intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng: Ứng dụng phương pháp tọa độ trong không gian để giải hình học không gian

Chia sẻ: Trần Thị Thủy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:39

Thêm vào BST
Báo xấu
248
lượt xem 40
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo bài giảng: Ứng dụng phương pháp tọa độ trong không gian để giải hình học không gian dành cho các em học sinh có thêm tài liệu để củng cố kiến thức ôn tập tốt hơn về Toán hình học không gian.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng: Ứng dụng phương pháp tọa độ trong không gian để giải hình học không gian

  1. ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ĐỂ GIẢI HHKG “ Đại số hóa hình học “ Giáo viên giảng dạy: NGUYỄN THÀNH LONG “ Phương pháp là thầy của các thầy “ Email: Changngoc203@gmail.com Bỉm sơn: 11 – 02 – 2014
  2. Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ĐỂ GIẢI HHKG I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Để giải được các bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp. Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ đã chọn và độ dài cạnh của hình. PHƯƠNG PHÁP Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp (quan trọng là gốc tọa độ O) Thích hợp có nghĩa là phải căn cứ vào các cặp cạnh vuông góc để từ đó xác định được gốc tọa độ thích hợp, thông thường dựa vào đặc điểm của hình như hình chóp đều, cạnh bên vuông góc với đáy, mặt bên vuông góc với đáy, hay đáy là hình gì…. Bước 2: Xác định tọa độ các điểm có liên quan (có thể xác định toạ độ tất cả các điểm hoặc một số điểm cần thiết) Để xác định được tọa độ các điểm các bạn phải tính được độ dài các cạnh (khoảng cách từ điểm đó tới gốc tọa độ) hay hình chiếu các điểm đó xuống các cạnh hay mặt phẳng Xem điểm đó thuộc cạnh trục nào, mặt phẳng nào, hay không thuộc mặt phẳng nào, chiều dương hay âm của các trục Khi xác định tọa độ các điểm ta có thể dựa vào: - Ý nghĩa hình học của tọa độ điểm (khi các điểm nằm trên các trục tọa độ, mặt phẳng tọa độ). - Dựa vào các quan hệ hình học như bằng nhau, vuông góc, song song, cùng phương, thẳng hàng, điểm chia đọan thẳng để tìm tọa độ, tịnh tiến - Xem điểm cần tìm là giao điểm của đường thẳng, mặt phẳng. - Dưạ vào các quan hệ về góc của đường thẳng, mặt phẳng. Bước 3: Sử dụng các kiến thức về tọa độ để giải quyết bài toán. Ưu điểm: Chỉ cần xác định đúng các tọa độ các điểm, áp dụng các kiến thức về hình giải tích như thể tích, diện tích, góc, khoảng cách…, ngoài ra còn ôn lại được các kiến thức về hinh giải tích như viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu… Nhược điểm: Tính toán cồng kềnh, phức tạp làm học sinh dễ nản Chú ý: Vì nhược điểm của bài toán nên khi tính toán chúng ta nên chọn các điểm có tọa độ liên quan nhiều đến số 0 và tận dụng các câu có mối liên quan tới nhau để đỡ mất công tính toán và khi tính các vtvp hoặc vtcp ta chọn sao cho các vecto đó đơn giản dễ tính. Mặt khác phải biết kết hợp các công thức giữa tọa độ và không gian Các dạng toán thường gặp: Định tính: Chứng minh các quan hệ vuông góc, song song, … Định lượng:   - Độ dài đoạn thẳng: AB  | AB |  ( xB  x A )2  ( yB  y A )2  ( z B  z A )2 Ax0  By0  Cz0  D - Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: d ( M 0 ;  )  A2  B 2  C 2    M 0 M1 ; u    - Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: d (M 1 , )   u     u , u '  .M M '   0 0 - Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: d (1 ,  2 )   ' u , u    Đặc biệt: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, CD khi biết tọa độ của chúng https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 1
  3. Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com       AB, CD '  .. AC   d ( AB, CD)   '    AB, CD     d   P  ,  P2    d  M 1 ,  P2   , M 1   P  1 1 - Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:   d   P  ,  P2    d  M 2 ,  P   , M 2   P2   1 1  d (1 ,  2 )  d  M 1 ,  2  , M 1  1 - Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song:   d (1 ,  2 )  d  M 2 , 1  , M 2   2  - Khoảng cách giữa một đường thẳng song song với một mặt phẳng: d  ,  P     M ,  P   , M     u1 .u1 - Góc giữa hai đường thẳng: cos     u1 u1  '   AB, CD Đặc biệt: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, CD khi biết tọa độ của chúng: cos      AB . CD   n.u - Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: sin     n.u   n1 .n2 - Góc giữa hai mặt phẳng: cos       n1 . n2 1     1 - Thể tích khối tứ diện: VABCD  .  AB; AC  . AD hoặc VABCD  .S BCD . AH với AH  d  A,  BCD     6 3   '  + Thể tích hình hộp: VABCD. A' B'C ' D'   AB; AD  . AA   - Diện tích thiết diện 1   + Diện tích của tam giác: S ABC  .  AB; AC  2      + Diện tích hình hình hành: S ABCD   AB; AD    Thể tích hoặc diện tích của một hình hỗn hợp thì ta chia thể tích thành các phần nhỏ hơn và cộng lại Bài toán cực trị, quỹ tích. …… Sử dụng các kiến thức về bất đẳng thức, ứng dụng của đạo hàm….. II. CÁC DẠNG BÀI TẬP VẬN DỤNG Dạng 1: Với hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B ' C ' D ' Với hình lập phương . Chọn hệ trục tọa độ sao cho : A  O(0;0; 0) ; B (a; 0;0) ; C ( a; a;0) ; D(0; a; 0) A '(0;0; a ) ; B '(a; 0; a) ; C '(a; a; a) ; D'(0;a;a) Với hình hộp chữ nhật. Chọn hệ trục tọa độ sao cho : A  O(0;0; 0) ; B (a; 0;0) ; C ( a; b; 0) ; D (0; b;0) https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 2
  4. Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com A '(0;0; c) ; B '(a; 0; c) ; C '(a; b; c) ; D '(0; b; c) Bài tập giải mẫu: Bài 1: (ĐHA – 2006) Trong không gian Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;0;1). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD . a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN 1 b. Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc  , biết cos   . 6 Giải: Tọa độ của các đỉnh còn lại : z C 1;1; 0  , B’ 1; 01 , D’  0;1;1 , C’ 1;1;1     1   A’ D’ a. Ta có : A ' C  1;1;1 , MN   0;1; 0  , A ' M   ;0;1 2  C’ Do đó khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN là : B’      y  A ' C , MN  A ' M A D   d  A ' C , MN       M  A ' C , MN  N   B Hay : C x 11 1 1 1 3     21 0 0 1 2 3 d  A’C , MN     2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2   1 0 0 0 0 1   b. Mặt phẳng (Oxy) có n  k   0;0;1 . Mặt phẳng (P) có dạng : ax  by  cz  d  0 (P) qua A’(0;0;1) thì : c  d  0 (P) qua C(1;1;0) thì : a  b  d  0 . Từ đó suy ra : c   d   P  : ax  by  cz  c  0 1   Như vậy : nP   a; b; c  . Theo giả thiết :  1 n .k c 1 cos   P         6c2  a 2  b 2  c2  a 2  b 2  5c2  2  6 n k P a 2  b2  c 2 6 a  b  c  b  a  c  b  a  c  b  a  c  Như vậy :    2  2  b 2  5c2 2   a  c 2  5c2  a  ac  2c 2 0  a  c  a  2c   0 a  a     b  a  c  b  2a    ( P ) : ax  2ay  az  a  0  x  2 y  z  1  0   c  a   c  a  b  a  c  b  c    ( P ) : 2cx  cy  cz  c  0  2 x  y  z  1  0  a  2c    a  2c  Bài 2: (ĐH – B 2002) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. a. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và B’D. b. Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của các cạnh BB’, CD, A’D’. Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C’N. HD: Với hình lập phương . Chọn hệ trục tọa độ sao cho : A  O(0;0; 0) ; B(a; 0;0) ; C (a; a; 0) ; D(0;a;0) https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 3
  5. Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com A '(0;0; a ) ; B '(a; 0; a) ; C '(a; a; a) ; D'(0;a;a) a. Tính khoảng cách      A ' B   a; 0;  a  , B ' D   a; a; a  , A ' B '   a;0; 0       A ' B, B ' D    a 2 ; 2 a 2 ; a 2          A ' B, B ' D  , A ' B '   a 6  d  A ' B, B ' D        A ' B, B ' D  6   b. Tính góc  a a   a    a a    a      M  a; 0;  , N  ; a; 0  , P  0; ; a   MP    a; ;  , NC '   ;0; a   MP. NC '  MP  C ' N  2 2   2   2 2 2  a 6 Đáp số: a. b. MP  C ' N . 6 Bài 3: (ĐH A – 2003) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A /B/C/D/ có A trùng với gốc của hệ tọa độ biết B(a;0;0), D(0;a;0), A/(0;0;b) (a > 0, b > 0). Gọi M là trung điểm cạnh CC /. a. Tính thể tích khối tứ diện BDA/M theo a và b. a b. Xác định tỷ số để hai mặt phẳng (A/BD) và (MBD) vuông góc với nhau. b HD:  b       b   Ta có C  a; a; 0  , C '  a; a; b  , M  a; a;   BD   a; a; 0  , BM   0; a;  ; BA '   a;0; b   2  2 a. Tính thể tích      ab ab  BD, BM    ; ;  a 2      2 2    1    a 2 b     VBDA ' M   BD, BM  .BA '     , BM  .'   3a b   2 6  6 BD BA    2 b. Xác định tỉ số        ab ab       nBDM   BD, BM    ; ; a 2  ; nA ' BD   BD, BA '   ab; ab; a 2     2 2        a 2 b2 a 2 b 2 a Mặt phẳng  BDM    A ' BD   nBDM .nA ' BD  0    a4  0  a  b   1 2 2 b a2b a Đáp số: a. b.  1. 4 b Bài 4: (ĐH – D 2012) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A’C = a. Tính thể tích khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a. Giải: a a a A’AC vuông cân tại A. Ta có A ' C  a  AC  AA '  , BC  AD  AB   2 2 2 2 a   a  a a  Chọn hệ trục tọa độ sao cho A  O  0; 0; 0  , B  ;0; 0   Ox, D  0; ; 0   Oy, C  ; ; 0  2   2  2 2   a  a a  a a a   a a  A '  0; 0;   Oz; B '  2 ; 0;   Oxz; C '  2 ; 2 ;  ; D '  0; 2 ;   2  2  2  2 Ta có https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 4
  6. Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com    a    AB   ; 0;0    2        a2   AB, AB '   0;  ;0    a   a     2 2  1    1 a 3    a3 2  AB '   ; 0;    VABB ' C '   AB, AB ' . AC '  .   2 2          a3 6  6 4 2 48    a a a   AB, AB ' . AC '     4 2  AC '   ; ;    2 2 2    a    BC   0; 2 ;0          a2 a2  a2 Ta có      BC , BD '     ;0;   4  4  2; 0;1  BD '    a ; a ; a  2 2   2 2    2    Mặt phẳng (BCD’) đi qua B và có vtpt n  2; 0;1 có phương trình  a a 2  x    1 z  0   0  2 x  z  0  2 2 a  2 a 6 Khoảng cách d  A,  BCD’    2 6   2  12 Bài tập tự giải: Bài 1: (ĐHDB – A1 – 2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có A trùng với gốc tọa độ O, B(1;0;0), D(0;1;0), A1(0;0; 2 ). a. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A1, B, C và viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng B1D1 trên mặt phẳng (P). b. Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và vuông góc với A1C. Tính diện tích thiết diện của hình chóp A1.ABCD với mặt phẳng (Q). HD: Tìm được tọa độ C  2; 0; 0   Ox, x  t  a. Mặt phẳng  P  : x  y  2 z  1  0 . Phương trình hình chiếu:  y  1  t   z  2  2t b. Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và vuông góc với A1C thì chứa AC1. Do tam giác AAC1 vuông cân nên mặt phẳng (Q) cắt BB1 và CC1 tại các trung điểm E và F AE cắt A1B tại J, AF cắt A1D tại K. Thiết diện là tam giác IJK Bài 2: (ĐHDB – B1 – 2005) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lập phương ABCD. A1 B1C1 D1 có A(0;0;0), B(2;0;0), D1(0;2;2). a. Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình lập phương ABCD. A1 B1C1 D1 . Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh hai mặt phẳng (AB1D1) và (AMB1) vuông góc với nhau . b. Chứng minh rằng tỉ số khoảng cách từ điểm N thuộc đường thẳng AC1 ( N  A ) đến hai mặt phẳng (AB1D1) và (AMB1) không phụ thuộc vào vị trí của điểm N. Hướng dẫn giải: Ta có A  0; 0;0  ; B  2; 0; 0  ; C  2; 2;0  , D  0; 2; 0  ; A1  0; 0; 2  ; B1  2;0; 2  ; C1  2; 2; 2  ; D1  0; 2; 2     Mặt phẳng  AB1 D1  có cặp vtcp là: AB1   2,0, 2  ; AD1   0, 2, 2  https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 5
  7. Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com  1      Mặt phẳng  AB1 D1  có vtpt là u   AB1 , AD1    1, 1,1 4    Mặt phẳng  AMB1  có cặp vtcp là: AM   2,1,0  với   M  2,1, 0  ; AB1   2, 0, 2   1      Mặt phẳng  AMB1  có vtpt là v   AM , AB   1, 2, 1  2    Ta có: u.v  11  1 2   1  1  0  u  v   AB1 D1    AMB1  x  t    b. AC1   2, 2, 2   Phương trình tham số AC1 :  y  t , N  AC1  N  t , t , t  z  t  Phương trình  AB1 D1  :   x  0    y  0    z  0   0  x  y  z  0 t t t t  d  N , AB1 D1    d1 3 3 Phương trình  AMB1  :  x  0   2  y  0    z  0   0  x  2 y  z  0 t t  2t  t 2t d1 t 6 6 2  d  N , AMB1     d2   3    1 4 1 6 d2 2 t 32t 2 3 2 6 Vậy tỉ số khoảng cách từ N  AC1  N  A  t  0  tới 2 mặt phẳng  AB1 D1  và  AMB1  không phụ thuộc vào vị trí của điểm N. Bài 3: (ĐHDB – A1 – 2006) Cho hình hộp đứng ABCD. A ' B ' C ' D ' có các cạnh a 3  AB  AD  a , AA '  và góc BAD  60o . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh A ' D ' 2 và A ' B '. Chứng minh AC ' vuông góc với mặt phẳng  BDMN  . Tính thể tích khối chóp A.BDMN . Hướng dẫn giải:  Vì AB  AD  a và góc BAD  60o  ABD là tam giác đều nên đáy là hình thoi Gọi O là tâm hình thoi qua O dựng Oz / / AA ' Chọn hệ trục tọa độ sao cho O  0;0; 0  là gốc tọa độ  a  a   a   a   a a 3 A   ; 0;0   Ox; C  ;0; 0   Ox, D  0; ;0   Oy, B  0;  ; 0   Oy, A '   ; 0;  2   Oxz  2  2   2   2   2    a a 3  a a 3 a a 3  2 2   Oxz; B '  0;  2 ; 2   Oxz ; C '  2 ; 0; 2   Oxz D '  0; ;             a a a 3 Gọi M và lần lượt là trung điểm của các cạnh A ' D ' và A' B '  M   ; ; N  4 4 2 ;     a a a 3 N  ; ;  4 4 2             Tính A ' C và tính vecto pháp tuyến của mặt phẳng  BDMN  là n   BD, BM  . Chứng minh A ' C / / n   3 3a Tính thể tích khối chóp A.BDMN  VABDM  VABDN  16 https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 6
  8. Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com Bài 4: (ĐHDB – D2 – 2006) Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bằng a và điểm K thuộc 2 cạnh CC ' sao cho CK  a . Mặt phẳng ( ) đi qua A, K và song song với BD chia khối lập phương 3 thành hai khối đa diện. Tính thể tích của hai khối đa diện đó. a3 2a 3 Đáp số: V1  ; V2  3 3 Dạng 2: Với hình chóp đều 1. Hình chóp tam giác đều S. ABC Dấu hiệu: Đáy là tam giác đều cạnh a, đường cao vuông góc với đáy từ đó ta thiết lập hệ tọa độ như sau Cách chọn: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Giả sử cạnh tam giác đều bằng a và đường cao bằng h . a 3 1 a 3 CI  , HI  CI  2 3 6 Gọi I là trung điểm của BC Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho I   0; 0;0   a  a  Khi đó : A   ; 0;0   Ox; B  ; 0; 0   Ox  2  2   a 3   a 3  C  0;  ;0   Oy; S  0;   ; h   Oz   2   6  Hoặc: Chọn hệ trục sao cho H  O  0; 0;0  3 a 3 a 3 a 3 Tính CI  AB   CH  , HI  2 2 3 6  a a 3  a a 3  Khi đó A   ;   2 ; 0   Ox; B  ;   2 ; 0   Ox   6   6   a 3   a 3   a 3  C  0;  ; 0   Oy; S  0;   ; h   Oz ; I  0;    ; 0   Oy   3   6   6  Hoặc: Từ A ta dựng hai đường thẳng Az / / SH , Ax / / BC Chọn hệ trục như hình vẽ sao cho a a 3   a a 3   a 3  A  O  0; 0;0  , B  ;  2 2 ;0   Oxy, C   2 ; 2 ;0   Oxy , S  0; 3 ; h   Oz            Bài tập giải mẫu: Bài 1: (ĐH – A 2002) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và SC . Tính theo a diện tích tam giác AMN , biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC). z S Giải: Gọi O là hình chiếu của S trên (ABC), ta suy ra O là trọng tâm ABC . Gọi I là trung điểm của BC, ta có: N M 3 a 3 a 3 a 3 AI  BC   OA  , OI  h 2 2 3 6 Trong mặt phẳng (ABC), ta vẽ tia Oy vuông góc với OA. Đặt SO = h, chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta được: I B C O y a x A https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 7
  9. Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com a 3   a 3   a 3 a  O(0; 0; 0), S(0; 0; h), A  3 ; 0; 0   I     ; 0; 0  , B     ; ;0  ,    6   6 2    a 3 a   a 3 a h  a 3 a h C ; ; 0 , M   ; ;  và N    12 ;  4 ; 2  .  6 2    12 4 2            ah 5a 3   2     a2 3   n ( AMN )   AM , AN    ; 0;    4  , n ( SBC )   SB, SC    ah; 0;      24    6     5a 2 1    2 a 10 ( AMN )  (SBC )  n( AMN ) .n ( SBC )  0  h 2   S AMN   AM , AN     12 2 16 Bài 2: (ĐHDB – B2 – 2003) Cho hình chóp đều S.ABC, cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc bằng  (0    900 ) . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC). Giải: Vì S.ABC là hình chóp đều nên chân đường cao đỉnh S trùng z với tâm O đường tròn (ABC). S Gọi M là trung điểm của BC. Ta có: 2 a 3 a 3 AO  AM  và OM  3 3 6 AM  BC , SM  BC  SMA   C a 3 A SOM vuông có: SO  OM .tan   tan    6 O M y Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc, a a 3   a a 3  x B A  0; 0;0  , B  ; 2 ; 0,C   ;   2 2 ; 0   2     a 3   a 3   a 3 a 3  M  0;  ; 0  , O  0;   ; 0  , S  0;   ; tan     2   3   3 6  3 1 a tan  Thể tích hình chóp: V  .SO.S ABC  3 24   a a 3 a 3         a2 3 a2 3   Ta có: BS    ;   2 ; tan   , BC  (a; 0; 0)   BS ; BC    0;      tan  ;  n  6 6   6 6   Phương trình mặt phẳng (SBC) qua B với vectơ pháp tuyến n :  a  a2 3  a 3  a2 3 a 3 O x    tan   y     ( z  0)  0  (SBC ) : tan  y  z  tan   0.  2 6  2  6 2 Khoảng cách d từ A đến (SBC): a 3 a 3 tan  .O  O  tan  tan  2 a 3 d  2  sin  . tan 2   1 1 2 cos  Bài tập tự giải: Bài 1: (ĐH – B 2012) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = 2a, AB = a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh SC. Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH). Tính thể tích của khối chóp S.ABH theo a.        Đáp số: Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH)  SC.n  0 với n   BH , BA   https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 8
  10. Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com 3 7a 11 VSABH  96 Bài 2: Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA = SB = SC, khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) là h. Tính h theo a để hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc nhau. Hướng dẫn: Gọi H là tâm của tam giác ABC vì M là trung điểm của BC  SA  SB  SC z Ta có:   HA  HB  HC (ABC deu) S Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc A(0; 0; 0), a a 3   a a 3   a 3   a 3  .  2 2 ; 0  , C   2 ; 2 ; 0  , H  0; 2 ; 0  , S  0; 3 ; h  B ;                C A   a 3    a a 3    a a 3   SA   0; ; h  , SB   ; ;  h  , SC    ; ;  h H M y  3  2 6   2 6        z B    ah 3 ah a2 3  a a  [ SA; SB ]     ; ;    (3h 3;  3h; a 3)   .n1 ,   2 2 6  6 6  với n1  (3h 3;  3h; a 3)     ah 3 ah a 2 3  a a  [ SA; SC ]     ; ;    (3h  3; 3h;  a 3)   .n2 ,  2 2 6  6 6  với n2  (3h 3; 3h;  a 3) .    Mặt phẳng (SAB) có cặp vectơ chỉ phương SA; SB nên có pháp vectơ n1 .     Mặt phẳng (SAC) có cặp vectơ chỉ phương SA; SC nên có pháp vectơ n2 .   ( SAB )  ( SAC )  cos( n1 ; n2 )  0  3h 3.3h 3  3h.3h  a 3( a 3)  0  27 h 2  9h 2  3a 2  0 a 6  18h 2  3a 2  h  . 6 a 6 Vậy khoảng cách cần tìm là h  . 6 2. Với hình chóp tứ giác đều S.ABCD Dấu hiệu: Đáy là hình vuông, đường cao vuông góc với đáy từ đó ta thiết lập hệ tọa độ như sau Cách chọn: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Giả sử cạnh hình vuông bằng a và đường cao SO  h và đường chéo a 2 Chọn O  0;0; 0  là tâm của hình vuông và là gốc tọa độ  a 2  a 2  Khi đó : A    ;0;0   Ox; C    2 ;0; 0   Ox   2     a 2   a 2  B  0;   ; 0   Oy; D  0;   ; 0   Oy; S  0;0; h   Oz   2   2  Hoặc: Trục Ox / / AD , Oy / / BC  a a  a a  Khi đó A   ;  ; 0   Oxy; C  ; ;0   Oxy  2 2  2 2  https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 9
  11. Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com  a a  a a  B   ; ; 0   Oxy; D  ;  ;0   Oxy; S  0;0; h   Oz  2 2  2 2  Hoặc: Lấy một đỉnh bất kỳ và dựng đường thẳng song song với SO Giả sử từ A ta dựng Az / / SO . Chọn hệ trục như sau a a  A  O  0; 0; 0  , D  a; 0;0   Ox, B  0; a; 0   Oy, C  a; a; 0   Oxy, S  ; ; h  2 2  Bài tập giải mẫu: Bài 1: (ĐH B – 2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC. Giải: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ a 2   a 2  Chọn hệ trục tọa độ O  0; 0;0  , A   2 ; 0; 0   Ox , C   2 ; 0; 0   Ox         a 2   a 2  z B  0;  ; 0   Oy , D  0;    ; 0   Oy , S  0; 0; h   Oz  2 2 S     a 2 h Gọi H là trung điểm của SA  H   4 ; 0; 2      E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA h a 2 a 2  D  E  2 ; 2 ;h  C   O a 2 a 2 h M là trung điểm của AE  M   2 ; 4 ;2    x A B y  a 2 a 2  N là trung điểm của BC  N    ; ;0   4 4  Chứng minh MN vuông góc với BD    3a 2  h  MN     ;0;          4 2   MN .BD  0  MN  BD       BD  0; a 2; 0  Khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.    3a 2  h  MN    ;0;      4 2       ah 2    MN , AC   0; ;0      2     AC  a 2; 0;0         a h 2    a 2 h    MN , AC  MA   MA   0; ;    4  4 2      a2 h  MN , AC  MA   a 2  d  MN , AC     4   MN , AC  ah 2 4   2 https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 10
  12. Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com Bài tập tự giải: Bài 1: (ĐHDB – D1 – 2006) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, gọi SH là đường cao của hình chóp. Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt bên (SBC) bằng b. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. 2 a3 b Đáp số: V  . 3 a 2  16b 2 Bài 2: (ĐH – B 2004) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng  ( 00 <  < 90 0 ) . Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) theo  . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a và  .  2 3 Đáp số: tan SMO  2 tan  và VS . ABCD  a tan  6 Dạng 3. Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy A. Hình chóp S.ABCD có SA  (ABCD) 1. Đáy là một hình chữ nhật ABCD Dấu hiệu: Các cạnh của hình chữ nhật vuông góc với nhau và cạnh bên SA vuông góc với đáy Cách chọn: ABCD là hình chữ nhật AB  a; AD  b chiều cao bằng SA  h Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A  O  0; 0; 0  Khi đó : B  a; 0;0   Ox; C  a; b; 0   Oxy ; D  0; b;0   Oy; S  0; 0; h   Oz 2. Đáy là một hình thoi ABCD Dấu hiệu: Hai đường chéo vuông góc với nhau và cạnh bên SA vuông góc với đáy Cách chọn: ABCD là hình thoi cạnh a chiều cao bằng SA  h Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho O  0;0; 0  là tâm hình thoi và là gốc tọa độ, từ O dựng Oz / / SA Tùy vào giả thiết để tính được độ dài đoạn OC, OD từ đó tìm được tọa độ các đỉnh A, B, C, D và suy ra tọa độ điểm S với A, C  Ox; B, D  Oy Hoặc: ABCD là hình thoi cạnh a chiều cao bằng h Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A  O  0; 0; 0  , qua A dựng Ay / / BD S  Oz  S  0; 0; h  . Tùy vào giả thiết để tính được độ dài đoạn OA, OB từ đó tìm được tọa độ các đỉnh A, B, C, D 3. Đáy là hình thang vuông tại A, D (tương tự với B, D) Dấu hiệu: Hình thang vuông tại A, D và cạnh bên SA vuông góc với đáy Cách chọn: ABCD là hình thang vuông tại A, D, chiều cao bằng SA  h Chọn hệ tọa độ sao cho A  O  0; 0; 0  ; S  Oz  S  0; 0; h  Tùy vào giả thiết tính độ dài các cạnh AD, AB, CD từ đó tìm được tọa độ các đỉnh A, B, C, D với D  Oy; B  Ox, C  Oxy Hoặc: ABCD là hình thang vuông tại A, D, chiều cao bằng SA  h Chọn hệ tọa độ sao cho D  O  0;0; 0  ; Dz / / SA https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 11
  13. Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com Tùy vào giả thiết tính độ dài các cạnh AD, AB, CD từ đó tìm được tọa độ các đỉnh A, B, C, D với A  Oy; C  Ox, B  Oxy 4. Đáy là hình vuông ABCD (thiết lập tương tự như hình thoi hoặc hình chữ nhật) Bài tập giải mẫu: Bài 1: (ĐH – D 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang   BAD  90 0 , BA = BC = a , ABC  AD = 2a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB . Chứng minh tam giác SCD vuông và tính (theo a) khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD). Giải: Chọn hệ trục tọa độ sao cho   A  O  0;0; 0  , B  0; a; 0   Oy, D  2a; 0;0   Ox, C  a; a;0   Oxy , S 0;0; a 2  Oz x  0      SB  0; a; a 2 . Đường thẳng SB đi qua B và có vtcp SB nên có SB :  y  a  at .   z  a 2t    Gọi H là hình chiếu của A trên SB  H  SB  H 0; a  at ; a 2t  AH  0; a  at ; a 2t     1  2a a 2  Ta có AH .SB  0  a 2  a 2 t  2a 2 t  0  t   H  0; ;  3  3 3    Chứng minh tam giác SCD vuông    Ta có    CS   a;  a; a 2       CS .CD  0  CS  CD  CSD vuông tại C  CD   a; a; 0   Khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD)        Mặt phẳng (SCD) đi qua C và có vtpt n  CS .CD   a 2 2; a 2 2; 2a 2  a 2 2 1;1; 2 có phương     trình 1 x  a   1 y  a   2  z  0   0  x  y  2 z  2 a  0 2a a 2  2  2a 3 3 a d  H ,  SCD     11 2 3 Bài 2: (ĐHDB – B1 – 2002) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Gọi E là trung điểm của cạnh CD. Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BE. Giải: Chọn hệ trục tọa độ sao cho A  O  0; 0; 0  , B  a; 0;0   Ox, D  0; a;0   Oy, C  a; a; 0   Oxy, S  0; 0; a   Oz Gọi E là trung điểm của cạnh CD a    a        a2   E  ; a; 0   BE    ; a; 0  , SB   a; 0;  a    SB, BE    a 2 ;  ; a 2    2   2   2     a4 3a 2  SB, BE  a4   a4   4 3a 2 5  d  S , BE       2  BE a2 a 5 5  a2 4 2 https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 12
  14. Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com Bài 3: (ĐH – A 2004) Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy   ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc toạ độ O. Biết A  2;0; 0  , B  0;1; 0  , S 0;0; 2 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh SC. a. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM. b. Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt SD tại N. Tính thể tích hình chóp S.ABMN. HD: a. O là trung điểm BD  D  0; 1; 0  ; O là trung điểm AC  C  2;0; 0      M là trung điểm SC  M 1; 0; 2  SA  (2;0; 2 2) ; BM  (1; 1; 2) ; 204 3 Gọi  là góc nhọn tạo bởi SA và BM : cos =    = 30 0 4  8 11 2 2 Gọi (  ) là mặt phẳng chứa SA và // BM. Suy ra PT :   : 2 x  z  2 2  0 2 6 Ta có : d  SA, BM   d  B,     3 PT mp (ABM): 2 x  2 2 y  3 z  2 2  0 x  0  PT tham số SD:  y  1  t (t  R)   z  2 2t  1  Tọa độ điểm N = SD  (ABM)  N  0;  ; 2   2       3   BS  (0; 1; 2 2) ; BA  (2; 1; 0) ; BN   0;  ; 2  ; BM  ( 1; 1; 2)  2                         BS , BN   (2 2; 0;0) ;  BS , BN  . BA  4 2 ;  BS , BN  . BM  2 2       1 1 Vậy VSABMN = VSABN + VSMNB = .4 2  .2 2  2 (đvdt) 6 6 Bài 4: (ĐH – B 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a 2 , SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB. Giải: z Chọn hệ trục tọa độ sao cho   A  O  0; 0; 0  , B  a; 0;0   Ox, D 0; a 2;0  Oy, S   C a; a 2;0  Oxy, S  0;0; a   Oz Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC  a 2  a a 2 a  M  0;  ;0  N  ;  2 2 ;2   2    Đường thẳng BM đi qua điểm M và có vtcp N D    A M a 2  a BM    a;  2 ;0    2  2; 1; 0  I y    x  a  2t B  có phương trình BM :  y  t C z  0 x  https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 13
  15. Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com x  t '       Đường thẳng AC đi qua A và có vtcp AC  a; a 2; 0  a 1; 2; 0 có phương trình AC :  y  2t ' z  0   2a  a  2t  t ' t   Tọa độ điểm I  BM  AC là nghiệm của phương trình     3  I  a ; 2 a ;0   3 3    t  2t '  t '  a     3 Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB).   Mặt phẳng (SAC) có vtpt     AC  a; a 2; 0         nSAC   AC , AS   a 2 2; a 2 ; 0      AS   0; 0; a      BS   a; 0; a          a2 2 a2 2  Mặt phẳng (SBM) có vtpt     a 2   nSBM   BS , BM        ; a 2 ;    BM   a; ;0  2 2   2         Vì nSAC .nSBM  0   SAC    SBM  Tính thể tích của khối tứ diện ANIB      AB  B  a;0; 0       a2 a2 2      AB, AN    0;  ;     a a 2 a      2 2  V 1    a 3 2   AN   ; ;  ANBI   AB, AN  . AI   2 2 2        a3 2 6  36    AB, AN  . AI     AI   a ; 2a ; 0     6  3 3     Chú ý: Có thể nhận xét nhanh I là AC và BM nên I là trọng tâm của tam giác ABD a a 2   I ; 3 3 ;0    Bài tập tự giải:  Bài 1: (ĐHDB – B1 – 2006) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD  60o , SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD  , SA  a . Gọi C ' là trung điểm của SC . Mặt phẳng  P  đi qua AC ' và song song với BD, cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B ', D '. Tính thể tích của khối chóp S . AB ' C ' D '. a3 3 Đáp số: VS . AB ' C ' D '  18 Bài 2: (ĐHDB – B2 – 2007) Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thuộc nửa đường tròn đó sao cho AC = R. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho ( SAB, SBC )  60 0 . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Chứng minh rằng tam giác AHK vuông và tính thể tích hình chóp S.ABC. R3 6 Đáp số: VS . ABC  12 Bài 3: (ĐHDB – B1 – 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA  a 3 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích khối tứ diện SACD và tính côsin của góc giữa hai đường thẳng SB, AC. https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 14
  16. Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com 3 a 3 1 Đáp số: VS . ACD  và cos    6 2 2 Bài 4: (ĐHDB – A2 – 2006) Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  a , AD  2a, cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 o. Trên cạnh a 3 SA lấy điểm M sao cho AM  . Mặt phẳng  BCM  cắt cạnh SD tại điểm N . Tính thể tích khối 3 chóp S .BCNM . 10 3a 3 Đáp số: VS .BCNM  27 Bài 5: (ĐHDB – B1 – 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy hình chóp. Cho AB = a, SA = a 2 . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD . Chứng minh SC  ( AHK ) và tính thể tích hình chóp OAHK. a3 2 Đáp số: VOAHK  27 B. Hình chóp S.ABC có SA  (ABC) 1. Đáy là tam giác vuông tại A (bài toán tam diện vuông) Dấu hiệu: Tam giác ABC vuông tại A và cạnh bên SA vuông góc với đáy Cách chọn: Tam giác ABC vuông tại A có AB  a; AC  b đường cao bằng SA  h Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A  O  0; 0; 0  Khi đó : B  a; 0; 0   Ox; C  0; b; 0   Oy ; S  0;0; h   Oz 2. Đáy là tam giác vuông tại B (tương tự vuông tại C) Dấu hiệu: Tam giác ABC vuông tại B và cạnh bên SA vuông góc với đáy Cách chọn: Tam giác ABC vuông tại B có BA  a; BC  b đường cao bằng SA  h Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho B  O  0; 0; 0  , dựng Bz / / SA Khi đó : A  a; 0; 0   Ox; C  0; b; 0   Oy ; S  a;0; h   Oz Hoặc: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A  O  0; 0; 0  , dựng Ay / / BC Khi đó : B  a; 0;0   Ox; C  a; b; 0   Oxy ; S  0; 0; h   Oz Hoặc: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A  O  0; 0; 0  , dựng Ay / / BI , với I là trung điểm của AC AC b2  a2 AI  BI   2 2  b2  a 2 b2  a 2  Khi đó : C   b 2  a 2 ; 0; 0  Ox; B    2 ; 2 ; 0   Oxy ; S  0; 0; h   Oz   Bài tập giải mẫu: Bài 1: (ĐHDB – D2 – 2002) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC). Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SBC) theo a, biết rằng a 6 SA  . 2 Giải: https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 15
  17. Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com Gọi I là trung điểm của BC. Chọn hệ trục như hình vẽ:  a  a   a 3   a 3 a 6 I  O  0;0; 0  , C   ; 0; 0   Ox, B  ; 0; 0   Ox, A  0;  ; 0   Oy, S  0;   ;   Oz  2  2   2   2 2      BC   a;0;0         a2 6 a2 3  a 2 3 Ta có    a a 3 a 6    BC , BS    0;     2 ; 2    2  0; 2; 1  BS    ;  2 2 ;       2     Mặt phẳng (SBC) đi qua B và có vtpt n  0; 2; 1 có phương trình  a 0  x    2  y  0   1 z  0   0  2 y  z  0  2 a 3 2. 2 a 2 Khoảng cách d  A,  SAC     2 2  2  12 Bài 2: (ĐHDB – D1 – 2003) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và AB = a, BC = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC. Chứng minh rằng tam giác AMB cân tại M và tính diện tích tam giác AMB theo a . Giải: Chọn hệ trục tọa độ sao cho B  O  0; 0; 0  , A  a; 0;0   Ox, C  0; 2a; 0   Oy , S  a; 0; 2a   Oxz a  M là trung điểm của SC  M  ; a; a  . 2     a   MA   2 ; a; a     3a Ta có   MA  MB   MAB cân tại M  2  MB    a ; a; a       2    1   a2 2 Mặt khác  MA, MB    0; a 2 ; a 2   S AMB   MA, MB     2  2 z Cách khác: S Tam giác ABC vuông tại B có: 2a AC 2  AB 2  BC 2  a 2  4a 2  5a 2  AC  a 5 Dựng BH  AC ( H  AC ), ta có: M 2 2 AB a a AH    AC a 5 5 H C y 1 1 1 5 2a A 2  2  2  2  BH  a 5 BH AB BC 4a 5 K Dựng hệ trục tọa vuông góc Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc với x a B  2a a  A(0;0; 0), C (0; a 5;0), S (0; 0; 2 a), B  ; ;0  5  5 5   a 5  Tọa độ trung điểm M của SC là M  0; ; a  2    a 5  3a Ta có: MA   0; ; a   MA   2  2   2a 3a  3a MB    ; ; a   MB  . Suy ra: MA = MB  tam giác MAB cân tại M.  5 2 5  2 https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 16
  18. Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com   a 2 2a 2    Ta có: [ MA; MB]   ; ; a 2   [ MA; MB]  a 2 2  5 5  1   1 a2 2 Diện tích tam giác MAB: SMAB  [MA; MB ]  .a 2 2  . 2 2 2 Bài 3: (ĐHDB – B1 – 2004) Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a và vuông góc với đáy ABC, tam giác ABC có AB = BC = 2a, góc ở B bằng 1200 . Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC). Giải: Gọi I là trung điểm của AC.  0  AI  CI  cos30 . AB  a 3 Ta có trong tam giác vuông ABI tại I có  0  BI  sin 30 . AB  a  Chọn hệ trục tọa độ sao cho      I  O  0;0; 0  , C 3a; 0; 0  Ox, A  3a; 0;0  Ox, B  0; a; 0   Oy, S  3a; 0;3a  Oxz       BS   3a; a;3a      Ta có        BS , BC   3a 2 ;3a 2 3; 2a 2 3  a 2 3 3;3; 2       BC  3a; a;0     Mặt phẳng (SBC) đi qua điểm B và có vptp n  3;3; 2 có phương trình là  3  x  0   3  y  a   2  z  0   0  3x  3 y  2 z  3a  0  3a. 3  3a 6a 3a Khoảng cách d  A,  SBC      2 4 2  3  32  2 2 Bài 4: (ĐH – D 2006) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCNM. Giải: Gọi I là trung điểm của BC. Chọn hệ trục như hình vẽ:  a  a   a 3   a 3  I  O  0;0; 0  , C   ; 0; 0   Ox, B  ;0; 0   Ox, A  0;  ;0   Oy, S  0;   ; 2a   Oz   2  2   2   2    a a 3  Đường thẳng SB đi qua điểm B và nhận vecto SB    ;   2 ; 2a  làm vtcp nên có phương trình   2  a a a 3 SB : x   t; y   t ; z  2at 2 2 2 Gọi M là hình chiếu của A trên SB  M     a a 3   Đường thẳng SC đi qua điểm C và nhận vecto SC    ;   2 ; 2 a    2  Gọi M là hình chiếu của A trên SC  N   Thể tích khối chóp A.BCNM VA.BCNM  VABCM  VABCN Bài tập tự giải: Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông có AB = AC = a, SA vuông góc với mặt a 2 phẳng (ABC) và SA  . 2 a. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và SC với I là trung điểm của cạnh BC. https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 17
  19. Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com Hướng dẫn: Do AB, AC, AS đôi một vuông góc nên ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O  A(0; 0;0) , B(a;0;0), a 2 C(0;a;0), S (0; 0; ) 2 z a. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC):  S Mặt phẳng (SAC) có vectơ pháp tuyến là i  (1;0; 0) Mặt phẳng (SBC) có cặp vectơ chỉ phương:  a 2   a 2 SB  (a; 0;  ); SC  (0; a;  ) 2 2     a2 2 a2 2 2  a2 2 A C Ta có  SB, SC       2 ; 2 ; a   2 (1;1; 2)    y  I nên mặt phẳng (SBC) có vectơ pháp tuyến n  (1;1 2) B Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng x (SAC) và (SBC) ta có:  i.n 1 1 cos          600 i.n 11 2 2 b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và SC: a a  Vì I là trung điểm của BC  I  ; ; 0  nên ta có: 2 2    a a     a 2      a 2 2 a 2 2 a 2     a 2 AI   ; ; 0  , SC   0; a;    ,  AI , SC         ; ;  , AS   0;0;    2 2   2   4 4 2   2      a 2   3   AI , SC  . AS    4    a4 a4 a4 a2  AI , SC        8 8 4 2 Vậy khoảng cch giữa hai đường thẳng AI và SC là:       AI , SC  . AS   a3 2 2 a d ( AI , SC )      . 2   AI , SC  4 a 2     Dạng 4: Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy (hoặc mặt bên là tam giác vuông cân, vuông, đều, cân) A. Hình chóp S.ABCD có (SAB)  (ABCD) Dấu hiệu: Đáy là hình vuông và mặt bên vuông góc với đáy nên từ S hạ SH vuông góc với AB Cách chọn: ABCD là hình vuông cạnh a, dựng Az / / SH với H là chân đường cao hạ từ S xuống AB Chọn hệ trục như hình vẽ sao cho A  O  0; 0; 0  , B  Ox  B  a; 0;0  , D  Oy  D  0; a; 0  , C   Oxy   C  a; a;0  , để tọa độ điểm S ta tính đoạn SH và HA Hoặc: ABCD là hình vuông cạnh a, dựng Hy / / BC với H là chân đường cao hạ từ S xuống AB Chọn hệ trục như hình vẽ sao cho H  O  0; 0;0  , tính độ dài đoạn HA, HB, SH từ đó suy ra tạo độ các điểm còn lại với B  Ox , D  Oy , C   Oxy  , S  Oz https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 18
  20. Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com Trường hợp đặc biệt khi các mặt bên là tam giác đều, tam giác cân thì ta dễ dàng tìm tọa độ các điểm Bài tập giải mẫu: Bài 1: (ĐH A – 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP. HD: Vì mặt phẳng (SAD) vuông góc với đáy nên gọi H là tung điểm của AD thì SH  AD a   a   a  Chọn hệ trục tọa độ H  O  0; 0;0  , D  ;0; 0   Ox , A   ;0; 0   Ox , B   ; a;0   Oxy  2   2   2  a   a 3 C  ; a; 0   Oxy , S  0; 0;    Oz 2   2    a a a 3 M là trung điểm của SB  M   ; ;  4 2 4  , N là trung điểm của BC  N  0; a;0     a a  P là trung điểm của CD  P  ; ;0  2 2  Chứng minh AM vuông góc với BP    a a a 3    AM   ; ;  4 2 4           AM .BP  0  AM  BP      a   BP   a;  ;0    2  Tính thể tích của khối tứ diện CMNP    3a a a 3   CM    ;  ;  4    2 4        a2 3     CM , CN    0;  ;0   a      8   CN    ;0; 0     2      a 3   3      CM , CN  .CP  a  CP   0;  ;0    16   2   1    1 a 3 3   3a 3  VCMNP   CM , CN  .CP  .  6  6 16 96 3a 3 Đáp số: VCMNP = . 96 Chú ý: Có thể chọn hệ tọa độ như sau: Qua A dựng Az vuông góc với AD  Az / / SH  a 3 A  O  0; 0; 0  , D  Ox  D  a;0; 0  , B  Oy  B  0; a;0  , C   Oxy   C  a; a;0  , S  a; 0;    2   Bài 2: (ĐH – B 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN. Giải: Dựng Az song song với SH với H là chân đường cao hạ từ S xuống AB https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 19
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2