Bài giảng Ứng dụng hình học của tích phân kép

Chia sẻ: Sung Sung | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:77

Thêm vào BST

Báo xấu

250
lượt xem 45
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Ứng dụng hình học của tích phân kép bao gồm những nội dung về tính diện tích miền phẳng; tính thể tích vật thể trong R3; tính diện tích mặt cong. Với các bạn chuyên ngành Toán học thì đây là tài liệu hữu ích.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Ứng dụng hình học của tích phân kép

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN KÉP
NỘI DUNG • Tính diện tích miền phẳng • Tính thể tích vật thể trong R3 • Tính diện tích mặt cong
TÍNH DIỆN TÍCH MIỀN PHẲNG D là miền đóng và bị chận trong R2: S (D) = � � D dxdy Có thể dùng cách tính của tp xác định trong GT1 cho những bài không đổi biến.
Ví dụ 1/ Tính diện tích miền D giới hạn bởi: 2 y = x ,y = x 2 y=x S (D ) = � � D dxdy y= x 1 x 1 �� = dx dy = 3 0 x2
2/ Tính diện tích miền D là phần nằm ngoài 2 2 đường tròn x + y = 1 và nằm trong đường tròn 2 2 2 x +y = x 3 Đổi biến: x = rcos , y = rsin Tọa độ giao điểm x2 + y 2 = 1 2 2 2 x +y = x 3
2 2 x + y =1 r =1 r =1 2 2 2 3 π x +y = x cos ϕ = ϕ= 3 2 6 π π − ϕ 6 6 D: 2 1 r cos ϕ 3 π 2 cos ϕ 3 π S (D ) = � � − 6 dϕ π 6 1 3 rdr = − 6 18
Nếu sử dụng tính đối xứng của D Miền D đối xứng qua Ox D1 = D {x,y)/ y 0} S(D) = 2S(D1) π 0 ϕ 6 D1 : 2 1 r cos ϕ 3 π 2 cos ϕ S (D) = � �0 6 dϕ 1 3 rdr
BÀI TOÁN THỂ TÍCH Xét vật thể hình trụ được giới hạn trên bởi mặt cong z = f2(x, y), mặt dưới là z = f1(x, y), bao xung quanh là mặt trụ có đường sinh // Oz và đường chuẩn là biên của miền D đóng và bị chận trong Oxy. V (Ω) = � �[ f2 ( x , y ) − f1( x , y ) ] dxdy D Khi đó, hình chiếu của lên Oxy là D.
Cách xác định hàm tính tích phân và hình chiếu D B1: chọn hàm tính tích phân: Chọn hàm tương ứng với biến chỉ xuất hiện 2 lần trong các pt giới hạn miền tính thể tích ( ). VD: z chỉ xuất hiện 2 lần : z = f1(x, y), z = f2(x,y), hàm tính tp là z = |f2(x,y) – f1(x,y)|
Cách xác định hàm tính tích phân và hình chiếu D B2: Xác định miền tính tp D Gs hàm tính tp là z = f(x,y), D là hình chiếu của lên mp Oxy và được xác định từ các yếu tố sau: 1.Điều kiện xác định của hàm tính tp 2.Các pt không chứa z giới hạn miền . 3.Hình chiếu giao tuyến của z = f1(x,y) và z = f2(x,y) (có thể không sử dụng)
Hình chiếu giao tuyến 1.Được tìm bằng cách khử z từ các pt chứa z. 2. Các TH sử dụng hc giao tuyến. Tìm được từ đk 1,2 Hc gt Hc tg Không sử dụng Sử dụng
f 1 > f2 D1 Hc gt D2 f 2 > f1 Sử dụng để xác định dấu của f2 – f1
Ví dụ 1/ Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi: y = x , y = 0, z = 0, x + z = 1 Cách 1: z xuất hiện 2 lần nên hàm lấy tp là z = 1 – x và z = 0 (các hàm xác định trên R2) D = hc Ω 1 Oxy •các pt không chứa z D y = 0, y = x •Hc giao tuyến: 1 − x = 0 1
V (Ω) = � � D [(1 − x ) − 0]dxdy 1 1 = dy �� (1 − x )dx 0 y2 1 1 4 �� = dy (1 − x )dx = 02 15 y
Ω : y = x , y = 0, z = 0, x + z = 1 Cách 2: y xuất hiện 2 lần, chọn hàm tính tp là y = 0, y = x D = hc Ω Oxz x •Đk xác định của hàm tính tp: x 0 x + z •Các pt không chứa y: =1 x + z = 1, z = 0 •Hc giao tuyến: z x =0� x=0
V (Ω) = � � D [ x − 0]dxdz 1 1− x = dx�� 0 0 xdz 1 = (x 1/2 −x 3/2 ) dx = 4 15 0
Ω : y = x , y = 0, z = 0, x + z = 1 Cách 3: x xuất hiện 2 lần, chọn hàm tính tp là 2 y = x � x = y , x = 1 − z z 1 D = hc Ω Oyz z=1–y 2 •Đk xác định hàm: y 0 •Các pt không chứa x: y = 0, z = 0 1 y •Hc giao tuyến: 1 − z = y 2
� � 2 V (Ω) = [(1 − z) − y ]dydz D 1 1− y 2 4 �� 2 = dy (1 − z − y )dz = 15 0 0
D = hc Ω Oyz D = hc Ω Oxz D = hc Ω Oxy