Bài giảng Toán kỹ thuật: Chương 3 - Toán tử Laplace trình bày các nội dung về phép biến đổi Lapalace, phép biến đổi Lapalace ngược, ứng dụng biến đổi Lapace vào phương trình vi phân, ứng dụng biến đổi Lapace vào giải tích Mạch điện.
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Bài giảng Toán kỹ thuật: Chương 3 - Toán tử Laplace (ĐH Bách Khoa TP.HCM)
- Phần 2
Toán tử Laplace
Phép biến ñổi Lapalace
Phép biến ñổi Lapalace ngược
Ứng dụng biến ñổi Lapace vào PT vi phân
Ứng dụng biến ñổi Lapace vào Giải tích Mạch ñiện
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 1
- Chương 3 Phép biến ñổi Laplace
ðịnh nghĩa
f(t) là hàm (có thể phức) của biến số thực t (t ≥ 0) sao cho
tích phân hội tụ ít nhất với một số phức s = a + jb
Ảnh của hàm f(t) qua biến ñổi Laplace là hàm F(s) ñược
ñịnh nghĩa +∞
F ( s) = L { f (t )} = ∫ f (t )e − st dt
0−
F(s) : ảnh Laplace
f(t) : gốc
Ký hiệu khác F ( s ) f (t ) hay f (t ) F (s)
Lưu ý trong phạm vi giáo trình ta chỉ xét các giá trị s trong
khoảng tích phân là hội tụ
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 2
- Tính chất hàm gốc f(t)
Tập hợp các hàm f(t) của biến số thực t sao cho tích phân hội tụ ít
nhất với một số phức s gọi là lớp hàm gốc.
Trong ñó tập hợp các giá trị của s sao cho tích phân tồn tại thì ñược
gọi là miền hội tụ (hay miền qui tụ).
Ta có thể chứng minh ñược lớp các hàm gốc phải thỏa mãn các tính
chất sau.
f(t) = 0, với mọi t < 0.
Khi t ≥ 0, hàm f(t) liên tục cùng với các ñạo hàm cấp ñủ lớn trên toàn trục t,
trừ một số hữu hạn ñiểm gián ñoạn loại một.
Khi t→∞ hàm f(t) có cấp tăng bị chặn, tức là tồn tại hằng số s>0 và M>0 sao
cho f (t ) ≤ Me st ; ∀ t > 0 Khi ñó so = inf ; {s} ñược gọi là chỉ số tăng của
hàm f. (Tức là hàm f(t) không ñược tăng nhanh hơn hàm est ñể ñảm bảo tích
phân Laplace hội tụ).
Lưu ý trong phạm vi giáo trình ta chỉ xét các giá trị s trong
khoảng tích phân là hội tụ
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 3
- Biến ñổi Laplace của một số hàm thông dụng
Hàm bước (nấc) ñơn vị : u(t)
u (t )
0 t < 0 1
u (t ) =
1 t > 0
t
+∞ +∞ − st +∞
e 1
F ( s ) = ∫ u (t )e dt = ∫ e dt =
− st − st
=
0− 0
−s 0
s
1
L {u (t )} = Miền hội tụ S > 0
s
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 4
- Biến ñổi Laplace của một số hàm thông dụng
Hàm dirac : δ(t)
δ (t )
∞ t = 0
δ (t ) =
0 t ≠ 0
t
+∞ +∞
∫ ∫
− st 0
F (s) = δ (t ) e dt = δ (t ) e dt =1
0− 0
L {δ (t )} = 1
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 5
- Biến ñổi Laplace của một số hàm thông dụng
Hàm mũ : e-at (a > 0)
+∞ +∞ − ( s + a )t +∞
e 1
∫e ∫e
− at − st −( s+a )t
F (s) = e dt = dt = =
0− 0
−( s + a ) 0 s+a
1
L {e } = − at
Miền hội tụ S > -a
s+a
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 6
- Biến ñổi Laplace của một số hàm thông dụng
Hàm lượng giác : f1(t) = cos(at)
s
L {cos(at )} = 2
s + a2
Miền hội tụ S > 0
Hàm lượng giác : f2(t) = sin(at)
a
L {sin( at )} = 2
s + a2
Miền hội tụ S > 0
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 7
- Biến ñổi Laplace của một số hàm thông dụng
Hàm lũy thừa : tn (n = 0,1, 2, 3, … )
+∞ n − st +∞ +∞ − st +∞
t e e n
F ( s ) = ∫ t e dt =
n − st
− ∫ nt n −1
dt = ∫ e dt
t n −1 − st
0
−s 0 0
−s s 0
n n (n − 1)
⇒ L {t } = L {t } =
n n −1
L {t n−2 }
s s s
n (n − 1) (n − 2) n!
= L {t } = ... = n L {t 0 }
n −3
s s s s
n!
L {t } = n+1
n Miền hội tụ S > 0
s
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 8
- Biến ñổi Laplace của một số hàm thông dụng
f(t) F(s) Miền hội tụ
1
u(t ) s>0
s
δ (t ) 1
− at 1
e s > −a
s+a
s
cos(at ) s>0
s2 + a2
a
sin(at ) s>0
s2 + a2
n n!
t s>0
s n+1
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 9
- Các tính chất của phép biến ñổi Laplace
Tính tuyến tính
◦ Nếu L { f1 (t )} = F1 ( s) ; L { f 2 (t )} = F2 ( s )
◦ Thì L {a1 f1 (t ) + a2 f 2 (t )} = a1 F1 ( s ) + a2 F2 ( s )
(a1, a2 : caùc haèngsoá)
+∞
L {a1 f1 (t ) + a2 f 2 (t )} = ∫ ( a f (t ) + a2 f 2 (t ) ) e dt
− st
1 1
0
+∞ +∞
= ∫
0
a1 f1 (t )e− st dt + ∫
0
a2 f 2 (t )e− st dt = a1 F1 ( s ) + a2 F2 ( s )
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 10
- Ví dụ
Tìm biến ñổi Laplace cho các hàm sau
4! s
4
f (t ) = 2t − 3cos5t L { f (t )} = 2 5 − 3 2
s s + 25
−2 t 1
g (t ) = 4δ (t ) − 6e L { g (t )} = 4 − 6
s+2
s cos π3 − 6sin π3
h(t ) = 3cos(6t + π3 ) L {h(t )} = 3
s 2 + 36
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 11
- Các tính chất của phép biến ñổi Laplace
Tính dời theo s
◦ Nếu L { f (t )} = F ( s )
◦ Thì L {e − at f (t )} = F ( s + a ) (a :soá thöïc)
+∞
L {e − at
f (t )} = ∫e
− at
f (t )e − st
dt
0
+∞
= ∫
0
f (t )e− ( s + a )t dt = F ( s + a)
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 12
- Ví dụ
Tìm biến ñổi Laplace cho các hàm sau
f (t ) = 2e −6 t t 4 − 3e −2t cos5t
4! s
L { f (t )} = 2 5
−3
( s + 6) ( s + 2) 2 + 25
−10t
g (t ) = 3e cos(6t + π3 )
( s + 10)cos π3 − 6sin π3
L { g (t )} = 3
( s + 10) 2 + 36
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 13
- Các tính chất của phép biến ñổi Laplace
Tính dời theo t
o t < t0
◦ Nếu L { f (t )} = F ( s ) u (t − t0 ) =
1 t > t0
− st0
◦ Thì L { f (t − t0 )u (t − t0 )} = e F (s) (t0 > 0)
+∞
L { f (t − t0 )u (t − t0 )} = ∫t f (t − t0 )e− st dt
0
+∞ +∞
− st0 − st0
∫ ∫
− s ( x +t0 ) − sx
= f ( x)e dx = e f ( x )e dx = e F ( s)
0 0
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 14
- Ví dụ
Tìm biến ñổi Laplace cho các hàm sau
f (t ) = 3(t − 2) 4 u (t − 2) − 3cos(t − π6 )u (t − π6 )
−π
−2 s 4! s s
L { f (t )} = 2e 5
− 3e 6
s s2 + 1
g (t ) = 3e −10t cos(6t − π3 )u (t − 18
π)
−π
s ( s + 10)
L { g (t )} = 3e 18
( s + 10) 2 + 36
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 15
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
