Bài giảng Phương pháp số: Bài 5 - ThS. Nguyễn Thị Vinh

BÀI 5<br /> <br /> ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN<br /> <br /> ĐẶT VẤN ĐỀ (1)<br /> 1. PHÉP THẾ GIẢI TÍCH:<br /> Ứng dụng chính của các đa thức xấp xỉ là thay thế một hàm<br /> phức tạp, hay một hàm cho dƣới dạng bảng bởi một đa thức<br /> để các phép toán cơ bản của giải tích có thể thực hiện đƣợc<br /> dễ dàng hơn. Chúng bao gồm<br /> <br /> I(f) <br /> <br /> b<br /> <br /> a<br /> <br /> f(x)dx và D(f) f ' (a)<br /> <br /> Kí hiệu L một trong các phép toán này trên các hàm, xấp xỉ<br /> L(f) bởi L(p), với p(x) là một đa thức xấp xỉ của f(x)<br /> <br />  L có thể thực hiện đƣợc dễ dàng hơn trên p(x) vì nó là<br /> một đa thức và L là một trong hai phép toán đạo hàm và tích<br /> phân<br /> PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5<br /> <br /> 2<br /> <br /> ĐẶT VẤN ĐỀ (2)<br /> 2. SAI SỐ L(f) – L(p):<br /> Do tính tuyến tính của phép toán L<br /> L(f + g) = L(f) + L(g)<br /> L(af) = aL(f)<br /> <br /> trong đó f(x) và g(x) là các hàm và a là một hằng số.<br /> Tính tuyến tính dẫn đến<br /> L(f) – L(p) = L(e)<br /> <br /> trong đó e(x) là sai số trong xấp xỉ p(x) của f(x),<br /> f(x) = p(x) + e(x)<br /> p(x) là một đa thức nội suy bậc ≤ n của f(x) tại các điểm<br /> <br /> x0, … , xn.<br /> PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5<br /> <br /> 3<br /> <br /> ĐẶT VẤN ĐỀ (3)<br /> 2. SAI SỐ L(f) – L(p):<br /> Sử dụng đa thức nội suy Newton<br /> Sai số E(f) = L(f) – L(p) tính đƣợc bằng cách áp dụng toán<br /> tử L vào hàm sai số của đa thức nội suy – các công thức<br /> (2.16) và (2.18)<br /> <br /> en ( x )  f ( x )  p n ( x )<br /> n<br /> <br />  f [ x 0 , ..., xn, x ] Π(x  x j )<br /> j0<br /> <br /> f (n1) (ξ) n<br /> <br />  (x  x j ), ξ  [c, d]<br /> (n  1)! j  0<br /> [c; d] là khoảng chứa các mốc nội suy x0, x1, …, xn<br /> PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5<br /> <br /> 5<br /> <br /> ĐẠO HÀM (1)<br /> 1. ĐẠO HÀM TẠI CÁC ĐIỂM PHÂN BIỆT:<br /> Cho f(x) khả vi liên tục trên [c; d]. Nếu x0, …, xk є [c; d],<br /> <br /> thì theo công thức nội suy Newton (2.37)<br /> f(x) = pk(x) + f[x0, . . . , xk, x] Ψk<br /> <br /> (*)<br /> <br /> trong đó pk(x) là đa thức bậc ≤ k nội suy hàm f(x) tại x0, …, xk, và<br /> <br /> Ψ k (x) <br /> <br /> Do<br /> <br /> k<br /> <br />  (x  x j)<br /> <br /> j 0<br /> d<br /> f[x0 , ,x k ,x]  f[x0 , ,x k ,x,x]<br /> dx<br /> <br /> nếu f(x) đủ trơn, lấy đạo hàm (*) ta nhận đƣợc<br /> <br /> ' (x)<br /> f ' (x)  p'k (x)  f[x 0,,x k,x,x] Ψk(x)  f[x 0,,x k,x] Ψk<br /> PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5<br /> <br /> 6<br /> <br />