Bài giảng Toán C1: Chương 4 - ThS. Huỳnh Văn Kha

Chia sẻ: Ngocnga Ngocnga | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:33

Thêm vào BST

Báo xấu

92
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chương 4 trang bị cho sinh viên một số kiến thức cơ bản về phương trình vi phân. Các nội dung chính trong chương này gồm: Định nghĩa phương trình vi phân, một số loại phương trình vi phân cấp 1 thường gặp, phương trình vi phân cấp 2, phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất, phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 không thuần nhất. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán C1: Chương 4 - ThS. Huỳnh Văn Kha

Chương 4 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Huỳnh Văn Kha Khoa Toán – Thống Kê Toán C1 - MS: C01009 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 1 / 32
Nội dung 1 Định nghĩa phương trình vi phân 2 Một số loại phương trình vi phân cấp 1 thường gặp PTVP cấp 1 dạng tách biến, tuyến tính, đẳng cấp Một số bài tập 3 PTVP cấp 2 Khái niệm – Các PTVP cấp 2 giảm cấp được 4 PTVP tuyến tính cấp 2 thuần nhất Một số khái niệm – Cấu trúc nghiệm PTVP tuyến tính thuần nhất cấp 2 hệ số hằng Bài toán giá trị đầu và bài toán giá trị biên 5 PTVP tuyến tính cấp 2 không thuần nhất Cấu trúc nghiệm – Tìm nghiệm riêng Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 1 / 32
Định nghĩa PTVP Phương trình vi phân là phương trình liên hệ giữa biến độc lập x với hàm cần tìm y và các đạo hàm của nó y 0 , y 00 , . . . y (n) . Như vậy ptvp là phương trình có dạng F (x, y , y 0 , y 00 , . . . , y (n) ) = 0. Cấp của ptvp là cấp cao nhất của đạo hàm có trong phương trình. Nếu thay y bằng hàm số y (x) vào ptvp, ta được đồng nhất thức, thì ta nói y = y (x) là nghiệm của ptvp đó. Giải ptvp là tìm tất cả các nghiệm của nó. Đồ thị của một nghiệm y = y (x) gọi là đường cong tích phân. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 2 / 32
PTVP cấp 1 PTVP cấp 1 là phương trình có dạng: F (x, y , y 0 ) = 0. Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm y = y (x) của ptvp thỏa điều kiện đầu y (x0 ) = y0 . Ví dụ 1. Giải ptvp y 0 = sin x và tìm nghiệm của bài toán Cauchy y 0 = sin x, y (0) = 1. Hàm số y = ϕ(x, C ) gọi là nghiệm tổng quát của ptvp trên miền D ⊂ R2 nếu với mọi (x0 , y0 ) ∈ D tồn tại duy nhất C0 sao cho y = ϕ(x, C0 ) là nghiệm của bài toán Cauchy với điều kiện đầu y (x0 ) = y0 . Nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát khi cho C một giá trị cụ thể gọi là nghiệm riêng. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 3 / 32
Xét bài ptvp đã giải đối với đạo hàm y 0 = f (x, y ). Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Nếu f (x, y ) liên tục trên D ⊂ R2 , thì với mọi (x0 , y0 ) ∈ D, bài toán y 0 = f (x, y ), y (x0 ) = y0 luôn có nghiệm y = y (x) xác định trong một lân cận của x0 . ∂f Ngoài ra nếu hàm số liên tục trên D thì nghiệm đó là ∂y duy nhất. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 4 / 32
PTVP dạng tách biến PTVP tách biến là ptvp có dạng: y 0 = f (x)g (y ). Cách giải. Với điều kiện g (y ) 6= 0, chia hai vế cho g (y ), dy ta được = f (x)dx. Lấy tích phân 2 vế. g (y ) Ví dụ 2. dy x2 1. Giải ptvp = 2 , y (0) = 2. dx y 0 6x 2 2. Giải ptvp y = . 2y +cos y xdy 1 3. Giải ptvp = y + dx. 1 + x2 y Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 5 / 32
6x 2 0 Nghiệm của y = 2y + cos y Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 6 / 32
dy x2 Nghiệm của = 2 , y (0) = 2 dx y Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 7 / 32
PTVP tuyến tính cấp 1 PTVP tuyến tính cấp 1 là ptvp: y 0 + p(x)y = q(x). R p(x)dx R giải.0Nhân 2 vếR cho e Cách , pt trở thành: ye p(x)dx = q(x)e p(x)dx . Lấy nguyên hàm. Ví dụ 3. Giải ptvp dy 1. + 3x 2 y = 6x 2 dx 2. x 2 y 0 + xy = 1, x > 0, y (1) = 2 3 3. y 0 − 3x 2 y = e x sin x Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 8 / 32
dy Nghiệm của + 3x 2 y = 6x 2 dx Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 9 / 32
Nghiệm của x 2 y 0 + xy = 1, x > 0, y (1) = 2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 10 / 32
PTVP đẳng cấp y 0 Phương trình vi phân đẳng cấp là ptvp dạng y = h . x Cách giải: Đặt u = y /x và đưa về dạng tách biến. Ví dụ 4. Giải các phương trình vi phân. 0 y 2 + 2xy 1. y = 2 . 0 x √ xy = y + 3 xy 2. . y (1) = 9 x +y 3. xy 0 = (x + y ) ln + y. x Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 11 / 32
 Giải các phương trình vi phân cấp 1 sau đây. Bài tập.  0 x 2 + 3y 1. y =  y (2) = 8x y 2. y 0 − = x 2 (x 2 − 1)  x − 1 y dy sin(2x)dx + =0  3. x(y + 1) y π =0 2 0 y2 4. xy = , y (1) = e y −x 5. (x 2 + 1)y 0 + y (y − 1) = 0 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 12 / 32
PTVP cấp 2 Phương trình vi phân cấp 2 là PTVP có dạng F (x, y , y 0 , y 00 ) = 0 hoặc y 00 = f (x, y , y 0 ). Ví dụ 1. Các phương trình sau đây là các PTVP cấp 2 x 3 y 00 + 2xy + e x y + 3x = 0 y 00 = 8e x y 0 + y Xét phương trình y 00 = f (x, y , y 0 ). Nếu f liên tục trên miền mở chứa điểm (x0 , y0 , y1 ) thì phương trình đã cho tồn tại nghiệm y = y (x) thỏa y (x0 ) = y0 , y 0 (x0 ) = y1 . ∂f ∂f Hơn nữa, nếu và đều liên tục thì nghiệm nói trên ∂y ∂y 0 là duy nhất. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 13 / 32
Các PTVP cấp 2 giảm cấp được PTVP cấp 2 y 00 = f (x, y , y 0 ) nếu có các dạng sau thì có thể giảm cấp. Trường hợp 1. Nếu vế phải không chứa y , y 0 , lấy tích phân hai lần, ta được nghiệm. Ví dụ 2. Giải PTVP y 00 = sin x, y (0) = 0, y 0 (0) = 1. Trường hợp 2. Nếu vế phải không chứa y , đặt u = y 0 ta được PTVP cấp 1. y0 Ví dụ 3. Giải PTVP y 00 = x − . x Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 14 / 32
Trường hợp 3. Nếu vế phải không chứa x, coi y 0 là hàm theo y , nghĩa là đặt y 0 = p(y ) thì y 00 = pp 0 . Giải p theo y . Ví dụ 4. Giải PTVP 2yy 00 + y 02 = 0. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 15 / 32
PTVP tuyến tính cấp 2 thuần nhất PTVP tuyến tính cấp 2 là phương trình có dạng d2 y dy P(x) 2 + Q(x) + R(x)y = G (x) (1) dx dx với P(x) 6≡ 0. Nếu G (x) ≡ 0 thì (1) được nói là thuần nhất. Như vậy PTVP tuyến tính cấp 2 thuần nhất là phương trình có dạng: d2 y dy P(x) 2 + Q(x) + R(x)y = 0 (2) dx dx Nếu G (x) 6≡ 0 thì (1) được nói là không thuần nhất. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 16 / 32
Cấu trúc nghiệm PTVPTTC2TN Nếu y1 (x) và y2 (x) là 2 nghiệm của (2) thì với mọi hằng số c1 , c2 , ta có y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) cũng là nghiệm của (2). Hai hàm số y1 (x) và y2 (x) được gọi là độc lập tuyến tính nếu c1 y1 (x) + c2 y2 (x) ≡ 0 kéo theo c1 = c2 = 0. Nếu y1 (x) và y2 (x) là các nghiệm độc lập tuyến tính của (2) thì nghiệm tổng quát của (2) được cho bởi y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) trong đó, c1 , c2 là các hằng số tùy ý. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 17 / 32
PTVPTTC2TN hệ số hằng Nếu P, Q, R là các hằng số thì (2) gọi là PTVP tuyến tính cấp 2 thuần nhất hệ số hằng. Như vậy PTVP tuyến tính cấp 2 thuần nhất hệ số hằng là PTVP có dạng ay 00 + by 0 + cy = 0 (3) với a 6= 0. Ta sẽ tìm 2 nghiệm ĐLTT của (3) dưới dạng y (x) = e rx . Ta có y 0 (x) = re rx , y 00 (x) = r 2 erx . Thay vào (3) ar 2 + br + c e rx = 0 Nhưng e rx 6= 0, ∀x nên ar 2 + br + c = 0. Phương trình ar 2 + br + c = 0 (4) gọi là phương trình đặc trưng của (3). Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 18 / 32
Nếu pt đặc trưng (4) có 2 nghiệm thực phân biệt r1 , r2 thì nghiệm tổng quát của (3) là y (x) = c1 e r1 x + c2 e r2 x Nếu pt đặc trưng (4) có nghiệm thực duy nhất r0 thì nghiệm tổng quát của (3) là y (x) = c1 e r0 x + c2 xe r0 x Nếu pt đặc trưng (4) có nghiệm ảo r = α ± iβ thì nghiệm tổng quát của (3) là y (x) = e αx (c1 cos βx + c2 sin βx) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 19 / 32