zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Kỹ Thuật - Công Nghệ

» Điện - Điện tử

Bài giảng Toán kỹ thuật: Chương 2.2 - Tích phân Fourier & biến đổi Fourier (ĐH Bách Khoa TP.HCM)

Chia sẻ: Hung Hoa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:23

Báo xấu

184
lượt xem 46
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán kỹ thuật: Chương 2.2 - Tích phân Fourier & biến đổi Fourier trình bày phép biến đổi Fourier, ứng dụng của tích phân Fourier và biến đổi Fourier, các hàm bất thường và biến đổi Fourier của chúng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán kỹ thuật: Chương 2.2 - Tích phân Fourier & biến đổi Fourier (ĐH Bách Khoa TP.HCM)

Chương 2 Tích phân Fourier & biến đổi Fourier  2.1 Tích phân Fourier  2.2 Phép biến đổi Fourier  2.3 Ứng dụng của tích phân Fourier và biến đổi Fourier  2.4 Các hàm bất thường và biến đổi Fourier của chúng Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 1
Tích phân Fourier dạng chuẩn  Nếu định nghĩa +∞ 1 A(ω ) = π ∫ −∞ f (t ) cos(ωt ) dt +∞ 1 B (ω ) = π ∫ −∞ f (t ) sin(ωt ) dt Thì tích phân Fourier dạng chuẩn là +∞ f (t ) ∫ [ A(ω ) cos(ωt ) + B(ω ) sin(ωt )] dω 0 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 2
Tích phân Fourier mũ phức +∞ f (t ) = ∫ −∞ D(ω )e jωt dω +∞ 1 D(ω ) = ∫ f (t)e − jω t dt 2π −∞ F (ω ) = 2π D(ω ) Miền t:  Miền ω: f(t) F(ω)  -1 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 3
2.2 Biến đổi Fourier  Cặp biến đổi Fourier f (t ) ↔ F (ω )  Biến đổi thuận +∞ = { f (t)} F (ω ) = ∫ f (t)e − jω t dt −∞  Biến đổi ngược +∞ 1 f (t ) =  {F (ω )} 2π −1 ∫ F (ω )e jω t dω −∞ Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 4
Ví dụ e− at (t > 0) Tìm biến đổi Fourier phức của = hàm f(t)  a>0 0 (t < 0) Giải  Dùng định nghĩa: +∞ +∞ − ( aω)t +j ∞ e =F(ω) ∫= f(t).e dt ∫= − jωt e dt − ( a + jω)t −∞ 0 −(aω) +j 0 1 F(ω) = a +ω j Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 5
Ví dụ tìm biến đổi Fourier eat (t < 0) 2a f(t)  − at a>0 F(ω) = 2 e (t > 0) aω+ 2 -eat (t < 0) −2 jω f(t)  − at a>0 F(ω) = 2 e (t > 0) aω+ 2 f (t ) 1 2(1 − cos ω ) F(ω) = ω2 −1 1 t Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 6
Tính chất của phép biến đổi Fourier  Tính tuyến tính ◦ Nếu f1 (t ) ↔ F1 (ω ) ; f 2 (t ) ↔ F2 (ω ) ◦ Thì a1 f1 (t ) + a2 f 2 (t ) ↔ a1 F1 (ω ) + a2 F2 (ω ) (a1 , a2 : caùc haèng soá)  Tính đối xứng (đối ngẫu thời gian-tần số) f (t ) ↔ F (ω ) ⇒ F (t ) ↔ 2π f (−ω ) +∞ +∞ ∫ ∫ jωt f (t ) = 1 2π F (ω )e dω ⇒ f (−t ) = 1 2π F (ω )e − jωt dω −∞ −∞ +∞ ∫ − jωt ⇒ 2π f (−ω ) = F (t ) e dt −∞ Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 7
Tính chất của phép biến đổi Fourier  Đổi thang thời gian (co giãn, đồng dạng) +∞ +∞ −j ( ωa ) x a > 0: ∫ f (at )e dt ∫ f ( x)e dx − jωt = 1 = a −∞ 1 a F ( ωa ) −∞ +∞ −∞ −j ( ωa ) x a < 0: ∫ f (at )e dt = ∫ f ( x)e dx − jωt = 1 a +∞ 1 −a F ( ωa ) −∞ 1 ω  ⇒ f (at ) ↔ F   a a Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 8
Tính chất của phép biến đổi Fourier f (t ) 1 2(1 − cos ω ) F(ω) = t ω2 −1 1 f1 (t ) f 2 (t ) ( ) 2 f1 (t ) = 2 f (t ) f 2 (t ) = f 2t 1 −1 t 1 −2 2 4(1 − cos ω ) (1 − cos 2ω ) F1 (ω) = F2 (ω) = ω2 ω2 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 9
Tính chất của phép biến đổi Fourier  Dịch chuyển trong miền thời gian (dời thời gian) − jω t0 f (t − t0 ) ↔ e F (ω ) +∞ +∞ ∫ ∫ − jωt f1 (= t) f (t − t0 ) → F1 (ω ) = f1 (t )e dt = f (t − t0 )e − jωt dt −∞ −∞ +∞ +∞ ∫ ∫ − jω ( x +t0 ) − jωt0 ⇔ F1 (ω ) = f ( x)= e dx e ( x)e − jω x dx e − jωt0 F (ω ) f= −∞ −∞  Dịch chuyển trong miền tần số (dời tần số, điều chế AM) jω0 t f (t )e ↔ F (ω − ω0 ) f1 (t ) = f (t )e jω0t +∞ +∞ ⇒ F1 (ω ) =∫ f1 (t )e − jωt dt =∫ f (t )e − j (ω −ω0 ) t dt =F (ω − ω0 ) −∞ −∞ Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 10
Tính chất của phép biến đổi Fourier n  Đạo hàm trong miền t d f (t ) n ↔ ( jω ) F (ω ) n dt +∞ df (t ) +∞ f (t ) 1 2π ∫ −∞ jωt F (ω )e dω = ⇒ ( jω ) ∫−∞ F (ω )e jωt dω 1 2π dt F (ω ) t  Tích phân trong miền t ∫ f (τ ) dτ ↔ π F (0)δ (ω ) + −∞ jω d F (ω ) n  Đạo hàm trong miền ω t f (t ) ↔ j n n dω n Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 11
Tính chất của phép biến đổi Fourier  Tích chập (convolution) f (t ) ↔ F (ω ) ; g (t ) ↔ G (ω ) +∞ f (t ) ∗ = g (t ) ∫ −∞ f (τ ) g (t − τ )dτ ↔ F (ω )G (ω ) +∞ 1 1 f (t ) g (t ) ↔ 2π F (ω= ) ∗ G (ω ) 2π ∫ F ( x)G(ω − x)dx −∞  Định lý Parseval +∞ +∞ 1 ∫ f (t )dt ↔ ∫ F (ω ) dω 2 2 −∞ 2π −∞ Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 12
Biến đổi Fourier của một số hàm thông dụng  Hàm Dirac δ(t) δ  (t ) 1 1  0 < t
Biến đổi Fourier của một số hàm thông dụng  f(t)=δ(t): +∞ +∞ ∫ ∫= − jωt F (ω ) = δ (= t )e dt δ (t )dt 1 −∞ −∞ ⇒ δ (t ) ↔ 1 δ (t ) 1 ↔ t ω 0 0 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 14
Biến đổi Fourier của một số hàm thông dụng  f(t)=1: 1 +∞ F (ω ) = 2πδ = (ω ) ⇒ f (t ) 2π ∫ −∞ 2πδ (ω )e jωt dω 1 = ⇒ 1 ↔ 2πδ (ω ) 1 2πδ (ω ) ↔ t ω 0 0 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 15
Biến đổi Fourier của một số hàm thông dụng t  f(t) xung cổng đơn vị: rect   τ  1 0 t >τ / 2 r e ct ( ) = t τ 1 t
Biến đổi Fourier của một số hàm thông dụng  Hàm bước (nấc) đơn vị : u(t) u (t ) 0 t < 0 1 u (t ) =  1 t > 0 t 1 u (t ) ↔ πδ (ω ) + jω Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 17
u (t ) 1 − at u (t ) = lim e − at u (t ) e u (t ) a →0 t 0 +∞ 1  a − jω  ω ) lim ∫ e u (t )e = ⇒ F (= − at dt lim − jωt = lim  2 a →0 a + jω a →0 a + ω 2  a →0 −∞   a 1 ⇒ F=(ω ) lim 2 + a →0 a + ω 2 jω Diện tích bằng π 1 ⇒ F (ω ) = πδ (ω ) + jω u (t ) ↔ πδ (ω ) + 1/ jω Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 18
Biến đổi Fourier của một số hàm thông dụng sgn(t )  Hàm dấu 1 t >0 1 sgn(t ) =  −1 t < 0 t = sgn(t ) 2u (t ) − 1 −1 2 sgn(t ) ↔ 2πδ (ω ) + − 2πδ (ω ) jω 2 sgn(t ) ↔ jω Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 19
Các cặp biến đổi Fourier f(t) F(ω) δ (t ) 1 1 2πδ (ω ) 1 u(t) πδ (ω ) + jω 2 sgn(t) jω − at 1 1 e u (t ) & e u (−t ) (a > 0) at & a + jω a − jω 2a 1 1 e −a t (a > 0) = + a +ω 2 2 a − jω a + jω Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.15: Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Chuyên Ngành Cơ Khí

65 tài liệu

2431 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.