Bài giảng Chương 7: Các phương pháp tính tích phân

Chia sẻ: Le Huutuan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:61

Thêm vào BST

Báo xấu

76
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung của bài giảng Chương 7: Các phương pháp tính tích phân trình bày ôn tập về phép đổi biến và bảng tích phân; tích phân từng phần; phương pháp lượng giác; phương pháp phân tích hữu tỷ; tóm tắt các kỹ thuật tính tích phân; phương trình vi phân bậc nhất; các hàm hyperbolic và các hàm ngược của chúng

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Chương 7: Các phương pháp tính tích phân

Mục lục Contents Chương 7. ...................................................................................................................................... 3 Các phương pháp tính tích phân ............................................................................................... 3 7.1. ÔN TẬP VỀ PHÉP ĐỔI BIẾN VÀ BẢNG TÍCH PHÂN 3 7.1.1. Ôn tập về phép đổi biến ............................................................................................ 3 7.1.2. Sử dụng bảng tích phân ............................................................................................ 6 7.2. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 9 7.2.1. Công thức tích phân từng phần ............................................................................... 9 7.2.2. Sử dụng nhiều lần tích phân từng phần ............................................................... 11 7.2.3. Tích phân từng phần cho tích phân xác định ...................................................... 12 7.3. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC 14 7.3.1. Lũy thừa của Sin và Cos.......................................................................................... 14 7.3.2. Lũy thừa của Sec và Tan ......................................................................................... 15 7.3.3. Đổi biến lượng giác .................................................................................................. 17 7.3.4. Tích phân dạng bậc hai ........................................................................................... 21 7.4. PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH HỮU TỶ 22 7.4.1. Phân tích thành phân thức tối giản ....................................................................... 22 7.4.2. Tích phân hàm phân thức hữu tỷ .......................................................................... 27 7.4.3. Phân thức hữu tỷ của sin và cos ............................................................................ 29 7.5. TÓM TẮT CÁC KỸ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN 31 7.6 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC NHẤT 33 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH BẬC NHẤT .......................................... 34 MỘT ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT .......................................... 37 7.7 TÍCH PHÂN SUY RỘNG 44 Tích phân suy rộng với cận vô hạn ................................................................................. 44 Tích phân suy rộng của hàm không bị chặn .................................................................. 51 Tiêu chuẩn so sánh sự hội tụ và phân kỳ ....................................................................... 55 7.8 CÁC HÀM HYPERBOLIC VÀ CÁC HÀM NGƯỢC CỦA CHÚNG 56 1
Hàm hyperbolic .................................................................................................................. 56 Đạo hàm và tích phân các hàm hyperbolic .................................................................... 58 Các hàm hyperbolic ngược ............................................................................................... 59 BÀI TẬP CHƯƠNG 7 62 2
Chương 7. Các phương pháp tính tích phân 7.1. ÔN TẬP VỀ PHÉP ĐỔI BIẾN VÀ BẢNG TÍCH PHÂN 7.1.1. Ôn tập về phép đổi biến Khi đổi biến ta chọn u, tính du, và sau đó đổi biến để dạng ta đang tính tích phân giống với công thức tính phân đã biết. Ví dụ 7.1. Tích phân bằng phép đổi biến x 2 dx Tìm  . x  5 3 2 Giải. Đặt u  x  2 . Khi đó du  3x dx , vì vậy 3 2 du x dx2    3 (sử dụng đổi biến) x  u 5 5 3 2 1 1 u 4 3  u 5 du  . C 3 4 1 3   4  x  2 C 12 Với tất cả các tích phân bất định, bạn có thể kiểm tra kết quả bằng cách tìm đạo hàm của kết quả vừa tính để xem có bằng với hàm dưới dấu tích phân không. Chẳng hạn,  1 3  1   d     3x  x2 4 5  x 2  C    4 x 3  2 2  0  . ■  12  dx 12   x  5   3 2 Ví dụ 7.2. Đưa về dạng của một tích phân đã biết bằng phép đổi biến 3
t dt Tìm  1t4 . Giải. Ta chú ý về sự tương tự giữa tích phân đang tính và tích phân cho hàm ngược của hàm sin, nếu ta đặt u  t . Khi đó du  2tdt và 2 du tdt 2 1 du  1t4   1  u2   2 1  u2 1  sin1 u  C 2 1  sin1 t 2  C ■ 2 Phương pháp đổi biến (mục 5.5) rất quan trọng, vì nhiều kỹ thuật được trình bày trong chương này sẽ được sử dụng kết hợp với phép đổi biến. Ví dụ 3 và 4 minh họa thêm các cách đổi biến có thể sử dụng trong bài toán tích phân. Ví dụ 7.3. Nhân với 1 để được một công thức tích phân Tìm  sec x dx . Giải. Nhân hàm dưới dấu tích phân sec x với sec x  tan x và chia cho cùng đại lượng này: sec x sec x  tan x   sec x dx   sec x  tan x dx du   u   (với u  sec x  tan x , thì du  sec 2 x  sec x tan x dx )  ln u  C  ln sec x  tan x  C ■ Bạn có thể thắc mắc tại sao lại nghĩ đến nhân và chia hàm dưới dấu tích phân sec x trong ví dụ 3 với sec x  tan x . Nói rằng ta làm như thế vì “nó hiệu quả” có thể không là câu trả lời thỏa đáng. Tuy nhiên, những kỹ thuật như thế này đã có từ lâu, và nhân với 1 là một phương pháp quan trọng trong toán học để đổi dạng biểu diễn có sẵn sang dạng biểu diễn mới, nhằm giải quyết bài toán dễ dàng hơn. Ví dụ 7.4. Đổi biến sau một biến đổi đại số 4
dx Tìm  1  ex . Giải. Đổi biến trực tiếp u  1  e không giải quyết được bài toán: x du dx ex  du  1 e x   u  ue x . Đây không là dạng thích hợp vì x vẫn chưa bị khử hết. Thay vào đó, ta viết lại hàm dưới dấu tích phân như sau: dx 1 e x  1  ex    1  e x e x dx (nhân với 1) e xdx  (đặt u  e  1 , thì du  e xdx ) x  e x  1 du    ln u  C u    ln e x  1  C  (e x  1  0, x , vì vậy ln e x  1  ln e x  1 ) ■   Tích phân chứa số hạng có lũy thừa phân số. Khi hàm dưới dấu tích phân chứa các số hạng với lũy thừa phân số, thường cách tốt là chọn đổi biến x  u , với n là số nguyên n dương bé nhất mà chia hết cho tất cả các mẫu số của các số mũ (đó là bội chung nhỏ nhất của các mẫu số). Chẳng hạn, nếu hàm dưới dấu tích phân chứa các số hạng như 14 23 16 x ,x ,x , thì đổi biến x  u , vì 12 là số nguyên dương bé nhất chia hết cho tất cả 12 các mẫu số của các số mũ 4, 3, 6. Lợi thế của cách giải quyết này là nó đảm bảo lũy thừa phân số của x trở thành lũy thừa nguyên của u. Như vậy,       16 16 14 14 2 3 2 3 x  u 12  u 2, x  u 12  u 3, x  u 12  u8 . Ví dụ 7.5. Đổi biến với lũy thừa phân số dx Tìm x 13 x 12 . 5
Giải. Vì 6 là số nguyên bé nhất chia hết cho các mẫu số 2 và 3, nên ta đặt x  u , vì vậy 6 dx  6u 5du . Ta đổi biến: dx 6u 5du 6u 5du x     u    u2  u3 13 12 13 12 x 6  u6 6u 3du 6u 3 6  (Chia  6u 2  6u  6  ) 1u 1u 1u  2  6u  6u  6  6  du  2u 3  3u 2  6u  6 ln 1  u  C  16  (thay u  x )  1  u   2x 12  3x 13  6x 16   6 ln 1  x 16  C (vì 1  x 16  0 ). ■ 7.1.2. Sử dụng bảng tích phân Để sử dụng bảng tích phân, đầu tiên phân loại dạng tích phân. Để dễ dàng đổi biến, ta sử dụng u như là biến của tích phân, và đặt a, b, c, m, n biểu diễn các hằng số. Các dạng liệt kê trong phụ lục D như sau: Dạng cơ bản (công thức 1-29) Dạng bậc nhất và bậc hai (công thức 30-76) Các dạng bao gồm au  b; u 2  a 2 ; u 2  a 2 ; a 2  u 2 ; au 2  bu  c . Dạng căn (công thức 77-121) Các dạng bao gồm au  b ; u2  a2 ; u2 a2 ; a2  u2 Dạng lượng giác (công thức 122-167) Các dạng bao gồm cos au; sin au; cả sinau và cosau ; tan au; cot au; sec au; csc au Dạng lượng giác ngược (công thức 168-182) Dạng mũ và logarit (công thức 183-200) 6
Các dạng bao gồm e au ; ln u . Có một quan niệm sai thường thấy, đó là tính tích phân sẽ dễ nếu có một bảng sẵn, nhưng thậm chí với một bảng có sẵn có thể vẫn còn một số lượng lớn công việc. Sau khi quyết định dạng áp dụng, phải làm khớp bài toán đang giải quyết với dạng áp dụng bằng việc lựa chọn thích hợp các hằng số. Ta có thể áp dụng nhiều dạng, nhưng khi lấy các kết quả để đạo hàm thì sẽ giống nhau. Trong bảng tích phân không ghi hằng số C, nhưng bạn phải nhớ thêm chúng vào kết quả khi sử dụng bảng để tính tích phân. Chú ý trong bảng ở phụ lục D có hai loại công thức. Loại thứ nhất cho ra công thức là nguyên hàm, loại thứ hai (gọi là công thức rút gọn (reduction formula)) chỉ đơn giản là viết lại tích phân ở một dạng khác. Ví dụ 7.6. Tích phân sử dụng bảng tích phân  x 3  x  dx . 2 5 Tìm Giải. Ta có thể tính tích phân này bằng sử dụng đổi biến:  x 3  x  dx   3  u  u 5 du  5 2 2 (Nếu u  3  x thì du  dx )    u 7  6u 6  9u 5 du    u 8 6u 7 9u 6 8  7  6 C 1 6 3  3  x   3  x    3  x   C . 8 7 6  8 7 2 Mặc dù ví dụ trên không quá khó, nhưng nó nhàm chán, vì thế ta nghĩ cách tìm tích phân này bằng việc sử dụng bảng tích phân. Đây là tích phân chứa dạng au  b ; ta tìm được công thức 32 với u  x , a  1, b  3, n  5 . 3  x   2. 3. 3  x  32  3  x  53 5 2 5 1    5 x 2 3  x dx   C 5  31 5  21 5  11 3 3 3 1 6 3  3  x   3  x    3  x   C 8 7 6  ■ 8 7 2 Ví dụ 7.7. Tích phân sử dụng công thức rút gọn từ bảng tích phân 7
 ln x  4 Tìm dx . Giải. Hàm dưới dấu tích phân có dạng logarit; từ bảng tích phân ta thấy rằng áp dụng công thức 198, phụ lục D, với u  x , n  4 . Công thức này là công thức rút gọn (reduction formula) vì ta có thế tính tích phân cho trước qua một tích phân cùng dạng nhưng với lũy thừa thấp hơn.  ln x  dx  x ln x   4  ln x  dx 4 4 4 1 (công thức 198)    x ln x   4 x ln x   3  ln x  dx  4 3 31 (công thức 198)    x ln x   4x ln x   12  ln x  dx 4 3 2    x ln x   4x ln x   12 x ln x   2x ln x  2x   C 4 3 2 (công thức 197)    x ln x   4x ln x   12x ln x   24x ln x  24x  C 4 3 2 ■ Chú ý từ ví dụ trên rằng ta ghi hằng số C chỉ sau khi tính tích phân cuối cùng (thay vì ghi các hằng số C 1, C 2,  ở mỗi tích phân tích được, vì C1  C 2    C cũng là một hằng số bất kỳ). Thông thường ta cần đổi biến trước khi sử dụng một trong những công thức tích phân, điều này được chỉ ra ở ví dụ sau. Ví dụ 7.8. Sử dụng bảng tích phân sau đổi biến x dx Tìm  8  5x 2 . Giải. Tích phân này có dạng a 2  u 2 , nhưng nó không thực sự khớp hoàn toàn với công thức nào trong bảng. Tuy nhiên, ngoại trừ hệ số 5, thì nó giống công thức 111. Đặt u  5x , khi đó du  5 dx : u du  xdx 5 5 1 udu  8  5x 2   8  u2 5 8  u2 8
 1 5   8  u 2 C  (công thức 111 với a 2  8 ) 1  8  5x 2 C ■ 5 Đối với ví dụ 8, bạn có thể đặt u  8  5x 2 , khi đó du  10xdx : du  xdx 8  5x 2   u 10  10 5   10   1 u 1 2du   1 2u 1 2  C   1 8  5x 2  C Kết quả này giống với kết quả đã tính ở trên. Tính toán này để nhấn mạnh rằng bạn nên thử những phương pháp tích phân đơn giản trước khi dùng bảng tích phân. Ví dụ 7.9. Tích phân bằng bảng  5x 3x 2  1 dx . 2 Tìm Giải. Tích phân này tương tự công thức 87. u 2  du  5x 2 3x  1 dx  5   u 2  1 2 (Nếu u  3x thì du  3dx )  3  3 5  u u 2  1 du (công thức 87 với a  1 ) 2 3 3     32 5  u u  1   2 2 1 u u 1 2 2 1 2 4      ln u  u 2  12   C 3 3 4 8 8    5         1 32 12  2x 3x 2  1  x 3x 2  1  ln 3x  3x 2  1   C ■ 24  3   7.2. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 7.2.1. Công thức tích phân từng phần Nhớ lại công thức vi phân của tích. Nếu u và v là các hàm khả vi thì d uv   udv  vdu 9
Tích phân hai vế của phương trình trên để tìm công thức cho tích phân từng phần:  d uv    udv   vdu uv   udv   vdu Viết lại phương trình cuối, ta được công thức tổng quát sau CÔNG THỨC TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN  u dv  uv   v du Ví dụ 7.10. Tích phân từng phần  xe dx . x Tìm Giải. Để sử dụng tích phân từng phần, ta chọn u và dv sao cho tích phân mới dễ tính hơn tích phân ban đầu. u  x du  dx   Đặt  , thì  . Khi đó dv  e dx x v   e xdx  e x    xe dx  x e x   e x dx  xe x  e x  C x Bạn có thể kiểm tra lại kết quả bằng cách đạo hàm kết quả, hoặc sử dụng phần mềm, hoặc sử dụng bảng tích phân ở phụ lục D (công thức 184, với a  1 ). ■ Tích phân từng phân thường khó khi lần đầu bạn thử làm, vì không có sự lựa chọn tuyệt đối cho u và dv. Trong ví dụ 1, bạn cũng có thể chọn  du  e xdx u  e x   Đặt  thì  x2  dv  x dx      v   x dx  2 Khi đó 10
x2 x2 x  xe x dx  e x 2  2 e dx Tuy nhiên, chọn u và dv như trên dẫn đến một dạng phức tạp hơn dạng ban đầu. Nói chung, khi bạn tích phân từng phần, nếu chọn u và dv mà dẫn đến một dạng phức tạp hơn ban đầu, thì bạn xem xét quay lại chọn u và dv theo một cách khác. Một cách tổng quát, bạn chọn dv khó nhất có thể mà vẫn có thể tính được tích phân, và phần còn lại trong tích phân chính là u. Ví dụ 7.11. Khi vi phân từng phần là toàn bộ hàm dưới dấu tích phân Tìm  ln x dx , với x  0 . u  ln x   1   du  dx Giải. Đặt  thì  x . Khi đó dv  dx  vx    1   ln x dx  ln x  x   x  x dx   x ln x  x  C Kiểm tra với công thức 196 (phụ lục D). ■ 7.2.2. Sử dụng nhiều lần tích phân từng phần Đôi khi phải áp dụng tích phân từng phần vài lần để tính tính phân đã cho. Ví dụ 7.12. Tích phân từng phần nhiều lần xe 2 x Tìm dx .   du  2xdx u  x 2 Giải. Đặt   thì  . Khi đó  dv  e x v  e x    xe 2 x      dx  x 2 ex   ex 2x dx  x 2ex  2 xe xdx u  x du  dx Đặt    thì  . Khi đó dv  e x dx v  e x   11
xe 2 x      dx  x 2e x  2 x e x   e x dx   x 2e x  2xe x  2e x  C  Kiểm tra công thức 185, với a  1 . ■ Ví dụ sau đây, ta cần áp dụng tích phân từng phần nhiều lần, nhưng bạn sẽ thấy rằng, khi ta tích phân từng phần đến lần thứ 2 thì ta quay lại tích phân ban đầu. Chú ý cẩn thận trường hợp này được giải quyết như thế nào. Ví dụ 7.13. Tích phân từng phần nhiều lần với biến đổi đại số e sin x dx . 2x Tìm Giải. Gọi tích phân ban đầu là I. u  e 2x du  2e 2xdx Đặt  thì  : dv  sin xdx v   cos x     I   e 2x sin x dx  e 2x  cos x     cos x  2e 2x dx  e 2x cos x  2 e2x cos x dx u  e 2 x du  2e 2xdx Đặt  thì  : dv  cos xdx v  sin x     I  e 2x  cos x   2 e 2x sin x    sin x 2e 2xdx   e 2x cos x  2e 2x sin x  4  e 2x sin x dx   Tức là I  e cos x  2e sin x  4I 2x 2x hay 5I  e 2x cos x  2e 2x sin x  C 1 Vậy I  e2x 2 sin x  cos x  C . 5 1 Như vậy e 2x sin x dx  e2x 2sin x  cos x  C . Kiểm tra với công thức 192, phụ 5 lục D, khi a  2, b  1 , hoặc bằng cách lấy đạo hàm. ■ 7.2.3. Tích phân từng phần cho tích phân xác định 12
TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN CHO TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH b b b  u dv  uv a   v du a a Ví dụ 7.14. Tích phân từng phần cho tích phân xác định 1  xe dx . 2x Tính 0   du  dx  ux   Giải. Đặt  thì  1 2 x . Khi đó  dv  e 2x dx  v  e     2 1 1  1 1 1 1 1 2x 1 1 1  xe dx  xe   e 2x dx   xe 2x  e 2x   e 2  2x 2 2 0 2 4  0 4 4 0 0  Kiểm tra trong phụ lục D công thức 184, với a  2 . ■ Ví dụ 7.15. Tích phân từng phân cho tích phân xác định rồi đổi biến 1  tan 1 Tính x dx . 0   dx  u  tan 1 x  du   thì  Giải. Đặt  1  x 2 . Khi đó  dv  dx     v x   1 1 x dx   1  tan x dx  tan x x   1 1 0 0 0 1 x2    1  x tan 1 x  ln 1  x 2 2     (sử dụng đổi biến t  1  x 2 , dt  2x dx )         1 2    1 2   1  1 tan 1 1  ln 1  1   0  ln 1   ln 2 . 4 2     13
Kiểm tra trong phụ lục D công thức 180, với a  1 . ■ 7.3. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC 7.3.1. Lũy thừa của Sin và Cos Ta xét tích của các lũy thừa của sin và cos, có dạng  sin x cosn x dx m Có hai trường hợp chủ yếu cần xét, phụ thuộc vào các số mũ m và n cùng là số chẵn hay không. Ta sẽ nêu cách giải quyết tổng quát cho mỗi trường hợp và sau đó minh họa thông qua ví dụ. Trường hợp 1: m hoặc n là số lẻ (hoặc cả hai cùng là số lẻ) Cách làm tổng quát: Nếu m là số lẻ thì tách một thừa số sin x từ hàm dưới dấu tích phân. Khi đó số mũ còn lại của sin x là số chẵn, sử dụng sin2 x  1  cos2 x để biểu diễn hết   theo cos x , trừ số hạng sin x dx . Đổi biến u  cos x , du   sin x dx để chuyển tích phân thành đa thức theo u và tính tích phân sử dụng quy tắc lũy thừa. Nếu trường hợp n là số lẻ thì thực hiện tương tự như trên nhưng thay vai trò của sin x và cos x . Ví dụ 7.16. Lũy thừa của cos là số lẻ  sin x cos3 x dx . 4 Tìm Giải. Vì n  3 là số lẻ, nên tách một thừa số cos x và sử dụng cos2  1  sin2 x để biểu diễn tích phần như một đa thức theo sin x .  sin 4     x cos3 x dx   sin4 x cos2 x cos x dx   sin4 x 1  sin2 x cos x dx  Đặt u  sin x thì du  cos x dx .  sin 4   1 1 1 1 x cos3 x dx  ! u 4 1  u 2 du  u 5  u 7 C  sin5 x  sin7 x C 5 7 5 7 ■ Trường hợp 2: m và n đều là số chẵn Cách làm tổng quát: Chuyển thành trường hợp 1 bằng cách sử dụng 14
1 1 sin2 x  2 1  cos 2x  và cos2 x  1  cos 2x  . 2 Ví dụ 7.17. Tất cả số mũ đều là số chẵn  sin x cos4 x dx . 2 Tìm Giải. 1  1   sin2 x cos4 x dx   2 1  cos 2x    1  cos 2x 2 dx  4   1 8 1  cos 2x  cos 2  2x  cos 3 2x dx   1   8  2    1  cos 2x  1 1  cos 4x   1  sin2 x cos 2x  dx   1  1    1  cos 2x  1  cos 4x   cos 2x  sin2 2x cos 2x  dx 8  2    1 1 1      cos 4x  dx  1 sin2 2x cos 2x dx  2 2  8  8 Đặt u  sin 2x thì du  2 cos 2xdx . Khi đó 1 1 1  sin x cos4 x dx  x  sin 4x   u 2du 2 16 64 16 1 1 1  x  sin 4x  sin3 2x C ■ 16 64 48 7.3.2. Lũy thừa của Sec và Tan Tích phân đơn giản nhất của dạng này là  tan x dx  ln sec x  C và  sec x dx  ln sec x  tan x  C . Với trường hợp tổng quát hơn, ta viết dưới dạng  tan x secn x dx . m Có 3 trường hợp chủ yếu được xét. 15
Trường hợp 1: n là số chẵn Cách làm tổng quát: Tách một thừa số sec2 x từ hàm dưới dấu tích phân và sử dụng sec2 x  tan2 x  1 để biểu diễn hàm dưới dấu tích phân theo tan x , ngoại trừ sec x dx  ; đổi biến u  tan x , 2 du  sec 2 dx , và tính tích phân sử dụng quy tắc lũy thừa. Ví dụ 7.18. Lũy thừa của sec là số chẵn  tan x sec4 x dx . 2 Tìm Giải.  tan 2    x sec4 x dx   tan x sec2 x sec2 x dx   tan2 x tan2 x  1 sec2 x dx  Đặt u  tan x thì du  sec2 c dx . Khi đó  tan 2  1  1 1 1 x sec4 x dx   u 2 u 2  1 du  u 5  u 3  C  tan5 x  tan3 x C ■ 5 3 5 3 Trường hợp 2: m là số lẻ Cách làm tổng quát: Tách một thừa số sec x tan x từ hàm dưới dấu tích phân và sử dụng tan 2 x  sec2 x  1 để biểu diễn hàm dưới dấu tích phân theo sec x , ngoại trừ sec x tan x dx  ; đổi biến u  sec x, du  sec x tan x dx , và tính tích phân sử dụng quy tắc lũy thừa. Ví dụ 7.19. Lũy thừa của tan là số lẻ  tan x sec x dx . 6 Tìm Giải.  tan x sec 6  x dx   sec5 x sec x tan x dx .  Đặt u  sec x thì du  sec x tan x dx . Khi đó 16
1 1  tan x sec x dx   u 5du  u 6 C  sec6 x C 6 ■ 6 6 Trường hợp 3: m là số chẵn và n là số lẻ Cách làm tổng quát: Sử dụng tan 2 x  sec2 x  1 để biểu diễn hàm dưới dấu tích phân theo sec x ; khi đó sử dụng công thức rút gọn 161 (phụ lục D): secn 2 au tan au n 2  sec au du    secn 2 au du n a n  1 n 1 Ví dụ 7.20. Lũy thừa của tan là số chẵn và lũy thừa của sec là số lẻ  tan x sec3 x dx . 2 Tìm Giải.  tan x sec 3 x dx   sec  x  1 sec3 x dx   sec5 xdx   sec3 x dx 2 2  sec3 x tan x  sec 3 x tan x 1  3     sec x dx    sec x dx  3 3   sec3 x dx  4 4  4 4   sec3 x tan x 1  sec x tan x 1       sec x dx  4 4 2 2   sec3 x tan x sec x tan x 1    ln sec x  tan x  C ■ 4 8 8 7.3.3. Đổi biến lượng giác Đổi biến lượng giác có thể hiệu quả. Chẳng hạn, giả sử một hàm dưới dấu tích phân chứa số hạng a 2  u 2 , với a  0 . Khi đó bằng việc đặt u  a sin  với một góc nhọn  , và sử dụng cos2   1  sin2  , ta được a 2  u 2  a 2  a 2 sin2   a 1  sin2   a cos  Như vậy, đổi biến u  a sin , du  a cos  d  loại bỏ được căn bậc hai và có thể chuyển tích phân đã cho thành một tích phân mới chỉ chứa sin và cos. Sự đổi biến này có thể ghi nhớ bằng cách thiết lập một tam giác tương ứng. Quá trình này được minh họa trong ví dụ sau. 17
Ví dụ 7.21. Đổi biến lượng giác với dạng a2 - u2 Tìm  4  x 2dx . Giải. Đầu tiên, sử dụng bảng tích phân, áp dụng công thức 117 với a  2 x 4 x2 x   4  x dx  2  2 sin1    C 2  2  Mục đích của chúng ta trong ví dụ này là chỉ ra ta có được công thức này như thế nào khi sử dụng đổi biến lượng giác. Xem tam giác ở hình 7.1. Hình 7.1. Tam giác tương ứng với dạng a2  u2 . Đặt x  2 sin  , thì dx  2 cos  d  . Khi đó  4  x 2dx      cos 4  4 sin2  2 cos  d   2  d 1  cos 2  4 d   2  sin 2  C 2  2  2 sin  cos   C Bước cuối cùng là chuyển đáp số thành các số hạng theo x. Sử dụng tam giác ở hình 7.1, x 1 ta tìm được sin   và cos   4 x2 . 2 2 x  Như vậy, ta có   sin 1    2  18
 x   x  4  x 2  4  x dx  2 sin    2      C  2 1  2   2  2    x  x  2 sin1    4  x 2 C . ■  2  2 Phương pháp tương tự có thể được dùng để chuyển tích phân chứa các số hạng dạng a 2  u 2 hay u 2  a 2 sang tích phân lượng giác, được chỉ ra ở bảng 7.1. Đối với  bảng này, ta yêu cầu 0    . 2 Bảng 7.1 Đổi biến lượng giác đối với tích phân chứa căn Nếu hàm dưới dấu tích phân chứa… đổi biến để được… a 2  u2 u  a sin  a 2  u 2  a cos  a2  u2 u  a tan  a 2  u 2  a sec  u2  a2 u  a sec  u 2  a 2  a tan  Ví dụ 7.22. Đổi biến lượng giác với dạng a2  u2 x 9  x 2dx . 2 Tìm Giải. Đặt x  3 tan , dx  3 sec2  d  . Khi đó  x 9  x dx   3 tan   9  9 tan  3 sec  d  2 2 2 2 2   9 tan  3 sec   3 sec  d   81 tan  sec  d  2 2 2 3 Theo kết quả của ví dụ 5 trong phần này, ta có  sec 3  tan  sec  tan   1 x 2 9  x dx  81 2   ln sec   tan    C  4 8 8    Để biểu diễn nguyên hàm theo biến x, ta sử dụng tam giác tương ứng ở hình 7.2. 19
Hình 7.2. Tam giác tương ứng với dạng a2  u2 . x 9  x2 Vì tan   nên ta có sec   . Như vậy 3 3  2    3   81  9  x    x  81  9  x 2   x  81 9  x2 x  x2 9  x dx             ln  C 2 4  3   3  8  3   3  8 3 3   12 9  x2 x   9x   81 x 32 12  9  x2  9  x2  ln  C . ■ 4 8 8 3 3 Ví dụ 7.23. Đổi biến lượng giác với dạng u2 - a2 x x 2  1 dx . 3 Tìm Giải. Đặt x  sec , dx  sec  tan  d  ; ta sử dụng tam giác tương ứng ở hình 7.3. Hình 7.3. Tam giác tương ứng với dạng u2  a2 . 20