Bài tập phương trình và hệ phương trình Toán nâng cao 9

Chia sẻ: Trần Hạo Tôn | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:19

Thêm vào BST

Báo xấu

120
lượt xem 14
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các em cùng tham khảo Bài tập phương trình và hệ phương trình Toán nâng cao 9 để tích lũy kiến thức và nâng cao kỹ năng giải bài tập nhằm mang lại hiệu quả cao trong việc ôn thi.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập phương trình và hệ phương trình Toán nâng cao 9

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai 34 BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN NÂNG CAO LỚP 9 Bài toán 1: Giải phương trình x  2  10  x  x2  12 x  40 a  b Bổ đề : Với a  0; b  0 a  b   a  b  a  b 2 2   a  b  2 a 2  b2  x  2  10  x  2  x  2  10  x   4 mà Giải: Điều kiện : 2  x  10 , Ta có  2  x 2  12 x  40  x 2  12 x  36  4   x  6   4  4 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2  x  2  10  x  x  6 . Vậy phương trình có nghiệm x = 6  x  6  0 Hoặc: Áp dung bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm ta có  x  2  .4 x  2  10  x  2 10  x  .4  2  x  2  4 10  x  4   4. 4 4 x  2  4  x6. 10  x  4 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  Bài toán 2: Giải phương trình: x2  x  1  x  x 2  1  x 2  x  2 Vì x2  x  1  0 và x  x2  1  0 nên Áp dụng bất đẳng thức Cô si mỗi số hạng của vế trái ta được:   x 2  x  1 .1  x  x 2   1 .1  x2  x  1  1 x2  x  2 2 x  x2  1  1 x  x2  2  2 2 Cộng (1) và (2) vế theo vế ta có: (1) (2) x2  x 1  x  x2  1  x2  x x  x2  2   x  1 nên theo đề 2 2 ta có : x2  x  2  x  1   x  1  0 . Đẳng thức xảy ra khi x = 1 . Thử lại ta thấy x = 1 thoả . Vậy 2 phương trình có nghiệm là x = 1. Bài toán 3: Giải phương trình: W: www.hoc247.net 2 x  3  5  2 x  3x 2  12 x  14 (1) F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai 3  x  2 x  3  0  2 Điều kiện tồn tại phương trình:   5  2x  0 5  x   2  3 5  x  (*) 2 2  Vế phải của (1): 3x2  12 x  14  3  x 2  4 x  4   2  3  x  2   2  2 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ 2 khi x = 2. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki thoả mãn (*) thì vế trái của phương trình (1): 2x  3  5  2x  1 2   12  2 x  3  5  2 x   4  2 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2x  3  5  2 x  x  2 . Đẳng thức xảy ra ở phương trình (1) là 2 nên x = 2 là nghiệm của phương trình. Hoặc Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm ta có:  2 x  3 .1  5  2 x  .1  2x  3 1 5  2x 1   2 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 2 2 x  3  1  x  2 . Đẳng thức xảy ra ở phương trình (1) là 2 nên x = 2 là nghiệm của  5  2 x  1 phương trình. Bài toán 4: Giải phương trình: x2  2 x  3  2 x 2  x  1  3x  3x 2 . (1) 2 x 2  x  0  2 1  3x  3x  0  Giải: Điều kiện  (2). Vế trái của phương trình (1): x2  2 x  3   x  1  2  2 với mọi x  . đẳng thức xảy ra khi x 2 = 1. Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki với mọi x thoả mãn (2) thì vế phải của phương trình (1) thoả: 2 x 2  x  1  3x  3x 2  1 2    12 2 x 2  x  1  3x  3x 2  2  4 x  2 x 2  4   x  1  2 . đẳng 2 thức xảy ra khi 2 x2  x  1  3x  3x2 . Để đẳng thức xảy ra ở phương trình (1) thì cả hai vế của phương trình (1) đều bằng 2. Nên x = 1. Thử lại thấy x = 1 là nghiệm của phương trình. Bài toán 5: Giải phương trình: 5 1  x3  2  x 2  2  (1) Giải: Điều kiện 1  x3  0   x  1  x2  x  1  0 Do x2  x  1  0 với mọi x nên x  1  0  x  1 Đặt a  x  1 ; b  x 2  x  1 với a  0 ; b  0 . Nên phương trình (1) trở thành : W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai  5ab  2 a  b 2 2  2 a a 1 a a  2    5    2  0. Giải phương trình này được  2 hoặc  b b 2 b b Với a  2 thì phương trình (1) vô nghiệm b Với  x  1 a 1 . Phương trình có hai nghiệm thoả điều  thì 2 x  1  x 2  x  1   2 b 2  x  5x  3  0 kiện x1  5  37 2 ; x2  5  37 . 2 42 60   6 (1) 5 x 7x Bài toán 6: Giải phương trình: Phương trình (1) có nghĩa khi x < 5 nên 1   3    42   60    3  0 5 x   7x      42  42   3  3   3 5  x  5 x      42  3  5 x   42 60 9 5 x  7x  0 0     42 60  3  3  5 x   7x     9  5  x   42  42  5  x   3   5 x    60  60   3   7  x  7x   60  3  7x   9  7  x   60  60  7  x  3   7x   9 0     1 1    0  3 1  3x   0  3 1  3x          5  x   3  42   7  x   3  60   5 x  7 x       1  5  x   3   42   5 x   1  7  x  3   60   7x  vì 1 3 > 0 nên x  . Thử lại đúng nên nghiệm của phương 1 3 trình là x  . Bài toán 7: Giải phương trình: x  x  2   x  x  5   x  x  3 (1) Điều kiện để phương trình có nghĩa là : 3  x  0 ;0  x  5 . Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được: x  x  2  x  x  5  2 x 2  x  2  x  5  x  x  3 W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai   2 x 2  x  2  x  5  10 x  x 2  4 x 2  x  2  x  5  10 x  x 2    2  4 x2  x  2  x  5  100 x2  20 x3  x 4  4 x 2 x 2  7 x  10  100 x 2  20 x3  x  3x 4  8x3  60 x 2  0  10   x 2 3x 2  8x  60  0 . Giải phương trình này được x   ;0;6 . Thử lai chỉ có hai nghiệm  3    x = 0; x = 6 thoả mãn đề cho. Bài toán 8: Giải phương trình:    (1) x  5  x  2 1  x 2  7 x  10  3 Điều kiện x > -2 và x2  7 x  10   x  2 x  5 . Nhân hai vế của phương trình (1) với    x  2  x  5 ta được:  x  2    x  5 1      3 1  x  2 x  5   3    x  2 x  5   3  x2  x5  x2  x5      x  5 1 x  2  1 x  2  0     x2  x5   x  2 x  5  1  0  x  5 1 1 x  2  0  x  5 1  0  x  5  1  x  4 Do x > -2 nên x = -4 (loại). Vậy nghiệm của phương     x  2  1  x  1 1  x  2  0  trình x = -1. ***Cách giải khác: Đặt a  x  2  a2  x  2 ; b  x  5  b2  x  5 nên b2  a2  x  5  x  2  3 b2  a 2  3 phương trình (1) trở thành:  (b  a)(1  ab)  3 .Do đó (*) Từ hệ (*) suy ra b2  a2   b  a 1  ab   b  a  a  b  ab  1  0 a  b b  a  0   a  b  1 khi đó ta cũng có x = -1.  a  b  ab  1  0   a  1 b  1  0 Bài toán 9: Giải phương trình: 25  x2  10  x2  3 (1) 25  x 2  0  x 2  25    2  x 2  10   10  x  10 (*). Giải: Điều kiện  2 10  x  0  x  10   Đặt 0  a  25  x2 ; 10  x2  b  0  a2  b2  25  x2  10  x2  15 . Nên phương trình (1) trở W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai a  b  3 a  b  3 a  4   2 2 a  b  15 a  b  5 b  1 thành  Nếu b = 1 thì 10  x2  1  x2  9  x  3 so với điều kiên (*) x  3 thoả Nếu a = 4 thì 25  x2  16  x2  9  x  3 so với điều kiên (*) x  3 thoả. Vậy phương trình có nghiệm là x  3 . Bài toán 10: Giải phương trình: 3 x  1  3 x  1  3 5x (*) Lập phương hai vế của phương trình (*) ta được: 5x  x  1  x  1  3 3  x  1 x  1  3 x  1  3 x  1  5x  2 x  3 3 x 2  1. 3 5x      3 x2  1. 3 5x  x  x3  5x x 2  1  4 x3  5x  0  x  0 hoặc x   5 . Thử lại ta thấy 2 phương trinh có đúng ba nghiệm trên. Bài toán 11: Giải phương trình 3 1  x  3 1  x  2 (1) Điều kiện: x  0 . Đặt 3 1  x  a ; 3 1  x  b  a3  1  x ;  b3  1  x nên phương trình (1) trở thành a  b  2 a  2  b a  b  2 a  b  2     2   3 3 2 2 2 a  b  a 2  ab  b 2  2 a  b  2 a  ab  b  1  2  b   b  2  b   b  1  0      a  2  b a  2  b a  2  b    2   a  b 1 2 2 2 2  b  1  0 4  4b  b  2b  b  b  1  0 b  2b  1  0  Nếu a = 1 thì 1  x  1  x  0  x  0 Nếu b = 1 thì 1  x  1  x  0  x  0 . Vậy x = 0 là một nghiệm của phương trình. Bài toán 12: Giải phương trình 3 2  x  x 1  1 Giải: TXĐ x 1  0  x  1 . Đặt 3 2  x  a ; W: www.hoc247.net (1) x  1  b  0 . Nên phương trình đã cho trở thành: F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807