Bài giảng Cơ học lý thuyết: Chương 3 - Huỳnh Vinh

Chia sẻ: Bánh Bèo Xinh Gái | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:19

Thêm vào BST

Báo xấu

30
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Cơ học lý thuyết: Chương 3 Động học điểm, cung cấp cho người học những kiến thức như: Khảo sát chuyển động của điểm bằng phương pháp véc tơ; Khảo sát chuyển động của điểm bằng phương pháp tọa độ Descartes; Khảo sát chuyển động của điểm bằng phương pháp tọa độ tự nhiên.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Cơ học lý thuyết: Chương 3 - Huỳnh Vinh

Động học nghiên cứu chuyển động về mặt hình học (không xét nguyên nhân gây ra chuyển động). GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 223
1. Phương trình chuyển động + Chọn O là gốc cố định + M: động điểm + OM = r = r (t ) : phương trình chuyển động 3.1 Chương 3 M (Các công thức trong chương này đã được chứng r minh, người đọc công nhận để vận dụng) O Qũy đạo chuyển động Cố định GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 224 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 226 2. Vận tốc của động điểm M M v = rɺ §1. Khảo sát chuyển động của điểm bằng Mặt phẳng mật tiếp phương pháp véc tơ r O M v = rɺ Qũy đạo chuyển động Cố định Theo phương tiếp tuyến, hướng chuyển động r a = ɺɺ r dr (t ) ɺ 3.2 O v Công thức véc tơ: v (t ) = = r (t ) dt Qũy đạo chuyển động Độ lớn: v = rɺ ( t ) (tốc độ) 3.3 Cố định + Đơn vị: (m/s) GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 225 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 227
3. Gia tốc của động điểm M 4. Tính chất chuyển động + Quỹ đạo chuyển động tại M là thẳng hay cong M v = rɺ . v ∧ a = 0 : Quỹ đạo tại M là thẳng 3.6a Mặt phẳng mật tiếp 3.6b . v ∧ a ≠ 0: Quỹ đạo tại M là cong a = ɺɺ r r + Chuyển động nhanh dần, chậm dần hay đều: phụ thuộc vào tính O đơn điệu của tốc độ v của vận tốc. Tính đơn điệu của v cũng chính là tính Qũy đạo chuyển động đơn điệu của v2. Để khảo sát tính đơn điệu của v2 ta xét dấu đạo hàm cấp Cố định Trong mp mật tiếp, hướng về phía lõm của quỹ đạo tại M dv 2 d ( v 2 ) dv 2 1 của v theo thời gian t: = = 2v = 2v .a 3.7 dt dt dt drɺ (t ) d 2 r (t ) ɺɺ a Công thức véc tơ: a (t ) = = = r (t ) 3.4 . v .a = 0 : M chuyển động đều dt dt 2 3.7a Độ lớn: a = ɺɺ r (t ) . v .a > 0 : M chuyển động nhanh dần 3.7b 3.5 . v.a < 0 : M chuyển động chậm dần 3.7c + Đơn vị: (m/s2) GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 228 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 230 * Mối quan hệ phương của vận tốc và phương của gia tốc + Trường hợp quỹ đạo tại M là cong M v §2. Khảo sát chuyển động của điểm bằng Quỹ đạo phương pháp tọa độ Descartes z a (Không cùng phương với nhau) z (t ) M v = rɺ + Trường hợp quỹ đạo tại M là thẳng M v k r a = ɺɺ r a j y (t ) i y x (t ) O Qũy đạo chuyển động (Cùng phương với nhau – theo phương quỹ đạo) x GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 229 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 231
1. Phương trình chuyển động của M trong hệ trục Oxyz 3. Gia tốc của động điểm M z * Véc tơ định vị M: + Véc tơ gia tốc và tọa độ của nó z (t ) C a (t ) = ɺɺ r (t ) = ɺɺ x (t ).i + ɺɺ y (t ). j + ɺɺ z (t ).k OM = r = OA + OB + OC 3.10 M = x (t ).i + y (t ). j + z (t ).k  a x = ɺɺ x (t )  a = ( a x , a y , a z ) , với  a y = ɺɺ 3.10a y (t )  a = ɺɺ k r  z z (t ) + Độ lớn của gia tốc j y (t ) i y x (t ) O B Qũy đạo chuyển động a = a x2 + a y2 + a z2  3.10b * ax  cos ( Ox , a ) = cosα = A a x  + Các cosin chỉ phương của gia tốc  cos (Oy , a ) = cos β * = y a * Phương trình chuyển động theo 3 phương: 3.10c  a x = x (t ), y = y (t ), z = z (t ) 3.8  az *  cos (Oz , a ) = cosγ = a Khử t trong phương trình chuyển động thì được phương trình quỹ đạo  GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 232 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 234 2. Vận tốc của động điểm M 4. Tính chất chuyển động + Véc tơ vận tốc và tọa độ của nó + Quỹ đạo chuyển động tại M là thẳng hay cong: v (t ) = rɺ (t ) = xɺ (t ).i + yɺ (t ). j + zɺ (t ).k 3.9  v x = xɺ (t ) i j k v = ( v x , v y , v z ) , với  v y = yɺ (t ) 3.11 3.9a v ∧ a = xɺ yɺ zɺ = C x i + C y j + C z k  ɺɺ x ɺɺ y ɺɺ z  v z = zɺ (t ) + Độ lớn của vận tốc ⋅ C x2 + C y2 + C z2 = 0 ⇒ v ∧ a = 0 v = v x2 + v y2 + v z2  3.9b vx  cos (Ox , v ) = cosα = v ⋅ C x2 + C y2 + C z2 ≠ 0 ⇒ v ∧ a ≠ 0   v + Các cosin chỉ phương của vận tốc  cos (Oy , v ) = cos β = y 3.9c . v ∧ a = 0 : Quỹ đạo tại M là thẳng 3.11a  v  vz  cos ( Oz , v ) = cosγ = . v ∧ a ≠ 0 : Quỹ đạo tại M là cong 3.11b  v GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 233 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 235
+ Chuyển động nhanh dần, chậm dần hay đều: 1. Hệ trục tọa độ tự nhiên: + Chọn O là gốc cố định trên quỹ đạo xác định trước. v .a = xɺ.ɺɺ x + yɺ . ɺɺ y + zɺ.ɺɺ z 3.12 + Tại động điểm M, dựng hệ trục tam diện thuận (Mτnb). Trong đó mp(Mτn) thuộc mặt phẳng mật tiếp của quỹ đạo tại M. . v .a = 0 : M chuyển động đều 3.12a (Trùng pháp tuyến) b . v .a > 0 : M chuyển động nhanh dần 3.12b b − n (Pháp tuyến) τ . v .a < 0 : M chuyển động chậm dần 3.12c +O I n b n Mặt phẳng mật tiếp M Quỹ đạo chuyển động τ τ (Tiếp tuyến) GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 236 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 238 τ : Tiếp tuyến theo chiều dương của quỹ đạo M τ nb n : Pháp tuyến hướng vào bề mặt lõm của quỹ đạo b : Trùng pháp tuyến của quỹ đạo §3. Khảo sát chuyển động của điểm bằng phương pháp tọa độ tự nhiên (Trùng pháp tuyến) b Phương pháp tọa độ tự nhiên được áp dụng khi biết trước − n (Pháp tuyến) quỹ đạo chuyển động. (Trùng pháp tuyến) +O I b b − n (Pháp tuyến) n Mặt phẳng mật tiếp +O M Quỹ đạo chuyển động τ I b τ (Tiếp tuyến) n Mặt phẳng mật tiếp M τ Quỹ đạo chuyển động + I là tâm cong quỹ đạo tại M + IM = ρ là bán kính cong của quỹ đạo tại M τ (Tiếp tuyến) + 1/ρ là độ cong GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 237 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 239
2. Phương trình chuyển động của động điểm M Chứng minh công thức véc tơ vận tốc = s (t ) * Vận tốc theo phương tiếp tuyến nên có thể viết: v (t ) = vτ (t ).τ (t ) OM 3.13 Quỹ đạo chuyển động dr (t ) dr (t ) ds (t ) * Ta có: v (t ) = = . dt ds (t ) dt dr (t ) Theo toán hình học vi phân: = τ (t ) ds (t ) O s M (s > 0) Do đó: v (t ) = ds (t ) .τ (t ) = sɺ(t ).τ (t ) dt Vì vậy: vτ (t ) = v (t ) = sɺ (t ) Quỹ đạo chuyển động M s O (s < 0) GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 240 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 242 3. Vận tốc của động điểm M 4. Gia tốc của động điểm M − n (Pháp tuyến) − n (Pháp tuyến) +O +O a I n I Mặt phẳng mật tiếp Mặt phẳng mật tiếp n n Quỹ đạo chuyển a M động M Quỹ đạo chuyển động τ τ v aτ v = sɺ (t ).τ = v (t ).τ = vτ (t ).τ τ τ ( vτ > 0) (Tiếp tuyến) (Tiếp tuyến) Hàm số: v ( t ) = vτ ( t ) = sɺ ( t ) 3.14 Phân gia tốc thành 2 thành phần: Theo phương tiếp tuyến τ, hướng theo chiều chuyển động Thành phần gia tốc tiếp tuyến aτ Nếu vτ > 0 : v theo chiều trục τ. Thành phần gia tốc pháp tuyến an Nếu vτ < 0 : v ngược chiều trục τ. a = aτ + an 3.16 Độ lớn: v = sɺ ( t ) = vτ 3.15 a = aτ2 + an2 3.17 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 241 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 243
+ Thành phần gia tốc tiếp tuyến Chứng minh công thức véc tơ gia tốc − n (Pháp tuyến) +O I dv (t ) * Ta có: a ( t ) = n Mặt phẳng mật tiếp dt Quỹ đạo chuyển s (t ).τ (t ) + sɺ (t ).τɺ (t ) Mà v (t ) = s (t ).τ (t ) nên a (t ) = ɺɺ ɺ M động τ dτ ( t ) n ( t ) Trong hình học vi phân, người ta chứng minh được: = aτ ds (t ) ρ (t ) s (t ).τ = aτ (t ).τ aτ = ɺɺ τ dτ (t ) dτ (t ) ds (t ) n (t ) ( aτ > 0) (Tiếp tuyến) Do đó: τɺ (t ) = = . = .sɺ(t ) dt ds (t ) dt ρ (t ) Hàm số: aτ ( t ) = ɺɺ s (t ) 3.18 sɺ 2 (t ) v 2 (t ) s (t ).τ (t ) + . Vì vậy: a (t ) = ɺɺ s (t ).τ (t ) + . n (t ) = ɺɺ n (t ) ρ (t ) ρ (t ) Theo phương tiếp tuyến τ v 2 (t ) Đặt aτ (t ) = ɺɺ s (t ), an (t ) = , ta có: a (t ) = aτ (t ).τ (t ) + an (t ).n (t ) Nếu aτ > 0 : aτ theo chiều trục τ. ρ (t ) Nếu aτ < 0 : aτ ngược chiều trục τ. ⇒ a (t ) = aτ (t ) + an (t ) Độ lớn: aτ = ɺɺ s ( t ) = aτ 3.19 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 244 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 246 + Thành phần gia tốc pháp tuyến 5. Phán đoán tính chất chuyển động của động điểm M − n (Pháp tuyến) + Chuyển động đều: aτ = vɺτ = 0 O + an Do đó: v = vτ = v0 = const , khi đó: s (t ) = s0 + v0 .t 3.22 I n Mặt phẳng mật tiếp + Chuyển động biến đổi đều: aτ = const M 1 τ Quỹ đạo chuyển động Khi đó: s (t ) = s0 + v0 .t + aτ .t 2 3.23 v 2 2 an = n = an .n Trong đó: v0 là vận tốc đầu của động điểm ρ τ (Tiếp tuyến) s0 là tọa độ tự nhiên ban đầu của động điểm v 2 (t ) Hàm số: a n ( t ) = 3.20 + Chuyển động biến đổi khi: v .a = ( vτ .τ ).( aτ .τ + an .n ) = vτ .aτ ≠ 0 ρ (t ) 3.24 Theo chiều trục n . vτ .aτ > 0 : chuyển động nhanh dần 3.24a v2 Độ lớn: a n = 3.21 3.24b ρ . vτ .aτ < 0 : chuyển động chậm dần GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 245 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 247
I. Giải theo phương pháp tọa độ tự nhiên: 1. Định vị trí của M s (1) = π (m) > 0 M s (1) π ⇒ϕ = = (rad) s R 2 π /2 Vị trí xác định như hình vẽ O O1 R BÀI TẬP CHƯƠNG 3 SINH VIÊN CẦN GIẢI QUYẾT Động học điểm có hai dạng bài toán - Bài toán thứ nhất: Tìm phương trình chuyển động, phương trình quỹ đạo, vận tốc, gia tốc, bán kính cong của quỹ đạo. - Bài toán thứ hai: Khảo sát tính chất chuyển động (nhanh dần, chậm dần hay đều) GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 248 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 250 Bài tập 3.1 2. Gán hệ trục tọa độ Cho chất điểm M di chuyển trên cung tròn cố định theo phương trình: M = s (t ) = π .(2t 2 + t − 2) (m) OM τ Biết R = 2 (m), tìm vận tốc và gia tốc của điểm M khi t = 1(s) theo 2 s phương pháp: tọa độ tự nhiên và tọa độ Descartes . π /2 O M O1 R n O O1 τ : Tiếp tuyến quỹ đạo của M R  theo chiều quỹ đạo dương Mτ n  n : Hướng về tâm cong quỹ đạo của M  GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 249 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 251
3. Vận tốc điểm M b * Thành phần gia tốc pháp vM τ M τ + b M aτ vM + τ s τ n s O an n O1 R O n O1 R n v (t ) = sɺ(t ) = π (4t + 1) (m/s) vM (1) = 5π (m/s) > 0 Theo chiều trục n (hướng về tâm cong của quỹ đạo) vM an 2 Theo chiều trục τ (theo chiều dương của quỹ đạo) v 25π 2 an = M = (m/s 2 ) vM = 5π (m/s) R 2 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 252 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 254 4. Gia tốc điểm M * Gia tốc toàn phần y * Thành phần gia tốc tiếp b b aτ vM τ aτ vM τ M τ + M + τ s s n β n an a O O x O1 O1 R R n n s (t ) = 4π (m/s 2 ) aτ (t ) = ɺɺ 2 aτ (1) = 4π (m/s ) > 0 25π 2 2 aτ a = aτ2 + an2 = (4π ) 2 + ( ) = 124 (m/s 2 ) Theo chiều trục τ (theo chiều dương của quỹ đạo) 2 aτ = 4π (m/s 2 ) β = 5,816 0 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 253 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 255
II. Giải theo phương pháp tọa độ Descartes: * Vận tốc * Gán hệ trục cố định O1xy. Phương trình chuyển động của M theo  v x (t ) = ϕɺ R.sin ϕ = sɺ.sin ϕ  v x (1) = s (1) = 5π (m/s) =1( s ) các phương của hệ trục  t  →  v y (t ) = ϕɺ R.cos ϕ = sɺ.cos ϕ  v y (1) = 0 (m/s) y  xM (t ) = − R.cos ϕ y   y M (t ) = R.sin ϕ M M vM (1) vM (1) = ( 5π , 0 ) (m/s) yM R  s (t ) ϕ = R O ϕ O1 x  O O1 x  sɺ (t ) xM ϕɺ = xM R  R  ɺɺ ɺɺ s (t )  π ϕ = R ϕ (1) = 2 (rad)   sɺ (1) = v (1) = 5π (m/s)  ɺɺ s (1) = aτ (1) = 4π (m/s 2 )   GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 256 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 258 * Định vị y * Gia tốc  xM (t ) = − R.cos ϕ M  sɺ 2  yM a  x ( t ) = ɺɺ s .sin ϕ + ɺ s .ϕ ɺ .cos ϕ = ɺɺ s .sin ϕ + .cos ϕ  y M (t ) = R.sin ϕ  R R sɺ 2  a (t ) = ɺɺs .cos ϕ − sɺ .ϕ ɺ .sin ϕ = ɺɺ s .cos ϕ − .sin ϕ ϕ O1 x  y O R y xM  a x (1) = ɺɺ s (1) = 4π (m/s 2 ) M   x (1) = 0 =1( s ) t  → v 2 (1) 25π 2 =1( s ) t π → M = − = − (m/s 2 ) ϕ=  y M (1) = R  y a (1) 2  R 2 O O1 x xM R GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 257 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 259
 25π 2  2 Khi t = 1 (s): a M (1) =  4π , −  (m/s ) * Vị trí của M: τ  2  π s (1) = 10.(1 + sin) = 15 (cm) > 0 6 a M (1) = a xM (1) + a yM (1) Vị trí của M được xác định như hình vẽ B 2 25π 2 a M (1) = (4π ) 2 + ( ) = 124 (m/s 2 ) y a M (1) 2 M M α = 5,816 0 a xM (1) α a yM (1) O a M (1) x O1 600 xM R A * Gán trục M τ M τ : Trùng quỹ đạo thẳng của M theo chiều dương GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 260 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 262 Bài tập 3.2 * Vận tốc của M: B Chất điểm M chuyển động trên đoạn thẳng cố định AB = 20 (cm) với 5π π τ phương trình: vM (t ) = sɺ(t ) = .cos t (cm/s) 3 6 π vM AM = s (t ) = 10.(1 + sin t ) (cm) 5 3π 6 v (1) = (cm/s) > 0 Khi t = 1 (s), xác định: vM M 6 M + Vị trí của M. B Theo chiều trục τ + Vận tốc của M. 5 3π + Gia tốc của M. vM = (c m/s) M 6 600 600 * Gia tốc của M: a M = aτ + an A Vì quỹ đạo thẳng nên: an = 0 A Do đó: a M = aτ GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 261 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 263
B Khi t = 1(s): 5π 2 π aτ (t ) = ɺɺ s (t ) = − .sin t (cm/s 2 ) * Định vị trí M trên cung tròn: τ 18 6 τ 5π π 2 s (1) = (cm) > 0 ⇒ α = (rad) A v 5π 2 4 aτ (1) = − (cm/s 2 ) < 0 vM aτ 36 * Gán hệ trục tọa độ Mτn: Ngược chiều trục τ M M τ : Tiếp tuyến quỹ đạo của M 5π 2  R aτ = (cm/s 2 ) aM M τ n  theo chiều dương của quỹ đạo 36 n : Hướng về tâm cong quỹ đạo của M n  ( D) 450 l O C * Vận tốc của M: B 60 0 v(t ) = sɺ(t ) = 5π t (cm/s)  v (1) = 5π (cm/s) > 0 A v Theo chiều trục τ v = 5π (cm/s) GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 264 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 266 Bài tập 3.3 * Gia tốc của M: a = aτ + an Hình phẳng (D) cố định. Chất điểm M chuyển động trên cung tròn của aτ (t ) = ɺɺ s (t ) = 5π (cm/s 2 ) τ  2 A aτ (1) = 5π (cm/s ) > 0 v = s (t ) = 5π t 2 (cm) (D) với phương trình OM aτ  2  Theo chiều trục τ aτ a = 5π (cm/s 2 ) Khi t = 1 (s), xác định:  τ M A α a + Vị trí của M + Vận tốc của M  an  Theo chiều trục n ( D) n + Gia tốc của M an  5π 2 450 ( D) (cm/s 2 ) an = O C R  2 l Biết R = 2l = 10 (cm) M B 2 2 5 2 2 a = aτ + an = π 4 + π (cm/s ) O C a 2 l 0 B α = 32, 48 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 265 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 267
Bài tập 3.4 * Gán hệ trục tọa độ Mτn: Tấm phẳng mảnh (D) hình vuông có cạnh R = 1(m) nằm cố định trong τ : Tiếp tuyến quỹ đạo của M  mặt phẳng thẳng đứng. Động điểm M chuyển động trên cung tròn với M τ n  theo chiều dương của quỹ đạo π n : Hướng về tâm cong quỹ đạo của M phương trình: s (t ) = (1 + sin π t ) (m)  4 Khi t = 1 (s), xác định: + Vị trí của M. * Vận tốc của M: + Vận tốc của M.  π2  v (t ) = ɺ s (t ) = .cos π t (m/s) v + Gia tốc của M. O 4 O  s (t ) M  π2 M v (1) = − (m/s) < 0 v 4 D  D Ngược chiều trục τ  π 2 n τ v = 4 (m/s) GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 268 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 270 Khi t = 1 (s): * Gia tốc của M: a = aτ + an * Vị trí của M: π  π3 s (1) = (m) > 0  τa (t ) = ɺ v (t ) = − .sin π t (m/s 2 ) Theo chiều trục n 4  4  2 a = an  π4 2 Vị trí của M được xác định như hình vẽ aτ aτ (1) = 0 (m/s ) =  n 16 (cm/s ) a  2  O aτ = 0 (m/s ) M  v D O M D n a τ GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 269 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 271
Bài tập 3.5 2. Vận tốc của động điểm M Xác định quỹ đạo, vận tốc và gia tốc của điểm M nằm chính giữa tay  v x = xɺ M  v x = − 3lω .sin ω t biên AB của cơ cấu biên tay quay OAB. Biết OA = AB = 2l, thời điểm  ⇒ khảo sát ứng với góc quay ϕ của cơ cấu, với ϕ = ωt.  v y = yɺ M  v y = lω .cos ω t y ⇒ vM = v x2 + v y2 = lω 9.sin 2 ω t + cos 2 ω t = lω 1 + 8.sin 2 ω t A Phương chiều của vM như hình vẽ M y Tiếp tuyến của Elip tại M ϕ = ωt A O x M v B l Bài giải: Chọn hệ trục Oxy nằm trong mặt phẳng cơ cấu như hình vẽ. ϕ = ωt Phương trình chuyển động của động điểm M trong hệ trục Oxy: O x  xM = 3l .cos ϕ = 3l .cos ω t B  3l  y M = l .sin ϕ = l .sin ω t GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 272 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 274 1. Phương trình quỹ đạo của động điểm M trong hệ trục Oxy: từ * Phương trình tiếp tuyến của Elip tại M phương trình chuyển động, ta có: xM y x x + M2 y = 1 ⇒ y = − M x + 1  xM (3l ) 2 l 9 yM  cos ω t = 3l xM2 y M2  ⇒ 2 + 2 =1 * Các thành phần vận tốc sin ω t = y M (3l ) l  l  v x = − 3lω .sin ω t = − 3ω . y M Qũy đạo chuyển động là một Elip có hai trục đối xứng x và y.   ω y  v y = lω .cos ω t = 3 . xM A + Hệ số góc của véc tơ vận tốc đối với chiều trục x: M l vy xM =− , bằng hệ số góc của tiếp tuyến tại O. Điều này ϕ = ωt vx 9 yM O x khẳng định rằng véc tơ vận tốc có phương tiếp tuyến với quỹ đạo. B 3l GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 273 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 275
Phương chiều của gia tốc được xác định nhờ các cosin chỉ phương + Các vận tốc cực trị: y Tiếp tuyến của Elip tại M  cos(Ox , a M ) = a x / a = − xM / r  ⇒ a luôn hướng từ M về O. A  cos(Oy , a M ) = a y / a = − y M / r M + Gia tốc cực trị v l π π ϕ = ωt amin = ω 2 rmin = lω 2 khi ϕ = − + kπ ⇒ t = (− + kπ ) / ω , (k ∈ Z + ) O x 2 2 B amax = ω rmax = 3lω khi ϕ = ( k − 1)π ⇒ t = ( k − 1)π / ω , ( k ∈ Z + ) 2 2 3l vmin = lω : đạt được khi ϕ = ( k − 1)π ⇒ t = ( k − 1)π / ω , ( k ∈ Z + ) π π vmax = 3lω : đạt được khi ϕ = − + kπ ⇒ t = ( − + kπ ) / ω , ( k ∈ Z + ) 2 2 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 276 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 278 3. Gia tốc của động điểm M Bài tập 3.6 Xác định quỹ đạo, vận tốc và gia tốc của điểm M. Biết phương trình y Tiếp tuyến của Elip tại M chuyển động của M trong mặt phẳng Oxy là: A  x = v0 t   1 2 v M  y = h − 2 gt l ϕ = ωt a Trong đó: v0, h, g là những hằng số dương O x y B M ( x, y ) 3l  a x = vɺx  a x = − 3lω 2 .cos ω t = −ω 2 xM ⇒ x  O  a y = vɺ y 2 2  a y = − lω .sin ω t = −ω y M ⇒ a = a x2 + a y2 = ω 2 .OM = ω 2 r GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 277 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 279
Bài giải: 3. Gia tốc chuyển động của động điểm M 1. Quỹ đạo chuyển động của động điểm M  a x = vɺx ax = 0  x = v0 t  ⇒ ⇒a=g  g 2  a y = vɺ y a y = − g  1 2 ⇒ y = h− 2 x  y = h − 2 gt 2 v0 Quỹ đạo chuyển động là nhánh Parabol. y Phương y y h M ( x, y ) h M ( x, y ) v Tiếp tuyến a của Parabol tại M x x O O 2h 2h v0 v0 g g GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 280 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 282 2. Vận tốc của động điểm M * Thành phần gia tốc tiếp  v x = xɺ M  v x = v0 Phương y  ⇒  ⇒ v = v x2 + v y2 = v02 + ( gt ) 2 y v  y = ɺ y M v  y = − gt h M aτ Phương chiều như hình vẽ Tiếp tuyến an y của Parabol tại M h a M ( x, y ) x O v Tiếp tuyến 2h v0 của Parabol tại M g x O dv g 2t g 2t 2h aτ = ⇒ aτ = = v0 dt v02 + ( gt ) 2 v g GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 281 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 283
* Bán kính cong của quỹ đạo Có thể viết lại kết quả gia tốc tiếp theo vận tốc như sau: v2 v2 v2 v3 an = ⇒ρ= = = v02 ρ a n g v0 gv0 aτ = g 1 − v2 v + Tại thời điểm ban đầu: v = v0 + Tại thời điểm ban đầu: v = v0 Do đó: aτ = 0 v02 Do đó: ρ = g 2h 2h + Tại thời điểm t = (y = 0): v = v02 + 2 gh + Tại thời điểm t = (y = 0): v = v02 + 2 gh g g 3 v 2 ( v 2 + 2 gh ) v02 + 2 gh ( v02 + 2 gh ) 2 Do đó: aτ = g 1 − 0 Do đó: ρ = 0 = 2 v + 2 gh 0 gv0 gv0 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 284 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 286 * Thành phần gia tốc pháp Bài tập 3.7 v0 Xác định quỹ đạo, vận tốc và gia tốc của điểm M. Biết phương trình an = a 2 − aτ2 = g chuyển động của M trong hệ trục Oxyz là: v  x = R.sin ω t  + Tại thời điểm ban đầu: v = v0  y = R.cos ω t  z = u.t Do đó: an = g  Trong đó: R, u, ω là những hằng số dương 2h z + Tại thời điểm t = (y = 0): v = v02 + 2 gh g M ( x, y , z ) v0 Do đó: an = g v02 + 2 gh z O y x x y GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 285 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 287
Bài giải: + Sau chu kỳ T, động điểm chuyển động theo phương Oz đoạn: 1. Quỹ đạo chuyển động của động điểm M 2uπ zT = u.T = : gọi là bước của vít Từ 2 phương trình đầu: x 2 + y 2 = R 2 (1) ω Kết hợp (1) với phương trình z = u.t, ta thấy động điểm chuyển động trên mặt trụ có bán kính R, trục là Oz. z z R R M ( x, y , z ) O y M y O ωt ωt x x GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 288 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 290 Từ z = u.t ⇒ t = z / u . Do đó: 2. Vận tốc chuyển động của động điểm M trong Oxyz  ω  v x = xɺ = Rω .cos ω t  x = R .sin z   v y = yɺ = − Rω .sin ω t ⇒ v = v x + v y + v z = u + R ω 2 2 2 2 2 2 u   v = zɺ = u  ω  z  y = R.cos z  u z Vận tốc là hằng số, phương tiếp tuyến  z = u.t  với quỹ đạo. R Quỹ đạo là một đường vít có trục Oz + Chu kỳ đường vít: thời gian quay 1 vòng quanh trục Oz 2π T= ω + Sau chu kỳ T, động điểm chuyển động theo phương Oz đoạn: v M y O ωt x GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 289 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 291
3. Gia tốc chuyển động của động điểm M trong Oxyz  a x = vɺx = − Rω 2 .sin ω t   a y = vɺ y = − Rω .cos ω t ⇒ a = a x + a y + a z = Rω 2 2 2 2 2   a z = vɺz = 0 Chương 4 Gia tốc là hằng số, phương chiều được xác định bằng các côsin chỉ phương:  x  cos(Ox , a ) = a x / a = − sin ω t = − R   y  cos(Oy , a ) = a y / a = − cos ω t = −  R  cos(Oz , a ) = a z / a = 0  GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 292 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 294 z  x R  cos( Ox , a ) = a x / a = − sin ω t = − R    cos(Oy , a ) = a y / a = − cos ω t = − y §1. Chuyển động tịnh tiến  R  cos(Oz , a ) = a z / a = 0 B1  B0 B2 (S) Bn a B v M y O A0 A1 ωt A2 An x A a : hướng theo bán kính từ động điểm đến trục Oz GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 293 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 295