intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng cơ học lượng tử - Nguyễn Văn Khiêm : Bài 20

Chia sẻ: Lê Nam | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:21

Thêm vào BST
Báo xấu
91
lượt xem 8
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bây giờ ta sẽ dùng những suy luận chung ở bài 18 và bài 19 để nghiên cứu nguyên tử và hệ hạt với những dao động nhỏ Tạm thời, ta bỏ qua ảnh hưởng của spin đối với chuyển động. Nguyên tử như hệ hai hạt Trong bài 18 và bài 19, khi xét chuyển động của electron quang học trong nguyên tử..

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng cơ học lượng tử - Nguyễn Văn Khiêm : Bài 20

  1. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam C¬ häc l­îng tö Ng uyÔn V¨n Khiªm
  2. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bài 20 VÀI MÔ HÌNH ĐƠN GIẢN VỀ HỆ HẠT
  3. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bây giờ ta sẽ dùng những suy luận chung ở bài 18 và bài 19 để nghiên cứu nguyên tử và hệ hạt với những dao động nhỏ Tạm thời, ta bỏ qua ảnh hưởng của spin đối với chuyển động. 1.Nguyên tử như hệ hai hạt Trong bài 18 và bài 19, khi xét chuyển động của electron quang học trong nguyên tử, ta đã coi hạt nhân là tâm lực bất động và là đối tượng cỏ điển. Điều này được biện hộ bởi việc khối lượng hạt nhân là rất lớn so với electron, và vì thế nó có độ ỳ lớn. Tuy nhiên, việc coi nó là đối tượng cổ điển dù sao cũng khá thô, vì nố vẫn không thể so sánh được với các đối tượng vĩ mô.
  4. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Vì vậy, để có kết qủa chính xác hơn, ở đây ta sẽ coi cả hạt nhân là đối tượng lượng tử Do các electron đều quá nhẹ so với hạt nhân, nên khi dồn sự chú ý vào một electron (electron quang học), ta có thể coi nguyên tử là hệ hai hạt một electron và một nhạt nhân Ký hiệu m1 là khối lượng hạt nhân, m2 khối lượng electron, ta có phương trình trạng thái dừng của nguyên tử là:   2 2  2 2 − ∇1 − ∇ 2 Ψ + U ( r ) Ψ = EΨ (20.1)  2m1 2m2 
  5. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam    m1r1 + m2 r2 Đặt = R( X , Y , Z ) m1 + m2  Khi đó R là bộ ba tọa độ của khối tâm Phương trình (20.1) trở thành   2 2  2 ~2 − ∇ − ∇  Ψ + U ( r ) Ψ = EΨ (20.2)  2M 2µ  trong đó ∇ 2 lấy theo X, Y, Z tức là liên quan đến chuyển động của khối tâm m1m2 M = m1 + m2 và µ= m1 + m2
  6. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ~ còn ∇ 2 lấy theo x, y, z tức là liên quan đến chuyển động tương đối giữa hai hạt m1m2 M = m1 + m2 và µ= m1 + m2 Cũng như trong bài 18, việc tách biến dẫn đến nghiệm dừng: − ( P, R ) i   ( )  Ψ R, r = e  ψ ( x, y, z) (20.3) trong đó Ψ thỏa mãn phương trình  2 ~2 − ∇ Ψ + U ( r ) Ψ = εΨ (20.4) 2m2 P2 với ε =E− 2M
  7. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam là năng lượng của chuyển động tương đối hay nội năng của hệ. Phương trình (20.4) hiển nhiên là phương trình chuyển động của hạt có khối lượng µ trong trường xuyên tâm U(r)  2 ~2 − ∇ Ψ + U ( r ) Ψ = εΨ (20.4) 2m2 Các mức năng lượng liên quan đến hằng số Rydberg - Ritz: e4µ R= 4π 3c Trong biểu thức này trước đây ta lấy µ bằng khối lượng electron thì ở đây phải lấy µ là khối lượng rút gon của hệ. Cũng vơí giá trị µ như vậy, các mức nội năng sẽ là: e4µ εn = 2 2 (n = 1, 2, 3, ...) 2 n Chú ý rằng ở đây ta đã bỏ qua spin của hạt.
  8. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 2. Dao động nhỏ của hệ hạt Trước hết xét hệ hai hạt cùng có khối lượng là µ Ký hiệu x1, x2 là độ lệch của hai hạt so với vị trí cân bằng. Thế năng của hệ có dạng: µω 2 U ( x1 , x2 ) = ( x1 + x2 ) + λx1 , x2 + ... (20.5) 2 và hamiltonian của hệ là  2  ∂2 ∂ 2  µω 2 ˆ H =−  2 + 2+  ∂x ∂x  ( x1 + x2 ) + λx1, x2 + ... (20.6) 2µ  1 2  2
  9. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam trong đó ω là tần số dao động riêng của mỗi hạt (khi không có tương tác) λx1x2 +… là năng lượng tương tác. Để đơn giản hóa vấn đề, sau đây ta sẽ bỏ qua các số hạng chưa có mặt ˆ trong U và H (bậc cao hơn các số hạng đã viết)  1 Đặt:  x1 = ( q1 + q2 )  2  (20.7) 1 x =  2 ( q1 − q2 )  2 ta có: ∂ψ ∂ψ ∂x1 ∂ψ ∂x2 1  ∂ψ ∂ψ  = + =   ∂x + ∂x  ∂q1 ∂x1 ∂q1 ∂x2 ∂q2 2 1 2 
  10. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Tương tự: ∂ 2ψ 1  ∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ  =  2 + 2 −2  ∂x  ∂q1 2  1 2 ∂x2 ∂x1 ∂x2   Do đó: ∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ + 2 = 2 + 2 ∂x1 2 ∂x2 ∂q1 ∂q2 Vì vậy: ˆ  2  ∂2 ∂ 2  µω12 2 µω2 2 2 H =−  2 + 2 +  ∂q  q1 + q2 (20.8) 2µ  1 ∂q2  2 2 trong đó:  2 λ ω1 = ω + µ 2   (20.9) ω 2 = ω 2 − λ  2  µ
  11. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ˆ = −   ∂ + ∂  + µω1 q 2 + µω2 q 2 2 2 2 2 2 H  2  (20.8) Biểu thức (20.8) cho thấy:  ∂q 2  2 µ  1 ∂q2  2 1 2 2 về mặt toán học, ta có thể thay một hệ hai hạt tương tác bằng một hệ dao động tử độc lập. Phương trình trạng thái dừng sẽ là:  2  ∂ 2ψ ∂ 2ψ  µω12 2 µω2 2 2 −  2 + 2 + q1ψ + q2ψ = Eψ (20.10) 2 µ  ∂q1 ∂q2    2 2 Đặt ψ = ψ ( q1 , q2 ) = ψ ( q1 )ψ ( q2 ) từ phương trình (20.10) ta được hai phương trình:  2 ∂ 2ψ k µω12 2 − + qkψ k = Ekψ k (k = 1, 2) (20.11) 2 µ ∂qk 2 2
  12. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ξ2 với E1+E2=E. ϕ n ( ξ ) = cn e − 2 H n (ξ ) (10.21) Nghiệm của mỗi phươg trình trên, như đã biết từ bài 10, có dạng: 2 -ξ k ψ kn ( qk ) = Ckn .e 2 .H n ( ξ k ) (20.11') trong đó: µωk ξ k = qk  , và các mức năng lượng tương ứng là:  1 Ekn =  ωk  n + , n = 0,1, 2, ... (20.12)  2 Do đó, nghiệm của (20.10) sẽ có dạng: ψ n1n2 ( q1 , q2 ) = ψ1n1 ( q1 ) ψ 2 n2 ( q2 ) (20.13)
  13. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ứng với mức năng lượng:  1  1 En1n2 =  ω1  n1 +  +  ω2  n2 +  (20.14)  2  2 Bây giờ ta chuyển sang trường hợp tổng quát Giả sử có N hạt với khối lượng giống nhau là µ thực hiện những dao động nhỏ. Ký hiệu ba tọa độ của hạt thứ k là x3k-2, x3k-1, x3k. Khi đó, bỏ qua các số hạng bậc cao hơn 2, ta có hàm thế năng của hệ là: 3N U= ∑A i ,k =1 xx ik i k (20.15)
  14. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Đặt: 3N q j = ∑ A jkα ik xk (20.16) k =1 và chọn các hệ số αik thích hợp, ta có thể đưa U về dạng: 3N µω 2 2 U =∑ j qj (20.17) j =1 2 Tương ứng, hamiltonian của hệ là: 3N   2 ∂ 2 µω 2 2  H = ∑ − ˆ + j qj  (20.18)  2µ ∂q j=  2 2  j  và phương trình trạng thái dừng sẽ là: ˆ Hψ = Eψ (20.19)
  15. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Nghiệm của (20.18) có dạng: ψ n1 ...n3 N ( q1 ,..., q3 N ) = ψ n1 ( q1 )...ψ n3 N ( q3 N ) (20.20)  2 ∂ 2ψ k µω12 2 − + qkψ k = Ekψ k (k = 1, 2) (20.11) 2 µ ∂qk 2 2 trong đó mỗi ψ k ( qk ) đều có dạng (20.11) và các mức năng lượng tương ứng là: 3N  1 En1 ...n3 N = ∑  ωk  nk +  (20.21) k =1  2
  16. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
  17. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
  18. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
  19. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
  20. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2