Bài giảng Lý thuyết đồ thị: Chương 7 - Bài toán luồng cực đại trong mạng

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:15

Thêm vào BST

Báo xấu

170
lượt xem 22
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Lý thuyết đồ thị: Chương 7 - Bài toán luồng cực đại trong mạng giới thiệu tới các bạn những nội dung về khái niệm mạng; luồng trên mạng; lát cắt; đồ thị tăng luồng; thuật toán tìm luồng cực đại và một số nội dung khác. Mời các bạn tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Lý thuyết đồ thị: Chương 7 - Bài toán luồng cực đại trong mạng

Chương 7 Bài toán luồng cực đại trong mạng
Khái niệm mạng  Định nghĩa. Mạng là một đồ thị có hướng G = , trong đó:  Có duy nhất một đỉnh s không có cạnh đi vào, gọi là điểm phát.  Có duy nhất một đỉnh t không có cung đi ra, gọi là điểm thu.  Mỗi cạnh của đồ thị được gán với một con số không âm gọi là khả năng thông qua (băng thông) của cạnh đó. 1 3 2 4 3 s 1 2 t 3 4 3 3 4 Lý thuyết đồ thị 11/26/15 2
Luồng trên mạng  Định nghĩa. Xét mạng G = . Ta gọi luồng f trong mạng là ánh xạ f: E R+, gán cho mỗi cạnh e = (u,v) một số thực không âm f(e), gọi là luồng trên cung e, thỏa mãn các điều kiện sau:  Luồng trên mỗi cung không đượt vượt quá khả năng thông qua của nó: f(e) c(e).  Tại mỗi đỉnh, tổng luồng đi vào phải bằng tổng luồng đi ra (trừ tại s và t).  Giá trị của mỗi luồng f được tính bằng tổng luồng đi ra tại s (cũng chính là tổng luồng đi vào tại t). Lý thuyết đồ thị 11/26/15 3
Luồng trên mạng (tt) (2) 1 3 2  VD: (1) 4 3(3) (1)2 s (1)1 t Val(f) = 4 (1) 4 (3) 3 (1) 3 3 4  Ký hiệu Γ − (v) = { w �� V | (w, v) E} Γ + (v) = { w �� V | (v, w) E}  Điều kiện cân bằng luồng: � f (w,v) = � f (v,w) w�Γ − ( v ) w�Γ + ( v )  Giá trị của luồng f: val ( f ) = � f (s,w) = � f (w,t) w�Γ + ( s ) w�Γ − ( t ) Lý thuyết đồ thị 11/26/15 4
Lát cắt  Một lát cắt (X,X*) là một cách phân hoạch tập đỉnh V của mạng thành hai tập X và X* = V\X, trong đó s X và t X*.  Khả năng thông qua của lát cắt (X,X*) là số: c( X , X * ) = c(v, w) v X w X*  Lát cắt với khả năng thông qua nhỏ nhất được gọi là lát cắt hẹp nhất Lý thuyết đồ thị 11/26/15 5
Lát cắt (tt)  VD: 1 3 2 4 3 s 1 2 t 3 4 3 3 4  Xét lát cắt (X,X*) với X = {s, 3, 4}, X* = {t, 1, 2}  Ta có c(X, X*) = 4 + 1 + 2 + 4 = 11  Lát cắt nhỏ nhất???  Lát cắt nhỏ nhất là: X = {s, 1}, X* = {t, 2, 3, 4} Lý thuyết đồ thị 11/26/15 6
Lát cắt (tt)  Bổ đề: Giá trị của luồng f trong mạng luôn nhỏ hơn hay bằng khả năng thông qua của lát cắt bất kỳ.  Bổ đề: Giá trị luồng cực đại trong mạng không vượt quá khả năng thông qua của lát cắt hẹp nhất trong mạng. Lý thuyết đồ thị 11/26/15 7
Đồ thị tăng luồng  Xét mạng G với luồng f như sau: Cung nghịch (2) 2 2 1 2 Cung thuận 1 3 (1) 1 1 4 3(3) 3 3 1 (1)2 s (1)1 t s 1 1 t (1) 4 3 (3) 3 (1) 3 3 2 1 3 4 3 4 1 Mạng G và luồng f Đồ thị tăng luồng Gf Lý thuyết đồ thị 11/26/15 8
Đồ thị tăng luồng (tt)  Xét P = (s = v0 v1 v2 … vk = t) là một đường đi trên đồ thị tăng luồng.  Gọi là giá trị trọng số nhỏ nhất của một cạnh trên cung này.  Ta xây dựng luồng f’ trên mạng G theo quy tắc như sau: f (u , v) + δ , nếu (u,v) P là cung thuận f '(u , v) = f (u , v) − δ , nếu (u,v) P là cung nghịch f (u , v) , nếu (u,v) P  f’ được gọi là đường tăng luồng dọc theo P Lý thuyết đồ thị 11/26/15 9
Đồ thị tăng luồng (tt)  VD: 2 (2) 1 2 1 3 2 1 1 (1) (2) 3 4 3(3) 3 1 =1 (1)2 s 1 1 t s (0)1 (1) t (1) (2) 3 4 3 (3) 3 (1) (2) 2 1 3 3 4 3 4 1 Đồ thị tăng luồng Gf Mạng G và luồng mới f’ Val(f’) = 5 Lý thuyết đồ thị 11/26/15 10
Đường tăng luồng  Định nghĩa: Đường tăng luồng f là một đường đi bất kỳ từ s đến t trong đồ thị Gf.  Định lý: Các điều sau là tương đương:  f là luồng cực đại trong mạng  Không tồn tại đường tăng luồng f  val(f) = c(X,X*) với một lát cắt (X,X*) nào đó Lý thuyết đồ thị 11/26/15 11
Thuật toán tìm luồng cực đại  Ý tưởng thuật toán  Bắt đầu từ một luồng f bất kỳ - có thể là luồng 0  Xây dựng đồ thị tăng luồng G . f  Từ Gf, tìm đường tăng luồng P  Nếu không có đường tăng luồng nào thì kết thúc.  Nếu có đường tăng luồng P thì xây dựng luồng mới f’ và lặp lại quá trình trên cho đến khi không tìm thêm được đường tăng luồng mới. Lý thuyết đồ thị 11/26/15 12
Một số kết quả lý thuyết  Định lý: Luồng cực đại trong mạng bằng khả năng thông qua của lát cắt hẹp nhất.  Định lý: Nếu tất cả các khả năng thông qua là các con số nguyên thì luôn tìm được luồng cực đại với luồng trên các cung là các số nguyên Lý thuyết đồ thị 11/26/15 13
Một số bài toán luồng tổng quát  Tự đọc thêm trong tài liệu (Chương 7)  Nguyễn Đức Nghĩa, Nguyễn Tô Thành. Toán Rời Rạc. NXB Giáo Dục, 1999 Lý thuyết đồ thị 11/26/15 14
Một số ứng dụng trong tổ hợp  Tự đọc thêm trong tài liệu (chương 7):  Nguyễn Đức Nghĩa, Nguyễn Tô Thành. Toán Rời Rạc. NXB Giáo Dục, 1999 Lý thuyết đồ thị 11/26/15 15