Bài giảng Xử lý tín hiệu số: Chương 2 - TS. Vũ Văn Sơn

Chia sẻ: Năm Tháng Tĩnh Lặng | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:45

Thêm vào BST

Báo xấu

154
lượt xem 17
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chương 2 của bài giảng Xử lý tín hiệu số tập trung trình bày về biến đổi Z và ứng dụng vào hệ thống LTI rời rạc. Chương này gồm có 5 bài học với các nội dung như: Biến đổi Z, các tính chất biến đổi Z, biến đổi Z ngược, hàm truyền đạt của hệ LTI rời rạc, giải PTSP dùng biến đổi Z 1 phía.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Xử lý tín hiệu số: Chương 2 - TS. Vũ Văn Sơn

Chương 2: BIẾN ĐỔI Z VÀ ỨNG DỤNG VÀO HỆ THỐNG LTI RỜI RẠC Bài 1 BIẾN ĐỔI Z Bài 2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z Bài 3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC Bài 4 HÀM TRUYỀN ĐẠT CỦA HỆ LTI RỜI RẠC Bài 5 GIẢI PTSP DÙNG BIẾN ĐỔI Z 1 PHÍA
BÀI 1 BIẾN ĐỔI Z 1. ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI Z: n Biến đổi Z của dãy x(n): X (z) x ( n) z (*) n Trong đó Z – biến số phức Biểu thức (*) còn gọi là biến đổi Z hai phía n Biến đổi Z 1 phía dãy x(n): X (z) x( n) z (**) n 0 Nếu x(n) nhân quả thì : (*) (**) Ký hiệu: Z x(n) X(z) hay X(z) = Z{x(n)} Z 1 x(n) hay x(n) = Z1{X(z)} X(z)
2. MIỀN HỘI TỤ CỦA BIẾN ĐỔI Z (ROC) Miền hội tụ của biến đổi Z ROC (Region Of Convergence) là tập hợp tất cả các giá trị Z nằm trong mặt phẳng phức sao cho X(z) hội tụ. Im(Z) Rx+ O C Rx Để tìm ROC của X(z) ta áp dụng R Re(z) tiêu chuẩn Cauchy 0 0 Tiêu chuẩn Cauchy: Một chuỗi có dạng: x ( n) x ( 0) x (1) x ( 2)  n 0 1 hội tụ nếu: lim x ( n) n 1 n
Ví dụ 1: Tìm biến đổi Z & ROC của: x ( n) a n u( n) Giải: n n X (z) x ( n) z a n u( n) z n a n .z n az 1 n n n 0 n 0 Theo tiêu chuẩn Cauchy, Im(z) ROC X(z) sẽ hội tụ: 1 /a/ Re(z) X (z) 1 1 az 0 n 1n 1 Nếu: lim az 1 z a n 1 Vậy X ( z ) 1 ; ROC : Z a : 1 az
Ví dụ 2: Tìm biến đổi Z & ROC của: x ( n) a n u( n 1) Giải: 1 n n n X (z) x ( n) z a u( n 1) z a n .z n n n n m m a 1z a 1z 1 Im(z) m 1 m 0 Theo tiêu chuẩn Cauchy, /a/ Re(z) X(z) sẽ hội tụ: 0 ROC n 1 X (z) a 1z 1 1 m 0 1 az 1n 1 n Nếu: lim a z 1 z a n
BÀI 2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z 1) Tuyến tính Z x1 (n) X 1 ( z ) : ROC R1 Nếu: Z x2 (n) X 2 ( z ) : ROC R 2 Z Thì: a1 x1 (n) a2 x2 (n) a1 X 1 ( z ) a2 X 2 ( z ) ROC chứa R1 R2 Ví dụ 1: Tìm biến đổi Z & ROC của: x ( n) a nu (n) b nu ( n 1) với a b Giải:
Im(z) Theo ví dụ 1 và 2, ta có: ROC /a/ Re(z) n Z 1 R1 : z a a u ( n) 1 0 1 az Im(z) 1 b nu ( n 1) Z R2 : z b /b/ 1 b 1z Re(z) 0 Áp dụng tính chất tuyến tính, ta được: ROC Im(z) Z 1 1 a nu (n) b nu ( n 1) 1 1 ROC /b/ 1 az 1 bz Re(z) 0 R R1 R2 : a z b /a/
2) Dịch theo thời gian Z Nếu: x ( n) X ( z ) : ROC R Z n0 Thì: x(n n0 ) Z X ( z ) : ROC R' R trừ giá trị z=0, khi n0>0 Với: R' R trừ giá trị z=∞, khi n
3) Nhân với hàm mũ an Z Nếu: x ( n) X ( z ) : ROC R n Z Thì: a x(n) X (a 1 z ) : ROC a R Ví dụ 4: Xét biến đổi Z & ROC của: x1 (n) a nu (n) và x2 (n) u (n) Giải: Z 1 1 x ( n) u( n) X (z) u( n)z 1 ;R : z 1 n 1 z n n Z 1 1 a x ( n) a u ( n) X (a z ) 1 ; R' : z a 1 az
4) Đạo hàm X(z) theo z Z Nếu: x( n) X ( z ) : ROC R Z dX(z) Thì: n x ( n) z : ROC R dz Ví dụ 5: Tìm biến đổi Z & ROC của: g ( n) na nu (n) Giải: Theo ví dụ 1: n Z 1 x ( n) a u ( n) X ( z) 1 ; ROC : z a 1 az Z dX ( z ) az 1 g( n) nx ( n) G( z ) z 1 2 :z a dz (1 az )
5) Đảo biến số Z Nếu: x( n) X ( z ) : ROC R Z Thì: x( n) X (z 1 ) : ROC 1 R n Ví dụ 6: Tìm biến đổi Z & ROC của: y ( n) 1 a u ( n) Giải: Theo ví dụ 1: n Z 1 x ( n) a u ( n) X ( z) 1 ; ROC : z a 1 az n y ( n) 1 a u ( n) a nu ( n) x ( n) Áp dụng tính chất đảo biến số: 1 1 1 Y(z) X(z ) 1 ; ROC : z 1/ a 1 az 1 1 az
6) Liên hiệp phức Z Nếu: x ( n) X ( z ) : ROC R Z Thì: x * ( n) X * (z*) : ROC R 7) Tích 2 dãy Z x1 (n) X 1 ( z ) : ROC R 1 Nếu: Z x2 (n) X 2 ( z ) : ROC R 2 Z 1 z 1 Thì: x1 (n) x2 (n) X1( )X 2 d : ROC R 1  R 2 2 c 8) Định lý giá trị đầu Nếu x(n) nhân quả thì: x ( 0) Lim X(z) Z
Ví dụ 7: Tìm x(0), biết X(z)=e1/z và x(n) nhân quả Giải: Theo định lý giá trị đầu: x ( 0) lim X(z) lim e1/z 1 Z Z 9) Tích chập 2 dãy Z x1 (n) X 1 ( z ) : ROC R 1 Nếu: Z x2 (n) X 2 ( z ) : ROC R 2 Z Thì: x1 (n) * x2 (n) X 1 ( z ) X 2 ( z ) ;ROC có chứa R1 R2
Ví dụ 8: Tìm y(n) = x(n)*h(n), biết: x ( n) (0.5) n u (n) h(n) 2 n u ( n 1) Giải : Z 1 x ( n) (0.5)n u( n) X (z) 1 ; ROC : z 0.5 1 0.5 z n Z 1 h( n) 2 u( n 1) H (z) 1 ; ROC : z 2 1 2z 1 1 Y (z) X (z)H (z) 1 . 1 ; ROC : 0,5 z 2 (1 0.5 z ) (1 2 z ) 1 1 4 1 Z1 . . ; ROC : 0,5 z 2 3 (1 0.5 z 1 ) 1 3 (1 2 z ) 1 n 4 n y ( n) x ( n) * h( n) (0.5) u (n) 2 u ( n 1) 3 3
TỔNG KẾT CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z x(n) X(z) R a1x1(n)+a2x2(n) a1X1(z)+a2X2(z) Chứa R1 R2 x(nn0) Zn0 X(z) R’ an x(n) X(a1z) R nx(n) z dX(z)/dz R x(n) X(z 1) 1/R x*(n) X*(z*) R x1(n)x2(n) 1 z 1 R1 R2 X 1 (v ) X 2 v dv 2 j C v x(n) nhân quả x(0)=lim X(z >∞) x1(n)*x2(n) X1(z)X2(z) Chứa R1 R2
BIẾN ĐỔI Z MỘT SỐ DÃY THÔNG DỤNG x(n) X(z) ROC (n) 1 z u(n) 1 /z/ >1 1 u(n1) 1 z /z/ /a/ 1 an u(n1) 1 az /z/ /a/ az 1 nan u(n1) (1 az 1 ) 2 /z/ 1 sin( on)u(n) (z1sin o)/(12z1cos o+z2) /z/ >1
BÀI 3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC 1. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC 1 x( n ) X ( z )z n 1dz (*) 2 jC Với C đường cong khép kín bao quanh gốc tọa độ trong mặt phẳng phức, nằm trong miền hội tụ của X(z), theo chiều (+) ngược chiều kim đồng hồ  Trên thực tế, biểu thức (*) ít được sử dụng do tính chất phức tạp của phép lấy tích phân vòng Các phương pháp biến đổi Z ngược:  Thặng dư  Khai triển thành chuỗi luỹ thừa  Phân tích thành tổng các phân thức tối giản
2. PHƯƠNG PHÁP THẶNG DƯ a) Khái niệm thặng dư của 1 hàm tại điểm cực: Khái niệm điểm cực, điểm không. Thặng dư tại điểm cực Zci bội r của F(z) được định nghĩa: 1 d ( r 1) r Res F ( z ) Z Z ci ( r 1) F ( z )( z z ci ) Z Z ci (r 1)! dz Thặng dư tại điểm cực đơn Zci của F(z) được định nghĩa: Res F ( z ) Z Z ci F ( z )( z zci ) Z Z ci b) Phương pháp: Theo lý thuyết thặng dư, biểu thức biến đổi Z ngược theo tích phân vòng (*) được xác định bằng tổng các thặng dư tại tất cả các điểm cực của hàm X(z)zn1 :
1 x ( n) X ( z ) z n 1dz (*) 2 jC Trong đó: Zci – các điểm cực của X(z)zn1 nằm trong đường cong C Res[X(z)zn1]z=zci thặng dư của X(z)zn1 tại điểm cực zci  Tổng cộng các thặng dư tại tất cả các điểm cực, ta được x(n) z Ví dụ 1: Tìm biến đổi Z ngược của: X ( z) ( z 2) Giải: Thay X(z) vào (*), ta được 1 1 z x ( n) X ( z ) z n 1dz z n 1dz 2 jC 2 j C ( z 2)
 Chọn C là đường cong khép kín nằm bên ngoài vòng tròn có bán kính là 2 n 1 zn n 0: X ( z ) z có 1 điểm cực đơn Zc1=2 ( z 2) Im(z) Thặng dư tại Zc1=2: ROC 2 Re(z) n n z z 0 Res ( z 2) 2n ( z 2) Z 2 ( z 2) Z 2 C n 1 1 1 Zc1=2 đơn, n