SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012 – 2013
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 01 trang)
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu I. (4 điểm) Cho hàm số
42
42y x mx m
có đồ thị là
m
C
, (với m là tham số).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
C
khi
1m
.
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có ba cực trị và ba điểm cực trị tạo thành một tam
giác đều.
Câu II. (5 điểm)
1. Giải phương trình sau:
2sin 2 2 3 cos 2sin 3 0
2sin 3
x x x
x
2. Giải hệ phương trình sau:
3 2 2
22
3
22 ;
5 2 2 2 4 4
x y y x y xy x xy
x y y x
Câu III. (4 điểm)
1. Trong mặt phẳng toạ độ
Oxy
cho hình chữ nhật
có tâm
1;0
2
I


, phương trình đường
thẳng
: 2 2 0AB x y
và
2AB AD
. Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật
biết đỉnh
A có hoành độ âm.
2. Cho tam giác
ABC
và các điểm
,,K L M
lần lượt nằm trên các đoạn
,,AB BC CA
sao cho
1
3
AK BL CM
AB BC CA
. Chứng minh rằng nếu bán kính của các đường tròn ngoại tiếp các tam giác:
,,AKM BLK CML
bằng nhau thì bán kính của các đường tròn nội tiếp các tam giác ấy cũng
bằng nhau.
Câu IV. (3 điểm) Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
là hình vuông cạnh
a
, cạnh
SA
vuông
góc với đáy và
SA a
. Gọi
,MN
lần lượt là trung điểm của các cạnh
AD
và
SC
.
1. Tính thể tích khối tứ diện
MNBD
.
2. Tính khoảng cách từ điểm
D
đến mặt phẳng
MNB
.
Câu V. (2 điểm) Cho
,,abc
là các số thực dương thoả
418 27a b c ab bc ca
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
2 2 2
1 1 1 1 1 1
P ab bc ca
a b b c c a
Câu VI. (2 điểm) Cho dãy số thực
n
u
xác định bởi:
1
2
1
2013
2011 2013 1 0, 1,
n n n
u
u u u n n
Tìm giới hạn:
12
1 1 1
lim 2012 2012 2012
nn
u u u



…………………..HẾT…………………
Ghi chú: Đối với thí sinh học tại các trung tâm GDTX thì không làm câu VI.
(Thí sinh không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm).
Họ và tên thí sinh…………………………………………..Số báo danh………………………………….
Chữ ký giám thị 1:…………………………………………Chữ ký giám thị 2:…………………………...
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH LỚP 12 THPT
CÀ MAU
Môn thi: Toán
Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (3 điểm) Giải phương trình : sin x
ln(sin x 1) e 1
Bài 2: (3 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Gọi a, b, c, d lần lượt là độ dài các
cạnh và S là diện tích của tứ giác ABCD. Chứng minh rằng :
S (p a)(p b)(p c)(p d)
, với
a b c d
p
2
Bài 3: (2 điểm) Tìm các số x, y, z thoả mãn phương trình :
2 2
2x 4x y 6 y 2xz z 13 0
Bài 4: (3 điểm) Chứng minh rằng với mọi x thuộc khoảng (0 ;
2
). Ta có :
1 – cosx > x2 – ln(
1
c
osx
)
Bài 5: (3 điểm) Cho một bảng hình vuông chia ô : 4 x 4 = 16 ô và tập hợp gồm 16 số tự
nhiên liên tiếp : n, n + 1, ....., n + 14, n + 15; n > 0. Người ta điền các số đó vào các ô của
bảng, mỗi ô điền một số và tô đỏ các ô có số điền trên đó là bội của n. Giả sử có k ô được
tô màu đỏ. Xác định giá trị n để số k là nghiệm phương trình: 3 2 3
k k
(A ) 138C 24 0
; trong
đó
3
k
A
,
3
k
C
lần lượt là chỉnh hợp, tổ hợp chập 3 của tập k phần tử.
Bài 6: (3,5 điểm) Cho hình chóp S.MNPQ, trừ cạnh bên SP, các cạnh còn lại đều bằng a.
1) Tính thể tích lớn nhất của khối chóp.
2) Góc NMQ phải bằng bao nhiêu để thể tích của hình chóp bằng
3
a
2
6
.
Bài 7 : (2,5 điểm) Xác định m để trên cùng hệ toạ độ Oxy, đồ thị hai hàm số sau đây có ít
nhất một đường tiệm cận chung : y = 2
x 4x 5
; y =
2
mx x m 2
x 1
với m là tham
số khác 0.
--------HẾT-------
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT
ĐỀ CHÍNH THỨC
CÀ MAU Năm học 2009 – 2010
Môn thi : TOÁN
Thời gian : 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi :
Bài 1 : Giải hệ phương trình :
1
1
1
x y
y z
z x
Bài 2 : Trong tam giác ABC, hãy tìm một điểm M sao cho :
2 2 2
MA MB MC
là nhỏ nhất.
Bài 3 : Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác vuông, c là cạnh huyền; x, y là hai số thoả
mãn hệ thức ax + by = c . Chứng minh rằng x2 + y2
1. Khi nào xảy ra dấu đẳng thức.
Bài 4 : Tìm mọi hàm số f( x ) thoả : x f ( 1 + x ) – f ( 1 – x ) = x 3 + x 2 + 4 x – 2
Bài 5 : Cho tam giác ABC . Người ta lấy trên các cạnh AB, BC và CA, mỗi cạnh gồm n
điểm phân biệt và khác A, B, C ; n > 1 . Lập các tam giác với các đỉnh là các điểm trong
3n điểm nói trên. Các tính toán sau đây không kể đến tam giác ABC.
1) Gọi s là số các tam giác như vậy. Tính s theo n.
2)Gọi a là số các tam giác lập được như trên nhưng có ba đỉnh nằm trên ba cạnh khác
nhau của tam giác ABC. Có hay không số n để
s
s a
là số nguyên dương ?
Bài 6 : Trên mặt phẳng có hệ toạ độ Oxy, cho hypebol ( H ) có phương trình : 4 x2 – y2 = 1
và đường tròn ( T ) có phương trình : x2 + ( y – 1)2 = 4 .
1) Tìm điểm trên ( H ) có tổng các khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận đạt giá trị nhỏ
nhất ?
2) Chứng minh rằng ( H ) và ( T ) cắt nhau tại 4 điểm phân biệt và 4 điểm đó cùng
nằm trên một đường parabol dạng y = a x2 + b x +c ( a khác 0 ). Tìm phương trình của
parabol đó.
Bài 7 : Tìm giá trị a để phương trình : 2 2
3 3 2 2
4 3.2 0
x x a
có một nghiệm thuộc khoảng
( 1 ;
6
2
)
HẾT
ĐỀ DỰ BỊ
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
ĐẮK LẮK
MÔN: TOÁN 12 – THPT
Thời gian: 180 phút (không kể phát đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Đề thi có 01 trang
Bài 1. (4,0 điểm).
Cho hàm số
3 2
1
y = x x
2
có đồ thị là (C).
Tìm tất cả những điểm trên đồ thị (C) sao cho hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị
(C) tại những điểm đó là giá trị lớn nhất của hàm số: 2
4
4x +3
g(x) =
x +1
.
Bài 2. (5,0 điểm).
Giải các phương trình sau trên tập số thực R:
1/ 2
cosx + 3(sin2x +sinx)-4cos2x.cosx -2cos x +2 0
.
2/ 4 3 2
x 2x + x 2(x x) = 0
.
Bài 3. (5,0 điểm).
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác cân có AB = AC = a (a là
một số thực dương) và mặt bên ACC’A’ là hình chữ nhật có AA’=2a. Hình chiếu vuông
góc H của đỉnh B lên mặt phẳng (ACC’) nằm trên đoạn thẳng A’C.
1/ Chứng minh thể tích của khối chóp A’.BCC’B’ bằng 2 lần thể tích của khối
chóp B.ACA’.
2/ Khi B thay đổi, xác định vị trí của H trên A’C sao cho khối lăng trụ
ABC.A’B’C’ có thể tích lớn nhất.
3/ Trong trường hợp thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là lớn nhất, tìm khoảng
cách giữa AB và A’C.
Bài 4. (3,0 điểm).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(1;1); B(–2;–4); C(5;–1) và
đường thẳng
: 2x – 3y + 12 = 0. Tìm điểm M
sao cho:
MA + MB + MC
nhỏ nhất.
Bài 5(3 điểm).
Cho m là số nguyên thỏa mãn: 0 < m < 2011. Chứng minh rằng
(m + 2010)!
m!2011!
là
một số nguyên.
---------------------- HẾT ----------------------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh……………………............……………… Số báo danh………....
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2011 - 1012
TỈNH ĐẮK LẮK MÔN: TOÁN 12 – THPT
ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
(gồm 4 trang)
A. ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM
Bài(ý)
Nội dung đáp án Biể
u
điể
m
Bài 1
(4 đ)
Bài 2
(5 đ)
1/
(2,5
* Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
2
4
4x +3
g(x) =
x +1
- Đặt t = x2, với
t 0
ta có hàm số 2
t
4 +3
g(t) =
t +1
;
- 2 2
2
4t 6t + 4
g'(t) =
(t +1)
; g’(t) = 0
1
t = 2;t =
2
;
- Ta lại có:
lim ( ) 0
tg t

;
lim ( ) 0
tg t

, bảng biến thiên của hàm số:
t
–2 0
1
2
g’(t)
– 0 + + 0 –
g(t)
0
–1
3
4
0
- Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là
(x)
g
= 4, đạt được khi
2
2
x
* Tìm các điểm thuộc đồ thị (C)
- Ta có: y’ = 3x2 – x , giả sử điểm M0(x0, f(x0))
(C), thì hệ số góc tiếp tuyến
của (C) tại M0 là f’(x0)= 2
0 0
3x x
- Vậy: 2
0 0
3x x = 4
suy ra x0 = –1; x0 =
4
3
, tung độ tương ứng f(–1) = –
3
2
;
f(
4
3
) =
40
27
+ Có hai điểm thỏa mãn giải thiết (–1;–
3
2
); (
4
3
;
40
27
)
Phương trình
cosx + 2cos2x +
3
.sinx(2cosx + 1) – 4cos2x.cosx – 2(2cos2 x – 1 ) = 0.
cosx(2cosx + 1)+
3
.sinx(2cosx + 1)–2.cos2x(2cosx + 1) = 0
(2cosx + 1)(cosx +
3
.sinx –2.cos2x) = 0
0,75
0,5
0,75
0,5
1,0
0,5
1,0