Bài giảng Toán rời rạc: Chương 3 - Nguyễn Quỳnh Diệp

Chia sẻ: Elysale Elysale | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:24

Thêm vào BST

Báo xấu

47
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán rời rạc: Chương 3 Phép quy nạp và đệ quy cung cấp cho người học những kiến thức như: Quy nạp toán học, Đệ quy. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm chi tiết nội dung của bài giảng!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán rời rạc: Chương 3 - Nguyễn Quỳnh Diệp

CHƯƠNG 3 PHÉP QUY NẠP VÀ ĐỆ QUY Nguyễn Quỳnh Diệp diepnq@tlu.edu.vn File Bài giảng: goo.gl/Y3cpLF hoặc goo.gl/TYxXQD 1 Nguyễn Quỳnh Diệp
NỘI DUNG • Quy nạp toán học • Đệ quy Toán rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp 2
3.1. QUY NẠP TOÁN HỌC Toán rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp 3
QUY NẠP TOÁN HỌC Các phương pháp chứng minh cơ sở: • Chứng minh trực tiếp • Chứng minh gián tiếp • Chứng minh phản chứng • Chứng minh từng trường hợp • Chứng minh tương đương Toán rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp 4
QUY NẠP TOÁN HỌC Chứng minh bằng quy nạp • Là kĩ thuật sử dụng để chứng minh các mệnh đề phổ quát trên tập các số nguyên dương, x P(x) với x  Z+. • Bao gồm 2 bước: 1) Bước cơ sở: chỉ ra mệnh đề P(1) là đúng 2) Bước quy nạp: Chứng minh mệnh đề kéo theo P(k)  P(k+1) là đúng với mọi số nguyên dương k Toán rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp 5
QUY NẠP TOÁN HỌC Ví dụ 1: Chứng minh tổng n số nguyên dương lẻ đầu tiên là n2 1 + 3 + 5 + 7 + … + 2𝑛 − 1 = 𝑛2 • Bước cơ sở: P(1) luôn đúng vì 1 = 12 • Bước quy nạp: giả định P(k) đúng với n= k, tức là: 1 + 3 + 5 + 7 + … + 2𝑘 − 1 = 𝑘 2 Ta phải chứng minh P đúng với n=k+1. Tức là: P(k+1) = 1 + 3 + 5 + 7 + … + 2𝑘 − 1 + 2𝑘 + 1 = (𝑘 + 1)2 VT = 𝑘 2 + 2𝑘 + 1 = (𝑘 + 1)2 =VP • Vậy P(n) đúng với mọi n nguyên dương Toán rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp 6
QUY NẠP TOÁN HỌC Ví dụ 2: Bằng quy nạp toán học, chứng minh bất đẳng thức n< 2n với mọi số nguyên dương n. Ví dụ 3: Bằng quy nạp toán học, chứng minh tổng hữu hạn các số hạng cấp số nhân: 𝑛 𝑎𝑟 𝑛+1 − 𝑎 𝑎𝑟 𝑗 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟 2 + ⋯ + 𝑎𝑟 𝑛 = 𝑟−1 𝑗=0 Toán rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp 7
BÀI TẬP  Bài 1: Tìm công thức tính tổng: 1 1 1 + +⋯+ 1.2 2.3 𝑛. (𝑛 + 1) Dùng quy nạp toán học để chứng minh kết quả vừa tìm được.  Bài 2: Chứng tỏ rằng với n là số nguyên dương ta có: 12 + 22 + 32 +... + n2 = n(n+1)(2n+1)/6 9 Toán rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp
3.2. ĐỊNH NGHĨA ĐỆ QUY Toán rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp 10
ĐỆ QUY • Phép đệ quy: Định nghĩa đối tượng qua chính nó Toán rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp 11
ĐỆ QUY Định nghĩa đệ quy • Là định nghĩa một dãy, tập hợp bằng cách định nghĩa các số hạng của dãy, tập hợp thông qua các số hạng trước đó Các hàm được định nghĩa bằng đệ quy: 1) Bước cơ sở: cho giá trị của hàm tại 0 2) Bước đệ quy: Cho quy tắc tính giá trị của nó tại một số nguyên n từ các giá trị nhỏ hơn n Toán rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp 12
ĐỆ QUY Ví dụ: Định nghĩa đệ quy của hàm giai thừa F(n) = n! • Bước cơ sở: F(0) = 0! = 1 • Bước đệ quy: - F(1) = 1*F(0) = 1.1 = 1 - F(2) = 2*F(1) = 2.1 = 2 - F(3) = 3*F(2) = 3.2 = 6 - F(n) = n*F(n-1) Toán rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp 13
ĐỆ QUY Định nghĩa 1: Các số Fibonaci f0, f1, f2... được định nghĩa bởi các phương trình: f0=0, f1= 1 và fn = fn-1 + fn-2 trong đó n= 2, 3, 4,... Ví dụ: • Tìm các số hạng f2 ,f3 ,f4 ,f5 ,f6 của dãy Fibonacci Toán rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp 14
BÀI TẬP  Bài 3: Hãy định nghĩa đệ quy của hàm sau: a) an, với n  0, n nguyên 𝒏 b) 𝒌=𝟎 𝒌  Bài 4: Hãy cho định nghĩa đệ quy của dãy {an} , n = 1, 2,... nếu a) an = 6n b) an = 2n + 1 c) an = 10n d) an = 5 15 Toán rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp
CÁC TẬP HỢP ĐƯỢC ĐỊNH NGHĨA ĐỆ QUY Giống như định nghĩa bằng đệ quy đối với các hàm, định nghĩa đệ quy cho tập hợp cũng gồm 2 phần: bước cơ sở và bước đệ quy. - Trong bước CƠ SỞ: người ta cho các phần tử xuất phát. - Trong bước ĐỆ QUYy: người ta cho quy tắc để tạo ra các phần tử mới từ các phần tử đã biết Toán rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp 16
CÁC TẬP HỢP ĐƯỢC ĐỊNH NGHĨA ĐỆ QUY Ví dụ: Cho tập S được định nghĩa như sau: • BƯỚC CƠ SỞ: 3 S • BƯỚC ĐỆ QUY: Nếu x  S và y  S thì x + y  S Hãy chỉ ra các phần tử của tập S sau 3 lần đệ quy Toán rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp 17
CÁC THUẬT TOÁN ĐỆ QUY Định nghĩa 1: Một thuật toán được gọi là đệ quy, nếu nó giải một bài toán bằng cách rút gọn liên tiếp bài toán đó tới giai đoạn của chính bài toán ban đầu nhưng có dữ liệu đầu vào nhỏ hơn Toán rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp 20
CÁC THUẬT TOÁN ĐỆ QUY Ví dụ : Tìm thuật toán đệ quy tính giá trị an, với a là số thực khác 0 và n là số nguyên không âm. THUẬT TOÁN : Thuật toán đệ quy tính an Procedure power(a: số thực khác 0; n: nguyên không âm) if n = 0 then power(a, n) := 1 else power(a,n) := a.power(a, n-1) Toán rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp 21
CÁC THUẬT TOÁN ĐỆ QUY Ví dụ 1: Biểu diễn thuật toán tính ước chung lớn nhất của hai số a,b như một thủ tục đệ quy. Ví dụ 2: Biểu diễn thuật toán tìm kiếm tuyến tính và tìm kiếm nhị phân như một thủ tục đệ quy. Toán rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp 22
CÁC THUẬT TOÁN ĐỆ QUY Tìm kiếm tuyến tính THUẬT TOÁN : Thuật toán đệ quy tìm kiếm tuyến tính Procedure search (i, j, x) if ai = x then location := i else if 𝑖 = 𝑗 then location := 0 else search(i+1, j, x) Toán rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp 23