Bài giảng Giải tích (Toán I – II, dành cho khối ngành Kinh tế) - Nguyễn Văn Đắc (Chủ biên)

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:188

Thêm vào BST

Báo xấu

1
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Giải tích gồm có những nội dung chính sau: Hàm số, giới hạn và sự liên tục của hàm số; đạo hàm, vi phân hàm một biến và các ứng dụng; hàm số hai biến, đạo hàm riêng, vi phân toàn phần, đạo hàm hàm hợp, hàm ẩn; cực trị tự do, cực trị có điều kiện, giá trị lớn nhất nhỏ nhất và các ứng dụng; hàm cầu Marshall, hàm cầu hick; nguyên hàm, tích phân xác định, tích phân suy rộng; tích phân hai lớp và phương trình vi phân; chuỗi số, chuỗi hàm. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích (Toán I – II, dành cho khối ngành Kinh tế) - Nguyễn Văn Đắc (Chủ biên)

B MÔN TOÁN H C CH BIÊN : NGUY N VĂN C BÀI GI NG GI I TÍCH (Toán I – II, dành cho kh i ngành kinh t ) 1
MÔN H C: TOÁN I - II (Gi i tích) - S tín ch : 4 (3.1.0) - S ti t : 60 ti t ; LT: 45 ti t ; BT: 15 ti t . - Chương trình ào t o ngành: Dành cho các ngành kinh t - ánh giá: i m quá trình : 40% i m thi k t thúc: 60% (thi cu i kỳ - hình th c thi: vi t, 90 phút) - Tài li u chính th c: + James Stewart Calculus early vectors , Texas A & M University . + Toán cao c p (Nguy n ình Trí ch biên) t p 2, t p 3. + Toán cao c p ph n gi i tích dành cho các nhóm ngành kinh t c a các trư ng kinh t . L CH TRÌNH GI NG D Y LÝ THUY T (Syllabus) Bu i N i dung lý thuy t (2 ti t / 1 bu i) 1 + Ph bi n cương và thông báo các quy nh c a B môn v môn h c. + Hàm s : các hàm cơ b n và cách thi t l p hàm m i t các hàm ã bi t. + M t s hàm trong kinh t . 2 + Gi i h n c a dãy s . + Gi i h n c a hàm s . + Các d ng vô nh. 3 + Vô cùng bé- Vô cùng l n. + Kh các d ng vô nh b ng VCL – VCB. + Tính liên t c c a hàm s . 4 + o hàm và ý nghĩa trong kinh t . + Các quy t c tính o hàm và b ng o hàm c a các hàm sơ c p cơ b n. + Quy t c L’Hopital kh d ng vô nh. 5 + Vi phân c a hàm s và ng d ng- Các quy t c tính vi phân. + o hàm c p cao và vi phân c p cao. +M ts nh lý v hàm kh vi. 6 + Khai triên Taylor và ng d ng. + ng d ng o hàm trong vi c kh o sát hàm s . + ng d ng trong kinh t : Giá tr c n biên, h s co giãn, quy t nh t i ưu. 7 + Hàm hai bi n và ví d . + Gi i h n c a hàm hai bi n. + Tính liên t c. 8 + o hàm riêng. + Vi phân toàn ph n. + o hàm riêng c a hàm h p. 2
9 + Hàm n hai bi n và o hàm riêng c a hàm n. + Vi phân toàn ph n c p cao. + ng d ng o hàm riêng trong kinh t . 10 + C c tr t do và ng d ng: Khái ni m, cách tìm, ng d ng trong kinh t . 11 + C c tr có i u ki n ràng bu c. + C c tr trên mi n óng và b ch n. + M t s ví d trong kinh t . 12 + Hàm c u Marshall và hàm c u Hick. + Ki m tra gi a kỳ t i l p lý thuy t. 13 + Khái ni m nguyên hàm (Tích phân b t nh). + Các nh lý. + Cách tìm nguyên hàm c a m t s l p hàm. 14 + Khái ni m tích phân xác nh. +M ts nh lý cơ b n v tích phân xác nh. + Cách tính. 15 + Tích phân suy r ng v i c n vô h n. + Tích phân suy r ng v i c n h u h n. + M t s ví d v ng d ng tích phân trong kinh t . 16 Tích phân hai l p: + Khái ni m. + Tính ch t. + Các cách tính. 17 + Các khái ni m m u v phương trình vi phân. + M t s d ng phương trình vi phân c p I: Phân ly bi n s ; thu n nh t; tuy n tính; Bernoulli. 18 + Phương trình vi phân c p 2 có th h c p + Phương trình vi phân c p 2 h s h ng. 19 Chu i s : + nh nghĩa và m t s tính ch t. + M t s chu i thư ng g p. + M t s tiêu chu n và d u hi u h i t c a chu i dương. 20 + Chu i an d u. + Chu i có s h ng v i d u b t kỳ. 21 + Chu i lũy th a. + o hàm và tích phân chu i lũy th a. + Chu i taylor và Maclaurin. 22 Ôn t p và gi i áp th c m c 3
L CH TRÌNH GI NG D Y BÀI T P (Syllabus) Bu i N i dung bài t p (2 ti t / 1 bu i) 1 Hàm s , gi i h n và s liên t c c a hàm s 2 o hàm, vi phân hàm m t bi n và các ng d ng 3 Hàm s hai bi n, o hàm riêng, vi phân toàn ph n, o hàm hàm h p, hàm n. 4 C c tr t do, c c tr có i u ki n, giá tr l n nh t nh nh t và các ng d ng 5 Hàm c u Marshall, hàm c u Hick. Nguyên hàm, tích phân xác nh, tích phân suy r ng. 6 Tích phân hai l p và phương trình vi phân 7 Chu i s , chu i hàm C U TRÚC THI K T THÚC MÔN H C Môn h c: TOÁN I - II (Gi i tích, dành cho kinh t ) Hình th c thi: T lu n - (Th i gian 90 phút) Câu 1 (2 i m) Gi i h n, hàm s và o hàm + Tính gi i h n. + Hàm liên t c, gián o n, kh vi, hàm ngư c. + ng d ng c a o hàm trong kinh t . Câu 2 (2 i m) Hàm nhi u bi n + Tính o hàm riêng hàm 2 bi n. + C c tr hàm 2 bi n và ng d ng trong kinh t . Câu 3 (2 i m) Tính tích phân + Tích phân 1 l p. + Tích phân 2 l p. Câu 4 (2 i m) Phương trình vi phân + Gi i phương trình vi phân c p 1. + Gi i phương trình vi phân tuy n tính c p 2, h s h ng s v i v ph i c bi t. Câu 5 (2 i m) Chu i + Tìm t ng c a chu i; kh o sát s h i t c a chu i s . + Tìm mi n h i t c a chu i lu th a. + Khai tri n hàm thành chu i lu th a. 4
$1. HÀM M T BI N i tư ng chính c a gi i tích toán h c là hàm s . Chương này c p n nh ng khái ni m cơ b n nh t v hàm s m t bi n, c n nh n m nh là có b n cách bi u th m t hàm s : B ng phương trình, b ng b ng, b ng th và b ng l i. Ngoài ra, có nh c l i m t s hàm ã h c chương trình ph thông và cách xây d ng hàm m i t các hàm ã cho, c bi t lưu ý v các hàm ngư c. Cu i cùng là khái ni m v mô hình toán và m t s m i quan h hàm trong phân tích kinh t . Các m c chính: 1.1. Các khái ni m cơ b n v hàm s m t bi n 1.2. L p hàm s m i t các hàm s ã bi t 1.3. Mô hình toán h c 1.1. CÁC KHÁI NI M CƠ B N V HÀM M T BI N 1. nh nghĩa hàm m t bi n Khái ni m hàm s xu t hi n khi có m t i lư ng ph thu c vào m t i lư ng khác. Ta xét các tình hu ng sau ây: ư c cho b i phương trình ܵ ൌ ߨ‫ ݎ‬ଶ . M i s dương r ư c n nh v i m t giá tr duy nh t c a S, ta A. Di n tích S c a m t ư ng tròn thì ph thu c vào bán kính r c a nó, quy t c k t n i gi a r v i S nói S là hàm c a r. B. Dân s th gi i P thì ph thu c vào th i gian t. B ng sau ây ghi l i giá tr g n úng c a dân s th gi i P(t) t i th i i m t. Ch ng h n ܲሺ1980ሻ ൎ 4 450 000 000. Nhưng ch c ch n r ng v i m i t cho trư c thì ch có duy nh t m t giá tr P(t) tương ng. Ta nói P là hàm c a t. C. Chi phí v n chuy n bưu ph m C thì ph thu c vào cân n ng w c a bưu ph m. M c dù không có m t công th c ơn gi n xác l p m i quan h c a C theo w nhưng bưu i n v n có m t quy t c xác nh ư c duy nh t m t giá tr c a C khi ã bi t w. Như th , C là hàm c a w. D. Gia t c chuy n ng th ng ng a c a b m t trái t ư c o b i máy ghi a ch n trong m t tr n ng t là m t hàm c a th i gian t. Hình 1 là th ư c t o ra b i máy o a ch n trong su t tr n ng t t i Los Angeles vào năm 1994. Hình 1 V i m i giá tr t cho trư c, d a vào th ta tìm ư c duy nh t m t giá tr a tương ng. M i ví d trên mô t m t quy t c, mà theo ó c m i giá tr ư c cho trư c (r, t, w ho c t) ta xác nh ư c duy nh t m t s tương ng (S, P, C ho c a). Trong m i trư ng h p ó ta nói s sau là hàm c a s trư c. T ng quát ta có nh nghĩa. 5
nh nghĩa hàm m t bi n s Cho D là m t t p con khác ‫ ׎‬c a t p s th c Թ. M t hàm f là m t quy t c n nh m i s cho trư c thu c t p D v i duy nh t m t s , ký hi u là f(x), trong t p E. • D ư c g i là t p xác nh c a f. • S f(x) ư c g i là giá tr c a f t i x, c là “ f t i x ”. • T p g m các giá tr c a f t i x,v i x ch y kh p t p xác nh, ư c g i là t p giá tr c a f. • Ký hi u ư c dùng bi u th cho s b t kỳ trong t p xác nh c a f ư c g i là bi n c l p, ký hi u dùng bi u th cho s b t kỳ trong t p giá tr c a f thì ư c g i là bi n ph thu c. Trong Ví d A, r là bi n c l p và S là bi n ph thu c. Vi c hình dung m t hàm như m t chi c máy là vi c r t có ích xem Hình 2. Hình 2 Mô hình chi c máy cho hàm s N u x n m trong t p xác nh c a hàm f , khi bi n u vào x ư c ưa vào máy thì nó ư c ch p nh n và máy s t o ra, theo quy t c c a f, “s n ph m” là bi n u ra f(x). Như th , ta có th hình dung t p xác nh là t p các bi n u vào và t p giá tr là t p g m các bi n u ra. M t cách khác hình dung v m t hàm s là dùng bi u mũi tên như Hình 3. Hình 3 Bi u mũi tên cho hàm f. M i mũi tên k t n i m t s thu c t p xác nh v i giá tr ư c n nh cho nó theo quy t c f. Như th , f(x) là s ư c n nh cho x, f(a) ư c n nh cho a, và c th . Phương pháp ph bi n nh t hình dung m t hàm s là xét th c a nó. N u f là m t hàm s v i t p xác nh là D, thì th c a nó là t p g m các c p s có th t ൛൫‫݂ ,ݔ‬ሺ‫ݔ‬ሻ൯ห‫ܦ א ݔ‬ሽ (Lưu ý, ây chính là c p bi n u ra- u vào.) Nói khác i, th c a f là t p g m các i m (x, y) trên m t ph ng t a v i y = f(x) và x thu c t p xác nh c a f. th c a hàm f cho ta m t b c tranh t ng th v c i m c a hàm s . B i vì tung y c a i m (x,y) trên th là s sao cho y = f(x) nên ta có th th y giá tr c a hàm s là kho ng cách i s t i m ó n tr c hoành (xem Hình 4). Hình chi u c a th trên tr c hoành chính là t p xác nh và hình chi u c a nó trên tr c tung là t p giá tr (xem Hình 5). Hình 4 Hình 5 6
VÍ D 1 th c a hàm f ư c cho Hình 6. Hình 6 (a) Tìm giá tr c a f(1) và f(5). (b) Tìm t p xác nh và t p giá tr c a hàm f. Gi i (a) T Hình6, ta có i m (1, 3) n m trên th c a hàm s , nên giá tr c a hàm t i 1 là f(1) = kho ng 0,7 ơn v vì th , ta ư c oán giá tr ݂ሺ5ሻ ൎ 0,7. 3. Khi x = 5, i m n m trên th tương ng n m phía dư i tr c hoành và cách tr c hoành T p xác nh là [0, 7] và t p giá tr là ሼ‫ | ݕ‬െ 2 ൑ ‫ ݕ‬൑ 4ሽ ൌ ሾെ2; 4ሿ. (b) Hình chi u c a th hàm s trên tr c hoành là [0, 7] và tr c tung là [-2; 4] nên ta có 2 Cho hàm s ݂ ሺ‫ ݔ‬ሻ ൌ 2‫ ݔ‬ଶ െ 5‫ ݔ‬൅ 1 và ݄ ് 0, hãy tính ௙ሺ௔ା௛ሻି௙ሺ௔ሻ ௛ VÍ D theo a và h. Gi i Trư c tiên tính ݂ሺܽ ൅ ݄ሻ b ng cách thay th x trong công th c f(x) b i a + h : ݂ ሺܽ ൅ ݄ሻ ൌ 2ܽଶ ൅ 4݄ܽ ൅ 2݄ଶ െ 5ܽ െ 5݄ ൅ 1 ݂ሺܽ ൅ ݄ሻ െ ݂ሺܽሻ ሺ2ܽଶ ൅ 4݄ܽ ൅ 2݄ଶ െ 5ܽ െ 5݄ ൅ 1ሻ െ ሺ2ܽଶ െ 5ܽ ൅ 1ሻ Thay vào bi u th c ã cho và ơn gi n hóa, ta ư c ൌ ݄ ݄ ൌ 4ܽ ൅ 2݄ െ 5 ௙ሺ௔ା௛ሻି௙ሺ௔ሻ ௛ Bi u th c trong Ví d 2, ch ng h n ta s xét nó bài 2, nó bi u th t l thay i trung bình c a hàm f gi a hai giá tr x = a và x = a + h. th c a m t hàm s là m t ư ng trong m t ph ng t a .V n ư c t ra là m t ư ng có c i m như th nào thì là th c a m t hàm s . tr l i câu h i này, ta dùng tiêu chu n sau ây. TIÊU CHU N CÁC Ư NG TH NG NG M t ư ng trong m t ph ng xy là th c a m t hàm khi và ch khi không có ư ng th ng ng nào c t ư ng ó t i hai i m phân bi t. Quan sát Hình sau th m t hàm s Không là th hàm s N u m i ư ng th ng ng x = a c t ư ng ã cho t i duy nh t m t i m (a; b) (Hình b n trái), thì xác nh m t hàm f theo quy t c f(a) = b. Nhưng n u t n t i ư ng x = a c t th t i quá hai i m 7
phân bi t(Hình bên ph i), ch ng h n là t i (a, b) và (a, c), thì ư ng ó không là th hàm s b i vì hàm s không th n nh hai giá tr khác nhau cho cung m t s a. Bi u th m t hàm s Có b n cách bi u th : • B ng l i (dùng ngôn ng mô t ) • B ng các con s (dùng b ng các giá tr ) • B ng th . • B ng i s (bi u th b ng m t công th c hi n) N u m t hàm có th bi u th b ng nhi u cách thì ta s d dàng hi u bi t v nó m t cách sâu s c, ch ng h n như nh ng hàm s ph thông ta u b t u t hàm cho b i công th c r i sau ó là xác so v i cách khác ho c khó mà bi u th b ng cách khác, ch ng h n di n tích S = ߨ‫ ݎ‬ଶ có th bi u th nh ư c th c a nó. Tuy nhiên, có nh ng hàm s thì bi u th b ng cách này là ti n s d ng hơn b ng th (m t n a c a parabol) nhưng d ng th thì không ti n dùng. Trong khi ó gia t c chuy n ng theo phương th ng ng c a v trái t trong m t tr n ng t như Hình 1, thì khó có th bi u th b ng i s . Trong ví d dư i ây, ta cho m t hàm b ng cách dùng ngôn ng mô t và yêu c u bi u th hàm ó b ng i s . VÍ D 3 M t container hình h p ch nh t không có n p phía trên v i th tích là 10m3. Chi u dài c a áy b ng hai l n chi u r ng. Nguyên li u làm áy là 10$ m t m2; nguyên li u làm các m t bên là 6$ m t m2. Giá nguyên li u làm chi c container là m t hàm c a chi u r ng m t áy, hãy bi u th hàm này b ng m t công th c. Gi i t w là chi u r ng c a m t áy, thì chi u dài c a Di n tích c a m t áy là 2‫ݓ‬ሺ‫ݓ‬ሻ ൌ 2‫ ݓ‬ଶ nên giá nguyên m t áy là 2w; và t h là chi u cao c a container. li u làm m t áy là 10ሺ2‫ ݓ‬ଶ ሻ $. Hai m t bên có di n tích là 2‫ ݄ݓ‬và hai m t bên còn l i có di n tích là ‫ ݄ݓ‬nên giá nguyên li u bên là 6ሾ2ሺ‫݄ݓ‬ሻ ൅ 2ሺ2‫݄ݓ‬ሻሿ$. làm các m t ‫ ܥ‬ൌ 10ሺ2‫ ݓ‬ଶ ሻ ൅ 6ሾ2ሺ‫݄ݓ‬ሻ ൅ 2ሺ2‫݄ݓ‬ሻሿ ൌ 20‫ ݓ‬ଶ ൅ 36‫݄ݓ‬ Như v y, giá nguyên li u t ng c ng là M t khác, th tích c a nó là 10m3 nên ta có ‫ݓ‬ሺ2‫ݓ‬ሻ݄ ൌ 10, t c là ݄ ൌ ௪ మ ହ Thay vào công th c tính C, ta ư c ‫ ܥ‬ൌ 20‫ ݓ‬ଶ ൅ 36‫ ݓ‬ቀ మ ቁ ൌ 20‫ ݓ‬ଶ ൅ ହ ଵ଼଴ ௪ ௪ 180 V y, giá nguyên li u ư c bi u th theo chi u dài c nh áy b i công th c sau ‫ ܥ‬ൌ 20‫ ݓ‬ଶ ൅ , ‫ ݓ‬൐ 0. ‫ݓ‬ M t hàm s cho b i công th c, n u không nói gì thêm thì quy ư c t p xác nh c a hàm s là t p các giá tr c a bi n c l p làm cho công th c có nghĩa. Tuy nhiên: y = sinx v i െ ൑ ‫ ݔ‬൑ , thì ph i hi u t p xác nh là గ గ ଶ ଶ [ െ ଶ ; ଶ ]. గ గ VÍ D 4 Tìm t p xác nh c a m i hàm s sau. (a) ݂ ሺ‫ ݔ‬ሻ ൌ √‫ ݔ‬൅ 2 (b) ݃ሺ‫ ݔ‬ሻ ൌ ௫ మ ି௫. ଵ Gi i (a) √‫ ݔ‬൅ 2 có nghĩa khi ‫ ݔ‬൅ 2 ൒ 0, nên t p xác nh là [2; +∞). (b) ௫ మି௫ có nghĩa khi ‫ 0 ് ݔ‬và ‫ ,2 ് ݔ‬nên t p xác ଵ nh là ሺെ∞; 0ሻ ‫ ׫‬ሺ0; 1ሻ ‫ ׫‬ሺ1; ൅∞ሻ. Hàm xác nh trên t ng kho ng 8
Xét hàm cho b ng l i: C(w) là chi phí v n chuy n bưu ph m có cân n ng là w. Ngành bưu i n ưa ra quy t c tính như sau: 39 cents n u cân n ng không quá 1ounce, m i ounce ti p theo có chi phí v n chuy n là 24 cents và bưu ph m ch ư c có cân n ng t i a là 13 ounce. Hàm này ư c trình bày d ng b ng thì s d ng thu n ti n hơn, b ng các giá tr như bên l . T b ng giá tr , thì ư c d ng công th c c a hàm như sau: 0,39 n u0൏ ‫ ݓ‬൑1 ‫ۓ‬ ۖ 0,63 n u1൏ ‫ ݓ‬൑2 ۖ 0,87 n u2൏ ‫ ݓ‬൑3 ‫ܥ‬ሺ‫ݓ‬ሻ ൌ 1,11 n u3൏ ‫ ݓ‬൑4 ‫۔‬ ۖ 1,35 n u4൏ ‫ ݓ‬൑5 ۖ ‫ڭ‬ ‫ݑ ݊ 72,3ە‬ 12 ൏ ‫ ݓ‬൑ 13. th trong hình dư i ây: th như hình b c thang ta th y t p xác nh c a hàm s là (0; 13] và trên m i kho ng xác nh thì quy t c tính giá tr c a hàm s l i khác nhau. M t hàm như v y ư c g i là hàm xác nh trên t ng kho ng. M t cách t ng quát, hàm s ư c g i là xác nh trên t ng kho ng n u quy t c xác nh c a hàm s trên m i kho ng xác nh là khác nhau. Ch ng h n các hàm sau là hàm xác nh trên t ng kho ng ‫ݔ‬ n u 0൑ ‫ݔ‬൑1 ‫ ݕ‬ൌ ൜‫ݔ‬ n u ‫ ݔ‬൒ 0; ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ൜1 ଶ ‫ݔ‬ െ n u ‫ ݔ‬൑ 1; ݂ ሺ‫ ݔ‬ሻ ൌ ቐ 2 െ ‫ ݔ‬n u 1 ൏ ‫ ݔ‬൑ 2 െ‫ ݔ‬n u ‫ ݔ‬൏ 0 ‫ݔ‬ n u ‫ݔ‬൐1 0 n u ‫ݔ‬൐2 2. Hàm s ch n – Hàm s l • N u hàm f th a mãn f(-x) = f(x) v i m i x thu c t p xác nh thì f ư c g i là hàm s ch n. ‫ ݔ‬൒ 0 sau ó l y thêm hình i x ng qua tr c tung ta ư c toàn b th hàm ch n nh n tr c tung làm tr c i x ng, do ó ch c n v th ng v i ph n th . • N u hàm f th a mãn f(-x) = - f(x) v i m i x thu c t p xác nh thì f ư c g i là hàm s l . ‫ ݔ‬൒ 0 sau ó l y thêm hình thu ư c b ng cách l y th hàm l nh n g c t a làm tâm i x ng, do ó ch c n v th ng v i ph n i x ng qua g c t a . Hàm ch n Hàm l 9
3. Dáng i u c a hàm s th c a hàm f trong hình dư i ây i lên t A n B, i xu ng t B n C, và l i i lên t C n kho ng [c; d]. Lưu ý r ng v i hai s b t kỳ ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ n m gi a hai s a và b v i ‫ݔ‬ଵ , ൏ ‫ݔ‬ଶ , thì ݂ ሺ‫ݔ‬ଵ ሻ ൏ D. Ta nói hàm f ng bi n trên kho ng [a; b] và ngh ch bi n trên kho ng [b; c] và l i ng bi n trên ݂ሺ‫ݔ‬ଶ ሻ. Ta s d ng i u này nh nghĩa hàm s ng bi n. M t hàm s f ư c g i là ng bi n trên kho ng I ( ây ư c hi u là m t trong các d ng: ݂ሺ‫ݔ‬ଵ ሻ ൏ ݂ሺ‫ݔ‬ଶ ሻ v i ‫ݔ‬ଵ ൏ ‫ݔ‬ଶ trong I. [a; b] (a; b) [a; b) (a; b]) khi: ݂ሺ‫ݔ‬ଵ ሻ ൐ ݂ሺ‫ݔ‬ଶ ሻ v i ‫ݔ‬ଵ ൏ ‫ݔ‬ଶ trong I. M t hàm s f ư c g i là ngh ch bi n trên kho ng I khi: Lưu ý r ng b t ng th c ݂ሺ‫ݔ‬ଵ ሻ ൏ ݂ሺ‫ݔ‬ଶ ሻ ph i x y ra v i m i c p s ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ trong I v i ‫ݔ‬ଵ ൏ ‫ݔ‬ଶ . 4. M t vài hàm s ã h c i) Hàm tuy n tính là hàm có d ng y = mx + b trong ó m và b là các s ã cho; m là h s góc và b là tung g c. h ng. N u ݉ ് 0 thì giá tr c a nó thay i m t m c c Hàm này có nét c bi t là: N u m = 0 thì giá tr c a nó không thay i khi x thay i và g i là hàm h n hàm ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 3‫ ݔ‬െ 2 có h s góc là 3 nên m i khi x tăng 0,1 ơn v thì giá tr c a hàm tăng 0,3 nh khi x thay i m t m c c nh, ch ng ơn v . Dư i ây là th hàm s và b ng giá tr hàm s t i m t vài i m. ܲሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ܽ௡ ‫ ݔ‬௡ ൅ ܽ௡ିଵ ‫ ݔ‬௡ିଵ ൅ ‫ ڮ‬൅ ܽଶ ‫ ݔ‬ଶ ൅ ܽଵ ‫ ݔ‬൅ ܽ଴ ii) Hàm a th c Hàm P ư c g i là m t a th c n u nó ư c cho b i công th c có d ng trong ó n là s nguyên dương và ܽ଴ , ܽଵ , … , ܽ௡ là các h ng s và ta g i là các h s c a a th c. T p xác nh c a m t a th c b t kỳ là Թ ൌ ሺെ∞; ൅∞ሻ. N u ܽ௡ ് 0 thì ta nói P là a th c b c n. Ch ng h n, ta ã h c a th c b c 1: ܲሺ‫ ݔ‬ሻ ൌ ݉‫ ݔ‬൅ ܾ ây chính m t hàm tuy n tính; a th c b c hai: ܲሺ‫ ݔ‬ሻ ൌ ܽ‫ ݔ‬ଶ ൅ ܾ‫ ݔ‬൅ ܿ là m t tam th c b c hai; a th c b c ba; a th c b c b n trùng phương. a th c ‫ ݕ‬ൌ െ2‫ ଺ ݔ‬൅ ‫ ݔ‬െ 1 là a th c b c sáu. Nói chung các a th c ư c s d ng nhi u trong ng d ng toán h c, c bi t trong vi c tính g n iii) Hàm lũy th a là hàm cho có d ng ݂ሺ‫ ݔ‬ሻ ൌ ‫ ݔ‬௔ trong ó a là m t h ng s . Hàm này ã ư c úng và l p mô hình toán. trình bày chương trình ph thông trung h c. Trư ng h p c bi t là a s nguyên dương thì ta ư c hàm a th c. 10
th c a hàm nói trên trong m t s trư ng h p riêng: iv) Hàm phân th c là thương c a hai a th c: ݂ ሺ‫ ݔ‬ሻ ൌ ொሺ௫ሻ. T p xác ௉ሺ௫ሻ nh là t p các giá tr c a x làm cho ܳሺ‫ݔ‬ሻ ് 0. Ta ã h c v phân th c: b c 1 / b c 1 và b c 2/b c 1. v) Hàm lư ng giác: ‫ ݕ‬ൌ sin ‫ ݕ , ݔ‬ൌ cos ‫ ݕ , ݔ‬ൌ tan ‫ ݕ , ݔ‬ൌ cot ‫ .ݔ‬M i hàm u là hàm tu n hoàn. ‫ ݕ‬ൌ sin ‫ ݕ , ݔ‬ൌ cos ‫ ݔ‬là hai hàm có t p xác nh là Թ và t p giá tr là [-1; 1]. ሺܿሻ ‫ ݕ‬ൌ tan ‫ݔ‬ Hàm ‫ ݕ‬ൌ tan ‫ ݔ‬có t p xác nh là ሼ‫ א ݔ‬Թ|‫ ് ݔ‬ଶ ൅ ݇ߨ} và t p giá tr là Թ ൌ ሺെ∞; ൅∞ሻ. గ vi) Hàm mũ là hàm có d ng ݂ሺ‫ ݔ‬ሻ ൌ ܽ௫ , trong ó a là m t s dương khác 1 và g i là cơ s . c a hai hàm ‫ ݕ‬ൌ 2 và ‫ ݕ‬ൌ ሺ0,5ሻ ư c v th ௫ ௫ Թ ൌ ሺെ∞; ൅∞ሻ, t p giá tr là ሺ0; ൅∞ሻ. hình dư i ây, c hai hàm u có t p xác nh là 11
vii) Hàm logarit là hàm có d ng ݂ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ log ୟ ‫ ,ݔ‬trong ó a là s dương khác 1. hàm logarit c th ư c v trong hình dư i ây. M i hàm u là hàm có t p xác nh là ሺ0; ൅∞ሻ và th c a m t s t p giá tr là ሺെ∞; ൅∞ሻ. Hàm logarit là hàm ngư c c a hàm s mũ (xem m c sau). Các hàm lư ng giác, hàm mũ, hàm logarit thu c t p h p các hàm siêu vi t, t p h p các hàm siêu vi t còn có hàm xác nh b i t ng c a m t chu i và các hàm khác mà ta chưa bi t tên. 1.2 L p hàm s m i t các hàm s ã bi t 1. Phép bi n i các hàm M c này ta s xây d ng các hàm m i t các hàm ã h c ư c li t kê M c I b ng cách t nh ti n th . T nh ti n theo phương th ng ng và phương ngang Gi s c là s dương, thì th hàm y = f(x) + c thu ư c b ng cách t nh ti n th hàm y = f(x) lên trên c ơn v (b i vì hoành gi nguyên còn tung thì tăng lên c ơn v ). Tương t , n u g(x) = f(x – c), thì giá tr c a g t i x b ng giá tr c a f t i x – c(c ơn v v phía trái c a x) do ó th c a y = f(x - c) thu ư c b ng cách d ch chuy n th c a y = f(x) v phía ph i c ơn v . Xem Hình v 12
T ng quát ta có. ‫ ݕ‬ൌ ݂ ሺ‫ ݔ‬ሻ ൅ ܿ, b ng cách t nh ti n th hàm ‫ ݕ‬ൌ ݂ሺ‫ ݔ‬ሻ lên trên ܿ ơn v Cho c > 0. Ta nh n ư c th c a hàm ‫ ݕ‬ൌ ݂ ሺ‫ ݔ‬ሻ െ ܿ, b ng cách t nh ti n th hàm ‫ ݕ‬ൌ ݂ሺ‫ ݔ‬ሻ xu ng dư i ܿ ơn v ‫ ݕ‬ൌ ݂ ሺ‫ ݔ‬൅ ܿሻ, b ng cách t nh ti n th hàm ‫ ݕ‬ൌ ݂ሺ‫ ݔ‬ሻ sang trái ܿ ơn v ‫ ݕ‬ൌ ݂ ሺ‫ ݔ‬െ ܿሻ, b ng cách t nh ti n th hàm ‫ ݕ‬ൌ ݂ሺ‫ ݔ‬ሻ sang ph i ܿ ơn v 2. Phép toán gi a các hàm s Hai hàm s f và g có th ư c t h p l i ư c các hàm m i f + g, f – g. fg và f/g theo ki u tương t như là ta c ng, tr , nhân, chia hai con s . Trư c tiên, ta ưa ra khái ni m hai hàm s b ng nhau: Hai hàm f , g ư c g i là b ng nhau n u th a mãn c hai i u ki n là có t p xác nh b ng nhau và f(x) = g(x) v i m i x thu c t p xác nh. Các hàm s nào sau ây b ng nhau: ݂ ሺ‫ ݔ‬ሻ ൌ , ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ ݔ‬൅ 2, ݄ሺ‫ ݔ‬ሻ ൌ ൜‫ ݔ‬൅ 2 ݊ ‫ ݇ , 1 ് ݔ ݑ‬ሺ‫ ݔ‬ሻ ൌ ൜‫ ݔ‬൅ 2 ݊ ‫1 ് ݔ ݑ‬ ሺ௫ାଶሻሺ௫ିଵሻ ௫ିଵ 0݊ ‫ ݔݑ‬ൌ1 3݊ ‫ ݔݑ‬ൌ1 Cho hai hàm ݂, ݃. T ng, hi u hai hàm ư c xác nh tương ng như ሺ݂ ൅ ݃ሻሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݂ ሺ‫ ݔ‬ሻ ൅ ݃ሺ‫ ݔ‬ሻ ሺ݂ െ ݃ሻሺ‫ ݔ‬ሻ ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ െ ݃ሺ‫ݔ‬ሻ sau N u t p xác nh c a ݂ là A và c a ݃ là B, thì t p xác nh c a ݂ ൅ ݃ và ݂ െ ݃ u là ‫ ܤ ת ܣ‬b i vì c ݂ ሺ‫ ݔ‬ሻ và ݃ሺ‫ݔ‬ሻ u có nghĩa. M t cách tương t , tích và thương c a các hàm ư c nh nghĩa như ݂ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ sau: ሺ݂݃ሻሺ‫ ݔ‬ሻ ൌ ݂ሺ‫ ݔ‬ሻ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ൬ ൰ ሺ‫ ݔ‬ሻ ൌ ݃ ݃ሺ‫ݔ‬ሻ T p xác nh c a hàm ݂݃ là ‫ .ܤ ת ܣ‬Tuy nhiên, ta không th chia cho s 0 nên t p xác nh c a hàm ݂/݃ là ሼ‫݃|ܤ ת ܣ א ݔ‬ሺ‫ ݔ‬ሻ ് 0ሽ. 3. Phép h p hai hàm s Có m t cách khác t h p hai hàm cho trư c ư c m t hàm m i. Ví d , cho hai hàm s ‫ ݕ‬ൌ √‫ ݑ‬và ‫ ݑ‬ൌ ‫ ݔ‬൅ 1. Do ‫ ݕ‬là hàm c a u và u là hàm c a x, t ó ư c y là hàm c a x. Ta xác ଶ nh b ng cách thay th : ‫ ݕ‬ൌ ݂ሺ‫ݑ‬ሻ ൌ ݂൫݃ሺ‫ ݔ‬ሻ൯ ൌ ݂ሺ‫ ݔ‬ଶ ൅ 1ሻ ൌ √‫ ݔ‬ଶ ൅ 1 ݂, ݃ ã cho. Th t c tìm ra hàm m i này ư c g i là phép h p thành b i vì hàm m i ư c t o thành t hai hàm M t cách t ng quát, cho trư c hai hàm b t kỳ ݂, ݃ l y m t s b t kỳ x n m trong t p xác nh c a hàm ݃ và tìm ư c ݃ሺ‫ݔ‬ሻ. N u ݃ሺ‫ݔ‬ሻ n m trong t p xác nh c a hàm ݂, thì ta l i tính ư c ݂ሺ ݃ሺ‫ ݔ‬ሻሻ. K t qu là ta ư c m t hàm m i ݄ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݂ሺ݃ሺ‫ݔ‬ሻሻ, hàm này nh n ư c b ng cách th g vào f . Ta g i hàm m i này là hàm h p c a ݂, ݃ và ký hi u b i ݂ ‫ ( ݃ ל‬c là “݂ o tròn ݃”) nh nghĩa Cho trư c hai hàm ݂, ݃, hàm h p c a ݂ và ݃ là m t hàm ư c ký hi u là ݂ ‫ ݃ ל‬và ư c xác nh như sau: ሺ݂ ‫݃ ל‬ሻሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݂ሺ݃ሺ‫ݔ‬ሻሻ Chú ý: T p xác nh c a hàm ݂ ‫ ݃ ל‬là t p g m các s thu c t p xác nh c a hàm ݃ sao cho ݃ሺ‫ݔ‬ሻ thu c t p xác nh c a hàm ݂, nghĩa là ሺ݂ ‫݃ ל‬ሻሺ‫ݔ‬ሻ xác nh khi c ݃ሺ‫ݔ‬ሻ và ݂ሺ݃ሺ‫ݔ‬ሻሻ u xác nh. VÍ D 5 N u ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ ݔ‬ଶ và ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ ݔ‬െ 3. Hãy tìm hàm ݂ ‫ ݃ ל‬và ݃ ‫.݂ ל‬ Gi i Ta có ሺ݂ ‫݃ ל‬ሻሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݂൫݃ሺ‫ݔ‬ሻ൯ ൌ ݂ሺ‫ ݔ‬െ 3ሻ ൌ ሺ‫ ݔ‬െ 3ሻଶ Và ሺ݃ ‫݂ ל‬ሻሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݃൫݂ሺ‫ݔ‬ሻ൯ ൌ ݃ሺ‫ ݔ‬ଶ ሻ ൌ ‫ ݔ‬ଶ െ 3 Nh n xét: Nói chung ݂ ‫.݂ ל ݃ ് ݃ ל‬ Lưu ý r ng: Ký hi u ݂ ‫ ݃ ל‬nghĩa là ݃ tác ng trư c r i sau ó m i n ݂. 13
Mô hình chi c máy cho hàm h p 4. Hàm ngư c Quan sát th trư ng vàng m t qu n t i Hà N i vào m t th i i m nào ó, ngư i ta ghi nh n ư c thông tin sau: Giá 1ch (tri u ng)=: P Lư ng c u(kg)=: Qd 1,5 5 1,4 10 1,3 20 1,0 30 0,9 50 0,8 60 Lư ng c u là hàm c a Giá c t Qd là lư ng c u(Quantity Demanded) và P(Price) là giá m t ch vàng vào th i i m ang xét, ta th y b ng trên cho ta th y Qd là m t hàm c a P: Qd = f(P) và lư ng c u tăng khi giá gi m. này có th xem P là hàm c a Qd, hàm này ư c g i là hàm ngư c c a hàm f, ư c ký hi u b i ݂ ିଵ Nhà kinh doanh có th quan tâm n vi c P ph thu c vào Qd như th nào, nói cách khác ngư i c là ݂ ngh ch o. Như v y ܲ ൌ ݂ ିଵ ሺܳௗ ሻ là m c giá t i lư ng c u Qd. Giá tr c a ݂ ିଵ có th ư c dư i ây b ng cách o hai c t trong b ng trên. Ch ng h n ݂ ିଵ ሺ20ሻ ൌ 1,3 b i vì ݂ሺ1,3ሻ ൌ 20. tìm t b ng trên b ng cách t tương ng t ph i sang trái, cho ti n ta có th xây d ng b ng như Lư ng c u(kg) Giá 1ch (tri u ng) 5 1,5 10 1,4 20 1,3 30 1,0 50 0,9 60 0,8 Không ph i hàm nào cũng có hàm ngư c, xét hai hàm ݂ và ݃ có sơ Giá c là hàm c a Lư ng c u mũi tên như sau: ý r ng ݂ không nh n m t giá tr nào ó hai l n(hai bi n u vào khác nhau thì hai bi n u ra khác nhau) trong khi ó ݃ l y giá tr 4 hai l n(c 2 và 3 u có giá tr u ra là 4): ݃ሺ2ሻ ൌ ݃ሺ3ሻ trong khi ó ݂ሺ‫ݔ‬ଵ ሻ ് ݂ሺ‫ݔ‬ଶ ሻ n u ‫ݔ‬ଵ ് ‫ݔ‬ଶ . Các hàm có tính ch t như hàm ݂ u ư c g i là hàm tương ng 1-1 gi a t p xác nh và t p giá tr . nh nghĩa M t hàm ư c g i là tương ng 1-1 gi a t p xác nh và t p giá tr (g i t t là hàm ݂ሺ‫ݔ‬ଵ ሻ ് ݂ ሺ‫ݔ‬ଶ ሻ khi ‫ݔ‬ଵ ് ‫ݔ‬ଶ 1-1) n u nó không l y m t giá tr nào ó c a nó hai l n; t c là, 14
N u m t ư ng n m ngang giao v i th c a hàm ݂ t i nhi u hơn m t i m, thì t hình sau ta th y ngay là t n t i hai s ‫ݔ‬ଵ và ‫ݔ‬ଶ sao cho ݂ ሺ‫ݔ‬ଵ ሻ ൌ ݂ ሺ‫ݔ‬ଶ ሻ. i u này nghĩa là f không ph i là hàm 1-1. Có m t phương pháp hình h c xác nh xem m t hàm có là hàm 1-1 hay không, D u hi u ư ng n m ngang M t hàm là hàm 1-1 khi và ch khi không t n t i ư ng n m ngang nào giao v i th c a nó t i quá m t i m. VÍ D 6 Hàm ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ ݔ‬ଷ có ph i là m t hàm 1-1 không? L i gi i 1: N u ‫ݔ‬ଵ ് ‫ݔ‬ଶ , thì ‫ݔ‬ଵ ് ‫ݔ‬ଶ (Hai s khác nhau không th có cùng m t lũy th a b c ba). ଷ ଷ L i gi i 2: T th c a hàm s ta th y, không t n t i m t ư ng n m ngang nào c t th hàm s VÍ D 7 Hàm ݂ ሺ‫ ݔ‬ሻ ൌ ‫ ݔ‬ଶ có ph i là m t hàm 1-1 không? t i hai l n, theo d u hi u ư ng n m ngang ta ư c hàm ã cho là hàm 1-1. L i gi i1:Ta có ݂ሺ1ሻ ൌ ݂ሺെ1ሻnên hàm này không ph i là hàm 1-1. L i gi i 2: T th c a hàm s ta th y có m t ư ng n m ngang c t th t i hai i m phân bi t nên hàm ã cho không ph i là hàm 1-1. Nh n xét: M t hàm ơn i u trên kho ng xác nh thì là hàm 1-1. Ch có hàm 1-1 thì m i có hàm ngư c, ư c xây d ng theo nh nghĩa sau ây: nh nghĩa Cho ݂ là hàm 1-1 v i t p xác nh là A và t p giá tr là B. Khi ó hàm ngư c ݂ ିଵ là ݂ ିଵ ሺ‫ݕ‬ሻ ൌ ‫݂ ֞ ݔ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ݕ‬ hàm có t p xác nh là B, t p giá tr là A và ư c xác nh như sau: v i m i y n m trong B. Chú ý: Không ư c nh m l n s -1 trong ݂ ିଵ là lũy th a. T c là ݂ ିଵ ሺ‫ݔ‬ሻ không có nghĩa là ௙ሺ௫ሻ . ଵ ư c vi t l i là ሾ݂ሺ‫ݔ‬ሻሿିଵ . ଵ ௙ሺ௫ሻ có th VÍ D 8 Cho hàm 1-1 f, bi t ݂ሺ1ሻ ൌ 5, ݂ ሺ3ሻ ൌ 7, ݂ ሺ8ሻ ൌ െ10. Tìm ݂ ିଵ ሺ7ሻ, ݂ ିଵ ሺ5ሻ, ݂ ିଵ ሺെ10ሻ. Gi i݂ ିଵ ሺ7ሻ ൌ 3 vì ݂ ሺ3ሻ ൌ 7; ݂ ିଵ ሺ5ሻ ൌ 1 vì ݂ሺ1ሻ ൌ 5; ݂ ିଵ ሺെ10ሻ ൌ 8 vì ݂ ሺ8ሻ ൌ െ10. nh nghĩa ta th y r ng, v i m i x ‫ ܣ א‬và ‫ ݕ‬ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ, thì ݂ ିଵ ሺ‫ݕ‬ሻ ൌ ݂ ିଵ ሺ݂ሺ‫ݔ‬ሻሻ ൌ ‫.ݔ‬ Nh n xét: T Bi u mô t hi n tư ng này 15
Ti p theo, ta tìm hi u cách xây d ng hàm ngư c. N u ta có hàm ‫ ݕ‬ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ và là hàm mà ta có th tìm ư c x theo y, theo nh nghĩa v hàm ngư c ta có hàm ngư c là ‫ ݔ‬ൌ ݂ ሺ‫ݕ‬ሻ. N u ta mu n g i bi n c l p là x và bi n ph thu c là y, thì ta ph i hoán i x và y cho gi i phương trình ିଵ nhau, ta ư c ‫ ݕ‬ൌ ݂ ିଵ ሺ‫ݔ‬ሻ. Cách tìm hàm ngư c c a hàm 1-1 Bư c 1 Vi t ‫ ݕ‬ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ. Bư c 2 Gi i phương trình tìm x theo y (n u có th ) Bư c 3 Bi u th hàm ݂ ିଵ theo bi n c l p là x, b ng cách ư c hàm ngư c là ‫ ݕ‬ൌ ݂ ିଵ ሺ‫ݔ‬ሻ. i ch x và y cho nhau. K t qu là ta VÍ D 9 Tìm hàm ngư c c a hàm ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ ݔ‬ଷ ൅ 2. Gi i Trư c tiên, ta có ‫ ݕ‬ൌ ‫ ݔ‬ଷ ൅ 2. Gi i phương trình tìm x theo y: ‫ ݔ‬ଷ ൌ ‫ ݕ‬െ 2 ֞ ‫ ݔ‬ൌ య െ 2 ඥ‫ݕ‬ i ch x và y: ‫ ݕ‬ൌ √‫ ݔ‬െ 2 య V y hàm c n tìm là ݂ ିଵ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ √‫ ݔ‬െ 2. య th c a hàm ݂ t th c a hàm ݂. Ta có: ሺܽ; ܾሻ thu c th hàm ݂ khi và ch khi Nguyên t c i ch x và y tìm vi t hàm ngư c theo bi n x làm cơ s cho ta có m t phương pháp ିଵ ݂ ሺܽሻ ൌ ܾ khi và ch khi ܽ ൌ ݂ ିଵ ሺܾሻ, t c là i m ሺܾ; ܽሻ thu c th hàm ݂ ିଵ . Nhưng ta thu ư c tìm i m ሺܾ; ܽሻ t i m ሺܽ; ܾሻb ng cách l y i x ng qua ư ng y = x. Xem hình dư i ây th hàm ݂ ିଵ nh n ư c t th hàm f b ng cách l y i x ng qua ư ng y = x. i) Ta có ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ܽ ௫ là m t hàm mũ, khi ó M t s hàm ngư c c a hàm ã h c ‫ ݕ‬ൌ ܽ ௫ ֞ ‫ ݔ‬ൌ log ୟ ‫ݕ‬ Nên hàm ‫ ݕ‬ൌ ݂ ିଵ ሺ‫ ݔ‬ሻ ൌ logୟ ‫ ݔ‬chính hàm ngư c c a hàm mũ. ii) Hàm ‫ ݕ‬ൌ sin ‫ ,ݔ‬v i ‫ א ݔ‬ሾെ ଶ ; ଶ ሿ là hàm có t p xác nh ch là ሾെ ଶ ; ଶ ሿ và గ గ గ గ th là ߨ ߨ T cách tìm hàm ngư c, ta ư c: v i m i ‫ א ݔ‬ቂെ ; ቃ , thì ‫ ݕ‬ൌ sin ‫ ݔ ֞ ݔ‬ൌ sinିଵ ‫ , ݕ‬m i ‫ א ݕ‬ሾെ1; 1ሿ 2 2 Ta ư c hàm ngư c c a hàm ã cho là ‫ ݕ‬ൌ sinିଵ ‫ ݔ‬v i t p xác nh là [-1; 1] và t p giá tr là ቂെ ; ቃ. Ta còn ký hi u sinିଵ ‫ ؠ ݔ‬arcsin ‫.ݔ‬ గ గ ଶ ଶ 16
th hàm ‫ ݕ‬ൌ sinିଵ ‫ ؠ ݔ‬arcsin ‫.ݔ‬ th hàm ‫ ݕ‬ൌ cos ‫ א ݔ , ݔ‬ሾ0; ߨሿ . iii) Tương t , hàm ‫ ݕ‬ൌ cos ‫ א ݔ , ݔ‬ሾ0; ߨሿ có là ‫ ݕ‬ൌ cos ‫ ؠ ݔ‬arccos ‫ ֞ ݔ‬cos ‫ ݕ‬ൌ ‫ ,ݔ‬m i ‫ א ݕ‬ሾ0; ߨሿ, hàm này có t p xác nh là [-1; 1]. th như hình v trên, là hàm 1-1, hàm ngư c c a nó ିଵ th như sau. th hàm ‫ ݕ‬ൌ arccos ‫.ݔ‬ th hàm ‫ ݕ‬ൌ tan ‫ , ݔ‬v i ‫ א ݔ‬ቀെ ; ቁ ߨ ߨ 2 2 iv) Hàm ngư c c a hàm ‫ ݕ‬ൌ tan ‫ , ݔ‬v i ‫ א ݔ‬ቀെ ଶ ; ଶ ቁ . Hàm này có గ గ th hình trên. Là hàm 1-1. Hàm ngư c c a nó ư c ký hi u là tan ିଵ ho c là acrtan và xác ߨ ߨ nh như sau: ‫ ݕ‬ൌ arctan ‫ ֞ ݔ‬tan ‫ ݕ‬ൌ ‫ ݔ‬và – ൏ ‫ ݕ‬൏ 2 2 Hàm này có t p giá tr là ቀ– 2 ; 2 ቁ và t p xác nh là ሺെ∞; ൅∞ሻ. ߨ ߨ th hàm ‫ ݕ‬ൌ arctan ‫ݔ‬ v) Hàm ngư c c a hàm ‫ ݕ‬ൌ cot ‫ ݔ‬v i ‫ א ݔ‬ሺ0; ߨሻ là hàm ư c ký hi u là cot ିଵ ho c arccot, và ‫ ݕ‬ൌ arccot ‫ ֞ ݔ‬cot ‫ ݕ‬ൌ ‫ ݔ‬và 0 ൏ ‫ ݕ‬൏ ߨ Hàm này có t p giá tr là ሺ0; ߨሻ và t p xác nh là ሺെ∞; ൅∞ሻ. ư c xác nh như sau Hàm sơ c p * Hàm sơ c p cơ b n là các lo i hàm s sau: hàm h ng, hàm lũy th a, hàm mũ, hàm logarit, hàm lư ng giác và hàm lư ng giác ngư c. * Hàm sơ c p là hàm ư c t o thành t các hàm sơ c p cơ b n b i m t s h u h n các phép toán s h c và phép l y hàm h p. 17
1.3 Mô hình toán h c Xem xét l i ví d v s tăng trư ng dân s : Dân s th gi i P thì ph thu c vào th i gian t. B ng sau ây ghi l i giá tr g n úng c a dân s th gi i P(t) t i th i i m t. V n là: Hãy tìm cách bi u di n hàm này b ng cách dùng công th c? Rõ ràng là vi c ưa ra m t công th c bi u di n chính xác s ngư i t i m t th i i m b t kỳ t là không th làm ư c. Nhưng có th tìm ư c m t hàm cho b i công th c mà hàm ó x p x P(t). ܲሺ‫ݐ‬ሻ ൎ ݂ ሺ‫ ݐ‬ሻ ൌ ሺ0,008079266ሻ. ሺ1,013731ሻ௧ Ch ng h n, ngư i ta ã nh n ư c Hình dư i ây cho th y s “ăn kh p” r t t t gi a ݂ሺ‫ݐ‬ሻ và ܲሺ‫ݐ‬ሻ. Hàm ݂ như th ư c g i là mô hình toán h c cho s tăng trư ng dân s . ó là m t ví d cho khái ni m sau ây: M t mô hình toán h c là m t mô t toán h c(thư ng là b ng m t hàm s ho c phương trình) cho hi n tư ng trong th c t , ch ng h n như dân s , lư ng c u c a m t s n ph m, t c rơi c a m t v t, t l s ng c a tr sơ sinh. Tên g i c a m t s bi n trong phân tích kinh t Trong phân tích kinh t ngư i ta ph i xem xét các i lư ng như là: Lư ng cung, lư ng c u, giá, chi phí, doanh thu, t ng chi phí, t ng doanh thu, lư ng lao ng, lư ng v n,.. cho ti n ngư i ta dùng các ti p u t c a t ti ng anh tương ng làm bi n s bi u th i lư ng ó. Như v y, ta có các bi n kinh t như sau: Tên ti ng Vi t Tên ti ng Anh Ký hi u Lư ng cung Quantity Supplied Qs Lư ng c u Quantity Demanded Qd Giá hàng hóa Price P Lư ng chi phí,Lư ng tiêu dùng Cost, Consumption C T ng chi phí Total Cost TC Doanh thu Revenue R T ng doanh thu Total Revenue TR L i nhu n Profit Pr Lư ng v n Capital K Lư ng lao ng Labour L Chi phí c nh= nh phí Fix Cost FC Chi phí ph thu c s n ph m=Bi n phí Variable Cost VC Ti t ki m Saving S Thu nh p Income I 18
i) Hàm cung và hàm c u. Hàm cung là hàm s ư c dùng bi u di n (mô hình toán d ng hàm s ) s ph thu c c a lư ng cung m t lo i hàng hóa nào ó vào giá c a nó trong i u ki n các y u t khác không i. Như v y, hàm cung có d ng Qs = S(P). (lư ng cung là lư ng hàng hóa mà ngư i bán b ng lòng bán m i m c giá.) Hàm c u là hàm s ư c dùng bi u di n s ph thu c c a lư ng c u m t lo i hàng hóa nào ó vào giá c a nó trong i u ki n các y u t khác không i. Như v y, hàm c u có d ng Qd = D(P).(lư ng c u là lư ng hàng hóa mà ngư i mua b ng lòng mua m i m c giá.) Quy lu t th trư ng trong kinh t h c phát bi u r ng: Trong i u ki n các y u t khác không thay i, hàm cung là hàm ng bi n; hàm c u là hàm ngh ch bi n. Nghĩa là khi các y u t khác gi nguyên, giá hàng hóa tăng thì ngư i bán s mu n bàn nhi u hơn còn ngư i mua s mua ít i. Các nhà kinh t g i th c a hàm cung, hàm c u l n lư t là ư ng cung và ư ng c u. Giao i m ത c a hai ư ng ư c g i là i m cân b ng c a th trư ng. T i i m cân b ng c a th trư ng, ta có: v i m c giá cân b ng ܲ thì ngư i bán bán h t và ngư i mua mua , không có hi n tư ng khan hi m và dư th a hàng hóa. ܳୱ ൌ ܽܲ ൅ ܾ, v i ܽ ൐ 0 T quy lu t trên, ta th y n u mu n dùng mô hình tuy n tính cho hàm cung ta ph i có: Và hàm c u có d ng ܳୢ ൌ ܽܲ ൅ ܾ, v i ܽ ൏ 0. Chú ý: Hàm cung và hàm c u u có hàm ngư c, trong các tài li u kinh t ngư i ta thư ng bi u th s ph thu c c a giá c vào lư ng cung, lư ng c u thành ra ngư i ta cũng g i các hàm ngư c c a các hàm cung và hàm c u như ã nói trên là hàm cung và hàm c u tương ng th là ư ng cung và ư ng c u. ii) Hàm s n xu t ng n h n. Hàm s n xu t là hàm bi u di n s ph thu c c a s n lư ng hàng hóa c a m t nhà s n xu t vào các y u t s n xu t, như là: v n, lao ng,..(là các y u t u vào c a s n xu t). Trong kinh t h c, khái ni m ng n h n và dài h n không ư c xác nh b i kho ng th i gian c th mà ư c hi u là như sau: Ng n h n là kho ng th i gian mà ít nh t m t trong các y u t s n xu t không i. Dài h n là kho ng th i gian mà t t c các y u t s n xu t có th thay i. Khi phân tích s n xu t thì ngư i ta thư ng quan tâm n hai không thay i. Như v y hàm s n xu t ng n h n có d ng: ܳ ൌ ݂ሺ‫ܮ‬ሻ trong ó Q là m c s n lư ng. y u t s n xu t quan tr ng là: v n (K) và lư ng lao ng (L). Trong ng n h n, thì K ư c cho là iii) Hàm doanh thu, hàm chi phí và hàm l i nhu n ܴܶ ൌ ܴܶሺܳሻ • Hàm doanh thu là hàm bi u di n s ph thu c c a t ng doanh thu vào s n lư ng: ܶ‫ ܥ‬ൌ ܶ‫ܥ‬ሺܳሻ • Hàm chi phí là hàm bi u di n s ph thu c c a t ng chi phí vào s n lư ng: bi u di n s ph thu c c a t ng l i nhu n (Ký hi u là Π) vào s n Π ൌ Πሺܳሻ • Hàm l i nhu n là hàm lư ng: iv) Hàm tiêu dùng và hàm ti t ki m • Hàm tiêu dùng là hàm bi u di n s ph thu c c a lư ng ti n dành cho mua s m hàng hóa ‫ ܥ‬ൌ ‫ܥ‬ሺ‫ܫ‬ሻ C (Consumption) c a ngư i tiêu dùng vào thu nh p I: ܵ ൌ ܵሺ‫ܫ‬ሻ • Hàm ti t ki m là hàm bi u di n s ph thu c c a bi n ti t ki m S vào bi n thu nh p: 19
c thêm: M c ích c a mô hình là nh m hi u bi t v các hi n tư ng trong th c t và có th ưa ra d oán cho tương lai. Hình sau ây mô t quá trình c a vi c mô hình hóa toán h c cho m t hi n tư ng trong th c t ưa vào công th c Bài toán Mô hình Gi i K t lu n Gi i thích cho D oán th c t toán h c toán h c th c t cho v n th c t Ki m tra l i M t bài toán th c t ư c t ra, nhi m v c a ta là ưa vào m t mô hình toán h c b ng cách xác nh và t tên bi n c l p, bi n ph thu c và s d ng gi thi t ơn gi n hóa hi n tư ng th c t nh m d v n d ng toán h c. Sau ó v n d ng nh ng hi u bi t c a mình v lĩnh v c có liên quan và k năng toán h c liên k t các bi n nh n ư c phương trình. Trong tình hu ng không có nh ng k t lu n v lĩnh v c ang xét ta bu c ph i dùng cách thu th p s li u và l p b ng giá tr , v th i m th y xu hư ng c a các bi n. T ó có th nh n th y ư c dùng hàm s nào(trong nh ng hàm ã bi t) làm mô hình toán cho hi n tư ng ang xét. Giai o n th hai là áp d ng ki n th c toán h c(như là các ki n th c s ư c trình bày trong giáo trình này) vào mô hình toán h c thu ư c các k t lu n toán h c. Sau ó, giai o n th ba, ta gi i thích các k t lu n toán h c thành các thông tin v bài toán ban u t ó ưa ra s gi i thích cho th c t ho c ưa ra d oán cho hi n tư ng. Bư c cu i là ki m tra các d oán b ng các s li u th c t m i. N u d oán không th c s t t, thì ta có th ph i th c hi n l i quá trình tìm ra m t môt hình phù h p hơn. 20