zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Phương pháp số (phương pháp phần tử hữu hạn) - Vũ Khắc Bảy

Chia sẻ: Sơn Tùng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:91

Báo xấu

163
lượt xem 29
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Phương pháp số (phương pháp phần tử hữu hạn)" cung cấp cho người học các kiến thức: Một số vấn đề cơ bản trong cơ học vật rắn biến dạng các phương pháp tính trong cơ học, cơ sở và các nội dung cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn, tính toán hệ thanh bằng phương pháp phần tử hữu hạn,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Phương pháp số (phương pháp phần tử hữu hạn) - Vũ Khắc Bảy

Trêng ®¹i häc l©m nghiÖp Bé m«n To¸n Vò Kh¾c B¶y Bµi gi¶ng ph¬ng ph¸p sè (ph¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n) Hµ néi - N¨m 2012
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN . LỜI NÓI ĐẦU Để giải và tính toán các bài toán về kêt cấu cơ học, ngoài các phương pháp giải tích ta còn có các phương pháp số. Do các bài toán cơ học thường dẫn đến việc giải các phương trình vi phân với các điều kiện biên xác định nào đó. Vì vậy thời kỳ đầu của các phương pháp số là : các phương pháp tích phân số và phương pháp sai phân hữu hạn. Cùng với sự phát triển của máy tính điện tử, phương pháp phần tử hữu hạn ra đời và phát triển rất mạnh mẽ và là một phương pháp được dùng rất phổ biến hiện nay khi tính toán các bài toán cơ học. Nó cũng đã được áp dụng để có được nhiều chương trình tính cho các dạng bài toán cơ học khác nhau: Tính cho dàn thanh, khung không gian, các kết cấu dạng tấm , vỏ ,... Phương pháp phần tử hữu hạn là môn học cơ sở của các ngành kỹ thuật liên quan đến tính toán các kết cấu và hiện cũng là một môn học của ngành Xây dựng và Kỹ thuật công trình thuộc trường ĐHLN. Trong năm trước đây chúng tôi có biên soạn nội dung bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn để phục vụ cho công tác giảng dạy môn học : Phương pháp số. Vẫn biết rằng tài liệu viết về môn học này đã có rất nhiều trên các dạng : sách , bài giảng và trên mạng, song thiết nghĩ thì việc biên soạn một tài liệu dạng bài giảng về phương pháp phần tử hữu hạn với thời lượng 2 tín chỉ cũng là điều cần thiết để các em sinh viên ( và cả các độc giả lần đầu biết về phương pháp này) tiếp cận với môn học này thuận lợi hơn. Tài liệu mới chỉ tiếp cận đến một số nội dung và khái niệm cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn. Các vấn đề trình bày mới dừng đến việc tính toán cho dàn, khung không gian. Tài liệu cũng đã đưa ra một số thủ tục cơ bản trong lập trình tính toán, các thủ tục này được viết trong Visual Basic, độc giả có thể chuyển đổi dễ dàng sang các môi trường lập trình khác. Mong rằng với ý muốn như thế sẽ giúp ích được phần nào cho quá trình học tập môn học này của các em sinh viên, và tất nhiên rất mong được các đóng góp của độc giả về các vấn đề trình bài trong tài liệu. Tác giả 1 Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN . Chương I MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG & CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TRONG CƠ HỌC I.1 CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG I.1.1 Ten xơ ứng suất. Dưới tác dụng của lực ngoài, vật thể chịu lực bị biến dạng và bên trong nó sẽ xuất hiện ứng suất. Ứng suất tại mỗi điểm khác nhau là khác nhau, véc tơ ứng suất không những phụ thuộc vào điểm mà còn phụ thuộc vào hướng của thiết diện qua nó mà được   xác định bởi pháp tuyến có hướng n . Như vậy tập hợp cặp véc tơ ứng suất Tn và véc tơ  n tại điểm P sẽ xác định trạng thái ứng suất tại điểm đó. Trạng thái ứng suất tại điểm hoàn toàn được xác định qua ten-xơ ứng suất – là một ten xơ đối xứng hạng hai, nên nó có 6 thành phần độc lập:  σ11 σ12 σ13  σ ij   σ 21 σ 22 σ 23  với σ ij  σ ji σ σ32 σ33   31 Trong hệ tọa độ De-cac các thành phân của ten xơ ứng suất được ký hiệu là : σ x ;σ y ; σ z ; τ xy ; τ xz ; τ yz I.1.2 Phương trình cân bằng Tách phần thể tích V tùy ý giới hạn bởi mặt S của môi trường liên tục ở hình thái biến dạng, xét sự cân bằng các lực tác dụng lên thể tích đó ( không kể lực quán tính) ta được :      n dS  T   dV  0 hay là K  i ni dS  T   dV  0 K S V S V   Ti Do  Ti ni dS   dV ( công thức Gaoxơ - Ôtrôgratxki) nên ta có : S V x i   Ti     K  dV , vì V là thể tích tùy ý nên biểu thức dưới dấu tích phân bằng không V  x i   Ti   ij => ta được :  K  0 hay lµ  K j  0 (I.1) x i x i 2 Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN .  Phương trình (I.1) được gọi là phương trình cân bằng, ρ là mật độ khối lượng , K lực khối. Viết (I.1) dưới dạng tường minh ta được :  σ x τ xy τ xz  x  y  z  ρK x  0   τ yx σ y τ yz     ρK y  0 (I.2)  x  y z  τ τ zy σ z  zx    ρK z  0  x y z Với bài toán hai chiều ( Tấm , vỏ ), phương trình cân bằng có dạng :  σ x τ xy  x  y  ρK x  0   (I.3)  τ yx  σ y  ρK  0 y  x y Còn trong bài toán một chiều phương trình cân bằng sẽ là : σ x  ρK x  0 (I.4) x I.1.3 Quan hệ giữa biến dạng – chuyển vị ( hệ thức Cô-si) Khi xây dựng hệ thức quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị, xuất phát từ sự thể hiện thay   đổi kích thước dài đoạn vô cùng nhỏ bất kỳ dX lấy từ điểm X và thay đổi góc giữa hai đoạn vô cùng nhỏ bất kỳ lấy từ điểm đó người ta đã dẫn đến ten-xơ biến dạng hữu hạn viết trong hệ tọa độ Đề các : Grin và Anmăngxi 1  U i U j U k U k  γij      (Grin) (I.5) 2  X j X i X i X j  1  u i u j u k u k  γ ij      (Anmăngxi) (I.6) 2  x j x i x i x j  Trong đó Xn - biến Lagrăng, xk – biến Ơ le , Um và un là các thành phần chuyển vị theo biến Lagrăng và Ơle. 3 Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN . Trường hợp biến dạng nhỏ ( t.là khi bỏ qua VCB bậc cao – là các thành phần phi tuyến trong (1.5) và (1.6) )) khi đó hai ten xơ này xấp xỉ bằng nhau và các thành phần của ten- xơ biến dạng nhỏ sẽ có dạng:   11  12  13    u u u  ij    21  22  23  với các thành phần : ε11  1 , ε 33  3 , ε 22  2 ,  x1 x 3 x 2  31  32  33  1  u1 u 2  1  u 2 u 3  1  u1 u 3  ε12     , ε 23     , ε13     2  x 2 x1  2  x 3 x 2  2  x 3 x1  Để thuận lợi cho các công thức sau này trong tính toán theo phương pháp PTHH, người ta ký hiệu : - Các thành phần chuyển vị : u , v , w - Các thành phần của ten-xơ biến dạng ε x ; ε y ; ε z ; γ xy ; γ xz ; γ yz với : u v w εx  ; εy  ; εz  ; x y z u v u w v w γ xy   ; γ xz   ; γ yz   (I.7) y x z x z y Hay viết dưới dạng ma trận :  0 0   x   ε x  0  0  ε   y   y     u   ε z  0 0 z        . v (I.8)  γ xy   y  0    x w   γ yz        0     γ xz   z y      z 0 x  I.1.4 Phương trình liên tục Hệ thức Cô-si (I.8) cho sự liên hệ giữa 6 thành phần biến dạng xác định duy nhất qua 3 thành phần chuyển vị cho trước. Như vậy với 6 thành phần biến dạng cho trước chỉ từ quan hệ (I.8) sẽ không cho duy nhất 3 thành phần chuyển vị, do đó giữa các thành phần 4 Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN . biến dạng sẽ có 6 phương trình tương thích biến dạng ( còn gọi là các phương trình tương thích biến dạng Xanhvơnăng), các phương trình này đảm bảo cho sự biến dạng liên tục trong môi trường.  2ε x  2ε y  2 γ xy   γ zx γ yx γ zy   2ε x       2 y 2 x 2  xy x  y z x  yz  2ε y  2ε z  2 γ yz   γ zy γ yx γ zx   2ε y       2 (I.9) z 2 y 2  zy y  x z y  xz  2ε x  2ε z  2 γ xz   γ zx γ yz γ xy   2ε z       2 z 2 x 2  xz z  y x z  yx  2ε x  2ε y  2 γ xy  Trong bài toán 2 chiều : (I.9) còn 1 phương trình 2  2  y x  xy  Trong bài toán 1 chiều : các phương trình trên đều thỏa mãn. I.1.5 Điều kiện biên Điều kiện biên liên quan đến chuyển vị hoặc ứng suất  Điều kiện biên liên quan đến chuyển vị ( gọi là điều kiện biên động học) thường được cho trước chuyển vị của một điểm hoặc một phần mặt biên nào đó  Điều kiện biên liên quan đến ứng suất ( gọi là điều kiện biên tĩnh học) đòi hỏi sự cân bằng giữa ứng suất trên mặt biên với ngoại lực đặt lên đó. Ví dụ Một thanh chiều dài  , chiều dầy h, bị ngàm chặt một đầu, một đầu tự do, chịu tác dụng của lực phân bố đều có cường độ q như hình vẽ. Chọn hệ tọa độ : 0x theo chiều dài, sát mặt dưới, 0y hướng lên trên Hình 1.1 Đây là bài toán hai chiều và các điều kiện biên được đưa về các hệ thức sau : v(0, y) - Tại x = 0 : u(0,y) = v(0,y) = 0 ; 0 x 5 Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN . - Tại mặt trên ( y = h) : τ xy (x, h)  0 ; σ y (x, h)   q - Tại mặt dưới ( y = 0) : τ xy (x,0)  0 ; σ y (x, 0)  0 - Tại đầu B ( x =  ) : τ xy (, y)  0 ; σ x (, y)  0 I.1.6 Phương trình vật lý (phương trình trạng thái)–Quan hệ ứng suất và biến dạng. Trong giáo trình này chỉ xét giai đoạn làm việc của vật liệu ở giai đoạn đàn hồi, biến dạng là nhỏ và đàn hồi là tuyến tính. Như vậy quan hệ giữa ứng suất và biến dạng ở đây được áp dụng bởi định luật Hooke. Xét với vật liệu đẳng hướng : I.1.6.1 Bài toán 3 chiều : định luật Hooke có dạng : 1 1 2(1  ν) εx  σ x  ν(σ y  σ z )  , γ xy  τ xy  τ xy E G E 1 1 2(1  ν) ε y   σ y  ν(σ x  σ z )  , γ yz  τ yz  τ yz (I.10) E G E 1 1 2(1  ν) ε z  σ z  ν(σ x  σ y )  , γ xz  τ xz  τ xz E G E Chú ý rằng các thành phần của ten-xơ biến dạng được tính theo chuyển vị qua (I.7) Nếu viết dưới dạng ma trận và có kể đến biến dạng ban đầu thì (I.10) có dạng: ε  C .σ  ε 0  (I.11) trong đó: T ε  ε x ,ε y ,ε z , γ xy , γ yz , γ zx  - là véc tơ biến dạng T σ  σ x ,σ y ,σ z , τ xy , τ yz , τ zx  - là véc tơ ứng suất T ε 0   ε 0x ,ε 0y ,ε 0z , γ0xy , γ0yz , γ0zx  - là véc tơ biến dạng ban đầu ( Chữ T – ký hiệu chuyển vị ma trận) [C] – ma trận các hệ số đàn hồi , 6 Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN . 1 ν ν 0 0 0   ν 1 ν 0 0 0    1  ν ν 1 0 0 0   C    (I.12) E 0 0 0 2(1  ν) 0 0  0 0 0 0 2(1  ν) 0    0 0 0 0 0 2(1  ν)  với E – mô đun đàn hồi Young , G – mô đun trượt , ν - hệ số Poát-xông của vật liệu. T Trường hợp biến dạng ban đầu do nhiệt độ thì ε 0   αT 0 1 , 1 , 1, 0, 0, 0 , trong đó α - hệ số dãn nở vì nhiệt, T0 – độ biến thiên của nhiệt độ. Biểu diễn ứng suất qua các thành phần biến dạng ta sẽ có : σ   D ε  ε 0  hay là : 1  1    0 E αT 1  σ   Dε    1  2ν 0  0    0  với ma trận hệ số D là : 1  ν ν ν 0 0 0  ν 1 ν ν 0 0 0    ν ν 1 ν 0 0 0    E 0 1  2ν   D  0 0 0 0 (1  ν).(1  2ν)  2  (I.13)  1  2ν  0 0 0 0 0   2   1  2ν  0 0 0 0 0   2  I.1.6.2 Bài toán 2 chiều :  Bài toán ứng suất phẳng : ví dụ như xét các bài toán về tấm, vỏ với tải trọng nằm trong mặt phẳng giữa tấm, phân bố đều theo bề dầy của tấm khi đó chọn trục z vuông góc với mặt phẳng tấm, sẽ dẫn đến thể giả thiết rằng : 7 Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN .  σ z  τ xz  τ yz  0  ứng suất không đổi theo chiều dầy của tấm. với giả thiết này các biểu thức của định luật Hooke có dạng : ε   Cσ  ε 0  với :  εx   σx   ε 0x  1  1 ν 0        0  1 ε   ε y  ; σ   σ y  ; ε 0    ε 0y   αT 1 ; C    ν 1 0  γ  τ  γ  E  xy   xy   0xy   0     0 0 2(1  ν  1  E αT 0   Hay biểu diễn ngược lại:  σ    D  ε  ε 0     D ε  1 1 ν   0    1 ν 0  E   với  D   ν 1 0  1  ν2  1 ν  0 0   2  ν biến dạng theo phương z vẫn tồn tại và εz  E  σ x  σ y   αT 0  Bài toán biến dạng phẳng : Khi xét vật thể hình lăng trụ dài có mặt cắt ngang không đổi theo chiều dài ( theo chiều trục 0z) , chịu tải trọng đều w vuông góc với 0z , khi đó ta có : w = 0 ; ε z   0 ; các đại lượng z ứng suất và biến dạng chỉ phụ thuộc vào các biến x và y. ε  C .σ  ε 0   ε 0x  1  1  ν ν 0   0  1 ν  ε 0    ε 0y   1  ν  αT 1  ; C  ν 1 ν 0  γ  E   0xy   0   0 0 2  1  E αT 0   Hay biểu diễn ngược lại:  σ    D  ε  ε 0     D ε  1 1  2ν   0  8 Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN .   1  ν ν 0  E   với  D   ν 1 ν 0  (1  ν).(1  2ν)  1  2ν   0 0   2  σ z  ν  σ x  σ y   E αT ; τ xz  τ yz  0 0 ứng suất theo phương z vẫn tồn tại và I.1.6.3 Bài toán 1 chiều : 1 εx  σ x  αT 0 hoặc σ x  Eε x  EεT 0 ( => D = E – mô đun đàn hồi) E I.1.7 Đặt bài toán đàn hồi : Thiết lập bài toán đàn hồi bao gồm việc thiết lập các phương trình và các điều kiện biên, chúng phải lập thành một hệ kín để có thể giải ra được các ẩn cần tìm đó là các giá trị của các thành phần ten – xơ biến dạng, ứng suất , véc tơ chuyển vị. Các phương trình gồm có :  Phương trình cân bằng  Hệ thức Cô-si ( liên hệ chuyển vị và biến dạng)  Phương trình trạng thái ( liên hệ ứng suất và biến dạng : định luật Hooke) và các điều kiện biên động học hoặc tĩnh học. Người ta đã chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán đàn hồi. I.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN ĐÀN HỒI Như phần trên đã trình bày, ta thấy rằng để giải bài toán đàn hồi tuyến tính : 3 chiều ta có tới 15 phương trình cùng các điều kiện biên để tìm ra giá trị của 15 ẩn : 3 thành phần chuyển vị, 6 thành phần biến dạng và 6 thành phần ứng suất. Cho đến nay cũng đã có được các phương pháp giải đúng và gần đúng. Có những phương pháp có thể áp dụng tốt cho một lớp các dạng bài toán cơ học biến dạng nhưng lại khó khăn áp dụng nó cho dạng khác. Có thể tổng kết ra đây theo sơ đồ sau 9 Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN . Các phương pháp giải Các phương pháp giải tích Các phương pháp số Các phương Các phương pháp Các phương pháp số Phương pháp pháp chính xác gần đúng ( biến giải các phương phần tử hữu hạn phân) trình vi phân ( PTHH ) Các phương Phương Mô hình Mô hình Mô hình pháp tích pháp sai tương cân bằng hỗn hợp phân số phân hữu thích hạn I.2.1 Phương pháp chính xác Phương pháp giải tích giải các bài toán đàn hồi : Có thể giải theo chuyển vị , hoặc giải theo ứng suất. ví dụ : xét bài toán uốn dầm như hình 1.2 : dầm chịu tải trọng đều với cường độ q , tựa gối khớp tại hai đầu A , B Lời giải bài toán trên đã có trong sức bền 0  x vật liệu : d4w EJ 4  q  0 ; ( 0  x  ) (1.14) dx z với điều kiện biên : hình 1.2  w(0)  w()  0  Tích phân liên tiếp (1.14) ta được chuyển vị theo  w (0)  w ()  0 q  x4 3 2  phương z : w(x)    C1x  C2 x  C3 x  C4  , từ các điều kiện biên ta xác định EJ  24  10 Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN .  3 được các hằng số tích phân : C2= C4 = 0 ; C1   ; C3  . dẫn đến nghiệm bài toán 12 24 q theo chuyển vị w(x)  24EJ   x 4  2x 3  3 x => tìm được mô men uốn: d2w q 2 5q 4 M(x)   EJ 2  x  x dx 2   ; độ võng lớn nhất tại x=  / 2 là wmax = 384EJ I.2.2 Các phương pháp biến phân : Các bài toán cơ học nói chung có thể biểu diễn dưới dạng tổng quát : L(u)  g  0 trong miền V   C(u)  p trên biên S (1.15) trong đó L , C là các toán tử vi phân , u = u (x,y,z) đại lượng cần tìm , g = g(x,y,z) và p=p(x,y,z) là các hàm cho trước. Phương pháp biến phân là phương pháp gần đúng nhằm tìm một nghiệm xấp xỉ dựa trên một tiêu chuẩn nào đó. Các phương pháp biến phân thường gặp đó là phương pháp Ritz, phương pháp Galerkin, ... 1. Phương pháp Ritz : Trong một số các bài toán đàn hồi thường tồn tại một phiếm hàm I dạng : I   F(x, y, u, ux , uxx , u y , uyy ..)dxdy và từ điều kiện dừng của phiếm hàm này sẽ dẫn ra V các phương trình vi phân của bài toán. Phương pháp Ritz tìm nghiệm xấp xỉ gần đúng trong một dạng tổ hợp tuyến tính các hàm biết trước, chẳng hạn như trong bài toán phẳng , theo Ritz thì chuyển vị có dạng : N u(x, y)  φ 0 (x, y)   Ciφi (x, y) (1.16) i 1 trong đó :  φ 0(x,y) là hàm được chọn sao cho thỏa mãn các điều kiện biên không thuần nhất.  φ i(x,y) là các hàm thỏa mãn :  Khả vi đến cấp cần thiết 11 Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN .  Thỏa mãn các điều kiện biên thuần nhất N  Hệ hàm φi i là độc lập tuyến tính và đầy đủ Với các điều kiện trên sẽ làm cho nghiệm của Ritz hội tụ đến nghiệm chính xác ( khi N   ) Ci là các hằng số cần tìm, chúng được xác định khi thay u(x,y) vào phiếm hàm I, lấy tích phân trên V, khi đó I sẽ là hàm của các Ci, cho thỏa mãn điều kiện dừng của I (tức là các đạo hàm riêng của I theo các Ci bằng 0) sẽ dẫn đến hệ phương trình đại số xác định các hằng số Ci. 2. Phương pháp phần dư có trọng (Weighted Residual Method) Gọi R(u) = L(u) + g được gọi là hàm phần dư, như vậy nghiệm của bài toán L(u) + g = 0 sẽ được chuyển thành tìm u là nghiệm của bài toán R(u) = 0. Người ta cũng N tìm nghiệm dưới dạng u N  φ 0   Ci φ i , trong đó : i 1  φ 0 : được chọn sao cho thỏa mãn các điều khiện biên không thuần nhất  φ i : khả vi đến số lần cần thiết , thoả mãn các điều kiện biên thuần nhất và hệ hàm { φ i} là độc lập tuyến tính. khi đó R(uN) = R(x,y,z,C1, C2, ...,CN). Các hằng số Ci được tìm bằng phương pháp : lấy tích phân trên V của tích các hàm ψ k với R(uN) , tức là :  ψk R(u N ) dv  0 ; k  1, 2,..., N (1.17) V các hàm ψ k được gọi là các hàm trọng số (Weighted function) Chú ý rằng toán tử vi phân L trong (1.15) là tuyến tính nên thay R(uN) vào (1.17) ta sẽ dẫn đến : N   ψ R(u  k N ) dv   C ψ i  k  L(φ i )dv    ψ k  L(φ 0 )  g  dv  0 ; k =1,2,...,N (1.18) V i1 V  V Nếu đặt  ψ k L(φi )dv = Aki ;  ψk  L(φ0 )  g  dv = Bk khi đo ta sẽ có hệ V V phương trình đại số tuyến tính : {A}{C} = {B} xác định N hằng số C i , thay vào uN ta nhận được nghiệm gần đúng. 12 Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN . 3. Phương pháp Galerkin : Phương pháp Galerkin là phương pháp dư có trọng lấy ψ k  φ k . Như vậy nếu phương pháp Galerkin chọn hệ hàm { φ k} là hệ trực giao thì sẽ rất thuận lợi dẫn đến (1.18) . Ví dụ: Trong ví dụ trên phần 1.2.1 ta co phương trình vi phân của độ võng d4w EJ  q  0 ; ( 0  x  ) dx 4 nghiệm gần đúng theo phương pháp Galerkin sẽ được chọn : N N πi w N   Ci w i (x)   Ci sin x , i 1 i1   w(0)  w()  0 như vậy wN thỏa mãn các điều kiện biên :   w (0)  w ()  0 π 4i 4 πi N q Thay vào phương trình vi phân của độ võng ta được :  4 Ci sin x   0, i 1   EJ πk Nhân cả hai vế với sin x và lấy tích phân hai vế ( k = 1, 2,3,..., N) dẫn đến :  N   π4i 4 πi πk  q  πk     4 Ci sin  x sin  x  dx  EJ  sin  xdx i 1 0   0  πk  chú ý rằng hệ sin  là một hệ trực giao trong không gian có tích vô hướng là    tích phân xác định trên [0 ,  ] nên ta luôn có :   0 khi i  k πi πk   sin  x sin  x dx    khi i  k ; 0  2   0 khi k  2 m πk   Bk =  sin  xdx   k 1  (1)   2  0 kπ  (2m  1)π khi k  2m 1  π4 k 4 như vậy ta có ma trận (A) là ma trận chéo với A kk = ; 23 2q B2m = 0 ; B2m -1 = (2m  1)πEJ 13 Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN . 2q 23 4 4q C2m = 0 ; C2m - 1 =  (2m  1)πEJ π 4 (2m  1) 4 (2m  1)5 π 5EJ N 4 4q M π(2m  1) vậy nghiệm gần đúng w N   Ci w i (x)   sin x i 1 5 5 m 1 (2m  1) π EJ  Độ võng lớn nhất tại x =  / 2 => Nếu lấy M =10 ta được M 4 4q π(2m  1) 0,0130544 q 5  4q 0,013021 4q w max   5 5 sin 2  EJ  384 EJ  EJ m 1 (2m  1) π EJ sai số 0,25% 4. Phương pháp sai phân : Phương pháp sai phân là phương pháp biểu diễn gần đúng các giá trị của đạo hàm theo các giá trị của hàm số tại các điểm lân cận ( xuất phát từ khai triển Tay-lo của hàm số). Chẳng hạn đối với hàm một biến f(x) ta có được : df f (x  Δx)  f (x  Δx)  dx x 2Δx d 2f f (x  Δx)  f (x  Δx)  2f (x)  dx 2 x Δx 2 3 df f (x  2Δx)  3f (x  Δx)  3f (x)  f (x  Δx)  dx 3 x Δx 3 4 df f (x  2Δx)  4f (x  Δx)  6f (x)  4f (x  Δx)  f (x  2Δx)  dx 4 x Δx 4 khi đó việc giải các phương trình vi phân được đưa về việc tìm các giá trị hàm số tại các điểm nút lưới ( mà khoảng cách giữa các điểm chính là Δx ). ví dụ : xét bài toán uốn dầm như hình 1.2 : dầm chịu tải trọng đều với cường độ q , tựa gối khớp tại hai đầu A , B Có phương trình vi phân của độ võng 0  x d4w EJ 4  q  0 ; ( 0  x  ) dx  w(0)  w()  0 z với điều kiện biên :   w (0)  w ()  0 14 Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN . Chia lưới sai phân như hình vẽ : 4 đoạn với 5 nút (từ 0 đến 4, với nút 0 tại x = 0 ; nút 4  tại x =  ), có Δx  4 tại nút 0 : w0 = 0 w 1  2w 0  w1  0.Δx 2  0 => w-1 = - w1 pΔx 4 tại nút 1: w 1  4w 0 +6w1  4w 2  w 3  EJ pΔx 4 tại nút 2: w 0  4w1 +6w 2  4w 3  w 4  EJ pΔx 4 tại nút 3: w1  4w 2 +6w 3  4w 4  w 5  EJ 2 tại nút 4: w 3  2w 4  w 5  0.Δx  0 w4 = 0 pΔx 4 0,013672p4 => w2 =3,5.  sai số tương đối : 0.049987 EJ EJ I.3 CÁC NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN I.3.1 Nguyên lý thế năng toàn phần dừng ( nguyên lý biến phân về chuyển vị) Thế năng toàn phần của một hệ đàn hồi  được xác định là :  = U - A trong đó : U - thế năng biến dạng của vật thể đàn hồi được tích lũy trong quá trình biến dạng A – công của ngoại lực sinh ra trên các chuyển dời của ngoại lực do vật thể bị biến dạng. Nguyên lý phát biểu rằng : Trong tất cả các trường chuyển vị ( các trạng thái chuyển vị ) khả dĩ động ( tức là thỏa mãn điều kiện tương thích và điều kiên biên động học) thì trường chuyển vị thực ( tương ứng với sự cân bằng của vật thể) sẽ làm cho thế năng toàn phần  đạt giá trị dừng (nhỏ nhất). Tức là khi đó: δ  ({u}) = δ U({u}) - δ A({u}) = 0. Thế năng biến dạng U được tính theo công thức : 1 1 U  {ε}T {σ}dv hay U   {ε}T [D]{ε}dv 2V 2V 15 Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN . nếu có biến dạng đầu thì : 1 U  {ε}T [D]{ε}dv   {ε}T [D]{ε 0 }dv 2V V Còn công của ngoại lực ( gồm lực khối {g} , lực mặt {p}) trên chyển dời {u} sẽ là : A   {u}T {g}dv  T  {u} {p}ds V St khi đó thế năng toàn phần sẽ là : 1 ({u})  U  A   {ε}T [D] {ε}  2{ε 0 }  dv   {u}T {g}dv  T  {u} {p}ds (I.19) 2V V St Ví dụ : Xét dầm có chiều dài  , tựa khớp hai đầu và chịu tải phân bố đều q, Thế năng biến dạng 0  x 1  M 2 (x) d2w U=  dx mà M(x)   EJ 2 2 0 EJ dx 2 z EJ   d 2 w   => U    2  dx ; A =  q.w dx 2 0  dx  0 2 EJ   d 2 w   khi đó thế năng toàn phần :     2  dx   q.w dx . 2 0  dx  0 Theo nguyên lý thế năng toàn phần dừng : w(x) là thực nếu : δ   δU  δA  0 , tức là:    2  d2w  d2w  d w d 2δw  d 2 w dδw  dδw d 3w δU  EJ  2 δ  2  dx  EJ  2 2 dx  EJ  2   EJ  . 3 dx 0 dx  dx  0 dx dx  dx dx 0 0 dx dx    d 2 w dδw d 3 w   d 4 w   => δU  EJ   2  3 δw    dx 4 dx  δw.   dx dx dx 0 0      d4w   d 2 w dδw d 3 w  còn δA   q.δw dx ; vậy δ     EJ. 4  q  δw dx  EJ  2  δw  0 0 dx   dx dx dx 3 0  w(0)  w()  0 do điều kiện biên :   w (0)  w ()  0 16 Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN .  d2w  d4w  do đó tại x = 0 và x =  ta có : = 0 ; δw =0 => δ    dx 4  δw dx  EJ.  q dx 2 0  d4w để thỏa mãn với mọi δw thì cần phải có EJ. 4  q = 0 , đây chính là phương trình dx cân bằng của dầm chịu uốn viết cho chuyển vị. I.3.2 Nguyên lý cực tiểu của năng lượng bù toàn phần ( nguyên lý biến phân theo ứng suất) * Năng lượng bù toàn phần của vật thể đàn hồi  được định nghĩa là : * = U* - A* , trong đó U* là năng lượng bù của biến dạng. 1 Trong giai đoạn đàn hồi tuyến tính thì U* = U =  {σ}T {ε}dv , nếu có biến 2V 1 dạng đầu {ε 0 } thì U*   {σ}T [C]{σ}  2{ε 0 } dv 2V T A* là công bù của ngoại lực : A* =  {p} {u}ds trong đó st là phần biên đã biết chuyển St 1 vị {u}, vì vậy *   {σ}T [C]{σ}  2{ε 0 } dv  T  {p} {u}ds 2V St Nguyên lý cực trị năng lượng bù toàn phần được phát biểu như sau: Trong tất cả các trường ứng suất khả dĩ tĩnh ( tức là thỏa mãn các điều kiện cân bằng và điều kiện biên tĩnh học trên St ) thì trường ứng suất thực ( tương ứng thỏa mãn điều kiện tương thích) sẽ làm cho năng lượng bù toàn phần * đạt giá trị dừng. δU*  δU* ({σ})  δA* ({σ})  0 17 Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN . Chương II CƠ SỞ VÀ CÁC NỘI DUNG CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN II.1 Khái niệm về phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) Phương pháp phần tử hữu hạn (PP PTHH) là một phương pháp số để tìm nghiệm gần đúng của một hàm chưa biết trong miền xác định V. Tuy nhiên PP PTHH không tìm dạng xấp xỉ của hàm cần tìm trên toàn miền V mà chỉ trong từng miền con Ve ( phần tử) thuộc miền xác định V. Chính vì lẽ đó nên phương pháp này rất thích hợp để tìm nghiệm gần đúng cho các bài toán vật lý, kỹ thuật khi mà hàm cần tìm được xác định trên những miền phức tạp là những vùng nhỏ có các đặc trưng hình học, vật lý khác nhau, chịu các điều kiện biên khác nhau. Phương pháp được phát biểu một cách tổng quát chặt chẽ như một phương pháp biến phân hay phương pháp dư có trọng số trên mỗi phần tử. Trong PP PTHH , miền V được chia thành một số hữu hạn các miền con được gọi là các phần tử. Các phần tử này được kết nối với nhau tại các điểm trên biên được gọi là các nút. Trong phạm vi mỗi phần tử, đại lượng cần tìm ( chẳng hạn đó là các biến dạng, dịch chuyển, ứng suất ,…) được lấy xấp xỉ trong một dạng hàm đơn giản – được gọi là các hàm xấp xỉ ( approximation function). Các hàm xấp xỉ này được được tính thông qua các giá trị của nó ( đôi khi qua các giá trị đạo hàm) tại các điểm nút trên phần tử và các giá trị này được gọi các bậc tự do của phần tử mà ta xem như là các ẩn cần tìm của bài toán. Trong bài toán cơ học vật rắn biến dạng và cơ kết cấu tùy theo ý nghĩa vật lý của các hàm xấp xỉ ta có thể áp dụng bài toán theo ba loại mô hình sau: 1. Mô hình tương thích : Xem chuyển vị là đại lượng cần tìm trước và hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của chuyển vị trong phần tử. Các ẩn số được xác định từ hệ phương trình thiết lập trên cơ sở nguyên lý thế năng toàn phần ( hay nguyên lý biến phân Lagrange). 2. Mô hình cân bằng : Hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của ứng suất hay nội lực trong phần tử. Các ẩn số được xác định từ hệ phương trình thiết lập 18 Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012
Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN . trên cơ sở nguyên lý năng lượng hệ toàn phần dừng ( hay nguyên lý biến phân về ứng suất – nguyên lý Castigliano) 3. Mô hình hỗn hợp : Xem các đại lượng chuyển vị và ứng suất là hai hai yếu tố độc lập. Các hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của chuyển vị và ứng suất trong phần tử. Các ẩn cần tìm được xác định từ hệ phương trình thiết lập trên cơ sở nguyên lý biến phân Reisner. Sau khi tìm được giá trị các ẩn số ( bằng việc giải một hệ phương trình đại số), như vậy ta đã tìm được xấp xỉ các đại lượng cần tìm, từ đó tìm được giá trị của các đại lượng còn lại. Mô hình tương thích được áp dụng rộng rãi. Trong giáo trình này chủ yếu các bài toán được giải theo mô hình tương thích. II.2 Trình tự các bước phân tích bài toán theo phương pháp PTHH  Bước 1. Rời rạc hóa miền khảo sát Miền khảo sát V được chia thành các miền con Ve ( phần tử) có dạng hình học thích hợp. Với bài toán cụ thể thì số phần tử, hình dạng hình học của phần tử và kích thước các phần tử phải được xác định cụ thể. Số điểm nút mỗi phần tử không được lấy tùy tiện mà phải phụ thuộc vào dạng hàm xấp xỉ định chọn. Các phần tử có các dạng hình học đơn giản : Phần tử một chiều : Phần tử bậc 1 Phần tử bậc 2 Phần tử bậc 3 Phần tử hai chiều: Phần tử bậc 1 Phần tử bậc 2 Phần tử bậc 3 19 Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.