Bài tập lớn Cơ học lượng tử: Cách giải bài tập chương 3,4,5,6,7

Chia sẻ: Nguyễn Quang Thịnh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:58

Thêm vào BST

Báo xấu

2.838
lượt xem 648
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài tập lớn Cơ học lượng tử: Cách giải bài tập chương 3,4,5,6,7 của Giáo trình Cơ học lượng tử của tác giả Lê Đình - Trần Công Phong trường Đại học Sư phạm Huế. Bài tập lớn này sẽ giúp sinh viên có thể dễ dàng hơn trong việc nghiên cứu cơ lượng tử.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập lớn Cơ học lượng tử: Cách giải bài tập chương 3,4,5,6,7

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ĐỒNG NAI KHOA SƯ PHẠM KHOA HỌC TỰ NHIÊN --o0o-- BÀI TẬP LỚN HỌC KỲ Môn: Cơ học lƣợng tử Đề bài: Cách giải bài tập chƣơng 3,4,5,6,7. Sinh viên : Nguyễn Quang Thịnh GVHD: Th.S Hoàng Công Phương MSSV: 111030144 Lớp: Đại học Vật lý A_K1
Lời nói đầu Cơ học lượng tử là một trong những lý thuyết cơ bản của Vật lý học. Cơ học lượng tử là phần mở rộng và bổ sung của cơ học Newton( còn gọi là cơ học cổ điển). Nó là cơ sở của rất nhiều các chuyên ngành khác của vật lý như vật lý chất rắn, vật lý hạt. Khái niệm lượng tử để chỉ một đại lượng vật lý không liên tục mà rời rạc. Cơ học lượng tử được coi là cơ bản hơn cơ học Newton vì nó cho phép mô tả chính xác và đúng đắn rất nhiều các hiện tượng vật lý mà cơ học Newton không thể giải thích được. các tiên đoán của cơ học lượng tử chưa bao giờ bị thực nghiệm chứng minh là sai sau một thế kỷ. Cơ học lượng tử là sự kết hợp chặt chẽ của ít nhất ba loại hiện tượng mà cơ học cổ điển không tính đến, đó là: (a) sự lượng tử hoá một số đại lượng vật lý, (b) lưỡng tính sóng hạt, (c) nguyên lý bất định. Trong các trường hợp nhất định, các định luật của cơ học lượng tử chính là các định luật của cơ học cổ điển ở mức độ chính xác cao hơn. Việc cơ học lượng tử được rút về cơ học cổ điển nhờ nguyên lý gọi là nguyên lý tương ứng. Như vậy, cơ học lượng tử có tầm quan trọng rất lớn nên việc nghiên cứu môn cơ học lượng tử là rất quan trọng đối với sinh viên vật lý. Ngoài việc cũng cố niềm tin vào khoa học cho sinh viên cơ học lượng tử còn giúp cho sinh viên có cơ sở để nghiên cứu các chuyên ngành khác của vật lý. Nhằm tạo điều kiện thuận lợi cho các sinh viên trong quá trình nghiên cứu môn cơ học lượng tử, tôi xin làm bài tập lớn về nội dung và bài tập của cơ học lượng tử. Nội dung được trình bày theo Giáo trình Cơ học lượng tử của tác giả Lê Đình - Trần Công Phong trường Đại học sư phạm Huế tháng 8 năm 2011. Nội dung bao gồm phần: I. Phần tóm tắt lý thuyết cần để giải bài tập các chương 3,4,5,6,7 II. Giải bài tập các chương 3,4,5,6,7. Hi vọng rằng với nội dung này sinh viên có thể dễ dàng hơn trong việc nghiên cứu cơ lượng tử. Xin cám ơn Th.s Hoàng Công Phương đã tận tâm giúp đỡ em trong quá trình làm bài. Trong quá trình làm bài tập chắc chắn sẽ có những sai sót nên rất mong sự góp ý xây dựng để bài tập trở nên hoàn thiện hơn. Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 2 -
Mục lục Chương 3: Các tiên đề của cơ học lượng tử.......................................................................... 1 I. Tóm tắt lý thuyết cần để giải bài tập .................................................................................. 1 II. Bài tập ................................................................................................................................... 2 Chương 4: Phương trình Schrodinger..................................................................................11 I. Tóm tắt lý thuyết cần để giải bài tập ................................................................................11 II. Bài tập .................................................................................................................................13 Chương 5: Sự thay đổi các đại lượng động lực theo thời gian .........................................23 I. Tóm tắt lý thuyết cần để giải bài tập ................................................................................23 II. Bài tập .................................................................................................................................24 Chương 6: Chuyển động của hạt trong trường xuyên tâm ...............................................30 I. Tóm tắt lý thuyết cần để giải bài tập ................................................................................30 II. Bài tập .................................................................................................................................32 Chương 7: Lý thuyết biểu diễn ............................................................................................41 I. Tóm tắt lý thuyết cần để giải bài tập ................................................................................41 II. Bài tập .................................................................................................................................41 Tài liệu tham khảo .................................................................................................................55 Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 3 -
CHƢƠNG 3: CÁC TIÊN ĐỀ CỦA CƠ HỌC LƢỢNG TỬ I. Tóm tắt lý thuyết cần để giải bài tập: 1. Nội dung các tiên đề: a. Tiên đề I:Trạng thái của một hạt hay một hệ hạt lượng tử được xác định bởi một hàm chuẩn hoá của toạ độ không giang và thời gian. Hàm này chứa toàn bôh thông tin về hạt. b. Tiên đề II: Tương úng với mỗi đại lượng động lực A là một toán tử tuyến tính và Hermite ̂ tác dụng trong không gian Hilbert các hàm trạng thái.Các kết quả đo được về đại lượng A chỉ có thể là các trị riêng của toán tử ̂. c. Tiên đề III: Tính chất thống kê trong cơ học lượng tử d. tiên đề IV: Sự thay đổi trạng thái theo thời gian( Chương 4) 2. Kiến thức cần có để giải bài tập: a. Xác suất đo đại lượng động lực: Trong đó là hệ số trong khai triển hàm sóng theo hàm riêng của toán tử ̂. ∑ b. Mật độ xác suất để trong phép đo đại lượng động lực A ở trạng thái được giá trị a là Với là hệ số trong khai triển hàm trạng thái theo hàm riêng của toán tử ̂ c. Trị trung bình trong phép đo một đại lượng động lưc: Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 4 -
d. Hệ thức bất định Heisenberg: e. Các kiến thức toán cần có: + tích phân Poisson: ∫ √ ( ) ∫ √ + cách tính tích phân từng phần. + Điều kiện trực chuẩn của hàm sóng: ⟨ | ⟩ II. Bài tập: + Chuẩn hoá để tìm A: Ta có √ + Động năng trung bình: ̅ ⟨ ( )| ̂ ( )⟩ ∫ ( )̂ ( ) ∫ ( ) ( ) Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 5 -
∫ ( ) ( )| + Sử dụng điều kiện chuẩn hoá xác định A: ∫ ∫ ∫ √ + Tính ̅ : ̅ ∫ ( ) ( ) ∫ Đặt ̅ Tính (̅̅̅) : (̅̅̅) ̅̅̅ ̅ ̅̅̅ ∫ Sử dụng tích phân Poison: Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 6 -
( ) ∫ √ Ta được: (̅̅̅) √( √ √ ) + Tính ̅ : ̅ ∫ ( ) ̂ ( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ Tính ̅̅̅: ̅̅̅ ∫ ( )̂ ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) ∫ (( ) ) ( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 7 -
∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( ( ) ) ∫ ∫ Vậy: (̅̅̅̅̅) ̅̅̅ ̅̅̅ Kiểm tra hệ thức bất định: (̅̅̅̅̅) ( ̅ ) thoả hệ thức bất định + Sử dụng điều kiện chuẩn hoá xác định A: ∫ √ + tính ̅; ̅ ∫ ̂ ∫ ∫ ( ) ∫ ∫ | Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 8 -
+ Tính ̅̅̅: ̅̅̅ ∫ ( ) ∫ ∫ + xác định A bằng điều kiện chuẩn hoá: ∫ ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) √ Xác suất đo : | | Với ⟨ | ⟩ ∫ ∫ √ √ ∫ √ Áp dụng công thức Euler: Suy ra: Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 9 -
∫ ( ) √ ∫ ( ) √ Sử dụng điều kiện trực chuẩn của hàm riêng toán tử: ⟨ | ⟩ ∫ Vậy: √ √ √ Giá trị khả dĩ của m { Xác suất tương ứng với giá trị | | | | | | { ̅̅̅ ∑ ̅̅̅ ∑ ( ) ( ) ( ) Trị trung bình của bình phương toán tử ̂ : ̅̅ ̅̅ ⟨ |̂ ⟩ ⟨ |̂̂ ⟩ Do ̂ là Hermite nên Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 10 -
̅̅ ̅̅ ⟨̂ |̂ ⟩ Tích vô hướng ⟨ ̂ | ̂ ⟩ luôn luôn dương nên ̅̅ ̅̅ Ta có: ̅ ⟨ ( )| ̂ ( )⟩ ∫ ( ) ( ) ( ( ) * ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) vậy: ̅ khi ( ) là hàm thực. Lưu ý tính chất sau: [̂ ̂ ] ̂ { ̅̅̅ ⟨ |̂ ⟩ ⟨ |[ ̂ ̂ ] ⟩ ⟨ |̂ ̂ ⟩ ⟨ |̂ ̂ ⟩ ⟨ |̂ ̂ ⟩ ⟨̂ |̂ ⟩ ⟨ |̂ ⟩ ⟨ |̂ ⟩ Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 11 -
Tương tự đối với ̅̅̅ Ta cũng tính được ̅̅̅ Đặt ta được: ( ) ⟨ ( )|( ) ( )⟩ ⟨ ( )| ( )⟩ ⟨ ( )| ( )⟩ ⟨ ( )| ( )⟩ ̅̅̅ ̅ + tìm cực tiểu của V: ( ) ̅ Hàm V đạt cực trị khi: ( ) ̅ Lúc này có giá trị: ( ̅) ̅̅̅ ( ̅) ( ̅) ̅̅̅ ( ̅) + Trước tiên ta xét xem trạng thái | ⟩ có chuẩn hóa hay không?? ⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩ Như vậy hàm | ⟩ là hàm chuẩn hóa. a) Các giá trị năng lượng khả dĩ là: Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 12 -
Các xác suất tương ứng với giá trị năg lượng này là: ( ) |⟨ | ⟩| |√ ⟨ | ⟩| ( ) |⟨ | ⟩| |√ ⟨ | ⟩| ( ) |⟨ | ⟩| |√ ⟨ | ⟩| ( ) |⟨ | ⟩| |√ ⟨ | ⟩| b) Các giá trị khả dĩ của toán tử ̂ là: Các xác suất để đo các giá trị , , , lần lượt là: ( ) |⟨ | ⟩| |√ ⟨ | ⟩| ( ) |⟨ | ⟩| |√ ⟨ | ⟩| ( ) |⟨ | ⟩| |√ ⟨ | ⟩| ( ) |⟨ | ⟩| |√ ⟨ | ⟩| c) Phép đo năg lượng cho giá trị nghĩa là hệ đang ở trạng thái . Vì vậy nếu ta đo đại lượng động lực A liền sau đó thì ta sẽ nhận được giá trị Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 13 -
Chương IV PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER I. Tóm tắt lý thuyết cần để giải bài tập: 1. Phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian Tiên đề IV: Sự thay đổi theo thời gian của hàm trạng thái của một hạt (hệ hạt) lượng tử được cho bởi phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian, có dạng: (⃗ ) ̂ (⃗ ) Trong đó: ̂ ̂ ̂ ( ⃗ ) là hàm Hamilton của hệ. 2. Phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian Phương trình Schrodinger cho trạng thái dừng: ̂ (⃗ ) (⃗ ) Nghiệm của phương trình có dạng: (⃗ ) ( ⃗) Do tính chất tuyến tính của phương trình nên nghiệm tổng quát có dạng khác nhau tùy theo phổ trị riêng gián đoạn hay liên tục. Khi ̂ có phổ trị riêng gián đoạn: (⃗ ) ∑ (⃗) ∑ () (⃗) Khi ̂ có phổ trị riêng liên tục: (⃗ ) ∫ (⃗) ∫ () (⃗) Trong đó: 〈 (⃗) | (⃗ )〉 〈 (⃗) | (⃗ )〉 3. Chuyển động của hạt trong giếng thế một chiều sâu vô hạn Thế năng có dạng: ( ) , Phương trình Schrodinger cho trạng thái dừng có dạng: Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 14 -
( ) ( ) Các điều kiện: Trong miền I và III: ( ) Điều kiện biên: ( ) ( ) Năng lượng của hạt ở trạng thái thứ n: Hàm sóng ứng với hạt có năng lượng En: ( ) √ 4. Dao động điều hòa lượng tử Thế năng có dạng: ( ) Phương trình Schrodinger cho trạng thái dừng có dạng: ( ) ( ) ( ) Biểu thức của năng lượng: ( * Năng lượng của dao động tử điều hòa có giá trị gián đoạn. Năng lượng thấp nhất của dao động tử là: Hàm sóng ứng với một số mức năng lượng khác nhau: ( ) ( ) √ √ ( ) ( )( * √ √ ( ) ( )( ) √ √ Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 15 -
II. Bài tập: Bài giải: + hạt ở trạng thái thứ n có hàm trạng thái là √ Như vậy xác suất tìm thấy hạt ở trạng thái thư n là: ∫ ∫ ( * ( *| Bài giải: + Dùng điều kiện chuẩn hóa xác định A ∫ ( ) ∫ ( * ∫ ( * ∫ ( * ∫ ( * ( *| ( *| √ Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 16 -
+ Xác suất đo năng lượng ở trạng thái cơ bản ( ) | | |⟨ | ⟩| Với √ Ta được ∫ √ √ ∫ √ ∫ ( * √ ( *| √ ( * √ √ Vậy xác suất ( ) | | | | √ Bài giải: + Dùng điều kiện chuẩn hóa xác định A: ∫ ( ) ∫( ) √ + Phân bố xác suất của năng lượng: | | |⟨ | ⟩| Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 17 -
⟨ | ⟩ ∫ Với √ Ta được: ∫ √ ( ) √ ∫ √ ∫ √ ( ( ) ) √ ( ( ) (( ) )+ √ ( ( ) ) Vây phân bố xác suất sẽ là | | ( √ ( ( ) ), ( ( ) ) ( ( ) ) + Động năng trung bình: ̅ ∫ ̂ ∫ ( )( ( ( ))+ ∫ ( ) + Động năng bình phương trung bình: ̅̅̅̅ ∫ ̂ ∫ ̂ ̂ ∫ ( ( )) ( ( )) Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 18 -
Bài giải: ̅ ∫ ̂ Với √ Ta được: ̅ ∫ ̂ ∫ √ ( ) √ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ( ** ∫ ∫ ( * | Tính bằng phương pháp tích phân từng phần, ta được: Đặt , ( ) , ( ) Suy ra ( *| ∫ ( * Vậy ̅ Tính ̅̅̅ Ta có ̅̅̅ ∫ ̂ ∫ √ √ ∫ ( ) Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 19 -
∫ ∫ ( * Ta tính I bằng phương pháp tích phân từng phần 2 lần. Sau khi ta lấy từng phần 2 lần ta được ( ) Suy ra ̅̅̅ ( ) ( ) Vậy ̅̅̅̅̅ ̅̅̅ ( ̅) ( ) ( * ( ) Xác suất phân bố của xung lượng của một hạt trong giêng thế 1 chiều sâu vô hạn (n=1) ( ) | | Với ⟨ ( )| ( )⟩ Trong đó ( ) √ ( ) √ ( ) { Suy ra: ∫ ( ) √ Với Suy ra Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 20 -