Bài giảng Đại số: Chương 5 - PGS.TS. Nguyễn Đình Hân

Bài giảng này thuộc chương 5 về Không gian Euclid, nằm trong môn Đại số (nhóm ngành 3), được trình bày bởi PGS.TS. Nguyễn Đình Hân từ Viện Toán ứng dụng và Tin học, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội. Bài giảng bao gồm các khái niệm cơ bản về tích vô hướng, không gian Euclid, hệ trực giao, cơ sở trực chuẩn, và chéo hóa trực giao, cùng với dạng toàn phương và các phương pháp đưa về dạng chính tắc.

Bài giảng này dành cho sinh viên đại học thuộc nhóm ngành 3, đặc biệt là sinh viên các ngành kỹ thuật và khoa học tự nhiên, nhằm trang bị kiến thức về không gian Euclid, tích vô hướng, và các ứng dụng của chúng trong đại số tuyến tính và hình học.

Bài giảng này bao gồm các nội dung chính sau:

1. **Không gian Euclid:**
* **Tích vô hướng và không gian Euclid:** Định nghĩa tích vô hướng, không gian có tích vô hướng, và không gian Euclid. Các ví dụ minh họa trong R^n với tích vô hướng Euclid.
* **Độ dài và khoảng cách:** Định nghĩa độ dài của véc tơ, véc tơ đơn vị, và khoảng cách giữa hai điểm trong không gian có tích vô hướng. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và bất đẳng thức tam giác được đề cập.
* **Góc giữa hai véc tơ, sự vuông góc:** Định nghĩa góc giữa hai véc tơ, điều kiện để hai véc tơ vuông góc (trực giao).

2. **Hệ trực giao và cơ sở trực chuẩn:**
* **Hệ trực giao và hệ trực chuẩn:** Định nghĩa hệ trực giao, hệ trực chuẩn, và các ví dụ minh họa.
* **Cơ sở trực chuẩn:** Định nghĩa cơ sở trực chuẩn trong không gian Euclid n chiều.
* **Biểu diễn tích vô hướng qua tọa độ trực chuẩn:** Công thức tính tích vô hướng, độ dài, và khoảng cách thông qua tọa độ trực chuẩn.
* **Trực chuẩn hóa Gram-Schmidt:** Phương pháp trực chuẩn hóa Gram-Schmidt để xây dựng hệ trực chuẩn từ hệ véc tơ độc lập tuyến tính.
* **Phép chiếu trực giao:** Định nghĩa phần bù trực giao của không gian con, hình chiếu trực giao của véc tơ lên không gian con.

3. **Chéo hóa trực giao:**
* **Ma trận trực giao:** Định nghĩa và tính chất của ma trận trực giao.
* **Bài toán chéo hóa trực giao 1:** Điều kiện cần và đủ để ma trận chéo hóa trực giao được, thuật toán chéo hóa trực giao.

4. **Dạng toàn phương:**
* **Khái niệm dạng song tuyến tính:** Định nghĩa và tính chất của dạng song tuyến tính trên không gian véc tơ.
* **Dạng toàn phương:** Định nghĩa dạng toàn phương sinh bởi dạng song tuyến tính đối xứng, biểu thức tọa độ và ma trận của dạng toàn phương.
* **Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc:** Bài toán chéo hóa trực giao 2, thuật toán đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phương pháp trực giao.