Bài giảng Phương pháp số: Bài 6 - ThS. Nguyễn Thị Vinh

BÀI 6<br /> <br /> NGHIỆM CỦA CÁC<br /> PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN<br /> <br /> MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ SỞ (1)<br /> 1. PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN (PTVP) CẤP n<br /> y(n)(x) = f(x, y(x), y´(x) , …, y(n–1)(x))<br /> 2. NGHIỆM CỦA PTVP CẤP n:<br /> Nghiệm của PTVP cấp n là một hàm Φ(x) khả vi liên tục đến<br /> cấp n trên khoảng đang xét và<br /> Φ(n)(x) = f(x, Φ(x), Φ’(x), Φ’’(x), …, Φ(n-1)(x))<br /> Nghiệm tổng quát của PTVP cấp n thƣờng chứa n hằng số<br /> tùy ý, và do vậy tồn tại một họ n tham số của các nghiệm<br /> Nghiệm của bài toán giá trị đầu: Tìm nghiệm riêng suy từ<br /> nghiệm tổng quát của PTVP sao cho nó thỏa mãn n giá trị<br /> đầu đã biết<br /> <br /> y(x0), y’(x0), …, y(n–1)(x0)<br /> PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 6<br /> <br /> 2<br /> <br /> MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ SỞ (2)<br /> 3. NGHIỆM CỦA PTVP TUYẾN TÍNH CẤP n:<br /> • PTVP là tuyến tính cấp n<br /> y(n)(x) + p1(x)y(n–1)(x) +… + pn-1(x)y´(x) + pn(x)y(x) = q(x)<br /> • PTVP tuyến tính thuần nhất cấp n (khi vế phải q(x) = 0)<br /> i> Nếu y1(x), y2(x), . . . , ym(x) là các nghiệm bất kì của PTVP<br /> tuyến tính thuần nhất thì tổ hợp tuyến tính của chúng<br /> C1y1(x) + C2y2(x) + · · · + Cmym(x) cũng là một nghiệm<br /> Ii> Các nghiệm y1(x), y2(x), . . . , ym(x) này đƣợc gọi là độc<br /> lập tuyến tính nếu định thức hàm<br /> (<br /> ... y1m1)<br /> <br /> y1<br /> y2<br /> ...<br /> <br /> y '2<br /> ...<br /> <br /> ... y ( m1)<br /> 2<br /> 0<br /> ...<br /> ...<br /> <br /> ym<br /> PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 6<br /> <br /> '<br /> y1<br /> <br /> y 'm<br /> <br /> ... y ( m1)<br /> m<br /> 3<br /> <br /> MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ SỞ (3)<br /> 3. NGHIỆM CỦA PTVP TUYẾN TÍNH CẤP n:<br /> • PTVP tuyến tính thuần nhất cấp n (tiếp)<br /> iii> Nếu y1(x), y2(x), . . . , yn(x) là n nghiệm độc lập tuyến tính<br /> <br /> của PTVP thuần nhất cấp n, thì tổ hợp tuyến tính của chúng<br /> Y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + · · · + Cnyn(x)<br /> đƣợc gọi là nghiệm tổng quát.<br /> • PTVP tuyến tính thuần nhất cấp n với các hệ số hằng<br /> y(n) + an–1y(n–1) + · · · + a0y = 0<br /> <br /> (*)<br /> <br /> có nghiệm dạng eβx với β thỏa mãn PT đặc tính<br /> βn + an–1βn–1 + · · · + a0 = 0<br /> PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 6<br /> <br /> (**)<br /> 4<br /> <br /> MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ SỞ (4)<br /> 3. NGHIỆM CỦA PTVP TUYẾN TÍNH CẤP n:<br /> • PTVP tuyến tính thuần nhất cấp n với các hệ số hằng:<br /> - Nếu phƣơng trình (**) có n nghiệm thực phân biệt βi thì<br /> <br /> Y(x)  C1eβ1x  C2 eβ2x  ... Cn e<br /> <br /> βn x<br /> <br /> là nghiệm tổng quát của của PTVP thuần nhất cấp n (*)<br /> <br /> - Nếu β1 = α + iβ là một nghiệm phức của (**),<br /> thì<br /> <br /> β2 = α – iβ cũng là một nghiệm của PT đặc tính (**)<br /> <br /> - Nếu β là một nghiệm kép của PT đặc tính (**), thì<br /> <br /> y1  e<br /> <br /> βx<br /> <br /> βx<br /> <br /> và y 2  xe<br /> <br /> cũng là các nghiệm độc lập tuyến tính của PT thuần nhất (*)<br /> PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 6<br /> <br /> 5<br /> <br />