Bài tập hình học lớp 8

Chia sẻ: Huỳnh Đức Huy | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:17

Thêm vào BST

Báo xấu

3.141
lượt xem 399
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo bài viết 'bài tập hình học lớp 8', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập hình học lớp 8

Chöông III: TAM GIAÙC ÑOÀNG DAÏNG  Toùm taét lyù thuyeát 1. Ñoaïn thaúng tæ leä: Caëp ñoaïn thaúng AB vaø CD tæ leä vôùi caëp ñoaïn thaúng A’B’ vaø C’D’ AB A' B' ⇔ = CD C' D' 2. Moät soá tính chaát cuûa tæ leä thöùc: AB A' B' = ⇒ AB.C' D' = A' B'.CD • CD C' D'  AB A' B' AB CD  CD = C' D' ; A' B' = C' D'  • AB.C' D' = A' B'.CD ⇒   C' D' = A' B' ; C' D' = CD  CD  AB A' B' AB  AB ± CD A' B' ±C' D'  CD =  AB A' B' C' D' = ⇒ • CD C' D' AB A' B'  =  AB ± C' D' A' B' ±C' D'  AB A' B' AB ± A' B' = = • CD C' D' CD ± C' D' 3. Ñònh lyù Ta-leùt thuaän vaø ñaûo: A  AB' AC'  AB = AC  ∆ABC AB' AC' C' a B' ⇔ = •  BB' CC' a // BC   BB' = CC' B C   AB AC 4. Heä quaû cuûa ñònh lyù Ta-leùt ∆ABC AB' AC' B' C' ⇒ = = •  AB AC BC a // BC 5. Tính chaát ñöôøng phaân giaùc trong tam giaùc: • AD laø tia phaân giaùc cuûa BAÂC, AE laø tia phaân giaùc cuûa BAÂx AB DB EB ⇒ = = AC DC EC 6. Tam giaùc ñoàng daïng: a. Ñònh nghóa:  AÂ AÂ BÂ BÂ CÂ CÂ = '; = '; = '  ∆ A’B’C’ ~ ∆ ABC ⇔  A' B' B' C' C' A' (k laø tæ soá ñoàng daïng)  AB = BC = CA = k  b. Tính chaát: Goïi h, h’, p, p’, S, S’ laàn löôït laø chieàu cao, chu vi vaø dieän tích cuûa 2 tam giaùc ABC vaø A’B’C’ p' h' S' =k; =k; = k2 p h S 17
7. Caùc tröôøng hôïp ñoàng daïng: a. Xeùt ∆ ABC vaø ∆ A’B’C’ coù: A' B' B' C' C' A' • = = ⇒ ∆ A’B’C’ ~ ∆ ABC (c.c.c) AB BC CA b. Xeùt ∆ ABC vaø ∆ A’B’C’ coù:  A' B' B' C' • = (...)   ⇒ ∆ A’B’C’ ~ ∆ ABC (c.g.c) AB BC  • BÂ BÂ (...) '=  c. Xeùt ∆ ABC vaø ∆ A’B’C’ coù: • AÂ AÂ (...)  =' ⇒ ∆ A’B’C’ ~ ∆ ABC (g.g)  • BÂ BÂ (...)  '= 8. Caùc tröôøng hôïp ñoàng daïng cuûa hai ∆ vuoâng: Cho ∆ ABC vaø ∆ A’B’C’(AÂ = AÂ’ = 900)  A' B' A' C' = a) (...)  AB AC  = ' hoaëcCÂCÂ (...)  ⇒ ∆ A’B’C’ ~ ∆ ABC (c.g.c) =' b ) BÂ BÂ  A' B' B' C'  = c) (...)  AB BC  BAØI TAÄP Baøi 1. Vieáttæsoácaùccaëpñoaïnthaúngcoù ñoädaøi nhösau: a. AB =9cmvaø CD =27cm b. EF =36cmvaø 12dm c. MN = 4,8m vaø RS = 96cm AB 3 = vaø CD = 12cm. Tính ñoä daøi cuûa ñoaïn thaúng AB. Baøi 2. Cho bieát CD 4 Baøi 3. Cho ∆ ABC, caùc trung tuyeán AD, BE, CF caét nhau taïi G. AE AG a. Tính b. Tính AC GD c. Keå teân 2 caëp ñoaïn thaúng tyû leä vôùi AG vaø GD. Baøi 4. Cho bieát ñoä daøi cuûa ñoaïn thaúng AB gaáp 12 laàn ñoä daøi cuûa ñoaïn thaúng CD, ñoaïn thaúng A’B’ gaáp 5 laàn ñoä daøi cuûa ñoaïn thaúng CD. Tính tæ soá cuûa hai ñoaïn thaúng AB vaø A’B’. Baøi 5. Cho ñoaïn thaúng AB, M laø moät ñieåm trong ñoaïn AB. Tính caùc tæ soá AM BM vaø neáu: AB AB MA 1 MA 7 MA m = = = (vôùi m, n ∈ a. b. c. MB 2 MB 4 MB n N*) Baøi 6. Ñoaïn thaúng AB gaáp naêm laàn ñoaïn thaúng CD, ñoaïn thaúng A’B’ gaáp baûy laàn ñoaïn thaúng CD. a. Tính tæ soá cuûa hai ñoaïn thaúng AB vaø A’B’. b. Cho bieát ñoaïn thaúng MN = 505cm vaø ñoaïn thaúng M’N’ = 707cm, hoûi hai ñoaïn thaúng AB, A’B’ coù tæ leä vôùi hai ñoaïn thaúng MN vaø M’N’ hay khoâng ? Baøi 7. Cho 5 ñieåm A, B, C, D, E, theo thöù töï treân moät ñöôøng thaúng. Bieát AB CD = AB = 6cm, BC = 9cm, CD = 4cm vaø . Tính AE. BC DE 18
AB' AC' AB' AC' = = Baøi 8. Cho ∆ ABC, B’ ∈ AB vaø C’ ∈ AC. Cho bieát: . C/minh: ; AB A C B'B C'C BB' CC' = AB A C Baøi 9. Cho ∆ ABC coù AC = 8,5cm. Laáy M, N laàn löôïc thuoäc AB vaø AC sao cho AM = 4cm vaø AN = 5cm. Bieát MN // BC. Tính ñoä daøi ñoaïn thaúng BM. Baøi 10. Cho ∆ DEF coù DF = 24cm. Laáy P, Q laàn löôïc thuoäc DE vaø DF sao cho EP = 10,5cm vaø DQ = 9cm. Bieát PQ // EF. Tính ñoä daøi ñoaïn thaúng DP. Baøi 11. Cho ∆ ABC, ñöôøng thaúng song song vôùi caïnh BC caét AB, AC laàn löôït taïi M vaø N. Bieát AM = 17cm, BM = 10cm, CN = 9cm. Tính ñoä daøi ñoaïn thaúng AN. Baøi 12. Cho ∆ PQR, ñöôøng thaúng song song vôùi caïnh QR caét PQ, PR laàn löôït taïi E vaø F. Bieát PF = 20cm, FR = 15cm, EP = 16cm. Tính ñoä daøi ñoaïn thaúng PQ. Baøi 13. Treân moät ñöôøng thaúng, ñaët 4 ñoaïn thaúng lieân tieáp: AB = BC = AB AC AD AE 2CD = 4DE. Tính caùc tæ soá: ; ; ; . BE A E A E BD Baøi 14. Cho ñoaïn thaúng AB thuoäc ñöôøng thaúng d. Treân d laáy ñieåm C thuoäc CA DA 3 = =. ñoaïn thaúng AB vaø ñieåm D naèm ngoaøi AB sao cho CB DB 5 AB AB a. Tính ; b) Cho AB = 24cm, Tính CA, DA. A C CB Baøi 15. Cho 4 ñieåm A, B, C, D theo thöù töï treân moät ñöôøng thaúng vaø AB CB 2 = =. AD CD 3 3AB + 2AD b. Chöùng minh: AC = a. Neáu BD = 1cm. Tính CB, DA. 5 c. Goïi O laø trung ñieåm cuûa BD. Chöùng minh: OB2 = OA . OC. Baøi 16. Cho ∆ ABC, coù AB = 5cm, BC = 6,5cm. Treân AB laáy ñieåm D sao cho DB = 3cm, töø D veõ ñöôøng thaúng song song vôùi BC caét AC taïi E. Tính DE. Baøi 17. Cho ∆ OPQ, coù PQ = 5,2cm. Treân tia ñoái cuûa tia OP laáy ñieåm N so cho ON = 2cm. Töø N veõ ñöôøng thaúng song song vôùi PQ caét ñöôøng thaúng OQ taïi M. Tính ñoä daøi ñoaïn thaúng OP khi MN = 3cm. Baøi 18. Cho ∆ ABC, coù AB = 11cm, AC = 20cm vaø BC = 28cm. Treân caùc caïnh 1 AB, BC, CA laàn löôït laáy caùc ñieåm P, N, M sao cho AP = 3cm, BN = BC 4 , 3AM = MC. C/m: BNMP laø h.b.haønh. Baøi 19. Cho ∆ OAB vuoâng taïi A, coù OA = 6cm. Treân tia ñoái cuûa tia OA laáy 1 ñieåm A’ sao cho OA ' = OA . Töø A’ veõ ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi 2 AA’ taïi A’, ñöôøng thaúng naøy caét OB keùo daøi taïi B’. Tính OB vaø AB, bieát A’B’ = 4,2cm. Baøi 20. Cho goùc xOÂy. Treân tia Ox laáy theo thöù töï 2 ñieåm A, B sao cho: OA = 2cm, AB = 3cm. Treân tia Oy laáy ñieåm C vôùi OC = 3cm. Töø B keû ñöôøng thaúng song song vôùi AC caét Oy taïi D. a. Tính ñoä daøi ñoaïn thaúng CD. b. Neáu OA = m, AB = n, OC = p. Tính CD theo m, n, p. 19
Baøi 21. Goïi G laø troïng taâm cuûa ∆ ABC. Töø G keû caùc ñöôøng thaúng song song vôùi 2 caïnh AB vaø AC, caét BC laàn löôït taïi D vaø E. BD EC a. So saùnh caùc tæ soá vaø . b. So saùnh 3 ñoaïn thaúng BD, BC BC DE, EC. Baøi 22. Cho ∆ ABC coù ñöôøng cao AH. Ñöôøng thaúng d song song vôùi BC, caét caùc caïnh AB, AC vaø ñöôøng cao AH theo thöù töï taïi caùc ñieåm B’, C’ vaø H’. AH' BC' = a. Chöùng minh: AH BC 1 b. Cho AH’ = AH vaø dieän tích ∆ ABC laø 67,5cm2. Tính dieän tích ∆ AB’C’. 3 DB 1 =. Baøi 23. Cho ∆ ABC coù AB = 7,5cm. Treân AB laáy ñieåm D vôùi: DA 2 a. Tính ñoä daøi ñoaïn thaúng DA, DB. b. Goïi DH, BK laàn löôït laø khoaûng caùch töø D, B ñeán caïnh AC. Tính DH . BK c. Cho bieát AK = 4,5cm. Tính HK. Baøi 24. Cho ∆ ABC coù BC = a. Treân ñöôøng cao AH laáy caùc ñieåm I, K sao cho AK = KI = IH. Qua I vaø K veõ caùc ñöôøng EF // BC, MN // BC. a. Tính ñoä daøi caùc ñoaïn thaúng MN vaø EF theo a. b. Tính SMNFE, bieát a = 15cm vaø S∆ ABC = 270cm2. Baøi 25. Cho hình bình haønh ABCD. Goïi E, F, G laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB, BC, CD. Duøng ñònh lyù Taleùt ñeå chöùng minh: a. 2 ñoaïn thaúng DE vaø BG chia AC thaønh 3 ñoaïn baèng nhau. b. AG vaø AF chia BD thaønh 2 ñoaïn baèng nhau. Baøi 26. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Moät ñöôøng thaúng song song vôùi 2 DM CN m = = ñaùy, caét caïnh beân AD ôû M vaø caét caïnh BC ôû N. Bieát MA NB n mAB + nCD . Chöùng minh: MN = m+ n Baøi 27. Cho hình thangcaânABCD (AB // CD) coù hai ñöôøngcheùoAC vaøBD caét nhau taïi O. Goïi M, N theo thöù töï laø trung ñieåm cuûa BD vaø AC. Cho bieát MD = 3MO, ñaùylöùn CD =5,6cm. a. Tính ñoädaøi ñoaïnthaúngMN vaø ñaùynhoûAB. b. So saùnhñoädaøi ñoaïnthaúngMN vôùi nöûahieäucaùcñoädaøi cuûaCD vaøAB. Baøi 28. Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD). Goïi trung ñieåmcuûa caùc ñöôøng cheùo AC, BD theothöùtöï laø N vaøM. Chöùngminh: CD − AB b. MN = a. MN // AB 2 Baøi 29. Cho ∆ ABC. Töø D treâncaïnhAB, keûñöôøngthaúngsongsongvôùi BC caétAC taïi E. BD AB = a. Chöùngminh: . CE A C b. Treântia ñoái cuûatia CA, laáy ñieåmF sao cho CF =DB. Goïi M laø giao ñieåmcuûa DM AC = DF vaøBC. Chöùngminh: . MF A B Baøi 30. Cho hình bình haønh ABCD. Moät ñöôøng thaúngqua A laàn löôït caét BD ôû I, BC ôû J vaø CD ôû K. 20
IB IA b. Chöùng minh:2 IA IJ . IK a. So saùnh vaø = c. Chöùng minh: ID IK DC BJ = DK BC Baøi 31. Cho hình thang ABCD (AB // CD) coù caùc ñöôøng cheùo caét nhau taïi O. a. Chöùng minh: OA . OD = OB . OC b. Keû moät ñöôøng thaúng baát kyø qua O caét AB ôû M, CD ôû N. Bieát MA m ND = . Tính . AÙp duïng ñeå chöùng minh ñònh lyù: “ Trong moät MB n NC hình thang, ñöôøng thaúng ñi qua giao ñieåm cuûa 2 ñöôøng cheùo vaø trung ñieåm cuûa moät ñaùy thì ñi qua trung ñieåm cuûa ñaùy kia” c. Qua O, keû ñöôøng thaúng song song vôùi AB, caét AD vaø BC laàn löôït taïi P vaø Q. Chöùng minh: O laø trung ñieåm cuûa ñöôøng thaúng PQ. Baøi 32. Cho töù giaùc ABCD. Qua E ∈ AD keû ñöôøng thaúng song song vôùi DC caét AC ôû G. Qua G keû ñöôøng thaúng song song vôùi CB caét AB ôû H. Chöùng minh: a. HE // BD b. AE . BH = AH . DE Baøi 33. Cho ∆ ABC. Ñieåm D thuoäc caïnh BC. Qua D keû caùc ñöôøng thaúng song song vôùi AC, AB caét AB, AC laàn löôït taïi E vaø F. AE AF + =1 a. Chöùng minh: b. Xaùc ñònh ñieåm D treân BC ñeå AB AC EF // BC. DB 1 = , chöùng minh: EF song song vôùi trung tuyeán BM. c. Neáu DC 2 Baøi 34. Cho töù giaùc ABCD. Treân caùc caïnh AB, BC, CD, DA laáy theo thöù töï 1 1 caùc ñieåm E, F, G, H sao cho: AE = 2EB, BF = FC, CG = 2CD, DH = HA. 2 2 Chöùng minh: EFGH laø hình bình haønh. Baøi 35. Cho hình thang ABCD (AB // CD). M laø trung ñieåm cuûa CD. Goïi I laø giao ñieåm cuûa AM vaø BD, K laø giao ñieåm cuûa BM vaø AC. a. Chöùng minh: IK // AB. b. Ñöôøng thaúng IK caét AD, BC theo thöù töï taïi E vaø F. Chöùng minh: EI = IK = KF. Baøi 1. Cho hình bình haønh ABCD. Qua A veõ tia Ax caét BD ôû I, BC ôû J vaø caét tia DC ôû K. Chöùng minh: IA2 = IJ . IK vaø KD . BJ khoâng ñoåi. Baøi 36. Cho hình thang ABCD, ñaùy nhoû CD. Töø D veõ ñöôøng thaúng song song vôùi BC caét AC ôû M, AB ôû N. Töø C keû ñöôøng thaúng song song vôùi AD caét AB ôû F. Qua N keû ñöôøng thaúng song song vôùi AC caét BC ôû P. Chöùng minh: MP // AB vaø 3 ñöôøng thaúng MP, CF vaø DB ñoàng qui. Baøi 37. Cho ∆ ABC (AC > AB). Laáy caùc ñieåm D, E tuøy yù thöù töï naèm treân caùc caïnh AB, AC sao cho BD = CE. Goïi K laø giao ñieåm cuûa caùc KD ñöôøng thaúng DE vaø BC. Chöùng minh: tæ soá khoâng phuï thuoäc KE vaøo caùch choïn caùc ñieåm D vaø E. Baøi 38. Cho ∆ ABC, trung tuyeán AM. Goïi I laø ñieåm baát kyø treân caïnh BC. Ñöôøng thaúng qua I vaø song song vôùi AC caét AB ôû K, ñöôøng thaúng qua I vaø song song vôùi AB caét AM, AC laàn löôït ôû D vaø E. Chöùng minh: DE = BK. 21
Baøi 39. Cho ∆ ABC caân taïi A coù BC = 8cm, tia phaân giaùc cuûa goùc B caét AK 3 = . Tính ñoä daøi AB. ñöôøng cao AH ôû K. Bieát AH 5 DA Baøi 40. Cho ∆ ABC vuoâng taïi A, CÂ = 300, keû phaân giaùc BD. Tính . DC Baøi 41. Cho ∆ ABC caân taïi A, phaân giaùc BD. Bieát BC = 10cm, AB = 15cm. a. Tính AD, DC. b. Phaân giaùc ngoaøi cuûa BÂ caét AC ôû E. Tính EC. Baøi 42. Cho ∆ ABC caân, coù BA = BC = a, AC = b. Ñöôømg phaân giaùc goùc A caét BC taïi M, ñöôøng phaân giaùc goùc C caét BA taïi N. a. Chöùng minh: MN // AC. b. Tính MN theo a, b. Baøi 43. Cho ∆ ABC, ñöôøng phaân giaùc cuûa goùc AÂ caét BC taïi D. Bieát AB = 4,5cm, AC = 7,2cm, BD = 3,5cm. Tính CD. Baøi 44. Cho ∆ MNP, ñöôøng phaân giaùc cuûa goùc PÂ caét MN taïi Q. Bieát PM = 6,2cm, PN = 8,7cm, MN = 12,5cm. Tính QN. Baøi 45. Cho ∆ ABC, p/giaùc goùc AÂ caét BC taïi E. Bieát AB = 5cm, AC = 6cm, BC = 7cm. Tính EB, EC. Baøi 46. Cho ∆ ABC coù caùc ñöôøng phaân giaùc AD, BE vaø CF. Chöùng minh: DB EC FA ⋅ ⋅ = 1. DC EA FB Baøi 47. Cho ∆ ABC, trung tuyeán AM. Ñöôøng phaân giaùc cuûa AMÂB caét AB ôû D, ñöôøng phaân giaùc cuûa AMÂC caét AC ôû E. a. Chöùng minh: DE // BC. b. Goïi I laø giao ñieåm cuûa AM vaø DE. Chöùng minh: DI = IE. Baøi 48. Cho ∆ ABC coù AB = 12cm, AC = 20cm, BC = 28cm. Ñöôøng phaân giaùc goùc A caét BC taïi D. Qua D keû DE // AB (E ∈ AC). a. Tính ñoä daøi caùc ñoaïn thaúng BD, DC vaø DE. b. Cho bieát dieän tích ∆ ABC laø S, tính dieän tích ∆ ABD, ∆ ADE vaø ∆ DCE. Baøi 49. Cho ∆ ABC vuoâng taïi A coù AB = 21cm, AC = 28cm. Ñöôøng phaân giaùc goùc A caét BC taïi D. Qua D keû DE // AB (E ∈ AC). a. Tính ñoä daøi caùc ñoaïn thaúng BD, DC vaø DE. b. Tính dieän tích ∆ ABD vaø ∆ ACD. Baøi 50. Cho ∆ ABC caân taïi A, phaân giaùc goùc B caét AC taïi D vaø cho bieát AB = 15cm, BC = 10cm. a. Tính AD, DC. b. Ñöôøng vuoâng goùc vôùi BD taïi B caét ñöôøng thaúng AC keùo daøi taïi E. Tính EC. Baøi 51. Cho ∆ ABC coù AÂ = 900, AB = 12cm, AC = 16cm. Ñöôøng phaân giaùc goùc A caét BC taïi D. a. Tính BC, BD, CD. b. Veõ ñöôøng cao AH, tính AH, HD vaø AD. Baøi 52. Cho ∆ ABC vuoâng taïi A, AB = a, AC = b, (a < b), trung tuyeán AM, ñöôøng phaân giaùc AD (M vaø D thuoäc BC). a. Tính ñoä daøi caùc ñoaïn thaúng BC, BD, DC, AM vaø DM theo a, b. b. Haõy tính caùc ñoaïn thaúng treân ñaây chính xaùc ñeán chöõ soá thaäp phaân thöù hai khi bieát a = 4,15cm vaø b = 7m,25cm. 22
Baøi 53. Cho ∆ ABC coù ñoä daøi caùc caïnh AB = m, AC = n vaø AD laø ñöôøng phaân giaùc. S∆ABD m =. Chöùng minh: S∆ACD n Baøi 54. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Ñöôøng thaúng a song song vôùi DC, caét caùc caïnh AD vaø BC theo thöù töï taïi E vaø F. Chöùng minh: AE BF AE BF DE CF = = = a. b. c. ED FC AD BC DA CB Baøi 55. Cho hình bình haønh ABCD. Veõ moät ñöôøng thaúng caét AB ôû E, AD ôû F, AC ôû G. AB AD AC + = Chöùng minh: AE AF AG Baøi 56. a. Cho ∆ ABC vôùi ñöôøng trung tuyeán AM vaø ñöôøng phaân giaùc AD. Tính dieän tích ∆ ADM, bieát AB = m, AC = n (n > m) vaø dieän tích cuûa ∆ ABC laø S. b. Cho n = 7cm, m = 3cm, hoûi dieän tích ∆ ADM chieám bao nhieâu phaàn traêm dieän tích ∆ ABC. Baøi 57. Cho hình thang caân ABCD, ñaùy lôùn CD, DÂ = 600. Phaân giaùc cuûa DÂ 4 caét AC taïi I, chia AC theo tæ soá vaø caét AB taïi M. Bieát MA – MB = 11 6cm. Tính AB, CD. Baøi 58. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Hai ñöôøng cheùo AC vaø BD caét nhau taïi O. Ñöôøng thaúng a qua O vaø song song vôùi ñaùy cuûa hình thang caét caùc caïnh beân AD, BC theo thöù töï taïi E vaø F. Chöùng minh: OE = OF. Baøi 59. Cho ∆ ABC, I laø trung ñieåm cuûa BC. Ñöôøng phaân giaùc cuûa goùc AIÂB caét AB ôû M vaø phaân giaùc cuûa goùc AIÂC caét caïnh AC ôû N. a. Chöùng minh: MN // BC. b. ∆ ABC phaûi thoûa ñieàu kieän gì ñeå MN = AI ? c. Vôùi ñieàu kieän naøo thì töù giaùc AMIN laø hình vuoâng ? Baøi 60. Cho ∆ ABC. Treân hai caïnh AB, AC laàn löôït laáy 2 ñieåm M vaø N sao cho: AM AN = . Goïi I laø trung ñieåm cuûa BC, AI caét MN ôû K. Chöùng minh: AB AC K laø trung ñieåm cuûa MN. AÙp duïng chöùng minh: Trong moät hình thangcoù 2 caïnh beân khoângsong song, giao ñieåmcuûacaùc ñöôøngthaúngchöùahai caïnh beân,giao ñieåmcuûa2 ñöôøngcheùovaø trungñieåmcuûa2 ñaùycuøngnaèmtreânmoätñöôøngthaúng. Baøi 61. Cho hình bình haønh ABCD. Treân caïnh AB laáy moät ñieåmM vaø treâncaïnh CD laáy moätñieåmN saocho DN =BM. Chöùngminh: MN, DB, AC ñoàngqui. AM 2 AN 2 = vaø =. Baøi 62. Cho ∆ ABC, laáy M∈ AB, N ∈ AC sao cho: MB 3 NC 3 a. Hai ñöôøng thaúng MN vaø BC coù song song vôùi nhau khoâng ? Vì sao ? b. Cho bieát chu vi vaø dieän tích ∆ ABC laàn löôït P vaø S. Tính chu vi vaø dieän tích ∆ AMN. 2 Baøi 63. Tæ soá caùc caïnh beù nhaát cuûa hai tam giaùc ñoàng daïng laø . Tính 5 chu vi cuûa hai tam giaùc ñoù, bieát hieäu hai chu vi cuûa chuùng baèng 42dm. 23
DB 1 = . Keû DE // AC, DF // Baøi 64. Cho ∆ ABC, ñieåm D thuoäc caïnh BC sao cho: DC 2 AB (E∈AB,F∈AC) a. Neâu taát caû caùc caëp tam giaùc ñoàng daïng. Ñoái vôùi moãi caëp, haõy vieát caùc goùc baèng nhau vaø caùc tæ soá töông öùng. b. Tính chu vi ∆ BED, bieát raèng hieäu chu vi cuûa hai ∆ DFC vaø ∆ BED laø 30cm. Baøi 65. Cho ∆ ABC coù AB = 16,2cm; BC = 24,3cm; AC = 32,7cm. Tính ñoä daøi caùc caïnh cuûa ∆ A’B’C’, bieát raèng ∆ A’B’C’ ñoàng daïng vôùi ∆ ABC vaø: a. A’B’ lôùn hôn AB laø 10,8cm. b. A’B’ beù hôn AB laø 5,4cm. Baøi 66. Cho hình thang ABCD (AB // CD) coù CD = 2AB. Goïi E laø trung ñieåm cuûa DC. Chöùng minh raèng 3 tam gíac ADE, ABE vaø BEC ñoàng daïng vôùi nhau. Baøi 67. Cho ∆ ABC vaø ∆ A’B’C’. Bieát AB = 6cm, BC = 12cm, CA = 9cm, A’B’ = 4cm, B’C’ = 8cm, C’A’= 6cm. a. ∆ ABC vaø ∆ A’B’C’ coù ñoàng daïng vôùi nhau khoâng ? b. Tính tæ soá chu vi cuûa hai ∆ . Baøi 68. Hai tam giaùc maø caùc caïnh coù ñoä daøi nhö sau coù ñoàng daïng khoâng ? a. 4cm, 5cm, 6cm vaø 8cm, 10cm, 12cm. b. 3cm, 4cm, 6cm vaø 9cm, 15cm, 18cm. c. 1dm, 2dm, 2dm vaø 1dm, 1dm, 0,5dm. Baøi 69. Cho ∆ ABC (AÂ = 900) coù AB = 6cm, AC = 8cm vaø ∆ A’B’C’ (AÂ’ = 900) coù A’B’ = 9cm, B’C’ =15cm. Hoûi hai tam giaùc vuoâng ñoù coù ñoàng daïng hay khoâng ? Vì sao ? Baøi 70. Cho ∆ ABC coù G laø troïng taâm. Goïi P, Q, R laàn löôït laø trung ñieåm Chöùng minh: ∆ PQR vaø ∆ ABC ñoàng daïng. cuûa GA, GB, GC. Baøi 71. Cho ∆ ABC coù H laø tröïc taâm. Goïi K, M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa Chöùng minh: ∆ KMN vaø ∆ ABC ñoàng daïng vôùi tæ soá HA, HB, HC. 1 ñoàng daïng k = . 2 Baøi 72. Cho ∆ ABC, ñieåm O naèm trong ∆ . Goïi D, E, F theo thöù töï laø trung ñieåm cuûa OA, OB, OC. a. Chöùng minh: ∆ DEF vaø ∆ ABC ñoàng daïng. b. Tính chu vi cuûa ∆ DEF, bieát raèng chu vi cuûa ∆ ABC baèng 543cm. Baøi 73. Cho ∆ ABC coù ñoä daøi caùc caïnh laø AB = 3cm, BC = 7cm, CA = 5cm. ∆ A’B’C’ñoàng daïng vôùi ∆ ABC vaø coù chu vi baèng 55cm. Haõy tính ñoä daøi caùc caïnh cuûa ∆ A’B’C’ (laøm troøn soá ñeán chöõ soá thaäp phaân thöù hai). 15 Baøi 74. Cho hai tam giaùc ñoàng daïng coù tæ soá chu vi laø vaø hieäu ñoä daøi 17 hai caïnh töông öùng cuûa chuùng laø 12,5cm. Tính hai caïnh ñoù. Baøi 75. Cho hình bình haønh ABCD. Treân ñöôøng cheùo AC laáy ñieåm E sao cho AC = AE. Qua E veõ ñöôøng thaúng song song vôùi CD, caét AD vaø BC theo thöù töï ôû M vaø N. a. Tìm ∆ ñoàng daïng vôùi ∆ ADC vaø tìm tæ soá ñoàng daïng. b. Ñieåm E ôû vò trí naøo treân AC thì E laø trung ñieåm cuûa MN ? 24
Baøi 76. Cho ∆ ABC. Döïng ∆ ñoàng daïng vôùi ∆ ñoù, bieát tæ soá ñoàng daïng k = 2 . Coù theå döïng ñöôïc bao nhieâu ∆ nhö theá ? 3 Baøi 77. Cho ∆ ABC coù AB = 12cm, Ac = 15cm, BC = 18cm. Treân caïnh AB, ñaët ñoaïn thaúng AM = 10cm, treân caïnh AC ñaët ñoaïn thaúng AN = 8cm. Tính ñoä daøi ñoaïn thaúng MN. Baøi 78. Cho ∆ ABC coù AC = 12cm, BC = 16cm. Ñieåm D ∈ BC sao cho: ADÂC = BAÂC. Tính DC. Baøi 79. Hình thang ABCD coù AB // CD, AÂ = CBÂD. Chöùng minh: BD2 = AB . CD. Baøi 80. Cho ∆ ABC coù 3 ñöôøng cao AD, BE, CF vôùi H laø tröïc taâm. Chöùng minh: a. ∆ AHE ñoàng daïng vôùi ∆ BHD. b. HA . HD = HB . HE = HC . HF. Baøi 81. Cho ∆ ABC coù AÂ = 2BÂ. Tính AB, bieát AC = 9cm, BC = 12cm. Baøi 82. Hình thang ABCD (AB // CD) coù AB = 2cm, BD = 4cm, CD = 8cm. Chöùng minh: a. AÂ = DBÂC. b. BC = 2AD. Baøi 83. Cho ∆ ABC coù AB = 10cm, AC = 20cm. Treân caïnh AC, ñaët ñoaïn thaúng AD = 5cm. Chöùng minh: ABÂD = ACÂB. Baøi 84. Treân moät caïnh cuûa xOÂy (xOÂy ≠ 1800), laáy caùc ñieåm A vaø B sao cho OA = 5cm, AB = 11cm. Treân caïnh thöù hai laáy caùc ñieåm C vaø D sao cho OC = 8cm vaø OD = 10cm. a. Chöùng minh: ∆ OCB vaø ∆ OAD ñoàng daïng. b. Goïi giao ñieåm cuûa caùc caïnh AD vaø BC laø I. Chöùng minh: ∆ IAB vaø ∆ ICD coù caùc goùc baèng nhau töøng ñoâi moät. Baøi 85. Chöùng minh raèng neáu ∆ ABC ñoàng daïng vôùi ∆ A’B’C’ theo tæ soá k thì: a. Tæ soá cuûa hai ñöôøng trung tuyeán töông öùng cuûa hai tam giaùc ñoù cuõng baèng k. b. Tæ soá cuûa hai ñöôøng phaân giaùc töông öùng cuûa hai tam giaùc ñoù cuõng baèng k. c. Tæ soá cuûa hai ñöôøng cao töông öùng cuûa hai tam giaùc ñoù cuõng baèng k. Baøi 86. Cho hình thang ABCD (AB // CD) coù AB = 12,5cm; CD = 28,5cm; DAÂB = DBÂC. Tính ñoä daøi BD (laøm troøn ñeán chöõ soá thaäp phaân thöù nhaát). Baøi 87. Cho hình thang ABCD (AB // CD) coù AB = 2,5cm; AD = 3,5cm; BD = 5cm; DAÂB = DBÂC. a. Chöùng minh: ∆ ADB vaø ∆ BCD ñoàng daïng. b. Tính ñoä daøi caùc caïnh BC, CD. c. Sau hki tính haõy veõ laïi hình chính xaùc baèng thöôùt vaø compa. Baøi 88. Treân ñoaïn thaúng AC = 27cm laáy ñieåm B sao cho AB = 15cm. Töø A vaø C veõ hai tia Ax vaø Cy cuøng vuoâng goùc vôùi AB vaø naèm cuøng phía vôùi nhau. Laáy E ∈ Ax, D ∈ Cy sao cho AE = 10cm, ABÂE = BDÂC. a. Chöùng minh: ∆ BDE vuoâng. b. Tính CD, BE, BD vaø ED (laøm troøn ñeán chöõ soá thaäp phaân thöù nhaát). c. So saùnh dieän tích ∆ BDE vôùi toång dieän tích cuûa hai tam giaùc AEB vaø BCD. 25
Baøi 89. Cho ∆ ABC coù AB = 3cm, AC = 2cm. Treân tia ñoái cuûa tia CB laáy ñieåm D sao cho CD = 3,5cm. Töø D keõ ñöôøng thaúng song song vôùi AB caét AC keùo daøi taïi E. Tính BC, CE bieát DE = 6cm. Baøi 90. Cho ∆ ABC coù AB = 8cm, AC = 16cm, D ∈ AB, E ∈ AC sao cho: BD = 2cm, ∆ AED ñoàng daïng CE = 13cm. Chöùng minh: a. vôùi ∆ ABC. b. AB . CD = AC . BE Baøi 91. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Goïi O laø giao ñieåm cuûa 2 ñöôøng cheùo AC vaø BD. a. Chöùng minh: OA . OD = OB . OC b. Ñöôøng thaúng qua O vaø vuoâng goùc vôùi AB vaø CD theo thöù töï taïi OH AB = H vaø K. C/m: . OK CD 1 Baøi 92. ∆ ABC coù AB = BC, M laø trung ñieåm cuûa BC, D laø trung ñieåm cuûa 2 1 BM. C/m: AD = AC. 2 Baøi 93. Cho ∆ ABC vuoâng taïi A, ñöôøng cao AD vaø phaân giaùc BE caét nhau taïi FD EA = F. C/minh: . FA EC Baøi 94. Cho ∆ ABC coù AB = 24cm, Ac = 28cm. Tia phaân giaùc cuûa AÂ caét caïnh BC taïi D. Goïi M, N theo thöù töï laø hình chieáu cuûa B vaø C treân ñöôøng thaúng AD. BM AM DM = a. Tính tæ soá: . b. Chöùng minh: . CN AN DN Baøi 95. Cho hình bình haønh ABCD coù ñoä daøi caùc caïnh AB = 12cm, BC = 7cm. Treân caïnh AB laáy moät ñieåm E sao cho AE = 8cm. Ñöôøng thaúng DE caét caïnh CB keùo daøi taïi F. a. Haõy chæ ra caùc caëp tam giaùc ñoàng daïng vôùi nhau vaø chöùng minh. b. Tính ñoä daøi caùc ñoaïn thaúng EF vaø BF, bieát DE = 10cm. Baøi 96. Cho töù giaùc ABCD, coù AÂ = CÂ = 900, hai ñöôøng cheùo AC vaø BD caét nhau taïi O, BAÂO = BDÂO. a. Chöùng minh: ∆ ABO vaø ∆ DCO ñoàng daïng. b. Chöùng minh: ∆ BCO vaø ∆ ADO ñoàng daïng. Baøi 97. Cho ∆ ABC vuoâng taïi A, AC = 9cm, BC = 24cm. Ñöôøng trung tröïc cuûa BC caét caùc ñöôøng thaúng AC taïi D, BC taïi M. Tính CD. Baøi 98. Cho hình chöõ nhaät ABCD coù AB = a = 12cm, BC = b = 9cm. Goïi H laø chaân ñöôøng vuoâng goùc keû töø A xuoáng BD. a. Chöùng minh: ∆ AHB vaø ∆ BCD ñoàng daïng. b. Tính AH vaø S∆ AHB. Baøi 99. Cho ∆ ABC vuoâng taïi A, AC = 4cm, BC = 6cm. Keû tia Cx ⊥ BC (Cx vaø A khaùc phía so vôùi ñöôøng thaúng BC). Laáy treân tia Cx ñieåm D sao cho BD = 9cm. Chöùng minh: BD // AC. Baøi 100. Cho ∆ ABC vuoâng taïi A, AH laø ñöôøng cao, M laø trung ñieåm cuûa BC, goïi N laø hình chieáu cuûa M treân AC. a. Haõy tìm vaø chöùng minh caùc caëp ∆ ñoàng daïng vôùi nhau. b. Bieát BH = 4cm, CH = 9cm, tính dieän tích ∆ AMH. Baøi 101. ∆ ABC vaø ∆ DEF coù AÂ = DÂ, BÂ = EÂ, AB = 8cm, BC = 10cm, DE = 6cm. Tính ñoä daøi caùc caïnh AC, DF, EF, bieát raèng caïnh AC daøi hôn caïnh DF laø 3cm. 26
Baøi 102. Cho hình bình haønh ABCD. Goïi E vaø F laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB vaø CD. Chöùng minh: ∆ ADE vaø ∆ CBF ñoàng daïng. Baøi 103. Cho ∆ ABC (AÂ = 900), ñöôøng cao AH = 8cm, BC = 20cm. Goïi D laø hình chieáu cuûa H treân AC a. Hoûi trong hình ñaõ cho coù bao nhieâu ∆ ñoàng daïng ? Vieát caùc tæ leä thöùc giöõa caùc caïnh töông öùng cuûa chuùng. b. Goïi E laø hình chieáu cuûa H treân AB. Tính dieän tích ∆ ADE. Baøi 104. Cho ∆ ABC vuoâng taïi A, ñöôøng cao AH. Tính chu vi vaø dieän tích ∆ ABC neáu bieát HB = 25cm vaø HC = 36cm. Baøi 105. Cho moät tam giaùc vuoâng trong ñoù caïnh huyeàn daøi 20cm vaø moät caïnh goùc vuoâng daøi 12cm. Tính ñoä daøi hình chieáu caïnh goùc vuoâng kia treân caïnh huyeàn. Baøi 106. Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, ñöôøng cao AH. Chöùng minh: a. AH2 = HB . HC b. AB2 = BH . BC c. AC = CH . CB d. AH . BC = AB . AC 2 e. BC = AC + AB (Ñònh lyù Pi-ta-go) 2 2 2 Baøi 107. Cho ∆ ABC coù caùcñöôøngcaoBD vaø CE. a. Chöùngminh: ∆ ABD ñoàngdaïngvôùi ∆ ACE. b. Chöùngminh: ∆ ADE ñoàngdaïngvôùi ∆ ABC. c. Tính AEÂD bieát ACÂB = 048. Baøi 108. Töù giaùc ABCD coù AB = 3cm, BC = 10cm, CD = 12cm, AD = 5cm, ∆ ABD vaø ∆ BDC ñöôøng cheùo BD = 6cm. Chöùng minh: a. ñoàng daïng b. ABCD laø hình thang. Baøi 109. Cho ∆ ABC caân taïi A, O laø trung ñieåm cuûa BC. D ∈ AB, E ∈ AC sao cho OB2 = BD . CE a. Chöùng minh: ∆ OBD vaø ∆ ECO ñoàng daïng, goùc DOÂE coù soá ño khoâng ñoåi. b. Chöùng minh: 3 tam giaùc EOD, OBD vaø ECO ñoàng daïng. c. Chöùng minh: DO laø tia phaân giaùc cuûa BDÂE, EO laøi tia phaân giaùc cuûa CEÂD. d. Chöùng minh: khi D, E di ñoäng (vaãn thoûa OB 2 = BD . CE) thì khoaûng caùch töø O ñeán DE khoâng ñoåi vaø chu vi ∆ ADE < 2AB. Baøi 110. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Goïi I laø giao ñieåm cuûa AC vaø BD. Ñöôøng thaúng qua I vaø song song vôùi 2 ñaùy caét BC ôû J, AD ôû K. 1 1 1 = + a. Chöùng minh: . Suy ra I laø trung ñieåm cuûa KJ. IJ AB CD SABCD b. Cho AB = m, CD = n. tính tæ soá theo m vaø n. S∆AIB c. Baây giôø cho ABCD laø hình thang caân. Chöùng minh: AC2 = AB . CD + AD2. Baøi 111. Cho ∆ ABC, M vaø N laàn löôït trung ñieåm cuûa BC, CA. Goïi H laø tröïc taâm , G laø troïng taâm, O laø giao ñieåm cuûa caùc ñöôøng trungtröïc cuûa caùc caïnh BC, AC. Chöùng minh: a. ∆ ABH vaø ∆ MNO ñoàng daïng, ∆ AHG vaø ∆ MOG ñoàng daïng. b. H, G, O thaúng haøng. Baøi 112. Cho hình bình haønh ABCD coù BÂ tuø. Töø C keû caùc ñöôøng CE, CF vuoâng goùc vôùi AB, AD. Chöùng minh: AB . AE + AD . AF = AC2. (Ñeà thi voâ ñòch Toaùn Hungari – 1918) 27
Baøi 113. Treân caùc caïnh BC, CA, AB cuûa ∆ ABC, ta laáy caùc ñieåm töông öùng P, Q, R. Chöùng minh raèng ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå AP, BQ vaø CR ñoàng qui laø coù heä PB QC RA ⋅ ⋅ = 1. (Ñ.lyù Ceva) thöùc PC QA RB Baøi 114. Haõy aùpduïngñònhlyù CevañeåChöùngminhtrongmoättamgiaùc: a. Ba ñöôøngcaoñoàngqui. b. Ba ñöôøngphaângiaùcñoàngqui. c. Ba ñöôøngtrungtuyeánñoàngqui. Baøi 115. Treân caùc ñöôøng thaúng qua caùc caïnh BC, CA, AB cuûa ∆ ABC, ta laáy caùc ñieåm töông öùng P, Q, R (khoâng truøng vôùi caùc ñænhvaø ít nhaátmoät ñieåmnaèmngoaøi tamgiaùc). C/m raèng: ñieàukieäncaànvaø ñuû ñeå3 ñieåmP, Q vaø R thaúnghaønglaø PB QC RA ⋅ ⋅ = 1. (Ñ.lyù Menelaus) coù heäthöùc PC QA RB Baøi 116. Cho hình bình haønhABCD. Laáy ñieåmM treâncaïnhAD sao cho AM =2MD, ñieåmN treânCD sao cho DN = 3NC. Hai ñöôøngthaúngBM vaø AN caét nhautaïi S. Tính tæsoá AS . SN 0 Baøi 117. Cho hình thang vuoâng ABCD (AÂ = DÂ ), AB = 6cm, CD = 12cm, AD = = 90 17cm, E ∈ AD sao cho AE = 8cm. Chöùng minh: BEEC = 900. Baøi 118. Cho 2 ∆ A’B’C’ vaø ∆ ABC coù 3 goùc nhoïn. Keû 2 ñöôøng cao A’H’ vaø AH. A ' H' AH A ' H' AH = = . Chöùng minh: ∆ ABC vaø ∆ A’B’C’ ñoàng Bieát vaø A 'B' AB A 'C' AC daïng. Baøi 119. Cho hình bình haønh ABCD. Hình chieáu cuûa A treân CD laø H, treân BC laø K. a. Chöùng minh: ∆ AHD vaø ∆ AKB ñoàng daïng. b. Hình bình haønh ABCD coù theâm ñieàu kieän gì ñeå caùc ∆ AHC vaø ∆ AKC ñoàng daïng ? Baøi 120. Töù giaùc ABCD coù hai ñöôøng cheùo AC vaø BD caét nhau taïi O, ABÂD = ACÂD. Goïi E laø giao ñieåm cuûa cuûa hai ñöôøng thaúng AD vaø BC. Chöùng minh: a. ∆ AOB vaø ∆ DOC ñoàng daïng. b. ∆ AOD vaø ∆ BOC ñoàng daïng. c. EA . ED = EB . EC. Baøi 121. Cho ∆ ABC coù hai trung tuyeán AK vaø CL caét nhau taïi O. Töø moät ñieåm P baát kyø treân caïnh AC, veõ caùc ñöôøng thaúng PE song song vôùi AK, PF song song vôùi CL (E ∈ BC, F ∈ AB). Caùc trung tuyeán AK, CL caét ñoaïn thaúng EF theo thöù töï taïi M, N. Chöùng minh: FM = MN = NE. Baøi 122. Cho h/vuoâng ABCD caïnh a. Moät ñöôøng thaúng d ñi qua ñænh C, caét tia AB ôû E vaø caét AD ôû F. BE AE 2 = 2 a. Chöùng minh: BE . DF = a . b. Chöùng minh: DF AF 2 Baøi 123. Cho ∆ ABC caân taïi A, veõ caùc ñöôøng cao BH vaø CK. a. Chöùng minh: BK = CH b. Chöùng minh: KH // BC c. Cho BC = a, AB = AC = b. Tính HK. Baøi 124. Cho ∆ ABC, AÂ = 900, CÂ= 300 vaø ñöôøng phaân giaùc BD (D ∈ AC). AD a. Tính tæ soá: . CD b. Bieát AB = 12,5cm, tính chu vi vaø dieän tích ∆ ABC. 28
Baøi 125. Töù giaùc ABCD coù AB = 4cm, BC = 20cm, CD = 25cm, DA = 8cm, ñöôøng cheùo BD = 10cm. a. Neâu caùch veõ töù giaùc ABCD. b. Caùc tam giaùc ABD vaø BDC coù ñoàng daïng vôùi nhau khoâng ? Vì sao ? c. Chöùng minh: AB // CD. Baøi 126. Cho hình thang ABCD (AB // CD), AB = 15cm, CD = 30cm, ñöôøng cao 20cm, caùc ñöôøng cheùo caét nhau taïi I. Tính dieän tích caùc ∆ OAB vaø ∆ OCD. Baøi 127. Ñöôøng cao cuûa moät tam giaùc vuoâng xuaát phaùt töø ñænh goùc vuoâng chia caïnh huyeàn thaønh 2 ñoaïn thaúng coù ñoä daøi 9cm vaø 16cm. Tính ñoä daøi caùc caïnh cuûa tam giaùc vuoâng ñoù. Baøi 128. Cho ∆ ABC vuoâng taïi A. Veõ ñöôøng cao AH. Bieát chu vi ∆ ABH = 3dm, chu vi ∆ ACH = 4dm. Tính chu vi ∆ ABC. Baøi 129. Cho ∆ ABC ñeàu. Trung tuyeán AM. Veõ ñöôøng cao MH cuûa ∆ AMC. a. Chöùng minh: ∆ ABM vaø ∆ AMH ñoàng daïng. b. Goïi E, F laàn löôït laø trung ñieåm cuûa BM, MH. Chöùng minh: AB . AF = AM . AE. c. Chöùng minh: BH ⊥ AF. d. Chöùng minh: AE . EM = BH . HC. Baøi 130. Cho ∆ ABC coù 3 goùc nhoïn, 3 ñöôøng cao AM, BN, CP ñoàng qui taïi H. a. Chöùng minh: ∆ ABM vaø ∆ AHP ñoàng daïng, ∆ ABH vaø ∆ AMP ñoàng daïng. b. Chöùng minh: MH . MA = MB . MC. c. Chöùng minh: ∆ AHB vaø ∆ NHM ñoàng daïng. d. Chöùng minh: ∆ MAP vaø ∆ MNH ñoàng daïng. e. Cho b, c coá ñònh, A thay ñoåi vò trí sao cho ∆ ABC vaãn coù 3 goùc nhoïn. ∆ ABC phaûi coù ñaëc ñieåm gì ñeå tích MH . MA coù giaù trò lôùn nhaát. Baøi 131. Cho ∆ ABC. Keû DE // BC sao cho DC2 = BC . DE. a. Chöùng minh: ∆ DEC vaø ∆ CDB ñoàng daïng. Suy ra caùch döïng DE. b. Chöùng minh: AD2 = AC . AE vaø AC2 = AB . AD. Baøi 132. Cho ∆ ABC vuoâng taïi A, coù ñöôøng cao AH. Töø H veõ HI ⊥ AB taïi I vaø HJ ⊥ AC taïi J. Goïi AM laø trung tuyeán cuûa ∆ ABC. a. Bieát AB = 30cm, AC = 40cm. Tính BC, AH, BI. b. Chöùng minh: IJ = AH vaø AM ⊥ IJ. c. Chöùng minh: AB . AI = AC . AJ; ∆ AIJ vaø ∆ ACB ñoàng daïng. d. Chöùng minh: ∆ ABJ vaø ∆ ACI ñoàng daïng; ∆ BIJ vaø ∆ IHC ñoàng daïng. Baøi 133. Cho ∆ ABC caân taïi A coù AÂ > 900 vaø CI laø tia phaân giaùc cuûa ∆ ABC. Ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi CI taïi I caét caùc ñöôøng thaúng AC, BC laàn löôït taïi E vaø F. C/minh: BC . AE = AC . BF. Baøi 134. Caùc ñöôøng cao cuûa moät tam giaùc coù 3 goùc nhoïn ABC caét nhau taïi O. treân caùc ñoaïn thaúng OB vaø OC ngöôøi ta laáy caùc ñieåm B’, C’ sao cho ABÂ’C = ACÂ’B = 900. Chöùng minh: AB’ = AC’. 29
CAÙC ÑEÀ OÂN TAÄP ÑEÀ 1 1. LYÙ THUYEÁT Caâu 1. Trong caùc caâu sau caâu naøo ñuùng, caâu naøo sai ? Hai ∆ caâncoù 1 caëpcaïnhbaèngnhauthì ñoàngdaïng.  Tæsoáhai ñöôøngcaotöôngöùngcuûahai ∆ ñoàngdaïngbaèngtæsoáñoàngdaïng.  Neáu moät ñöôøng thaúngcaét hai caïnh cuûamoät ∆ vaø song song vôùi caïnh coøn  laïi thì noùtaïo thaønhmoät∆ môùi ñoàngdaïngvôùi ∆ ñaõcho. Neáu hai caïnh cuûa ∆ naøy tæ leä vôùi hai caïnh cuûa ∆ kia vaø hai goùc taïo bôûi  giöõacaùccaëpcaïnhñoùbaèngnhau,thì hai ∆ ñoù ñoàngdaïng. Trong ∆ , ñöôøng phaângiaùc cuûa moät goùc chia caïnh ñoái dieän thaønhhai ñoaïn  thaúngtæleä vôùi hai caïnhcuûa∆ . Neáumoätñöôøngthaúngcaéthai caïnhcuûamoät∆ thì noù taïo thaønhmoät∆ môùi  coù ba caïnhtæleä vôùi ∆ ñaõcho. Neáu moät ñöôøng thaúngsong song vôùi moät caïnh cuûa ∆ vaø caét hai caïnh coøn  laïi thì noùñònhra treânhai caïnhñoù nhöõngñoaïnthaúngtöôngöùngtæleä. Caâu 2. Choïn caâu ñuùng:  Ñoä daøi x tronghìnhveõ beâncaïnhlaø: x =3,25  x =13  x = 52  x =0,325  2. BAØI TAÄP Cho ∆ ABC coù 3 goùcnhoïn, caùcñöôøngcaoAD, BE, CF caétnhautaïi H. Chöùngminh: a. AD . BC =BE . AC =CF . AB b. HD . HA =HE . HB =HF . HC c. AE . AC =AB . AF vaøAD . HD =BD . CD HD HE HF + + =1 d. AD BE CF e. ∆ ABC vaø∆ AEF ñoàngdaïng,∆ BDF vaø∆ EDC ñoàngdaïng. f. ∆ ABH vaø∆ EDH ñoàngdaïng,∆ AFD vaø ∆ EHD ñoàngdaïng. g. H caùchñeàu3 caïnhcuûa∆ DEF. ÑEÀ 2 A. LYÙ THUYEÁT Caâu 1. Trong caùc caâu sau caâu naøo ñuùng, caâu naøo sai ?  Hai ∆ caâncoù moätcaëpgoùctöôngöùngôû ñaùybaèngnhauthì ñoàngdaïng.  Hai ∆ caâncoù caëpcaïnhbeânvaømoätcaëpcaïnhñaùybaèngnhauthì ñoàngdaïng.  Hai tamgiaùcñoàngdaïngthì baèngnhau.  Caùctamgiaùcñeàuñeàuñoàngdaïngvôùi nhau.  ∆ vuoângnaøy coù moätgoùc nhoïn baènggoùc nhoïn cuûatamgiaùc vuoângkia thì ñoàngdaïng.  ∆ vuoângnaøy coù hai caïnh goùc vuoângbaèngvôùi hai caïnh goùc vuoângcuûatam giaùcvuoângkia thì ñoàngdaïng.  Tæsoádieäntích cuûahai ∆ ñoàngdaïngbaèngtæsoáñoàngdaïng. Caâu 2. Choïn caâu ñuùng:  Ñoä daøi AC, DE vaøAB treânhình veõ beâncaïnhlaànlöôït laø: 6 3 6  6 3,5 4,5  2 6 8  6 3 4,5  30
B. BAØI TAÄP Cho ∆ ABC coù AÂ = 90 AB = 80cm, AC = 60cm, AH laø ñöôøng cao, AI laø 0 , phaân giaùc (I ∈ BC). a. Tính BC, AH, BI, CI. b. Chöùng minh: ∆ ABC vaø ∆ HAC ñoàng daïng. c. HM vaø HN laø phaân giaùc cuûa ∆ ABH vaø ∆ ACH. C/minh: ∆ MAH vaø ∆ NCH ñoàng daïng. d. Chöùng minh: ∆ ABC vaø ∆ HMN ñoàng daïng roài chöùng minh> ∆ MAN vuoâng caân. e. Phaân giaùc cuûa goùc ACÂB caét HN ôû E, p/giaùc cuûa goùc ABÂC caét HM ôû F. C/m: EF // MN. f. Chöùng minh: BF . EC = AF . AE ÑEÀ 3 A. LYÙ THUYEÁT Caâu 1. Trong caùc caâu sau caâu naøo ñuùng, caâu naøo sai ?  Hai ∆ caâncoù moätcaëpgoùcbaèngnhauthì ñoàngdaïng.  Hai tamgiaùcbaèngnhauthì ñoàngdaïng.  ∆ vuoângnaøycoù moätgoùcnhoïn tæleä vôùi goùcnhoïn cuûatamgiaùcvuoângkia thì ñoàngdaïng.  Tæ soá hai ñöôøngcao töông öùng cuûahai ∆ ñoàngdaïng baèngbình phöôngtæsoá ñoàngdaïng.  Tæsoáchu vi cuûahai ∆ ñoàngdaïngbaèngtæsoáñoàngdaïng.  ∆ ABC ñoàng daïng vôùi ∆ MNP theo tæ soá k MNP ñoàng daïng vôùi ∆ RST 1, ∆ theo tæ soá k2 thì ∆ ABC ñoàng daïng vôùi ∆ RQS theo tæ soá k1/k2  Neáu moät ñöôøng thaúng caét hai caïnh cuûa moät ∆ thì noù taïo thaønh moät ∆ môùi ñoàng daïng vôùi ∆ ñaõ cho. Caâu 2. Choïn caâu ñuùng:  Ñoä daøi ñoaïnthaúngMN vaø AC treânhình beânlaø x = 18 vaøy = 64  x = 64 vaøy = 40  x = 18 vaøy = 40  x = 20 vaøy = 35  B. BAØI TAÄP Cho∆ ABC coù ñöôøng cao AH (H naèm giöõa B vaø C).veõ HM ⊥ AB (M ∈ AB) Töø H HN ⊥ AC (N ∈ AC). vaø Bieát HA = 15cm, HC = 36cm, BC a. = 56cm. Tính AB, AC. Chöùng minh: AB . AM = AC . AN; b. ∆ ABC vaø ∆ ANM ñoàng daïng. c. Chöùng minh: AB . CM = AC . BN CM caét BN taïi K. Chöùng minh: d. ∆ MKN vaø ∆ BKC ñoàng daïng. e. Chöùng minh: MN . BC + BM . CN = CM . BN f. Neáu cho A, H coá ñònh , B vaø C di chuyeån treân ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi AH taïi H sao cho H vaãn naèm giöõa B vaø C. Chöùng minh raèng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng MN luoân ñi qua 1 ñieåm coá ñònh. 31
ÑEÀ 4 A. LYÙ THUYEÁT Caâu 1. Trong caùc caâu sau caâu naøo ñuùng, caâu naøo sai ?  Hai ∆ caâncoù caëpgoùc ôû ñænhbaèngnhauvaø moätcaëpcaïnh beânbaèngnhau thì ñoàngdaïng.  Hai tamgiaùc baèngnhaulaø tröôønghôïp ñaëcbieätcuûahai tamgiaùc ñoàngdaïng khi k =1.  ∆ vuoângnaøy coù hai caïnh goùc vuoângtæleä vôùi hai caïnh goùc vuoângcuûa ∆ vuoângkia thì ñoàngdaïng.  Tæsoádieäntích cuûahai ∆ ñoàngdaïngbaèngbình phöôngtæsoáñoàngdaïng.  ∆ ABC ñoàngdaïngvôùi ∆ MNP theotæsoák thì ∆ MNP ñoàngdaïngvôùi ∆ ABC theo tæsoá1/k.  Neáumoätñöôøngthaúngcaéthai caïnhcuûamoät∆ thì noù taïo thaønhmoät∆ môùi ñoàngdaïngvôùi ∆ ñaõcho.  Neáuhai caïnh cuûa∆ naøy tæleä vôùi hai caïnh cuûa∆ kia vaø hai goùc baèngnhau, thì hai ∆ ñoùñoàngdaïng. Caâu 2. Choïn caâu ñuùng:  Ñoä daøi NC vaø BC treânhìnhbeânlaànlöôït laø x = 12 vaøy = 19,2  x = 6 vaøy = 30  x = 8 vaøy = 30  Moät keátquaûkhaùc  B. BAØI TAÄP Cho ∆ ABC. Treân nöûa maët phaúng khoâng chöùa A coù bôø laø BC, veõ tia Cx sao cho BAÂC . Goïi D laø phaângiaùccuûa∆ ABC. Tia Cx caéttia AD ôû E. Chöùngminh: BCÂx = 2 a. ∆ ABD vaø∆ CED ñoàngdaïng;∆ ABD vaø∆ AEC ñoàngdaïng. b. AE 2 > AB . AC . c. Trung tröïc cuûa BC ñi qua E. d. Goïi I laø trung ñieåm cuûa DE. Chöùng minh: 4AB . AC = 4AI2 – DE2 ÑEÀ 5 A. LYÙ THUYEÁT Caâu 1. Trong caùc caâu sau caâu naøo ñuùng, caâu naøo sai ?  Neáu moät ñöôøng thaúngcaét hai caïnh cuûa moät ∆ thì noù ñònh ra treânhai caïnh ñoùnhöõngñoaïnthaúngtöôngöùngtæleä.  Neáu moät ñöôøng thaúngcaét hai caïnh cuûamoät ∆ vaø song song vôùi caïnh coøn laïi thì noùtaïo thaønhmoät∆ môùi coù ba caïnhtæleä vôùi ∆ ñaõcho.  Neáu moät ñöôøng thaúngcaét hai caïnh cuûamoät ∆ vaø song song vôùi caïnh coøn laïi thì noùtaïo thaønhmoät∆ môùi ñoàngdaïngvôùi ∆ ñaõcho.  Trong ∆ , ñöôøng phaângiaùc cuûa moät goùc chia caïnh ñoái dieän thaønhhai ñoaïn thaúngtæleä vôùi hai caïnhkeàhai ñoaïnaáy.  ∆ ABC ñoàng daïng vôùi ∆ MNP theo tæ soá k MNP ñoàng daïng vôùi ∆ RST 1, ∆ theo tæ soá k2 thì ∆ ABC ñoàng daïng vôùi ∆ RQS theo tæ soá k1.k2  Tæ soá chu vi cuûa hai ∆ ñoàng daïng baèng bình phöông tæ soá ñoàng daïng.  Caùc tam giaùc ñeàu ñeàu baèng nhau. Caâu 2. Choïn caâu ñuùng:  Ñoä daøi ñoaïnthaúngAN treânhình beânlaø x = 18,9  x = 15,3  x = 5,3  32
Moät keátquaûkhaùc  B. BAØI TAÄP Cho hình vuoângABCD coá ñònh, M laø 1 ñieåmlaáy treâncaïnh BC (M ≠ B). Tia AM caét DC taïi P. Treântia ñoái cuûatia DC laáyñieåmN saocho DN =BM. a. Chöùngminh: ∆ AND =∆ ABM vaø∆ MAN laø ∆ vuoângcaân. b. Chöùng minh:ABM vaø∆ PDA ñoàng daïng vaø2BC BM . DP. ∆ = c. Qua A veõ ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi MN taïi H vaø caét CD taïi Q, MN caét AD ôû I. Chöùng minh: AH . AQ = AI . AD vaø DAÂQ = HMÂQ. d. Chöùng minh: ∆ NDH vaø ∆ NIQ ñoàng daïng 33