intTypePromotion=1
ADSENSE

bài tập toán cao cấp (tập 3: phép tính tích phân, lý thuyết chuỗi, phương trình vi phân): phần 1

Chia sẻ: Hấp Hấp | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:178

240
lượt xem
60
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

phần 1 cuốn sách "bài tập toán cao cấp (tập 3: phép tính tích phân, lý thuyết chuỗi, phương trình vi phân)" do nguyễn thủy thanh biên soạn cung cấp cho người học các bài tập về tích phân bất định, tích phân xác định riemann, tích phân hàm nhiều biến. mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: bài tập toán cao cấp (tập 3: phép tính tích phân, lý thuyết chuỗi, phương trình vi phân): phần 1

  1. MATH-EDUCARE www.matheducare.com
  2. MATH-EDUCARE ˜ ’ THANH ˆ N THUY NGUYE ` TA BAI ˆ. P ´ CAO CA TOAN ˆ´P Tˆa.p 3 Ph´ep t´ınh t´ıch phˆan. L´y thuyˆe´t chuˆo˜ i. Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan NHA ˆ´T BA ` XUA . . ˆ´C GIA HA ’ N DAI HOC QUO ` NO ˆ. I www.matheducare.com
  3. MATH-EDUCARE Mu.c lu.c 10 T´ıch phˆan bˆa´t di.nh 4 10.1 C´ac phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan . . . . . . . . . . . . 4 10.1.1 Nguyˆen h`am v`a t´ıch phˆan bˆa´t di.nh . . . . . . . 4 10.1.2 Phu.o.ng ph´ap dˆo’i biˆe´n . . . . . . . . . . . . . . 12 10.1.3 Phu.o.ng ph´ap t´ıch phˆan t` u.ng phˆ `an . . . . . . . 21 10.2 C´ac l´o.p h`am kha’ t´ıch trong l´o.p c´ac h`am so. cˆa´p . . . . 30 10.2.1 T´ıch phˆan c´ac h`am h˜ u.u ty’ . . . . . . . . . . . . 30 10.2.2 T´ıch phˆan mˆo.t sˆo´ h`am vˆo ty’ do.n gia’n . . . . . 37 10.2.3 T´ıch phˆan c´ac h`am lu.o..ng gi´ac . . . . . . . . . . 48 11 T´ıch phˆan x´ ac di.nh Riemann 57 11.1 H`am kha’ t´ıch Riemann v`a t´ıch phˆan x´ac di.nh . . . . . 58 11.1.1 D - i.nh ngh˜ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 11.1.2 D - iˆ`eu kiˆe.n dˆe’ h`am kha’ t´ıch . . . . . . . . . . . . 59 11.1.3 C´ac t´ınh chˆa´t co. ba’n cu’a t´ıch phˆan x´ac di.nh . . 59 11.2 Phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan x´ac d i.nh . . . . . . . . . 61 ´.ng du.ng cu’a t´ıch phˆan x´ac d i.nh . . . . . . 11.3 Mˆo.t sˆo´ u . . 78 11.3.1 Diˆe.n t´ıch h`ınh ph˘a’ng v`a thˆe’ t´ıch vˆa.t thˆe’ . . . . 78 11.3.2 T´ınh dˆo. d`ai cung v`a diˆe.n t´ıch m˘a.t tr`on xoay . . 89 11.4 T´ıch phˆan suy rˆo.ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 11.4.1 T´ıch phˆan suy rˆo.ng cˆa.n vˆo ha.n . . . . . . . . . 98 11.4.2 T´ıch phˆan suy rˆo.ng cu’a h`am khˆong bi. ch˘a.n . . 107 www.matheducare.com
  4. MATH-EDUCARE 2 MU . C LU .C 12 T´ıch phˆan h` am nhiˆ `eu biˆe´n 117 12.1 T´ıch phˆan 2-l´o.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 12.1.1 Tru.`o.ng ho..p miˆ `en ch˜u. nhˆa.t . . . . . . . . . . . 118 12.1.2 Tru.`o.ng ho..p miˆ `en cong . . . . . . . . . . . . . . 118 12.1.3 Mˆo.t v`ai u ´.ng du.ng trong h`ınh ho.c . . . . . . . . 121 12.2 T´ıch phˆan 3-l´o.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 12.2.1 Tru.`o.ng ho..p miˆ `en h`ınh hˆo.p . . . . . . . . . . . 133 12.2.2 Tru.`o.ng ho..p miˆ `en cong . . . . . . . . . . . . . . 134 12.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 12.2.4 Nhˆa.n x´et chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 12.3 T´ıch phˆan d u.`o.ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 12.3.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co. ba’n . . . . . . . . . . . . . . 144 12.3.2 T´ınh t´ıch phˆan du.`o.ng . . . . . . . . . . . . . . 146 12.4 T´ıch phˆan m˘a.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 12.4.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co. ba’n . . . . . . . . . . . . . . 158 12.4.2 Phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan m˘a.t . . . . . . . . 160 12.4.3 Cˆong th´ u.c Gauss-Ostrogradski . . . . . . . . . 162 12.4.4 Cˆong th´ u.c Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 13 L´ y thuyˆ e´t chuˆ ˜i o 177 13.1 Chuˆ˜o i sˆo´ du.o.ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 13.1.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co. ba’n . . . . . . . . . . . . . . 178 13.1.2 Chuˆ˜o i sˆo´ du.o.ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 13.2 Chuˆ˜o i hˆo.i tu. tuyˆe.t d ˆo´i v`a hˆo.i tu. khˆong tuyˆe.t d ˆo´i . . . 191 13.2.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co. ba’n . . . . . . . . . . . . . . 191 13.2.2 Chuˆ˜o i dan dˆa´u v`a dˆa´u hiˆe.u Leibnitz . . . . . . 192 13.3 Chuˆ˜o i l˜ uy th` u.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 13.3.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co. ba’n . . . . . . . . . . . . . . 199 13.3.2 D - iˆ`eu kiˆe.n khai triˆe’n v`a phu.o.ng ph´ap khai triˆe’n 201 13.4 Chuˆo˜ i Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 13.4.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co. ba’n . . . . . . . . . . . . . . 211 www.matheducare.com
  5. MATH-EDUCARE MU . C LU .C 3 `e su.. hˆo.i tu. cu’a chuˆo˜ i Fourier . . . 212 13.4.2 Dˆa´u hiˆe.u du’ vˆ 14 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆ an 224 14.1 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan cˆa´p 1 . . . . . . . . . . . . . . . 225 14.1.1 Phu.o.ng tr`ınh t´ach biˆe´n . . . . . . . . . . . . . . 226 14.1.2 Phu.o.ng tr`ınh d a˘’ ng cˆa´p . . . . . . . . . . . . . 231 14.1.3 Phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh . . . . . . . . . . . . . 237 14.1.4 Phu.o.ng tr`ınh Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . 244 14.1.5 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan to`an phˆ `an . . . . . . . . 247 14.1.6 Phu.o.ng tr`ınh Lagrange v`a phu.o.ng tr`ınh Clairaut255 14.2 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan cˆa´p cao . . . . . . . . . . . . . . 259 14.2.1 C´ac phu.o.ng tr`ınh cho ph´ep ha. thˆa´p cˆa´p . . . . 260 14.2.2 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe´n t´ınh cˆa´p 2 v´o.i hˆe. sˆo´ h˘a`ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 14.2.3 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe´n t´ınh thuˆ `an nhˆa´t cˆa´p n (ptvptn cˆa´p n ) v´o.i hˆe. sˆo´ h˘`ang . . . . . . 273 14.3 Hˆe. phu.o.ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe´n t´ınh cˆa´p 1 v´o.i hˆe. sˆo´ h˘`ang290 15 Kh´ ai niˆe.m vˆ`e phu.o.ng tr`ınh vi phˆ an da.o h` am riˆ eng 304 15.1 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan cˆa´p 1 tuyˆe´n t´ınh dˆo´i v´o.i c´ac da.o h`am riˆeng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 15.2 Gia’i phu.o.ng tr`ınh d a.o h`am riˆeng cˆa´p 2 d o.n gia’n nhˆa´t 310 15.3 C´ac phu.o.ng tr`ınh vˆa.t l´ y to´an co. ba’n . . . . . . . . . . 313 15.3.1 Phu.o.ng tr`ınh truyˆ `en s´ong . . . . . . . . . . . . 314 . . 15.3.2 Phu o ng tr`ınh truyˆ `en nhiˆe.t . . . . . . . . . . . . 317 15.3.3 Phu.o.ng tr`ınh Laplace . . . . . . . . . . . . . . 320 T` e.u tham kha’o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ai liˆ 327 www.matheducare.com
  6. MATH-EDUCARE Chu.o.ng 10 T´ıch phˆ a´t di.nh an bˆ ac phu.o.ng ph´ 10.1 C´ ap t´ınh t´ıch phˆ an . . . . . . 4 10.1.1 Nguyˆen h`am v` a t´ıch phˆ an bˆa´t di.nh . . . . . 4 10.1.2 Phu.o.ng ph´ o’i biˆe´n . . . . . . . . . . . . 12 ap dˆ 10.1.3 Phu.o.ng ph´ ap t´ıch phˆ u.ng phˆ an t` `an . . . . . 21 10.2 C´ o.p h` ac l´ am kha’ t´ıch trong l´ o.p c´ ac h`am . a´p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 so cˆ 10.2.1 T´ıch phˆ an c´ ac h` u.u ty’ . . . . . . . . . 30 am h˜ 10.2.2 T´ıch phˆ an mˆ o´ h` o.t sˆ am vˆ o ty’ do.n gia’n . . . 37 10.2.3 T´ıch phˆ an c´ ac h` am lu.o..ng gi´ac . . . . . . . 48 10.1 ac phu.o.ng ph´ C´ ap t´ınh t´ıch phˆ an 10.1.1 Nguyˆ en h` am v` a t´ıch phˆ a´t di.nh an bˆ - i.nh ngh˜ıa 10.1.1. H`am F (x) du.o..c go.i l`a nguyˆen h`am cu’a h`am D f (x) trˆen khoa’ng n`ao d´o nˆe´u F (x) liˆen tu.c trˆen khoa’ng d´o v`a kha’ vi www.matheducare.com
  7. MATH-EDUCARE 10.1. C´ac phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan 5 ta.i mˆo˜ i diˆe’m trong cu’a khoa’ng v`a F 0(x) = f(x). - i.nh l´ D y 10.1.1. (vˆ `e su.. tˆ `on ta.i nguyˆen h`am) Mo.i h` am liˆen tu.c trˆen `eu c´ doa.n [a, b] dˆ o nguyˆen h` am trˆen khoa’ng (a, b). - i.nh l´ D y 10.1.2. C´ ac nguyˆen h` am bˆ a´t k`y cu’a c` ung mˆo.t h` am l` a chı’ kh´ . ac nhau bo’ i mˆ o.t h˘ `ng sˆ a o´ cˆ o.ng. Kh´ac v´o.i da.o h`am, nguyˆen h`am cu’a h`am so. cˆa´p khˆong pha’i bao gi`o. c˜ ung l`a h`am so. cˆa´p. Ch˘a’ng ha.n, nguyˆen h`am cu’a c´ac h`am e−x , 2 1 cos x sin x cos(x2), sin(x2), , , ,... l`a nh˜ u.ng h`am khˆong so. cˆa´p. lnx x x - i.nh ngh˜ıa 10.1.2. Tˆa.p ho..p mo.i nguyˆen h`am cu’a h`am f (x) trˆen D khoa’ng (a, b) du.o..c go.i l`a t´ıch phˆan bˆa´t di.nh cu’a h`am f (x) trˆen khoa’ng (a, b) v`a du.o..c k´ y hiˆe.u l`a Z f (x)dx. Nˆe´u F (x) l`a mˆo.t trong c´ac nguyˆen h`am cu’a h`am f (x) trˆen khoa’ng (a, b) th`ı theo di.nh l´ y 10.1.2 Z f(x)dx = F (x) + C, C ∈ R trong d´o C l`a h˘`ang sˆo´ t` uy y u.c cˆ ´ v`a d˘a’ng th´ u.c gi˜ `an hiˆe’u l`a d˘a’ng th´ u.a hai tˆa.p ho..p. C´ac t´ınh chˆa´t co. ba’n cu’a t´ıch phˆan bˆa´t di.nh: Z  1) d f (x)dx = f(x)dx. Z 0 2) f (x)dx = f (x). Z Z 3) df(x) = f 0 (x)dx = f(x) + C. T`u. di.nh ngh˜ıa t´ıch phˆan bˆa´t di.nh r´ ut ra ba’ng c´ac t´ıch phˆan co. ba’n (thu.`o.ng du.o..c go.i l`a t´ıch phˆan ba’ng) sau dˆay: www.matheducare.com
  8. MATH-EDUCARE 6 Chu.o.ng 10. T´ıch phˆan bˆa´t di.nh Z I. 0.dx = C. Z II. 1dx = x + C. Z xα+1 III. xαdx = + C, α 6= −1 α+1 Z dx IV. = ln|x| + C, x 6= 0. x Z Z x ax V. a dx = + C (0 < a 6= 1); ex dx = ex + C. lna Z VI. sin xdx = − cos x + C. Z VII. cos xdx = sin x + C. Z dx π VIII. 2 = tgx + C, x 6= + nπ, n ∈ Z. cos x 2 Z dx IX. = −cotgx + C, x 6= nπ, n ∈ Z. sin2 x  Z arc sin x + C, dx X. √ = −1 < x < 1. 1 − x2 −arc cos x + C  Z arctgx + C, dx XI. = 1 + x2 −arccotgx + C. Z √ dx XII. √ = ln|x + x2 ± 1| + C x2 ± 1 (trong tru.`o.ng ho..p dˆa´u tr` u. th`ı x < −1 ho˘a.c x > 1). Z dx 1
  9. 1 + x
  10. XIII. = ln
  11. + C, |x| = 6 1. 1 − x2 2 1−x C´ac quy t˘´ac t´ınh t´ıch phˆan bˆa´t di.nh: www.matheducare.com
  12. MATH-EDUCARE 10.1. C´ac phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan 7 Z Z 1) kf (x)dx = k f (x)dx, k 6= 0. Z Z Z 2) [f(x) ± g(x)]dx = f (x)dx ± g(x)dx. Z 3) Nˆe´u f(x)dx = F (x) + C v`a u = ϕ(x) kha’ vi liˆen tu.c th`ı Z f (u)du = F (u) + C. ´ V´I DU CAC . V´ı du. 1. Ch´ u.ng minh r˘`ang h`am y = signx c´o nguyˆen h`am trˆen khoa’ng bˆa´t k` y khˆong ch´ u.a diˆe’m x = 0 v`a khˆong c´o nguyˆen h`am trˆen mo.i khoa’ng ch´ u.a diˆe’m x = 0. Gia’i. 1) Trˆen khoa’ng bˆa´t k` u.a diˆe’m x = 0 h`am y = signx y khˆong ch´ l`a h˘a`ng sˆo´. Ch˘a’ng ha.n v´o.i mo.i khoa’ng (a, b), 0 < a < b ta c´o signx = 1 v`a do d´o mo.i nguyˆen h`am cu’a n´o trˆen (a, b) c´o da.ng F (x) = x + C, C ∈ R. 2) Ta x´et khoa’ng (a, b) m`a a < 0 < b. Trˆen khoa’ng (a, 0) mo.i nguyˆen h`am cu’a signx c´o da.ng F (x) = −x + C1 c`on trˆen khoa’ng (0, b) nguyˆen h`am c´o da.ng F (x) = x + C2. V´o.i mo.i c´ach cho.n h˘`ang sˆo´ C1 v`a C2 ta thu du.o..c h`am [trˆen (a, b)] khˆong c´o da.o h`am ta.i diˆe’m x = 0. Nˆe´u ta cho.n C = C1 = C2 th`ı thu du.o..c h`am liˆen tu.c y = |x| + C nhu.ng khˆong kha’ vi ta.i diˆe’m x = 0. T` u. d´o, theo di.nh ngh˜ıa 1 h`am signx khˆong c´o nguyˆen h`am trˆen (a, b), a < 0 < b. N V´ı du. 2. T`ım nguyˆen h`am cu’a h`am f (x) = e|x| trˆen to`an tru.c sˆo´. Gia’i. V´o.i x > 0 ta c´o e|x| = ex v`a do d´o trong miˆ `en x > 0 mˆo.t trong c´ac nguyˆen h`am l`a ex . Khi x < 0 ta c´o e|x| = e−x v`a do vˆa.y trong miˆ `en x < 0 mˆo.t trong c´ac nguyˆen h`am l`a −e−x + C v´o.i h˘`ang sˆo´ C bˆa´t k`y. Theo di.nh ngh˜ıa, nguyˆen h`am cu’a h`am e|x| pha’i liˆen tu.c nˆen n´o www.matheducare.com
  13. MATH-EDUCARE 8 Chu.o.ng 10. T´ıch phˆan bˆa´t di.nh `eu kiˆe.n pha’i tho’a m˜an diˆ lim ex = lim (−e−x + C) x→0+0 x→0−0 u.c l`a 1 = −1 + C ⇒ C = 2. t´ Nhu. vˆa.y   ex nˆe´u x > 0,   F (x) = 1 nˆe´u x = 0,    −e−x + 2 nˆe´u x < 0 u.ng minh r˘`ang F (x) l`a nguyˆen l`a h`am liˆen tu.c trˆen to`an tru.c sˆo´. Ta ch´ h`am cu’a h`am e|x| trˆen to`an tru.c sˆo´. Thˆa.t vˆa.y, v´o.i x > 0 ta c´o F 0(x) = ex = e|x|, v´o.i x < 0 th`ı F 0(x) = e−x = e|x|. Ta c`on cˆ `an pha’i ch´ u.ng minh r˘a`ng F 0(0) = e0 = 1. Ta c´o F (x) − F (0) ex − 1 F+0 (0) = lim = lim = 1, x→0+0 x x→0+0 x F (x) − F (0) −e−x + 2 − 1 F−0 (0) = lim = lim = 1. x→0−0 x x→0−0 x Nhu. vˆa.y F+0 (0) = F−0 (0) = F 0(0) = 1 = e|x|. T`u. d´o c´o thˆe’ viˆe´t:  Z ex + C, x
  14. x
  15. F (x) = ln|x| + 2 − ln2 = ln
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2