2/. Ta có: y’ = 3x2 − 6mx = 0 ⇔ x = 2m Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m ≠ 0. uuu r AB = (2m; −4m3 ) Giả sử hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0) ⇒ Trung điểm của đoạn AB là I(m; 2m3) Điều kiện để AB đối xứng nhau qua đường thẳng y = x là AB vuông góc với đường thẳng y = x và I thuộc đường thẳng y = x 2m − 4m3 = 0 2m 3 = m 2 ;m=0 m= Giải ra ta có: 2 2 m= Kết hợp với điều kiện ta có: 2 II π x k 2/. Đk: 2 ( ) 4 3 1 + tg2 x + − 2 3 = 2cotg x sin 2 x 2(sin 2 x + cos 2 x) Phương trình đã cho tương đương với: � 3tg2 x + − 3 = 2cotg x sin x cos x � 3tg2 x + 2tg x − 3 = 0 π x = − + kπ tg x = − 3 3 ⇔ 1 π tg x = x = + kπ 3 6
π π x= + k ; k∈Z KL: So sánh với điều kiện phương trình có nghiệm : 6 2 x3 − y 3 + 3 y 2 − 3x − 2 = 0 (1) 2/. x2 + 1 − x2 − 3 2 y − y 2 + m = 0 (2) 1 − x2 0 −1 x 1 � � Điều kiện: 0y2 2 y − y2 0 Đặt t = x + 1 ⇒ t∈[0; 2]; ta có (1) ⇔ t3 − 3t2 = y3 − 3y2. Hàm số f(u) = u3 − 3u2 nghịch biến trên đoạn [0; 2] nên: x2 − 2 1 − x2 + m = 0 (1) ⇔ y = y ⇔ y = x + 1 ⇒ (2) ⇔ v = 1 − x2 ⇒ v∈[0; 1] ⇒ (2) ⇔ v2 + 2v − 1 = m. Đặt = −1; m ax g (v) = 2 Hàm số g(v) = v2 + 2v − 1 đạt min g (v ) [ 0;1] [ 0;1] Vậy hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi −1 ≤ m≤ 2 III x = −t y = −1 + 2t ; t R 1/. Đường thẳng (∆ ) có phương trình tham số là: z =2+t Gọi tâm mặt cầu là I. Giả sử I(−t; −1 + 2t; 2+ t)∈(∆ ). Vì tâm mặt cầu cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 nên: 2 t= | −2t + 1 − 2t − 4 − 2t − 2 | | 6t + 5 | 3 d ( I ; ∆) = = = 3⇔ 7 3 3 t=− 3 � 2 1 8� � 17 1 � 7 I � ; ; �vﾵ I � ; − ; − � − ⇒ Có hai tâm mặt cầu: � 3 3 3� � 3 7� 3 Vì mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính bằng 4 nên mặt cầu có bán kính là R = 5. Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: 2 2 2 2 2 2 � 2� � 1� � 8� � 7 � � 17 � � 1 � � + �+ � − �+ � − �= 25 vﾵ � − �+ � + �+ � + �= 25 x y z x y z � 3� � 3� � 3� � 3� � 3 � � 3� 2x + y + 1 = 0 r u = (−1;2;1) ; PTTQ: 2/. Đường thẳng (∆ ) có VTCP x+ z−2=0 r n = (2; −1; −2) Mặt phẳng (P) có VTPT | −2 − 2 − 2 | 6 sin α = = Góc giữa đường thẳng (∆ ) và mặt phẳng (P) là: 3 3. 6 6 3 cos α = 1 − = ⇒ Góc giữa mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (Q) cần tìm là 9 3
Giả sử (Q) đi qua (∆ ) có dạng: m(2x + y + 1) + n(x + z − 2) = 0 (m2+ n2 > 0) ⇔ (2m + n)x + my + nz + m − 2n = 0 | 3m | 3 cos α = = Vậy góc giữa (P) và (Q) là: 3 3. 5m 2 + 2n 2 + 4mn ⇔ m2 + 2mn + n2 = 0 ⇔ (m + n)2 = 0 ⇔ m = −n. Chọn m = 1, n = −1, ta có: mặt phẳng (Q) là: x + y − z + 3 = 0 1/. Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 2 là: y = 4x − 4 IV 2 2 �4 � Thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là: V = π � x dx − �x − 4) dx � � 2 (4 � � � � 0 1 � 5 2 16 2 � 16π x − ( x − 1)3 � = π� = �0 3 1 � 15 5 �1 1� 1 [ (1 + xy ) + (1 + yz ) + (1 + zx)] � + + �9 2/. Ta có: � + xy 1 + yz 1 + zx � 1 9 9 ۳�P 3 + xy + yz + zx 3 + x + y2 + z2 2 93 = ⇒P 62 3 Vậy GTNN là Pmin = khi x = y = z 2 1/. Giả sử đường thẳng (∆ ) có dạng: Ax + By + C = 0 (A2 + B2 > 0) (∆ ) là tiếp tuyến của (E) ⇔ 8A2 + 6B2 = C2 (1) (∆ ) là tiếp tuyến của (P) ⇔ 12B2 = 4AC ⇔ 3B2 = AC (2) Thế (2) vào (1) ta có: C = 4A hoặc C = −2A. Với C = −2A ⇒ A = B = 0 (loại) 2A = Với C = 4A ⇒ B 3 V ⇒ Đường thẳng đã cho có phương trình: 2A 23 Ax �+ =y۱+4 A 0 = x y40 3 3 23 y+4=0 x Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm: 3
12 12 k � 12 � 1 � � � 1� 1� k� (−1)12−k C12 � 4 + � Ta có: � 4 + − 1� = 1 − � 4 + � = x x x x � � � x � k =0 � � x� � � � i 12 k 12 k � (x ) 1 4 k −i � � = �−1) � �= � ( −1) C12Ck x � 12−k k i 4k −4i x −i 12−k k i ( C12 Ck x � � k =0 i =0 k =0 i =0 V 12 k = � (−1)12−k C12Ck x 4 k −5i � ki k =0 i =0 Ta chọn: i, k ∈N, 0 ≤ i ≤ k ≤ 12; 4k − 5i = 8 ⇒ i = 0, k = 2; i = 4 , k = 7; i = 8, k 12 2 0 7 4 12 8 C12 .C2 − C12 .C7 + C12 .C12 = −27159 Vậy hệ số cần tìm là: ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 2 Phương pháp - Kết quả Điểm Câu 1. Ta có y’ = 3x2 + 6x + m 0,5 Ycbt tương đương với phương trình 3x2 + 6x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, 0,5 x2 thỏa mãn x1 + 2x2 = 3. 9 - 3m > 0 I.1 x1 + x2 = -2 (2điểm ⇔ m ) 0,5 x1.x2 = 3 x1 + 2 x2 = 3 Giải hệ trên ta được m = -105 0,5 2.+) Hoành độ điểm chung của (C) và d là nghiệm của phương trình 0,5 x3 + 3x2 + mx + 1 = 1 ⇔ x(x2 + 3x + m) = 0 9 và m ≠ 0 thì d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A(0; 1), B, C. Từ đó tìm được m < 0,5 4 +) B(x1; 1), C(x2; 1) với x1; x2 là nghiệm của phương trình x2 + 3x + m = 0 . 0,5 Hệ số góc của tiếp tuyến tại B là k1 = 3x12 + 6x1 + m I.2 và tại C là k2 = 3x22 + 6x2 + m (2điểm Tiếp tuyến của (C) tại B và C vuông góc với nhau khi và chỉ khi 0,5 ) k1.k2 = -1 ⇔ 4m2 – 9m + 1 = 0 0,5 9 − 65 m= ( t/m) 8 ⇔ 0,5 9 + 65 m= ( t/m) 8 1. Điều kiện x, y ≥ 0 II.1 0,5 (2điểm Xét y = 0, không thỏa mãn hpt ) x = t y , t ≥ 0. Hệ phương trình trở thành +) y ≠ 0, đặt 5t 3 5 − 8 = t + 2 (*) � y −8 = t + y t3 �2 − 1 t −1 t �2 � 1 � (t − 1) = 5 �= 5 y (t 2 1) y2 t −1 (*) ⇔ 4t3 – 8t2 + t + 3 = 0 1 3 3 ⇔ t = 1; t = - ; t = . Đối chiếu điều kiện ta được t = 2 2 2
Từ đó tìm được (x;y) = (9; 4). (HS có thể giải bài toán bằng phương pháp thế hoặc cách khác được kết quả 0,5 đúng vẫn được điểm tối đa) 2. PT ⇔ 2sin 2x cos 2x + 2cos2 2x = 4(sin x + cos x) 0,5 ⇔ (cos x + sin x) (cos x – sin x) (sin 2x + cos 2x) = 2(sin x + cos x) s inx + cos x = 0 0,5 ⇔ (cos x − sinx)(sin 2 x + cos2 x) = 2 π II.2 + kπ x=− (2điểm 4 ⇔ 0,5 ) cos3 x − sinx = 2 Chứng minh được phương trình cos 3x – sin x = 2 vô nghiệm π 0,5 + kπ − KL: x = 4 1 1 � � �>− �>− x x 2 2 3. PT ⇔ � � 1 � + 10 x + m = (2 x + 1) 2 � = 3x 2 − 6 x + 1(**) 2 x m � � 1 III Ycbt ⇔ (**) có hai nghiệm phân biệt thoả mãn x >- (2điểm 2 ) 1 Lập bảng biến thiên của hàm số f(x) = 3x2 – 6x + 1 trong (- ;+∞ )ta tìm đươc m 1 2 19 ∈ (-2; ) 4 π π 4 4 tan xdx tan xdx 0,5 I= = . cos x 1 + cos 2 x cos 2 x 2 + tan 2 x 0 0 tan xdx 2 + tan 2 x � t 2 = 2 + tan 2 x � tdt = Đặt t = 0,5 cos 2 x IV (2điểm Đổi cận : x = 0 ⇒ t = 2 ) π 0,5 �t = 3 x= 4 3 3 tdt �= �= 3− 2 dt I= 0,5 t 2 2 1. B ∈ ∆ 1 ⇔ B(a; 3 –a) . C ∈ ∆ 2 ⇔ C(b; 9-b) uuu uuu rr AB. AC = 0 0,5 ∆ ABC vuông cân tại A ⇔ AB = AC 2 2 2ab - 10a - 4b + 16 = 0 (1) V.1 ⇔ (2điểm 0,5 2a - 8a = 2b − 20b + 48 2 2 (2) ) a = 2 không là nghiệm của hệ trên. 5a - 8 (1) ⇔ b = 0,5 . Thế vào (2) tìm được a = 0 hoặc a = 4 a-2 Với a = 0 suy ra b = 4. 0,5 Với a = 4 suy ra b = 6. 2.Gọi I là trung điểm của AB ⇒ I ( 1; 1; 1) V.2 1 (2điểm +) MA2 + MB2 = 2MI2 + IA2 + IB2 ) Do IA2 + IB2 không đổi nên MA2 + MB2 nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất ⇔ M là hình chiếu của I lên mặt phẳng (P)
x-1 y-1 z-1 = = +) Phương trình đường thẳng MI : . 0,5 1 1 1 M là giao điểm của MI và mặt phẳng (P). 0,5 Từ đó tìm được M(2; 2; 2) 3. S M A B VI (2điểm ) D C Gọi M là hình chiếu vuông góc của B lên SC. Chứng minh được góc DMB = 1200 và ∆ DMB cân tại M 0,5 2 Tính được: DM2 = a2 0,5 3 1 1 1 = + ∆ SCD vuông tại D và DM là đường cao nên DM DS DC2 2 2 0,5 2 . Tam giác ASD vuông tại A suy ra SA = a. Suy ra DS = a 1 Vậy thể tích S.ABCD bằng a3 0,5 3 a3 b3 c3 3 +2 +2 (***).Do ab + bc + ca = 3 nên b2 + 3 c + 3 a + 3 4 a3 b3 c3 + + VT (***) = b 2 + ab + bc + ca c 2 + ab + bc + ca a 2 + ab + bc + ca a3 b3 c3 + + = (b + c)(a + b) (c + a )(b + c) (a + b)(c + a ) b + c a + b 3a a3 0,5 + + Theo BĐT AM-GM ta có (b + c)(c + a ) 8 8 4 VII 5a − 2b − c 3 a (1điểm (1) ) (b + c )(c + a ) 8 Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được: 5b − 2c − a 5c − 2a − b b3 c3 (2), (3) (c + a )(a + b) (a + b)(c + a ) 8 8 a+b+c Cộng vế với vế của (1), (2), (3) ta được VT (***) 4 Mặt khác ta dễ dàng chứng minh được : 0,5 3(ab + bc + ca) = 3. a+b+c≥ Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 (Đpcm) ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 3 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7.0 điểm)