Bài tập phương pháp tách trong biến đổi phân thức đại số Toán nâng cao 8

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai<br /> <br /> BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TÁCH TRONG BIẾN ĐỔI<br /> PHÂN THỨC ĐẠI SỐ TOÁN NÂNG CAO 8<br /> **Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến.<br /> 1<br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> <br /> 1<br /> <br /> <br /> <br />  x  y  y  z   z  x  x  y   y  z  z  x <br /> suy ra hằng đẳng thức:<br /> <br /> 1<br /> <br /> <br /> <br /> với x  y ; y  z ; z  x . Từ kết quả trên ta có thể<br /> 1<br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> <br />  x  y  x  z   z  y  x  z   x  y  y  z <br /> <br /> (*) trong đó x ; y; z đôi<br /> <br /> một khác nhau.<br /> Thực chất ở đ}y ta thay x – y bởi z – y thay z - x bởi y – x giữ nguyên thừa số kia sẽ có hai<br /> số hạng ở vế phải, Vận dụng hằng đẳng thức (*) giải các bài tập sau:<br /> Bài toán 1:<br /> Cho a  b; b  c; c  a chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào a, b, c.<br /> A<br /> <br /> a2<br /> b2<br /> c2<br /> <br /> <br />  a  b  a  c   b  c  b  a   c  a  c  b <br /> <br /> Áp dụng hằng đẳng thức (*) A <br /> <br /> a2<br /> b2<br /> b2<br /> c2<br /> <br /> <br /> <br />  a  b  a  c  b  c  c  a   a  c b  a   c  a c  b <br /> <br />  a  b  a  b    b  c b  c <br /> a2<br /> b2<br /> b2<br /> c2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />  a  b  a  c   a  b  a  c  b  c  c  a  b  c  c  a   a  b  a  c  b  c c  a <br /> <br /> <br /> ab bc a b bc<br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> ac ca a c a c<br /> <br /> Bài toán 2:<br /> Cho a  b; b  c; c  a . Rút gọn biểu thức<br /> B<br /> <br />  x  b  x  c    x  c  x  a    x  a  x  b <br />  a  b  a  c   b  c b  a   c  a  c  b <br /> <br /> Giải Vận dụng công thức (*) ta đ ược<br /> B<br /> <br />  x  b  x  c    x  c  x  a    x  a  x  b  <br />  a  b  a  c  b  c b  a   c  a  c  b <br /> <br /> W: www.hoc247.net<br /> <br /> F: www.facebook.com/hoc247.net<br /> <br /> T: 098 1821 807<br /> <br /> Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai<br /> <br /> <br /> <br />  x  b  x  c    x  c  x  a    x  c  x  a    x  a  x  b <br />  a  b  a  c   b  c  c  a   a  c b  a   c  a  c  b <br /> <br />  x  b  x  c    x  c  x  a    x  c  x  a    x  a  x  b  <br />  a  b  a  c   b  c  c  a   a  c  a  b   a  c  c  b <br />  x  b  x  c    x  c  x  a    x  c  x  a    x  b  x  a    x  c  a  b    x  a b  c <br /> <br />  a  b  a  c <br />  b  c  c  a <br />  a  b  a  c   a  b  a  c <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> xc xa xc xa<br /> <br /> <br /> 1<br /> ac ac<br /> a c<br /> <br /> Bài toán 3:<br /> Cho a, b, c đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:<br /> a<br /> b<br /> c<br /> x<br /> <br /> <br /> <br />  a  b  a  c  x  a  b  a b  c  x  b   c  a c  b c  x   x  a  x  b  x  c <br /> <br /> Biến đổi vế tr|i, ta được:<br /> <br /> a<br /> b<br /> c<br /> =<br /> <br /> <br />  a  b  a  c  x  a  b  a b  c  x  b   c  a c  b c  x <br /> <br /> <br /> <br /> a<br /> b<br /> b<br /> c<br /> =<br /> <br /> <br /> <br />  a  b  a  c  x  a  b  a  a  c  x  b   c  a b  c  x  b  c  a c  b c  x <br /> <br /> <br /> <br /> b <br /> 1<br /> c <br />  a<br />  b<br />  x  a  x  b    c  a  (b  c)  x  b  x  c  =<br />  a  b  a  c  <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />  bx  cx  <br /> (ax  bx)<br /> 1<br /> x<br /> x<br /> <br /> .<br /> <br />  a  b  a  c   x  a  x  b   c  a b  c   x  b  x  c   a  c  x  a  x  b  c  a  x  b  x  c <br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> <br /> 1<br /> <br /> .<br /> <br /> x a  c<br /> 1 <br /> x<br />  1<br /> <br /> <br />  x  a x  c   a  c  x  b  x  c  x  a    x  b  x  c  x  a  . Sau khi biến đổi<br />  a  c  x  b  <br /> <br /> x<br /> <br /> vế trái bằng vế phải. Đẳng thức được chứng minh.<br /> Bài toán 4:<br /> Cho a, b, c đôi một khác nhau. Chứng minh:<br /> bc<br /> ca<br /> a b<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />  a  b  a  c  b  c b  a   c  a  c  b  a  b b  c c  a<br /> <br /> Giải: Ta có<br /> <br /> bc<br /> ba<br /> a c<br /> 1<br /> 1<br /> (1)<br /> <br /> <br /> <br /> <br />  a  b  a  c   a  b  a  c   a  b  a  c  c  a a  b<br /> <br /> Tương tự ta có:<br /> <br /> W: www.hoc247.net<br /> <br /> ca<br /> 1<br /> 1<br /> <br /> <br />  b  c  b  a  b  c a  b<br /> <br /> (2)<br /> <br /> F: www.facebook.com/hoc247.net<br /> <br /> T: 098 1821 807<br /> <br /> Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai<br /> <br /> a b<br /> 1<br /> 1<br /> (3)<br /> <br /> <br />  c  b  c  a  b  c c  a<br /> <br /> Từ (1) ;(2) và (3) ta có<br /> bc<br /> ca<br /> a b<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />  a  b  a  c  b  c b  a   c  a  c  b  c  a a  b b  c a  b b  c c  a<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> (đpcm)<br /> <br /> <br /> a b bc c a<br /> <br /> Bài toán 5:<br /> Rút gọn biểu thức:<br /> a 2  bc<br /> b2  ac<br /> c 2  ab<br /> với a  b; b  c; c  a<br /> <br /> <br />  a  b  a  c  b  c b  a   c  a  c  b <br /> <br /> Giải:<br /> Ta có:<br /> <br /> a 2  bc<br /> a 2  ab  bc  ab a(a  b)  b(c  a )<br /> a<br /> b<br /> (1)<br /> <br /> <br /> <br /> <br />  a  b  a  c   a  b  a  c <br />  a  b  a  c  a  c a  b<br /> <br /> b2  ac<br /> b<br /> c<br /> Tương tự:<br /> (2)<br /> <br /> <br />  b  a b  c  a  b b  c<br /> <br /> c 2  ab<br /> c<br /> a<br /> (3)<br /> <br /> <br />  c  a  b  c  c  b c  a<br /> <br /> Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế ta có<br /> a 2  bc<br /> b2  ac<br /> c 2  ab<br /> a<br /> b<br /> b<br /> c<br /> c<br /> a<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 0<br />  a  b  a  c  b  c b  a   c  a  c  b  a  c a  b a  b b  c c  b c  a<br /> <br /> Bài toán 6:<br /> Cho ba phân thức<br /> <br /> a b<br /> bc<br /> ca<br /> ;<br /> ;<br /> . Chứng minh rằng tổng ba phân thức bằng tích của<br /> 1  ab 1  bc 1  ca<br /> <br /> chúng.<br /> Giải:<br /> Ta có :<br /> <br /> bc ba a c<br /> a b b c c a a b b a a c c a<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> nên<br /> 1  bc 1  bc 1  bc<br /> 1  ab 1  bc 1  ca 1  ab 1  bc 1  bc 1  ca<br /> <br /> 1 <br /> 1   a  b 1  bc  1  ab   c  a 1  bc  1  ac <br />  1<br />  1<br />   a  b <br /> <br /> <br />    c  a  1  ac  1  bc  <br /> 1  ab 1  bc <br /> 1  ac 1  bc <br /> 1  ab 1  bc <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> b  a  b  c  a <br /> <br />  a  b  c  a   b  c    a  b  c  a b  c <br /> (đpcm).<br /> 1  ab 1  bc  1  ac 1  bc <br /> 1  bc  1  ab 1  ac  1  ab 1  bc 1  ac <br /> <br /> <br /> <br /> W: www.hoc247.net<br /> <br /> <br /> <br /> c  c  a  b  a <br /> <br /> <br /> <br /> F: www.facebook.com/hoc247.net<br /> <br /> T: 098 1821 807<br /> <br /> Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai<br /> <br /> Bài toán 7:<br /> Cho ba số nguyên dương a, b, c tuỳ ý, tổng sau có phải là số nguyên dương không?<br /> a<br /> b<br /> c<br /> <br /> <br /> ab bc ca<br /> <br /> Giải:<br /> Ta có M <br /> <br /> a<br /> b<br /> c<br /> a<br /> b<br /> c<br /> a bc<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> ab bc ca a bc abc abc abc<br /> <br /> hay M > 1 .<br /> <br /> b  <br /> c  <br /> a <br /> b<br /> c<br /> a<br /> <br /> <br /> <br /> M  1 <br /> <br /> <br />   1 <br />   1 <br />   3<br />   3  1  2 hay M < 2<br />  ab   bc   ca <br />  a b c b c a c a b <br /> <br /> Vậy 1 < M