intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 5 (không gian Euclide) - Lê Xuân Đại

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:73

Thêm vào BST
Báo xấu
395
lượt xem 77
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 5 (không gian Euclide) có nội dung trình bày về định nghĩa không gian Euclide, không gian Unita, sự trực giao. Tham khảo nội dung bài giảng để hiểu rõ hơn về các nội dung trên.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 5 (không gian Euclide) - Lê Xuân Đại

  1. KHÔNG GIAN EUCLIDE TS. Lê Xuân Đ i Trư ng Đ i h c Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa h c ng d ng, b môn Toán ng d ng TP. HCM — 2011. TS. Lê Xuân Đ i (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 1 / 56
  2. Không gian Euclide Đ nh nghĩa Cho R−kgv E . Khi đó E đư c g i là không gian Euclide (th c) n u < ·, · >: E × E → R (x, y ) −→< x, y > − g i là tích vô hư ng c a 2 véctơ. Tích vô hư ng < x, y > th a mãn 4 tiên đ 1 < x, y >=< y , x >, ∀x, y ∈ E 2 < x + y , z >=< x, z > + < y , z >, ∀x, y , z ∈ E 3 < αx, y >= α < x, y >, ∀x, y ∈ E , ∀α ∈ R. 4 < x, x >> 0, x = 0 và < x, x >= 0 ⇔ x = 0 TS. Lê Xuân Đ i (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 2 / 56
  3. Không gian Euclide Ví d Ví d R−kgv Rn là không gian Euclide n u đã cho tích vô hư ng < ·, · >: Rn × Rn → R n (x, y ) −→< x, y >= xi yi i=1 v i x = (x1, x2, . . . , xn ), y = (y1, y2, . . . , yn ). TS. Lê Xuân Đ i (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 3 / 56
  4. Không gian Euclide Ví d Ví d Không gian véctơ C[a,b] các hàm s liên t c trên đo n [a, b] là không gian Euclide n u đã cho tích vô hư ng < ·, · >: C[a,b] × C[a,b] → R b (f , g ) −→< f , g >= f (x)g (x)dx a TS. Lê Xuân Đ i (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 4 / 56
  5. Không gian Euclide Ví d Ch ng minh. b b < f , g >= f (x)g (x)dx = g (x)f (x)dx = a a < g , f >, ∀f , g ∈ C[a,b] b < f + g , h >= (f (x) + g (x))h(x)dx = a b b f (x)h(x)dx + g (x)h(x)dx = a a < f , h > + < g , h >, ∀f , g , h ∈ C[a,b] TS. Lê Xuân Đ i (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 5 / 56
  6. Không gian Euclide Ví d b < αf , g >= (αf (x))g (x)dx = a b α f (x)g (x)dx = α < f , g >, a ∀f , g ∈ C[a,b], ∀α ∈ R. b < f , f >= (f (x))2dx > 0, f (x) = 0 và a b < f , f >= (f (x))2dx = 0 ⇔ f (x) ≡ 0 a TS. Lê Xuân Đ i (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 6 / 56
  7. Không gian Euclide Ví d Ví d Trong R2 cho quy t c ∀x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ R2 < x, y >= x1y1 + x1y2 + x2y1 + mx2y2. Tìm m đ < x, y > là tích vô hư ng. < x, y >= x1y1 + x1y2 + x2y1 + mx2y2 = y1x1 + y1x2 + y2x1 + my2x2 =< y , x >, ∀x, y ∈ R2 TS. Lê Xuân Đ i (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 7 / 56
  8. Không gian Euclide Ví d < x + y , z >= (x1 + y1)z1 + (x1 + y1)z2 + (x2 + y2)z1 + m(x2 + y2)z2 = (x1z1 + x1z2 + x2z1 + mx2z2) + (y1z1 + y1z2 + y2z1 + my2z2) = < x, z > + < y , z >, ∀x, y , z ∈ R2 < αx, y >= (αx1)y1 + (αx1)y2 + (αx2)y1 + m(αx2)y2 = α(x1y1 + x1y2 + x2y1 + mx2y2) = α < x, y >, ∀x, y ∈ R2, ∀α ∈ R. 2 2 < x, x >= x1 + x1x2 + x2x1 + mx2 = (x1 + x2)2 + (m − 1)x2 > 0, (x = 0) ⇒ m > 1. 2 < x, x >= 0 ⇔ (x1 + x2)2 + (m − 1)x2 = 0 ⇔ 2 x1 = x2 = 0 hay x = 0 thì m = 1. V y m > 1. TS. Lê Xuân Đ i (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 8 / 56
  9. Không gian Euclide Ví d Ví d Trong không gian P2(x) cho tích vô hư ng 1 < p, q >= p(x)q(x)dx, 0 ∀p(x) = a1x 2 + b1x + c1, q(x) = a2x 2 + b2x + c2. Tính tích vô hư ng c a p(x) = x 2 − 4x + 5, q(x) = x + 1 TS. Lê Xuân Đ i (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 9 / 56
  10. Không gian Euclide Ví d Tích vô hư ng c a p(x) và q(x) là 1 < p, q >= p(x)q(x)dx = 0 1 19 = (x 2 − 4x + 5)(x + 1)dx = 0 4 TS. Lê Xuân Đ i (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 10 / 56
  11. Không gian Euclide Đ dài véctơ (chu n c a véctơ) Đ nh nghĩa Cho x ∈ E , trong đó E là không gian Euclide, ta g i đ dài hay chu n c a véctơ x là √ ||x|| = < x, x > TS. Lê Xuân Đ i (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 11 / 56
  12. Không gian Euclide Đ dài véctơ (chu n c a véctơ) Đ nh nghĩa Cho x ∈ E , trong đó E là không gian Euclide, ta g i đ dài hay chu n c a véctơ x là √ ||x|| = < x, x > Ví d Trong R2 cho tích vô hư ng < x, y >= 3x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2 v i x = (x1, x2), y = (y1, y2), và u = (1, 2). Tìm đ dài c a véctơ u. TS. Lê Xuân Đ i (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 11 / 56
  13. Không gian Euclide Ví d √ Đ dài c a véctơ u là ||u|| = < u, u >. < u, u >= 3.1.1 + 1.2 + 2.1 + 2.2 = 11 √ ⇒ ||u|| = 11 TS. Lê Xuân Đ i (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 12 / 56
  14. Không gian Euclide Ví d Ví d Trong P2(x) cho tích vô hư ng 1 < p, q >= p(x)q(x)dx, ∀p, q ∈ P2(x) và 0 f (x) = x + 2. Tìm ||f (x)|| TS. Lê Xuân Đ i (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 13 / 56
  15. Không gian Euclide Ví d Ví d Trong P2(x) cho tích vô hư ng 1 < p, q >= p(x)q(x)dx, ∀p, q ∈ P2(x) và 0 f (x) = x + 2. Tìm ||f (x)|| √ Ta có ||f (x)|| = < f , f > trong đó 1 1 19 < f , f >= f (x)dx = (x + 2)2dx = 2 . Do 0 0 3 19 đó ||f (x)|| = 3 TS. Lê Xuân Đ i (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 13 / 56
  16. Không gian Euclide Kho ng cách gi a hai véctơ Đ nh nghĩa Trong không gian Euclide E , kho ng cách gi a 2 véctơ u, v là đ dài c a véctơ u − v . Kí hi u d (u, v ). V y d (u, v ) = ||u − v ||. TS. Lê Xuân Đ i (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 14 / 56
  17. Không gian Euclide Kho ng cách gi a hai véctơ Đ nh nghĩa Trong không gian Euclide E , kho ng cách gi a 2 véctơ u, v là đ dài c a véctơ u − v . Kí hi u d (u, v ). V y d (u, v ) = ||u − v ||. Ví d Trong R2 cho tích vô hư ng < x, y >= x1y1 − 2x1y2 − 2x2y1 + 5x2y2 v i x = (x1, x2), y = (y1, y2), và u = (1, −1), v = (0, 2). Tìm kho ng cách gi a 2 véctơ u, v . TS. Lê Xuân Đ i (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 14 / 56
  18. Không gian Euclide Ví d Kho ng cách gi a 2 véctơ u, v là √ d (u, v ) = ||u − v || = < u − v , u − v >. Ta có u − v = (1, −3) ⇒< u − v , u − v >= = 1.1 − 2.1.(−3) − 2.(−3).1 + 5(−3)(−3) = 58. √ √ V y d (u, v ) = < u − v , u − v > = 58 TS. Lê Xuân Đ i (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 15 / 56
  19. Không gian Euclide Ví d Ví d Trong P2(x) cho tích vô hư ng 1 < p, q >= p(x)q(x)dx, ∀p, q ∈ P2(x) và 0 f (x) = x + 1, g (x) = 2x + m. Tìm m đ kho ng 1 cách gi a f (x), g (x) b ng 3 TS. Lê Xuân Đ i (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 16 / 56
  20. Không gian Euclide Ví d √ Ta có d (f , g ) = < f − g , f − g > trong đó 1 < f − g , f − g >= (f (x) − g (x))2dx = 0 1 1 1 (−x + 1 − m)2dx = m2 − m + 3 . Đ d (f , g ) = 3 0 1 1 thì m2 − m + 3 = 3 ⇔ m = 1 ∨ m = 3. 3 2 TS. Lê Xuân Đ i (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 17 / 56
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2