Bài giảng Toán rời rạc: Chương 1 - TS. Nguyễn Viết Đông

Chia sẻ: Minh Vũ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:24

Thêm vào BST

Báo xấu

142
lượt xem 14
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán rời rạc - Chương 1: Mệnh đề" do TS. Nguyễn Viết Đông biên soạn cung cấp cho người học các kiến thức: Mệnh đề và chân trị, phép tính mệnh đề, dạng mệnh đề, quy tắc suy diễn. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán rời rạc: Chương 1 - TS. Nguyễn Viết Đông

Tài liệu tham khảo • Toán rời rạc, GS.TS. Nguyễn Hữu Anh • Michael P.Frank „s slides Phần I.Mệnh đề • Nguyễn Viết Hưng „s slides • Toán rời rạc, TS. Trần Ngọc Hội Biên soạn : TS.Nguyễn Viết Đông 1 2 Mệnh đề và chân trị Mệnh đề và chân trị • Khái niệm về mệnh đề: • Ví dụ: Mệnh đề toán học là khái niệm cơ bản của toán – “Số 123 chia hết cho 3” là 1 mệnh đề đúng học không được định nghĩa mà chỉ được mô tả. – “Thành phố Hồ Chí Minh là thủ đô của nước Việt Nam” là một mệnh đề sai. Mệnh đề toán học(gọi tắt là mệnh đề) là một khẳng định có giá trị chân lý xác định(đúng – “Bạn có khỏe không ? ” không phải là một mệnh đề toán học vì đây là một câu hỏi không thể phản hoặc sai, nhưng không thể vừa đúng vừa sai). ánh một điều đúng hay một điều sai 3 4 1
Mệnh đề và chân trị Mệnh đề và chân trị • Kiểm tra xem các khẳng định sau có là mệnh • Ký hiệu mệnh đề : đề không? Nếu có, đó là mệnh đề đúng hay Người ta thường dùng các ký hiệu : P, Q, R, … sai? • Chú ý: Mệnh đề phức hợp là mệnh đề được – Môn Toán rời rạc là môn bắt buộc chung cho xây dựng từ các mệnh đề khác nhờ liên kết ngành Tin học. chúng lại bằng các liên từ(và, hay, nếu…thì…) – 97 là số nguyên tố. hoặc trạng từ “không” – N là số nguyên tố. – Ví dụ : Nếu trời tốt thì tôi đi dạo. 5 6 Mệnh đề và chân trị Phép tính mệnh đề • Chân trị của mệnh đề: • Mục đích của phép tính mệnh đề: Một mệnh đề chỉ có thể đúng hoặc sai, không thể Nghiên cứu chân trị của một mệnh đề phức hợp từ đồng thời vừa đúng vừa sai. Khi mệnh đề P đúng chân trị của các mệnh đề đơn giản hơn và các phép ta nói P có chân trị đúng, ngược lại ta nói P có nối những mệnh đề này biểu hiện qua liên từ hoặc chân trị sai. trạng từ “không” Chân trị đúng và chân trị sai sẽ được ký hiệu lần lượt là 1hay Đ(đúng),T(true) và 0 hay S(sai),F(false) 7 8 2
Some Popular Boolean Phép tính mệnh đề Operators Formal Name Nickname Arity Symbol Phủ định của mệnh đề Negation operator NOT Unary ¬ Conjunction operator AND Binary  Disjunction operator OR Binary  Exclusive-OR operator XOR Binary  Implication operator IMPLIES Binary  Biconditional operator IFF Binary ↔ Phép tính mệnh đề Phép tính mệnh đề The unary negation operator “¬” (NOT) transforms a prop. into its logical negation. E.g. If p = “I have brown hair.” p p then ¬p = “I do not have brown hair.” T F F T 11 3
Phép tính mệnh đề Phép tính mệnh đề • Phép nối liền(phép hội; phép giao): • Ví dụ: Mệnh đề “Hôm nay, cô ấy đẹp và thông Mệnh đề nối liền của hai mệnh đề P, Q được kí hiệu minh ” chỉ được xem là mệnh đề đúng khi cả bởi P  Q (đọc là “P và Q”), là mệnh đề được định hai điều kiện “cô ấy đẹp” và “cô ấy thông bởi : minh” đều xảy ra. Ngược lại, chỉ 1 trong 2 P  Q đúng khi và chỉ khi P và Q đồng thời đúng điều kiện trên sai thì mệnh đề trên sẽ sai. 13 14 Phép tính mệnh đề The Conjunction Operator • Meänh ñeà “Hoâm nay, An giuùp meï lau nhaø vaø The binary conjunction operator “” (AND) röûa cheùn” chæ ñuùng khi hoâm nay An giuùp meï combines two propositions to form caû hai coâng vieäc lau nhaø vaø röûa cheùn. Ngöôïc laïi, neáu hoâm nay An chæ giuùp meï moät trong their logical conjunction. ND E.g. If p=“I will have salad for lunch.” and q=“I hai coâng vieäc treân, hoaëc khoâng giuùp meï caû hai thì meänh ñeà treân sai. will have steak for dinner.”, then pq=“I will have salad for lunch and I will have steak for dinner.” Remember: “” points up like an “A”, and it means “ND” 15 16 4
Conjunction Truth Table Phép tính mệnh đề • Note that a p q pq conjunction F F F p1  p2  …  pn F T F of n propositions T F F will have 2n rows in its truth table. T T T • Also: ¬ and  operations together are suffi- cient to express any Boolean truth table! Operand columns 17 18 Phép tính mệnh đề Phép tính mệnh đề • Phép nối rời(phép tuyển; phép hợp) • Ví dụ: Mệnh đề “Tôi đang chơi bóng đá hay Mệnh đề nối rời của hai mệnh đề P, Q được kí hiệu bóng rổ”. bởi P  Q (đọc là “P hay Q”), là mệnh đề được định Mệnh đề này chỉ sai khi tôi vừa không đang chơi bởi : bóng đá cũng như vừa không đang chơi bóng rổ. P  Q sai khi và chỉ khi P và Q đồng thời sai Ngược lại, tôi chơi bóng đá hay đang chơi bóng rổ hay đang chơi cả hai thì mệnh đề trên đúng. 19 20 5
The Disjunction Operator Disjunction Truth Table The binary disjunction operator “” (OR) combines two propositions to form their • Note that pq means p q pq logical disjunction. that p is true, or q is F F F true, or both are true! p=“My car has a bad engine.” F T T Note  • So, this operation is difference q=“My car has a bad carburetor.” T F T from AND also called inclusive or, T T T pq=“Either my car has a bad engine, or because it includes the my car has a bad carburetor.” possibility that both p and q are true. After the downward- pointing “axe” of “” Meaning is like “and/or” in English. splits the wood, you • “¬” and “” together are also universal. can take 1 piece OR the other, or both. 21 22 Phép tính mệnh đề Phép tính mệnh đề • Chú ý : Cần phân biệt “hay” và “hoặc”. Đưa ra phép toán để thể hiện trường hợp loại trừ Ký hiệu :  ,   P Q sai  P và Q đồng thời cùng đúng hoặc cùng sai. 23 6
The Exclusive Or Operator Exclusive-Or Truth Table The binary exclusive-or operator “” (XOR) combines two propositions to form their • Note that pq means p q pq logical “exclusive or” (exjunction?). that p is true, or q is true, but not both! F F F p = “I will earn an A in this course,” F T T • This operation is q = “I will drop this course,” T F T called exclusive or, p  q = “I will either earn an A for this course, or because it excludes the T T F Note difference I will drop it (but not both!)” possibility that both p and q are true. from OR. • “¬” and “” together are not universal. 25 26 Phép tính mệnh đề Phép tính mệnh đề • Phép kéo theo: • Ví dụ: Xét mệnh đề sau : Mệnh đề P kéo theo Q của hai mệnh đề P và Q, kí “Nếu tôi đẹp trai thì tôi có nhiều bạn gái” Ta có các trường hợp sau: hiệu bởi P  Q(đọc là “P kéo theo Q” hay “Nếu P • Tôi đẹp trai và có nhiều bạn gái : Mệnh đề rõ ràng đúng thì Q” hay “P là điều kiện đủ của Q” hay “Q là điều • Tôi đẹp trai và không có nhiều bạn gái : Mệnh đề rõ kiện cần của P”) là mệnh đề được định bởi: ràng sai P  Q sai khi và chỉ khi P đúng mà Q sai . • Tôi không đẹp trai mà vẫn có nhiều bạn gái : Mệnh đề vẫn đúng • Tôi không đẹp trai và không có nhiều bạn gái : Mệnh đề vẫn đúng 27 28 7
Phép tính mệnh đề The Implication Operator • Meänh ñeà “Chieàu nay, neáu raûnh toâi seõ gheù The implication p  q states that p implies q. thaêm baïn” chæ sai khi chieàu nay toâi raûnh antecedent consequent nhöng toâi khoâng gheù thaêm baïn. I.e., If p is true, then q is true; but if p is not true, • Ngöôïc laïi, neáu chieàu nay toâi baän thì duø toâi coù then q could be either true or false. gheù thaêm baïn hay khoâng, meänh ñeà treân vaãn E.g., let p = “You study hard.” ñuùng. Ngoaøi ra, taát nhieân neáu chieàu nay toâi q = “You will get a good grade.” coù gheù thaêm baïn thì meänh ñeà treân ñuùng (duø p  q = “If you study hard, then you will get a toâi coù raûnh hay khoâng!). good grade.” (else, it could go either way) 29 30 Implication Truth Table Examples of Implications • p  q is false only when p is true but q is not true. p q pq • “If this lecture ends, then the sun will rise tomorrow.” True or False? • p  q does not say F F T that p causes q! F T T The • “If Tuesday is a day of the week, then I am only a penguin.” True or False? • p  q does not require T F F False that p or q are ever true! T T T case! • “If 1+1=6, then Bush is president.” True or False? • E.g. “(1=0)  pigs can fly” is TRUE! • “If the moon is made of green cheese, then I am richer than Bill Gates.” True or False? 31 32 8
Phép tính mệnh đề Phép tính mệnh đề • Pheùp keùo theo hai chieàu: Mệnh đề P kéo theo Q và ngược lại của hai mệnhđề P và Q, ký hiệu bởi P  Q (đọc là “P nếu và chỉ nếu Q” hay P khi và chỉ khi Q” hay “P là điều kiện cần và đủ của Q”), là mệnh đề xác định bởi: P  Q đúng khi và chỉ khi P và Q có cùng chân trị 33 34 Phép tính mệnh đề Phép tính mệnh đề 35 36 9
Biconditional Truth Table The biconditional operator • p  q means that p and q The biconditional p  q states that p is true if and only if (IFF) q is true. have the same truth value. p q pq p = “Bush wins the 2004 election.” • Note this truth table is the F F T exact opposite of ‟s! F T F q = “Bush will be president for all of 2005.” – p  q means ¬(p  q) p  q = “If, and only if, Bush wins the 2004 T F F election, Bush will be president for all of 2005.” • p  q does not imply T T T p and q are true, or cause each other. I’m still here! 2004 2005 38 Boolean Operations Summary Some Alternative Notations • We have seen 1 unary operator and 5 binary Name: not and or xor implies iff operators . Their truth tables are below. Propositional logic:       p q p pq pq pq pq pq Boolean algebra: p pq +  F F T F F F T T C/C++/Java (wordwise): ! && || != == F T T F T T T F C/C++/Java (bitwise): ~ & | ^ Logic gates: T F F F T T F F T T F T T F T T 39 10
Dạng mệnh đề Dạng mệnh đề • Daïng meänh ñeà laø moät bieåu thöùc ñöôïc caáu taïo • Với E là một dạng mệnh đề các biến mệnh đề p, q, r töø: ứng với mỗi giá trị cụ thể P, Q, R (là các mệnh đề) - Caùc haèng meänh ñeà, töùc laø caùc meänh ñeà ñaõ xeùt ôû của p, q, r thì ta có duy nhất một mệnh đề E(P, Q, R). trên. Ta viết E = E(p, q, r). - Caùc bieán meänh ñeà, töùc laø caùc bieán laáy giaù trò laø • Bảng chân trị là bảng ghi tất cả các trường hợp chân caùc meänh ñeà, thoâng qua caùc pheùp toaùn meänh ñeà trị có thể xảy ra đối với dạng mệnh đề E theo chân trị ñaõ xeùt ôû muïc trên theo moät trình töï nhaát ñònh naøo của các biến mệnh đề p, q, r. Nếu có n biến, bảng này ñoù, thöôøng ñöôïc chæ roõ bôûi caùc daáu ngoặc. sẽ có 2n dòng, chưa kể dòng tiêu đề. 41 42 Dạng mệnh đề Tautologies and Contradictions A tautology is a compound proposition that is true no matter what the truth values of its atomic propositions are! Ex. p  p [What is its truth table?] A contradiction is a compound proposition that is false no matter what! Ex. p  p [Truth table?] Other compound props. are contingencies. 43 44 11
Proving Equivalence Logical Equivalence via Truth Tables Compound proposition p is logically equivalent Ex. Prove that pq  (p  q). to compound proposition q, written pq, IFF the compound proposition pq is a tautology. p q pq p q p  q (p  q) Compound propositions p and q are logically F F F T T T F equivalent to each other IFF p and q contain F T T T F F T the same truth values as each other in all rows T F T F T F T of their truth tables. T T T F F F T 45 46 Dạng mệnh đề Dạng mệnh đề 1. Quy tắc thay thế thứ 1 Các luật logic : Với p, q, r là các biến mệnh Trong dạng mệnh đề E, nếu ta thay thế biểu thức đề, 1 là một hằng đúng và 0 là một hằng sai, ta con F bởi một dạng mệnh đề tương đương logic có các tương đương logic sau đây: thì dạng mệnh đề thu được vẫn còn tương đương logic với E. 1) Luật luỹ đẳng 2. Quy tắc thay thế thứ 2 ppp Giả sử dạng mệnh đề E(p,q,r…) là một hằng đúng. Nếu ta thay thế những nơi p xuất hiện trong E bởi một F(p‟,q‟,r‟) ppp thì dạng mệnh đề nhận được theo các biến q,r…,p‟,q‟,r‟,… vẫn còn là 1 hằng đúng. 47 48 12
Dạng mệnh đề 49 50 51 52 13
Dạng mệnh đề 16) Luật rút gọn: p q  p  1 p  (p q)  p q (p  q) q  p q p  (p  q)  1 53 54 Equivalence Laws - Examples More Equivalence Laws • Identity: pT  p pF  p • Distributive: p(qr)  (pq)(pr) • Domination: pT  T pF  F p(qr)  (pq)(pr) • Idempotent: pp  p pp  p • De Morgan’s: • Double negation: p  p (pq)  p  q (pq)  p  q • Commutative: pq  qp pq  qp • Trivial tautology/contradiction: Augustus • Associative: (pq)r  p(qr) p  p  T p  p  F De Morgan (pq)r  p(qr) (1806-1871) 55 14
Defining Operators via Equivalences An Example Problem Using equivalences, we can define operators in • Check using a symbolic derivation whether terms of other operators. (p  q)  (p  r)  p  q  r. (p  q)  (p  r)  • Exclusive or: pq  (pq)(pq) [Expand definition of ] (p  q)  (p  r) pq  (pq)(qp) [Defn. of ]  (p  q)  ((p  r)  (p  r)) • Implies: pq  p  q [DeMorgan’s Law] • Biconditional: pq  (pq)  (qp)  (p  q)  ((p  r)  (p  r)) pq  (pq)  [associative law] cont. 57 58 Example Continued... End of Long Example (p  q)  ((p  r)  (p  r))  [ commutes] q  (p  (p  r))  (q  p)  ((p  r)  (p  r)) [ associative] [DeMorgan’s]  q  (p  (p  r))  q  (p  ((p  r)  (p  r))) [distrib.  over ]  q  (((p  (p  r))  (p  (p  r))) [Assoc.]  q  ((p  p)  r) [assoc.]  q  (((p  p)  r)  (p  (p  r))) [Idempotent]  q  (p  r) [trivail taut.]  q  ((T  r)  (p  (p  r))) [Assoc.]  (q  p)  r [domination]  q  (T  (p  (p  r))) [Commut.]  p  q  r [identity]  q  (p  (p  r))  cont. Q.E.D. (quod erat demonstrandum) (Which was to be shown.) 59 60 15
Dạng mệnh đề Ví dụ • Để chứng minh một dạng mệnh đề là hằng đúng, hằng sai, các dạng mệnh đề là tương Cho p, q, r laø caùc bieán meänh ñeà. Chöùng minh đương lôgic, dạng mệnh đề này là hệ quả raèng: logic của dạng mệnh đề kia, ta có các cách sau: (p r)  (q  r)  (p  q)  r (1) - Lập bảng chân trị. Chuùng ta có thể chöùng minh (1) baèng hai caùch. Caùch 1: Laäp baûng chaân trò . - Sử dụng phép thay thế. 61 62 Qui tắc suy diễn • Trong các chứng minh toán học, xuất phát từ một số khẳng định đúng p, q, r…(tiền đề), ta áp dụng các qui tắc suy diễn để suy ra chân lí của một mệnh đề h mà ta gọi là kết luận. • Nói cách khác, dùng các qui tắc suy diễn để chứng minh: ( p  q  r … ) có hệ quả logic là h . 63 64 16
Qui Tắc Suy Diễn Qui Tắc Suy Diễn Ta thường mô hình hóa phép suy luận đó dưới dạng: p • QUI TẮC MODUS PONENS(Phƣơng pháp khẳng định) q Qui tắc này được thể hiện bằng hằng đúng: r .  p  q   p   q : Hoặc dưới dạng sơ đồ ___ pq h p q 65 •Nếu An học chăm thì An học tốt. •Mà An học chăm Suy ra An học tốt Qui Tắc Suy Diễn • QUI TẮC TAM ĐOẠN LUẬN(Syllogism) •Hình vuông là hình bình hành •Mà hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại trung Qui tắc này được thể hiện bằng hằng đúng: điểm mỗi đường. Suy ra hình vuông có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường  p  q    q  r    p  r  Hoặc dưới dạng sơ đồ pq qr pr 67 17
Qui Tắc Suy Diễn •Hai tam giác vuông có cạnh huyền và 1 cặp góc nhọn bằng nhau thì chúng ta có một cạnh bằng nhau kèm giữa hai góc bằng nhau. • QUI TẮC MODUS TOLLENS •Nếu hai tam giác có cạnh bằng nhau kèm giữa hai góc PHƢƠNG PHÁP PHỦ ĐỊNH bằng nhau thì chúng bằng nhau Suy ra hai tam giác vuông có cạnh huyền và 1 cặp góc Qui tắc này được thể hiện bằng hằng đúng: nhọn bằng nhau thì bằng nhau.  p  q   q   p Hoặc dưới dạng sơ đồ pq •Một con ngựa rẻ là một con ngựa hiếm •Cái gì hiếm thì đắt q Suy ra một con ngựa rẻ thì đắt () p 69 Qui Tắc Suy Diễn • Xét chứng minh • Ta suy luận • QUI TẮC TAM ĐOẠN LUẬN RỜI pr pr Qui tắc này được thể hiện bằng hằng đúng: rs rs t  s st  p  q   q   p  p  q   p   q t  u t u Ý nghĩa của qui tắc: nếu trong hai trường hợp có u u thể xảy ra, chúng ta biết có một trường hợp sai thì p p chắc chắn trường hợp còn lại sẽ đúng Aristotle (ca. 384-322 B.C.)71 18
VÍ DỤ Qui Tắc Suy Diễn • QUI TẮC MÂU THUẪN • Hãy chứng minh: • Cm bằng phản chứng. pr pr CHỨNG MINH BẰNG PHẢN CHỨNG Ta có tương đương logic p  q p  q qs  p1  p2  ...  pn   q    p1  p2  ...  pn  q   0 qs r • Để chứng minh vế trái là một hằng đúng ta chứng r  s s minh nếu thêm phủ định của q vào các tiền đề thì được một mâu thuẫn. 0 74 Qui Tắc Suy Diễn VÍ DỤ • CHỨNG MINH THEO TRƢỜNG HỢP • Chứng minh rằng: Dựa trên hằng đúng:  p  r    q  r    p  q   r  n 3  4n   3 • Ý nghĩa: nếu p suy ra r và q suy ra r thì p hay q cũng có thể suy ra r. 19
Một số luật thêm VÍ DỤ TỔNG HỢP p Rule of Addition(Phép thêm) 1. Nếu nghệ sĩ Trương Ba • p:Nghệ sĩ Trương Ba đã trình không trình diễn hay số  pq vé bán ra ít hơn 100 thì diễn. đêm diễn sẽ bi hủy bỏ và • q:số vé bán ra ít hơn 100. ông bầu sẽ rất buồn. • r:đêm diễn bị hủy bỏ. pq Phép đơn giản nối liền 2. Nếu đêm diễn bị hủy bỏ • s: ông bầu buồn. thì tiềnvé phải trả lại cho người xem. • t:trả lại tiền vé cho người xem  p p  q  r  s 3. Nhưng tiềnvé đã không p trả lại cho người xem. r t q Vậy nghệ sỹ TB đã t trình diễn  pq Luật về phép nối lền p 77 78 VÍ DỤ Qui Tắc Suy Diễn • Ông Minh nói rằng nếu • p:ông Minh được tăng • PHẢN VÍ DỤ không được tăng lương thì lương. ông ta sẽ nghỉ việc. Mặt • q: ông Minh nghỉ việc. Để chứng minh một phép suy luận là sai hay khác, nếu ông ấy nghỉ việc và vợ ông ấy bị mất việc thì • r: vợ ông Minh mất việc. p1  p2  ...  pn  q phải bán xe. Biết rằng nếu • s: gia đình phải bán xe. không là một hằng đúng. Ta chỉ cần chỉ ra một vợ ông Minh hay đi làm trễ • t: vợ ông hay đi làm trễ. thì trước sau gì cũng sẽ bị phản ví dụ. mất việc và cuối cùng ông p  q s=0 Minh đã được tăng lương. qr  s t=1 • Suy ra nếu ông Minh không p=1 bán xe thì vợ ông ta đã tr q=0 không đi làm trễ r=1 p s  t 80 20