Sáng kiến kinh nghiệm: Ứng dụng phương pháp hàm số để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Chia sẻ: Thanhbinh225p Thanhbinh225p | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:36

Thêm vào BST

Báo xấu

185
lượt xem 27
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong đề thi Đại học, Cao đẳng và học sinh giỏi của các năm bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hầu như không thể thiếu. Đặc biệt bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là một trong những bài toán hay và khó, đòi hỏi người học phải có tư duy tốt, có tính sáng tạo cao. Vấn đề đặt ra là làm sao để giảng dạy học sinh học tốt chủ đề này? Mời các quý thầy cô cùng các bạn tham khảo tài liệu Sáng kiến kinh nghiệm: Ứng dụng phương pháp hàm số để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm: Ứng dụng phương pháp hàm số để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Trƣờng THPT Bình Sơn SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Người thực hiện: Phan Văn Hóa Lĩnh vực nghiên cứu: - Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học bộ môn: Toán học  - Lĩnh vực khác:  Có đính kèm:  Mô hình  Đĩa CD (DVD)  Phim ảnh  Hiện vật khác Năm học: 2014 - 2015
SƠ LƢỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC –––––––––––––––––– I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN 1. Họ và tên: Phan Văn Hóa 2. Ngày tháng năm sinh: 06/05/1979 3. Nam, nữ: Nam 4. Địa chỉ: Ấp 1 – Bình Sơn - Long Thành - Đồng Nai 5. Điện thoại: Cơ quan : 0613.533.100 ; ĐTDĐ : 0985801064 6. E-mail: phanvanhoabs@gmail.com 7. Chức vụ: Giáo viên 8. Nhiệm vụ được giao giảng dạy môn Toán lớp 12A2, 12A8, 11A9 9. Đơn vị công tác: Trường THPT Bình Sơn II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO - Học vị cao nhất: Cử nhân - Năm nhận bằng: 2004 - Chuyên ngành đào tạo: Toán học III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC - Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm : Toán học - Số năm có kinh nghiệm : 9 - Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 9 năm gần đây : + Ứng dụng định lí Vi-ét vào việc giải toán. + Một số sai lầm khi tính tích phân. + Một số sai lầm khi giải phương trình lôgarit. + Ứng dụng phương pháp hàm số vào giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình. + Giải các bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ.
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong đề thi Đại học, Cao đẳng và học sinh giỏi của các năm bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hầu như không thể thiếu. Đặc biệt bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là một trong những bài toán hay và khó, đòi hỏi người học phải có tư duy tốt, có tính sáng tạo cao. Vấn đề đặt ra là làm sao để giảng dạy học sinh học tốt chủ đề này. Trong quá trình giảng dạy của mình, đặc biệt trong quá trình dạy ôn thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi tôi nhận thấy sử dụng phương pháp hàm số để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất giúp học sinh dễ tiếp thu và chủ động giải quyết các bài toán hơn. Với những ưu điểm đó nên tôi chọn đề tài : ‘‘Ứng dụng phƣơng pháp hàm số để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất’’ để trao đổi với đồng nghiệp. II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1. Định nghĩa: Cho hàm số y  f ( x) xác định trên D  R . Ta có:  f ( x)  M M  max f ( x)   xD x0  D : f ( x0 )  M  f ( x)  m m  min f ( x)   xD x0  D : f ( x0 )  m 2. Định lí: a. Nếu hàm số y  f ( x) đồng biến trên  a; b thì xmin  a ;b f ( x)  f (a) ; max f ( x)  f (b) x a ;b . b. Nếu hàm số y  f ( x) nghịch biến trên  a; b thì xmin  a ;b f ( x)  f (b) ; max f ( x)  f (a) . x a ;b Chú ý: giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có. 1
III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT A. ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM MỘT BIẾN. 1. PHƢƠNG PHÁP 1: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  f ( x) trên một đoạn  a; b ● Tính f '( x)  ● Tìm các điểm x1 , x2 ,..., xn trên khoảng  a; b  mà tại đó f '( x)  0 hoặc f '( x) không xác định. ● Tính f (a), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn ), f (b) . ● Kết luận: max f ( x)  max{f (a), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn ), f (b)} ; xa ;b min f ( x)  min{f (a), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn ), f (b)} xa ;b 2. PHƢƠNG PHÁP 2: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  f ( x) trên một khoảng  a; b  (có thể là  ;   ) ● Tính f '( x)  ● Tìm các điểm x1 , x2 ,..., xn trên khoảng  a; b  mà tại đó f '( x)  0 hoặc f '( x) không xác định. ● Lập bảng biến thiên. ● Dựa vào bảng biến thiên rồi kết luận max f ( x) ; xmin f ( x) ;  a ;bx a ;b    2
Chú ý: Khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f ( x) mà không chỉ rõ trên tập nào thì ta tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f ( x) trên tập xác định của hàm số y  f ( x) . 3. VÍ DỤ ÁP DỤNG: x2 Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x)  trên đoạn 1; 2 4 x Giải:  x2  8x  1  f '( x)  , x    ;6  (4  x ) 2 2  3   x  0  1; 2 f '( x)  0   x 2  8 x  0    x  8  1; 2 1 f 1  ; f  0   0 ; f  2   2 3 Vậy max f ( x)  f  2   2 và min f ( x)  f  0   0 x1;2 x1;2 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x)  3x  1  3 6  x Giải: TXĐ: D    ;6 1  3  , x    ;6  3 3 1 f '( x)   2 3x  1 2 6  x  3  5  1  f '( x)  0  6  x  3x  1  x     ;6  4  3   1 5 f     57 ; f    2 19 ; f  6   19  3 4 5 Vậy max f ( x)  f    2 19 và min f ( x)  f  6   19  1  x  ;6 4    1  x  ;6  3   3  3
3x 2  10 x  20 Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x)  x2  2 x  3 Giải: TXĐ: D  R 4 x 2  22 x  10 f '( x)  ( x 2  2 x  3)2  1  x f '( x)  0  4 x  22 x  10  2 2   x  5 Bảng biến thiên: 1 x -∞ -5 - +∞ 2 f'(x) - 0 + 0 - 3 7 f(x) 5 2 3 và m ax f ( x)  f     7 5 1 Vậy min f ( x)  f  5  xR 2 xR  2 Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x)  x  16  x2 Giải: TXĐ: D   4; 4 x f '( x)  1  , x   4;4  16  x 2 x  0 x  0 x  0  f '( x)  0  16  x 2  x    2   x  2 2   4; 4  16  x  x x  8  x  2 2 2 2   f  4   4 ; f 2 2  4 2 ; f  4   4 4
Vậy max f ( x)  f  2 2   4 2 và min f ( x)  f  4   4 x 4;4 x 4;4 Ví dụ 5: Cho a là số thực dương thỏa a  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a2 (a  3)2 P  . 3 a a Giải: a2 (a  3)2 Xét hàm số f (a)   với 0  a  3 3 a a 54a  81 f '(a)  , a   0;3 (3a  a 2 ) 2 3 f '(a)  0  a    0;3 2 Bảng biến thiên: 3 a 0 3 2 f'(a) - 0 + f(a) 3 Dựa vào bảng biến thiên, ta có: f  a   f  3   3, a   0;3 . Suy ra: 2   3 min P  min f (a)  f    3 a 0;3 2 3 Vậy min P  3 khi a  2 B. ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM NHIỀU BIẾN. 1. PHƢƠNG PHÁP: ● Biến đổi hoặc sử dụng bất đẳng thức để chuyển biểu thức ban đầu sang biểu thức mới. Biểu diễn các biến số ban đầu của biểu thức theo một biến số mới. 5
● Dựa vào điều kiện của các biến số ban đầu để tìm điều kiện cho biến số mới. ● Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số theo biến mới. 2. MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC THƢỜNG DÙNG: a. Bất đẳng thức Cô – si, với a, b, c  0 , ta có: a  b  2 ab ; dấu “=” xảy ra  a  b . a  b  c  3 3 abc ; dấu “=” xảy ra  a  b  c .  a  b 2 b. a  b  2ab  a  b 2 2 2 2   2ab , với a, b  R ; dấu “=” xảy ra  a  b . 2  a  b  , với 2 c. a  b  (a  b) 3 3 3  3ab(a  b)  a, b  R ; dấu “=” xảy ra  a  b . 4 a  b  c 2 d. a  b  c  ab  bc  ca  a  b  c 2 2 2 2 2 2   ab  bc  ca , với a, b, c  R ; dấu “=” 3 xảy ra  a  b  c a 2  b2 Hiển nhiên, ta có: a 2  b2  2ab  ab  , với a, b  R 2 b2  c 2 c2  a2 Tương tự bc  , với b, c  R ; ca  , với a, c  R 2 2 Suy ra: a2  b2  c2  ab  bc  ca Từ đó, ta có: ( a  b  c) 2 (a  b  c)2  a 2  b 2  c 2  2(ab  bc  ca)  3(ab  bc  ca)   ab  bc  ca 3 (a  b  c) 2 (a  b  c)2  a 2  b2  c 2  2(ab  bc  ca)  3(a 2  b 2  c 2 )  a 2  b 2  c 2  3 1 1 4 e.   , (với a  0, b  0 ); dấu “=” xảy ra  a  b a b a b 1 1 2 Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: a  b  2 ab và   a b ab 6
Suy ra  a  b      4    1 1 1 1 4 a b a b ab 1 1 1 9 f.    , (với a  0, b  0, c  0 ); dấu “=” xảy ra  a  b  c . a b c a b c 3. VÍ DỤ ÁP DỤNG: Ví dụ 1: Cho các số thực x, y không âm và thỏa mãn điều kiện x  2 y  2 . Tìm giá trị x 2y nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P   . 2 y 1 x 1 Giải: x 2y x 2  4 y 2  x  2 y ( x  2 y )2  4 xy  x  2 y 6  4 xy P     2 y  1 x  1 2 xy  x  2 y  1 2 xy  x  2 y  1 2 xy  3 ( x  2 y)2 Đặt t  2 xy  1 0  t 1 4 6  2t Xét hàm số f (t )  với 0  t  1 t 3 12 f '(t )    0, t  0;1 (t  3)2 Suy ra hàm số nghịch biến trên  0;1 nên 1  f (1)  f (t )  f (0)  2, t  0;1 Vậy maxP  2 khi x  2; y  0 hoặc x  0; y  1 1 min P  1 khi x  1; y  2 Ví dụ 2: Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y  xy  3 . Tìm giá trị lớn 3x 3y xy nhất của biểu thức P     x2  y 2 . y 1 x 1 x  y 3( x 2  y 2 )  3( x  y) xy 3( x  y) 2  6 xy  3( x  y) xy P   ( x2  y 2 )    ( x  y )2  2 xy x  y  xy  1 x y 4 x y Đặt t  x  y với t  0 , suy ra xy  3  t  0  t  3 . 7
( x  y)2 3  x  y  xy  x  y   t 2  4t  12  0  t  2 4 3t 2  9t  18 3  t 2 Xét hàm số f (t )    t  6  2t với 2  t  3 4 t 6t  9 3 2t 3  t 2  12 (2t 3  t 2  12)  24 f '(t )   2  2t  2   4 t 4t 2 4t 2 (t  2)(2t 2  3t  6)  24   0, t   2;3 4t 2 Suy ra hàm số nghịch biến trên  2;3 nên f (t )  f (2)  , t   2;3 3 2 3 Vậy m axP  khi x  y  1 2 Ví dụ 3: Cho hai số thực x, y thỏa mãn các điều kiện 2  x  3;1  y  3 . Tìm giá trị nhỏ 5x 4y 1 nhất của biểu thức P   2  . x  5 y  11 y  4 x  7 4( x  y  2) 2 Giải: Từ giả thiết, ta có:  ( x  2)( x  3)  x  5 x  6  0  2  x  5x  6 2   ( y  1)( y  3)  y  4 y  3  0  y  4y  3 2 2  4y x y Từ đó suy ra: P  5x   1   1 5x  5 y  5 4 y  4 x  4 4  x  y  2 x  y  1 4  x  y  2 Đặt t  x  y thì 3  t  6 , Xét hàm số f  t   t  1 với 3  t  6 t  1 4 t  2 (t  1)(t  5) f ' t   1  1  .  t  1 4  t  2  2 2 4  t  1  t  2  2 2 t  1 3;6 f ' t   0   t  5  3;6  Bảng biến thiên: 8
t 3 5 6 f'(t) - 0 + 1 103 f(t) 112 11 12 11 Dựa vào bảng biến thiên, ta có f  t   f  5  , t  3;6 12 11 Vậy min P  khi x  3; y  2 hoặc x  2; y  3 12 Ví dụ 4: Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y  1  3xy . Tìm giá trị 3x 3y 1 1 lớn nhất của biểu thức P    2 2. y ( x  1) x( y  1) x y Giải: 3xy 3xy 1 1 ( x  1)  y x  ( y  1) 1 1 P  2  2 2 2  2   y ( x  1) x ( y  1) x 2 y y ( x  1) x ( y  1) x 2 y 2 1 1 1 1 1 1 y( x  1)  x( y  1) 2 xy  x  y 5 xy  1  2  2  2 2   y y( x  1) x x( y  1) x y y( x  1) x( y  1) xy( xy  x  y  1) 4( xy) 2 1 1 Đặt t  xy với t  , (vì x  y  3t  1  0  t  ) 3 3 ( x  y )2 (3xy  1)2 Ta có: xy    9t 2  10t  1  0  t  1 4 4 5t  1 Xét hàm số f (t )  với t  1 4t 2 5t  2 5(t  1)  3 f '(t )   3   0, t  1 4t 4t 3 Suy ra hàm số nghịch biến trên 1;   nên f (t )  f (1)  1, t  1;   9
Vậy maxP  1 khi x  y  1 Ví dụ 5: Cho x, y là các số thực không âm thỏa mãn x2  y 2  3xy  2  3x  2 y . Tìm giá trị giá trị lớn nhất của biểu thức P  x2  y 2  x  y  8 x2  y 2  ( x  1)(3 y  4)  2 . Giải: P  x2  y 2  x  y  8 x 2  y 2  3xy  3 y  4 x  6  x 2  y 2  x  y  8 4  ( x  y ) x2  y 2  ( x  y)2  2 xy  ( x  y)2 , dấu “=” xảy ra khi xy  0  P  ( x  y)2  x  y  8 4  ( x  y) Từ giả thiết, ta có: ( x  y)2  3( x  y)  ( xy  y)  0 (vì x, y không âm nên xy  y  0 ) 1  x  y  2 Đặt t  x  y với 1  t  2 Xét hàm số f (t )  t 2  t  8 4  t với 1  t  2  0, t  1; 2 (vì 2t  1  3,, t  1;2 và 4 4 f '(t )  2t  1   2 2  3, t  1; 2 ) 4t 4t Suy ra hàm số đồng biến trên 1; 2 nên f  t   f  2  6  8 2, t  1;2 Vậy maxP  6  8 2 khi x  2; y  0 1 Ví dụ 6: Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện 2( x 2  y 2 )   5 . Tìm giá xy 3 3 4 trị lớn nhất của biểu thức P    . 1  x 1  y 1  2 xy 2 2 Giải: 3 1  6  5   6  3( x  y ) 2 2 4 2 xy  4 27 xy  3 4 P      1  x  y  x y 1  2 xy 2 2 2 2 1 1  1  2 xy 2( xy )  7 xy  1 1  2 xy 3 1   5    x2 y 2 2 xy  1 1 1 Từ giả thiết, ta có: 5  2( x 2  y 2 )   4 xy   4( xy)2  5 xy  1  0   xy  1 . xy xy 4 10
1 Đặt t  xy với  t 1 4 27t  3 4 1 Xét hàm số f (t )   với  t  1 2t  7t  1 1  2t 3 4 108t 3  18t 2  6 8 6(3t  1)(6t 2  t  1) 8 1  f '(t )      0, t   ;1 . (2t  7t  1) 3 2 (1  2t ) 2 (2t  7t  1) 3 2 (1  2t ) 2 4  Suy ra hàm số nghịch biến trên  ;1 nên f  t   f    1  1 1 112 , t   ;1 4   4 15 4    112 1 Vậy m axP  khi x  y  15 2 Ví dụ 7: Cho các số thực x, y thay đổi và thỏa mãn ( x  y)3  4 xy  2 . Tìm giá trị nhỏ 3 3 nhất của biểu thức P  ( x 4  y 4 )  x 2 y 2  ( x 2  y 2 )  5 . 2 2 Giải:  ( x  y)  4 xy  2 3 Ta có:   ( x  y )3  ( x  y ) 2  2  0  x  y  1 ( x  y)  4 xy  0  2 ( x  y)2 1 ( x 2  y 2 )2 x2  y 2   và x 2 y 2  2 2 4 3 3 P  ( x 4  y 4  x 2 y 2 )  ( x 2  y 2 )  5  [( x 2  y 2 )2  x 2 y 2 ]  ( x 2  y 2 )  5 2 2 3 2 ( x 2  y 2 )2  9   ( x  y 2 2 )    ( x 2  y 2 )  5  ( x 2  y 2 )2  ( x 2  y 2 )  5 2 4  8 1 Đặt t  x2  y 2 với t  2 9 1 Xét hàm số f (t )  t 2  t  5 với t  8 2 9 9 1 1 1 f '(t )  t  1   t     0, t  4 4 2 8 2 11
Suy ra hàm số đồng biến trên  ;   nên f  t   f    1  1 1 153 , t   ;   2   2 32   2   153 1 Vậy min P  khi x  y  32 2 Ví dụ 8: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn 6(a2  b2 )  20ab  5(a  b)(ab  3) . Tìm  a 4 b4   a 3 b3   a 2 b2  giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  9  4  4   16  3  3   25  2  2 b a  b a  b a  Giải: Với a, b dương, ta có: 6(a2  b2 )  20ab  5(a  b)(ab  3) a b 1 1 1 1  a  b   1 1  6     20  5     ab  3  5  a  b   15     10 3   b a a b b a b a a b  10 3     2 b a a b 10 Đặt t   . Suy ra 6t  20  10 3 t  2  9t 2  15t  50  0  t  b a 3  a b 2  2   a b  2   a b  2     a b  P  9      2   2  16        3  25     2   b a      b a   b a    b a      9t 4  16t 3  11t 2  48t  32 10 Xét hàm số f (t )  9t 4 16t 3 11t 2  48t  32 với t  3 10 f '(t )  36t 3  48t 2  22t  48  36t 2 (t  4)  96t (t  4)  362t  48  0, t  3 Suy ra hàm số đồng biến trên  ;   nên f  t   f    10  10 10 14156 , t   ;   3   3 27 3  14156 Vậy min P  khi a  1; b  3 hoặc a  3; b  1 27 3 Ví dụ 9: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x  y  z  . Tìm giá trị nhỏ nhất 2 1 1 1 của biểu thức P  x  y  z    . x y z Giải: 12
Dễ dàng chứng minh với mọi a, b, c dương, ta có:  a  b  c       9 1 1 1 a b c Dấu “=” xảy ra khi a  b  c 1 1 1 1 1 1 9  x  y  z   9    x y z x y z x yz 9 Do đó P  x  y  z  x yz 3 Đặt t  x  y  z  0  t  2 9 3 Xét hàm số f (t )  t  với 0  t  t 2  2 9  27  3  3  27 t    t   t    9 t  9  2 4  4  2  2  4  3 f '(t )  1  2  2    0, t   0;   2 2 2 t t t t Suy ra hàm số nghịch biến trên  0;  nên f  t   f    , t   0;  3 3 15 3  2 2 2  2 15 1 Vậy min P  khi x  y  z  2 2 Ví dụ 10: Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn x2  y 2  z 2  2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  x  y  z  xy  yz  xz . Giải: Đặt t  x  y  z ,( t  0 ) t2  2  t 2  x 2  y 2  z 2  2( xy  yz  xz )  2  2( xy  yz  xz )  xy  yz  xz  2 Ta có: ( x  y  z)2  3( x2  y 2  z 2 )  6  t  6 t2  2 Xét hàm số f (t )  t  với 0  t  6 2  f '(t )  1  t  0, t  0; 6  13
Suy ra hàm số đồng biến trên  0; 6  nên f  t   f  6   6  2, t   0; 6  6 Vậy maxP  6  2 khi x  y  z  3 3 Ví dụ 11: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x  y  z  . Tìm giá trị nhỏ nhất 2 1 1 1 của biểu thức P  x  y  z    . x  2 y y  2z z  2x Giải: Dễ dàng chứng minh với mọi a, b, c dương, ta có:  a  b  c       9 1 1 1 a b c   Dấu “=” xảy ra khi a  b  c  1 1 1  1 1 1 3  x  2 y)  ( y  2 z )  ( z  2 x     9     x  2 y y  2z z  2x  x  2 y y  2z z  2x x  y  z 3 Do đó P  x  y  z  x yz 3 Đặt t  x  y  z  0  t  2 3 3 Xét hàm số f (t )  t  với 0  t  t 2  2 9  3  3  3  3 t    t   t    3 t  3  2 4  4  2  2  4  3 f '(t )  1  2  2    0, t   0;   2 2 2 t t t t Suy ra hàm số nghịch biến trên  0;  nên f  t   f    , t   0;  3 3 7 3  2 2 2  2 7 1 Vậy min P  khi x  y  z  2 2 Ví dụ 12: Cho x, y, z là các số thực dương . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 2 P  . x 2  y 2  z 2  1 ( x  1)( y  1)( z  1) Giải: 14
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, với mọi a, b, c không âm, ta có: ( a  b) 2 a 2  b2  , dấu “=” xảy ra khi a  b 2  abc  3 abc    , dấu “=” xảy ra khi a  b  c  3  ( x  y)2 ( z  1)2 ( x  y  z  1) 2 Ta có: x 2  y 2  z 2  1    và 2 2 4  x y  z 3 3 ( x  1)( y  1)( z  1)     3  2 54 P  x  y  z  1 ( x  y  z  3)2 Đặt t  x  y  z  1  t  1 ,(vì x  y  z  0 ) 2 54 Xét hàm số f (t )   với t  1;   t (t  2)2 2 162 f '(t )   , t  1;   t 2 (t  2)4 t  4  1;   f '(t )  0  (t  2) 4  81t 2  (t  2) 2  9t  t 2  5t  4  0   t  1 1;   Bảng biến thiên: t 1 4 +∞ f'(t) + 0 - 1 4 f(t) 1 Dựa vào bảng biến thiên, ta có f  t   f  4   , t  1;   4 15
1 Vậy m axP  khi x  y  z  1 4 Ví dụ 13: Cho a, b, c là số thực dương thỏa mãn điều kiện a2  b2  c2  1 . Tìm giá trị a b c nhỏ nhất của biểu thức P   2  2 . b  c c  a a  b2 2 2 2 Giải: Từ giả thiết, ta có: b 2  c 2  1  a 2  2 c  a  1  b 2 2 a 2  b 2  1  c 2  a b c Do đó P    1  a 1  b 1  c2 2 2 Vì a, b, c là các số thực dương và a2  b2  c2  1 nên a, b, c  (0;1) . Xét hàm số f (t )  t (1  t 2 ) với 0  t  1 f '(t )  3t 2  1  1 t  3   0;1 f '(t )  0    1  t     0;1  3 Bảng biến thiên: 1 t 0 1 3 f'(t) + 0 - 2 3 f(t) 9 16
Dựa vào bảng biến thiên, với 0  t  1 , ta có: 2 3 2 3 1 3 3 1 3 3 f (t )   t (1  t 2 )      t 9 9 t (1  t ) 2 2 1 t 2 2 Do đó P  2  3 3 2 a  b2  c 2   3 3 2 3 3 1 Vậy min P  khi a  b  c  2 3 Ví dụ 14: Cho a, b, c là số thực không âm thỏa mãn điều kiện a  b  c  3 . Tìm giá trị a2 b2 c2 nhỏ nhất của biểu thức P    . b2  1 c 2  1 a 2  1 Giải: a  b  c 2 Ta có: a  b  c 2 2 2  3 3 a  b2  c 2  2 2 a b b c c a 2 2 2 2 2 2  3 x2 y 2 z 2  x  y  z  2    (với m  0, n  0, p  0 ) m n p mn p  a 2  b2  c 2  2 a4 b4 c4 Do đó P  2 2    2 2 a  b  1 b2  c 2  1 c 2  a 2  1 a b  b c  c a  a  b  c 2 2 2 2 2 2 2 a  b2  c 2  3  a 2  b2  c2  2 2   a 2  b2  c2 a 2  b2  c 2  3  a 2  b2  c2 3 3t Xét hàm số f (t )  với t  3 t 3 9 f '(t )   0, t  3:   (t  3)2 3 Suy ra hàm số đồng biến trên 3:   nên f (t )  f (3)  , t  3:   2 17
3 Vậy min P  khi a  b  c  1 2 1 Ví dụ 15: Cho a, b, c là số thực dương thỏa a, b, c  và a  3b  5c  2 . Tìm giá trị nhỏ 3 1 3 25 nhất của biểu thức P    . a  9b  15c  5 b  5c  a  1 c  3a  9b  1 Giải: Từ giả thiết, ta có: 9b  15c  6  3a  5c  a  2  3b 3a  9b  6  15c  1 3 5 Do đó P    a 1  3a  b 1  3b  c 1  3c  1 Xét hàm số f (t )  t 2 (1  3t ) với 0  t  3 f '(t )  9t 2  2t  2  1 t  9   0; 3    f '(t )  0     1 t  0   0;    3 Bảng biến thiên: 2 1 t 0 9 3 f'(t) + 0 - 4 f(t) 243 18