intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài tập Toán tích phân

Chia sẻ: Nguyễn Thị Hồng Huệ | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:11

Thêm vào BST
Báo xấu
498
lượt xem 190
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo chuyên đề toán học về Toán tích phân

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập Toán tích phân

  1. Trường THPT Phân hiệu Lương Tâm GV: Phạm Minh Đen Chuyên đề: TÍCH PHÂN A – CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN: I – Phương pháp đổi biến số: 1) Đổi biến dạng u = u(x): Phương pháp chung: • Bước 1: chọn t = u(x), trong đó u(x) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp • Bước 2: Lấy vi phân dt = u’ (x)dx • Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt • Bước 4: Khi đó I = ∫ g (t )dt Dấu hiệu Cách chọn Hàm số có mẫu t là mẫu số Hàm số f(x, ϕ (x) ) t = ϕ (x) a sin x + b cos x x x Hàm f(x) = t = tan (với cos ≠ 0 ) c sin x + d cos x + e 2 2 1 + Với x + a > 0 và x + b > 0, đặt t = x + a + x + b Hàm f ( x) = ( x + a )( x + b ) +Với x + a < 0 và x + b < 0, đặt t = x + a + − x − b Ví dụ: Tính các tích phân sau: xdx e3x a) ∫ b) ∫ e x − 1dx c) ∫ 2 x ∫ x( x + 1) 10 dx d) dx x2 + 3 e +1 Giải a) Đặt u = x 2 + 3 ⇒ u 2 = x 2 + 3 ⇒ 2udu = 2 xdx ⇒ udu = xdx xdx udu ∫ x 2 + 3 = ∫ u = ∫ du = u + C = x + 3 + C 2 2udu 2udu b) Đặt u = e x − 1 ⇒ u 2 = e x − 1 ⇒ 2udu = e x dx, e x = u 2 + 1 ⇒ dx = = 2 ex u +1 ( ) c) Đặt u = e x ⇒ du = e x dx , e 2 x = e x 2 = u2 2udu u 2 du du ∫ e x − 1dx = ∫ u. u +1 2 = 2∫ 2 u +1 = 2 ∫ du − 2 ∫ 2 u +1 = 2u − 2 arctan u + C = 2 e x − 1 − 2 arctan e x − 1 + C e3x e 2 x .e x u2 1 ∫ e2x + 1 dx = ∫ 2 x e +1 dx = ∫ 2 du = ∫ du − ∫ 2 du = u − arctan u + C = e x − arctan e x + C u +1 u +1 d) Đặt u = x + 1 ⇒ x = u − 1 ⇒ dx = du u 12 u 11 1 1 ∫ x( x + 1)10 dx = ∫ (u − 1)u 10 du = ∫ u 11 du − ∫ u 10 du = − 12 11 + C = ( x + 1)12 − ( x + 1)11 + C 12 11 2) Đổi biến dạng x = ϕ (t) Phương pháp chung: • Bước 1: chọn x = ϕ (t), trong đó ϕ (t) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp • Bước 2: Lấy vi phân dx = ϕ ’ (t)dt • Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt • Bước 4: Khi đó I = ∫ g (t )dt  Các dấu hiệu: Tài liệu ôn thi ĐẠI HỌC 1
  2. Trường THPT Phân hiệu Lương Tâm GV: Phạm Minh Đen Dấu hiệu Cách chọn a2 − x2 π π x = a sint với − ≤ t ≤ hoặc 2 2 x = a cost với 0 ≤ t ≤ π x2 − a2 a  π π x= với t ∈ − ;  \ { 0} hoặc sin t  2 2 a π  x= với t ∈ [ 0; π ] \   cos t 2 x2 + a2 π π x = a tant với − < t < hoặc 2 2 x = a cot t với 0 < t < π a+x a−x x = a.cos2t hoặc a−x a+x ( x − a )( b − x ) x=a+(b-a)sin 2 t Ví dụ: Tính ∫ 1 − x 2 dx Giải π π Đặt x = sint với − ≤t ≤ 2 2 π π ⇒ x ′(t ) = cos t và 1 − x 2 = 1 − sin 2 t = cos 2 t = cos t = cos t vì − ≤t ≤ 2 2 1 + 2 cos t 1 1 1 1 ∫ 1 − x 2 dx = ∫ cos t. cos tdt = ∫ cos 2 tdt = ∫ 2 dt = ∫ dt + ∫ cos 2td (2t ) = t + sin 2t + C 2 4 2 4 π π 1 1 1 Mà x = sint với − ≤ t ≤ ⇒ t = arcsin x và sin 2t = sin t. cos t = x 1 − x + C 2 2 2 4 2 2 1 x Nên ∫ 1 − x dx = arcsin x + 1− x2 + C 2 2 2 Chú ý: Tính tương tự như trên ta có công thức sau: a2 x x π π ∫ a − x dx = arcsin + a 2 − x 2 + C với a > 0 (Bằng cách đặt x = asint với − ≤ t ≤ ) 2 2 2 2 2 2 2 II – Phương pháp tích phân từng phần: Ta thực hiện theo các bước sau: • Bước 1: biến đổi tích phân ban đầu về dạng: ∫ f ( x).g ( x) dx u = f ( x ) du = ? • Bước 2: Đặt  ⇒ dv = g ( x) dx v = ? • Bước 3: Khi đó: I = u.v − ∫ udu Tài liệu ôn thi ĐẠI HỌC 2
  3. Trường THPT Phân hiệu Lương Tâm GV: Phạm Minh Đen  Dấu hiệu nhận biết: Khi tính những tích phân dạng ∫ f ( x).g ( x) dx với f(x) và g(x) là những hàm sơ cấp cơ bản không cùng loại ta thường dùng tích phân từng phần. Cụ thể như sau: a) Nếu f(x) là hàm đa thức và g(x) là những hàm như hàm sin, cos, hàm mũ thì đặt: u = f(x) ; dv = g(x)dx b) Nếu f(x) là hàm đa thức và g(x) là hàm lôgarit thì đặt u = g(x),dv = f(x)dx c) Nếu ∫ f ( x).g ( x) dx = ∫ e cos(bx )dx hoặc ∫ f ( x ).g ( x)dx = ∫ e sin(bx)dx thì đặt: ax ax u = cos(bx) , dv = e ax dx hoặc u = sin(bx) , dv = e ax dx d) Nếu f(x) = x 2 ± a 2 hoặc f(x) = a 2 − x 2 , g(x) = 1 thì đặt u = f(x) , dv = g(x)dx = dx Ví dụ: Tính tích phân sau: ∫ x. cos xdx Giải u = x du = dx Đặ t  ⇒ dv = cos xdx v = sin x ∫ x. cos xdx = x.sin x − ∫ sin xdx = x sin x + cos x + C B – TÍCH PHÂN CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP: I – Tích phân hàm hữu tỉ: 1) Tích phân của các hàm hữu tỉ đơn giản: dx 1 a) ∫ = ln ax + b + C , a ≠ 0 ax + b a dx 1 1 b) ∫ = . + C , k ≠ 1, a ≠ 0 ( ax + b ) 1 − k a(ax + b) k −1 k A.dx c) ∫ 2 x + bx + c 2  b  b 2 − 4ac Phương pháp chung: Biến đổi x + bx + c =  x +  − 2  2 4 b A.du Đặt u = x + chuyển tích phân đã cho về dạng ∫ 2 2 u ± a2 Cách giải khác: • Khi biệt thức ∆ của biểu thức dưới mẫu dương ta có cách giải sau: Hướng giải ta phân tích: 1 1 1 ( x − x 2 ) − ( x − x1 ) 1  1 1  = = . =  x−x − x−x   ax + bx + c a ( x − x1 )( x − x 2 ) a ( x1 − x 2 ) ( x − x1 )( x − x 2 ) 2 a( x1 − x 2 )  1 2  • Khi ∆ = 0 1 1 Adx A 1 A Khi đó = ⇒∫ 2 = ∫ dx = − +C ax + bx + c a ( x − x 0 ) 2 2 ax + bx + c a a ( x − x 0 ) 2 a ( x − x0 ) ( Ax + B) dx d) ∫ 2 x + bx + c A.b B− du Biến đổi Ax + B = A  2 x + b  + 2 sau đó đưa tích phân đã cho về dạng: ∫ và tích  2  u x + bx + c 2  x + bx + c  x + bx + c 2 2 phân dạng c). 2x + 3 Ví dụ: Tính ∫ 2 dx x + x +1 Giải Tài liệu ôn thi ĐẠI HỌC 3
  4. Trường THPT Phân hiệu Lương Tâm GV: Phạm Minh Đen 2x + 3 2x + 1 2 Ta có: = 2 + 2 x + x +1 x + x +1 x + x +1 2 2x + 3 2x + 1 2 d ( x 2 + x + 1) 2dx ∫ x2 + x +1 dx = ∫ 2 x + x +1 dx + ∫ 2 x + x +1 dx = ∫ 2 x + x +1 +∫  1 2 3 x+  +  2 4 4 2  1 = ln( x 2 + x + 1) + arctan x+ +C 3 3 2 P( x) 2) Tích phân các hàm hữu tỉ dạng tổng quát dạng ∫ dx Q( x) a) Bậc P(x) nhỏ hơn bậc Q(x): - Phân tích Q(x) thành tích các nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai hoặc các lũy thừa của chúng. P( x) A B Ex + F - Phân tích = + + ....... + + ........ Trong đó A, B, ….là các Q( x) ( a1 x + b1 ) α ( a 2 x + b2 ) ( ) A1 x 2 + B1 x + C1 β hằng số thực chưa biết, để tìm chúng ta quy đồng mẫu số ở vế phải, sau đó đồng nhất thức hai tử số ở VT và VP, hoặc cho x các giá trị đặc biệt đưa đến một hệ phương trình đối với các hệ số đó(Phương pháp này gọi là hệ số bất định) xdx Ví dụ: Tính ∫ 3 x −1 Giải x x A Bx + C A( x 2 + x + 1) + ( Bx + C )( x − 1) = = + 2 = Ta có: 3 ( ) x − 1 ( x − 1) x 2 + x + 1 x − 1 x + x + 1 ( x − 1) x 2 + x + 1( ) ⇒ x = A( x 2 + x + 1) + ( Bx + C )( x − 1) = ( A + B ) x 2 + ( A − B + C ) x + A − C (*) Cách 1: Đồng nhất thức hai vế của (*) ta được:  1 A = 3 A + B = 0    1  A − B + C = 1 ⇔ B = − A − C = 0  3   1 C = 3  1 Cách 2: Cho x = 1 : (*) ⇒ 1 = A.3 ⇒ A = 3 1 Cho x = 0: (*) ⇒ 0 = A − C ⇒ C = A = 3 1 2 1 Cho x = - 1: (*) ⇒ −1 = A + 2 B − 2C = + 2 B − ⇒ B = − 3 3 3 x 1 1 1 x −1 Từ đó ta có: 3 = . − x −1 3 x −1 3 x2 + x +1 xdx 1 dx 1 x −1 Suy ra : ∫ 3 = ∫ − ∫ 2 dx (Bạn đọc tự giải tiếp) x −1 3 x −1 3 x + x +1 b) Bậc P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc Q(x): P( x) Ta chia P(x) cho Q(x) phân tích đưa về dạng a) trên. Q( x) x 4 + 2x Ví dụ: Tính: ∫ 3 dx x +1 Tài liệu ôn thi ĐẠI HỌC 4
  5. Trường THPT Phân hiệu Lương Tâm GV: Phạm Minh Đen Giải x 4 + 2x x Ta có: = x+ 3 x +1 3 x +1 x + 2x 4 x Suy ra : ∫ 3 dx = ∫ xdx + ∫ 3 dx (Bạn đọc tự giải tiếp) x +1 x +1 II – Tích phân các hàm số lượng giác: 1) Dạng ∫ R (cos x, sin x)dx , với R (cos x, sin x) là biểu thức hữu tỉ đối với sinx, cosx. x Phương pháp chung: Đặt t = tan 2 2t 1− t2 2dt Khi đó sin x = , cos t = và dx = 1+ t 2 1+ t 2 1+ t2 Biến đổi tích phân dạng này về tích phân hàm hữu tỉ. dx Ví dụ: Tính ∫ sin x + 1 Giải x 2dt 2t Đặt t = tan ⇒ dx = , sin x = 2 1+ t 2 1+ t2 dx 1 2dt 2dt 2 2 ∫ sin x + 1 = ∫ 2t . 1 + t 2 = ∫ (1 + t ) 2 = − 1 + t + C = − x +C +1 1 + tan 1+ t2 2 Đặc biệt: • Nếu R(-sinx, cosx) = - R(sinx, cosx) thì đặt t = cosx • Nếu R(sinx, -cosx) = - R(sinx, cosx) thì đặt t = sinx • Nếu R(-sinx, -cosx) = R(sinx, cosx) thì đặt t = tanx Ví dụ: Tính ∫ sin x. cos xdx 2 3 Giải Ta có: R(sinx, cosx) = sin 2 x. cos 3 x ⇒ R ( sin x,− cos x ) = sin 2 x( − cos x ) 3 = − sin 2 x. cos 3 x = − R(sin x, cos x) Nên ta đặt t = sinx ⇒ dt = cos xdx ∫ ( ) t3 t5 sin 2 x. cos 3 xdx = ∫ sin 2 x. cos 2 x. cos xdx = ∫ t 2 (1 − t 2 )dt = ∫ t 2 − t 4 dt = − + C = 3 5 sin 3 x sin 5 x 3 − 5 +C 2) Dạng ∫ cos ax. cos bxdx , ∫ sin ax. sin bxdx , ∫ cos ax. sin bxdx Phương pháp: Biến đổi các hàm dưới dấu tích phân thành tổng. Ví dụ: Tính ∫ cos 3 x. sin 5 xdx Giải 1 1 1 Ta có: cos 3x. sin 5 x = [ sin(3 x + 5 x) + sin(5 x − 3 x)] = sin 8 x + sin 2 x 2 2 2 1 1 1 1 1 11  ∫ cos 3x. sin 5xdx = 2 ∫ (sin 8 x + sin 2 x)dx = − 2 . 8 cos 8x − 2 . 2 cos 2 x + C = − 4  4 cos 8 x + cos 2 x  + C   3) Dạng ∫ sin xdx , ∫ cos xdx : n n Phương pháp: Cách 1: Áp dụng dạng 1) phần đặc biệt. 1 + cos 2 x 1 − cos 2 x Cách 2: Nếu n chẵn (n nhỏ) dùng công thức hạ bậc cos x = , sin 2 x = 2 2 2 Tài liệu ôn thi ĐẠI HỌC 5
  6. Trường THPT Phân hiệu Lương Tâm GV: Phạm Minh Đen Ví dụ: Tính ∫ cos xdx 4 Giải 2  1 = cos 2 x  cos 4 x = cos 2 x = ( 2 ) 1 2 (  = 1 + 2 cos 2 x + cos 2 x 4 2 ) Ta có:   1 1 1 3 1 1 = + cos 2 x + (1 + cos 4 x ) = + cos 2 x + cos 4 x 4 2 8 8 2 8 3 1 1 Suy ra: ∫ cos xdx = x + sin 2 x + sin 4 x + C 4 8 4 32 III – Tích phân các hàm vô tỉ: Dạng ∫ R ( x, ) ax 2 + bx + c dx, a ≠ 0 Phương pháp chung:  b  b 2 − 4ac  2 Biến đổi ax + bx + c = a  x +  − 2  . Chuyển tích phân đã cho về một trong các dạng:   2 4   a) ∫ R (u, 1 ) π α 2 + u 2 du . Đặt u = α tan t với − 2 ≤t≤ π 2 b) ∫ R (u , α − u ) du . Đặt u = α sin t với − ≤ t ≤ 2 2 π π 2 2 2 c) ∫ R (u , u − α ) du . Đặt u = α π  3 2 2 với t ∈ ( 0; π ) \   cos t 2 Chú ý: Tích phân dạng này có nhiều phương pháp tính, trong một số trường hợp đặc biệt có thể dùng một số cách biến đổi đơn giản hơn như các ví dụ sau: Ví dụ1: Tính I = ∫ − x 2 + 4 x + 5dx Giải Ta có: − x 2 + 4 x + 5 = − x 2 + 4 x − 4 + 9 = 9 − ( x − 2 ) 2 I = ∫ − x 2 + 4 x + 5dx = ∫ 9 − ( x − 2 ) d ( x − 2) = ∫ 9 − u 2 du , với u = x – 2 2 π π Đặt: u = 3sint với − ≤t ≤ 2 2 u ⇒ du = 3 cos tdt , 9 − u 2 = 3 cos t , t = arcsin 3 1 + cos 2t 9 9 ⇒ I = ∫ 9 cos 2 tdt = 9∫ dt = t + sin 2t + C 2 2 4 9 u 1 9 x−2 x−2 = arcsin + u 9 − u 2 + C = arcsin + − x 2 + 4x + 5 + C 2 3 2 2 3 2 ( x + 3) dx Ví dụ 2: Tính I = ∫ x 2 − 2x + 4 Giải Ta có 1 2x − 2 dx I= ∫ dx + 4 ∫ 2 x 2 − 2x + 4 x 2 − 2x + 4 : 1 d ( x 2 − 2 x + 4) d ( x − 1) = ∫ + 4∫ = x 2 − 2 x + 4 + 4 ln x − 1 + x 2 − 2 x + 4 + C 2 x − 2x + 4 2 ( x − 1) + 3 2 Tài liệu ôn thi ĐẠI HỌC 6
  7. Trường THPT Phân hiệu Lương Tâm GV: Phạm Minh Đen C – BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Tính các tích phân sau: 1 1 2 xdx ∫ ∫ x 1 − x dx ∫ x 1 − x dx ∫x 3 2 2 1. 3 x 3 + 5.x 2 dx 2. 3. 4. 0 0 −1 2 +2 π π π 1 2 2 2 2 cos xdx ∫x x3 + 1 sin xdx 2 5. 6. 7. sin 5 xdx 8. ∫ 3 + 2 sin x 0 0 ∫ 0 ∫ cos 0 2 x+3 2 dx 9. ∫ 2 x x −1 2 10. ∫ 3 x 5 x dx 11. ∫ x x 2 + 1dx 12. ∫ (1 − x ) 2001 dx 3 x e 2 −5 x + 1 ∫ 1 + x 2 dx ∫ ( 2x + 3) 16. ∫ cos x. sin xdx 3 14. ∫ 4 13. dx 15. dx ex ( 2 ln x + 1) 2 dx π 2e x 3 − 4 ln x 17. ∫ x ∫ ∫ 20. ∫ e sin dx 2x 2 dx 18. 19. dx e +1 x x 0 π π e e 2 2 ∫ x. ln 22. ∫ (1 − x ) ln xdx 2 2 21. dx 23. 24. e − x . cos xdx ∫ x. cos ∫ 2 xdx 0 1 0 0 x ∫ ( 2x + 3) 26. ∫ sin 27. ∫ cot xdx 28. ∫ tan xdx 3 2 2 25. dx dx 2 29. tan x ∫ cos 3 x dx x −x ( 30. ∫ e 2 − e dx ) ex 31. ∫ x dx 32. ∫ x ex dx 2 e +2 1 dx dx dx 33. ∫ x 2 − 3x + 2 dx 34. ∫ 4 x + 8x + 3 2 35. ∫ 2 x − 7 x + 10 36. ∫ 2 3x − 2 x − 1 dx xdx 5x − 7 2x + 5 37. ∫ 6x 3 − 7x 2 − 3x 38. ∫ 39. ∫ 2 dx 40. ∫ 2 dx ( x + 1)( 2x + 1) x − 3x + 2 9x − 6x + 1 2x + 7 2x − 7 xdx xdx 41. ∫ x 2 + 5x + 6dx 42. ∫ 2 x − 3x + 2 dx 43. ∫ 4 x − 3x 2 + 2 44. ∫ 4 x − 2x 2 − 1 ( 2 x + 1) dx x 5 dx x2 −1 45. ∫ 46. ∫ 6 47. ∫ 4 dx (x 2 + x +1 − 4 ) 2 x − x3 − 2 x +1 48. x2 − 3 ∫ x x 4 + 3x 2 + 2 dx ( ) 49. ∫ 4 x2 −1 50. ∫ 2 xdx x3 −1 51. ∫ 3 52. ∫ (x − 3x + 2 dx 3 ) x + 2x3 − x 2 + 2x + 1 dx x x2 +1 ( ) 4x − x dx ( x x 2 + 2x + 1 ) 53. ∫ (x − 3x + 2 dx 3 54. ∫ ) x 2 dx 55. ∫ 2 2 x .3 x .5 x ( x x 2 + 2x + 1 ) (1 − x ) 10 10 x dx Bài 2: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số: 2 x 2 x − x 3 e x − 3x 2 1. f ( x ) = cos 2. f ( x ) = sin 3 x 3. f(x) = (1 – 2x2)3 4. f ( x ) = 2 x3 5. f ( x ) = 2+ x 2 ( 6. f ( x ) = ) 1 7. (sinx + cosx)2 x 3x + 4 − 3x + 2 Tài liệu ôn thi ĐẠI HỌC 7
  8. Trường THPT Phân hiệu Lương Tâm GV: Phạm Minh Đen  π  π 8. cos 2x − . cos 2 x +  9. . cos3x 10. cos4x 11. sin4x + cos4x  3  4 12. sin62x + cos62x 13. f(x) = lnx 14. f(x) = (x2 + 1)e2x 15. f(x) = x2sinx x d. f(x) = e sinx 16. f ( x ) = x cos x 17. f(x) = ex(1 + tanx + tan2x) 18. f ( x ) = e x 2  ln x  19. f ( x ) =   20. f(x) = (x + 1)2cos2x 21. f(x) = e-2x.cos3x 22. sin(lnx)  x  23. f ( x ) = x 2 + K ( K ≠ 0 ) 24. f(x) = x3lnx 25. f(x) = (x2 + 2)sin2x 26. f ( x ) = x sin x 2x 2 + 2 x + 5 Bài 3: Cho hàm số f ( x ) = 2 x − 3x + 2 m n p a. Tìm m, n, p để f ( x ) = + + ( x − 1) x − 1 x + 2 2 b. Tìm họ nguyên hàm của f(x) Bài 4: Tìm họ nguyên hàm của hàm số 1 f ( x) = 1  π 1.  π 2. f ( x ) = 3. f ( x ) = tan x. tan x +  sin x cos x +  2 sin x + 1  4  4 2 4 sin x + 3 cos x 8 cos x 4. f ( x ) = 5. f ( x ) = 6. f ( x ) = 3 sin x + cos x sin x + 2 cos x 2 + 3 sin 2 x − cos 2 x 5 sin x 4 sin 2 x + 1 7. f ( x ) = 8. f ( x ) = 9. f(x) = cos3x.cos5x 2 sin x − cos x + 1 3 sin x + cos x cos 2 x 10. f(x) = sin3xsin3x 11. f(x) = sin3x.cos3x + cos3x.sin3x 12. f ( x ) = sin x + cos x 1 sin x − cos x f ( x) = 1 13. f ( x ) = 14.  π 15. f ( x ) = sin x + cos x cos x + cos x +  2 + sin x − cos x  4 cos 2 x sin x 16. f ( x) = 17. f ( x ) = 18. f(x) = sinx.sin2x.cos5x sin x + 3 cos x 1 + sin 2 x π  π  19. f ( x ) = tan x. tan − x  tan + x  20. f(x) = (sin4x + cos4x)(sin6x + cos6x) 3  3   π sin 3 x . f ( x ) = sin  x − .( 2 + sin 2 x ) 22. f ( x ) =  4 3 sin 4x − sin 6 x − 3 sin 2 x 1 x cot x d. f ( x ) = e. f ( x ) = f. f ( x ) = sin 2 x − 2 sin x sin 2 x 1 + sin x  π  π 2dx g. f ( x ) = tan x +  cot  x +  h. F(x) = (x2 + 2)sin2x I = ∫ dx  3  6 2 sin x − cos x Bài 5: Tính các tích phân sau: Tài liệu ôn thi ĐẠI HỌC 8
  9. Trường THPT Phân hiệu Lương Tâm GV: Phạm Minh Đen sin 3 x. sin 4 x 1. ∫ cos 5 x. tan xdx 2. ∫ cos 3 x. tan xdx 3. ∫ dx 4. tan x + cot 2 x cos x + sin x. cos x dx sin xdx ∫ 2 + sin x dx 5. ∫ 4 6. ∫ 7. sin 3 x. cos 5 x cos x sin 2 x + 1 dx ∫ 3 sin 2 x − 2 sin x cos x − cos 2 x dx D – CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG TỪ NĂM 2002-2003 ĐẾN 2006-2007 I. Tính các tích phân sau: ( Dùng tích phân đổi biến số) 3ln 2 π 1 x3 e x dx 2 3 dx 1. ∫ 2 ∫ ∫ 2 dx 2. 3. 4. ∫ 1 − cos x s inx.cos x dx 6 3 5 0 x +4 ln 3 (e x + 1)3 0 5 x. x 2 + 4 ln10 1 7 1 e 2 x dx x +2 ∫ ∫ x .e dx ∫ 3 x +1 .dx x2 ∫x 3 5. 3 1 − x dx 2 6. 7. 8. 0 ln 5 ex −1 0 0 π 2 e x.dx 1 + 3ln x ln x 9. 1 −2 sin x dx 4 2 10. ∫ ∫ dx ∫ 1 +sin 2 x 0 1 1+ x −1 11. 1 x π π π 2 sin 2 x.cosx 2 sin 2 x +s inx 2 sin 2 x 12. ∫0 1 +cosx .dx 13. ∫ 0 1 +3 cos sx .dx 14. ∫ cos 2 x + 4 sin 2 x 0 .dx 3 6 e 1 ∫ln ( x − x ) .dx 3 −2 ln x ∫ x. 17. ∫ 2 15. 16. dx .dx 2 1 1 +2 ln x 2 2x + + 1 4 x +1 10 2 ln 5 1 x4 1 18. ∫ x −2 5 x −1 dx 19. ∫ 0 x 5 +1 dx 20. ∫3 e + 2e−x − 3 dx ln x 1 2 π x 4 − x +1 4 sin 3 x 2 ∫x x + 3 dx 22. ∫ ∫ 1 + cosx dx 3 2 21. .dx 23. 0 0 x 2 +1 0 3 1 3 x5 + 2 x3 ∫x 1 − x dx ∫ ∫ 5 2 24 25 x + 1.x dx 2 5 26. dx 0 0 0 x +1 2 1 1 x 3 x −3 x 27 ∫ (1+ x) 3 dx 28. ∫ dx 29. ∫ 1 + x 2 dx 0 −1 3 x +1 + x + 3 0 1 π 1 2 s inx-cosx cos2x ∫ x. x +1 dx ∫ ∫ 1 + 2 sin 2 x dx 2 30. 31. dx 32. 0 π 1 +sin 2 x 0 4 1 π π cos2x 2 4 sin 3 x 2 33. ∫ ( s inx-cosx+3) 0 3 dx 34. ∫ cosx 7-5sinx-cos 2 x dx 35. ∫ 1 + cosx dx 0 0 Tài liệu ôn thi ĐẠI HỌC 9
  10. Trường THPT Phân hiệu Lương Tâm GV: Phạm Minh Đen ln 2 π e2 x 2 36. ∫0 e +7 x dx 37. ∫ sin 2 x.tgxdx 0 2. Tính các tích phân sau (Dùng tích phân từng phân kết hợp đổi biến số nếu có) π 1 2 ∫( x − 2) e ∫ ( x − 2 ) ln x.dx 2x 2 .dx 1. 0 2 ∫ ( x +1) sin 2 x.dx 0 3. 1 π π e 4 4 x 2 +1 ∫ ( x −1) cosxdx ∫ ( tgx + e .cosx ) .dx 6. ∫ ln x.dx s inx 4. 5 0 0 1 x π ln 2 1 ( ) dx 2 ∫ x2 ∫ 9. x ln 1 + x 5 2 x e dx 7 ∫ e sin 5 x.dx 8. 3x 0 0 0 3 2 ln(1 + x)  x 3 +1  e 10 ∫ x ln ( x + 5 ) dx 11 ∫ 12. ∫ 2 dx ln x dx 0 1 x2 1  x  π π π 2 4 2 x ∫ ( e + cosx ) cosx.dx ∫e ∫ cosx 13 sinx 14. s in2x dx 15 dx 0 0 0 cos 2 x 2 π 0 ( ) 2 ∫ x ln x.dx 18 ∫ x e + 3 9 x +1 dx 2 ∫e 2x 16 17. cosx s in2x dx 0 0 −1 A. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ: 1 2 1 1 1 x −x 2008 4x −1 dx 1. ∫ dx 2. ∫ 2 dx 3. ∫ 3 dx 4. ∫ 2x 0 x +1 0 x −x−2 0 x + 2 x2 + x + 2 0 2 + 5x + 2 1  x 1 x + 5 x + 11 3 x  2 2 2 3x − 1 2 dx 5. ∫  x +1 + x+3 +  dx 2x +1  6. ∫ 3x − 1 dx 7. ∫x 2 + 2x + 5 0 1 0 1 1 dx 1 dx dx 1 dx 8. ∫ 2 9. ∫ 2 10. ∫ 2 11. ∫ (x + 3x + 2 ) 2 0 x − 6x + 9 0 x + 3x + 2 0 x + 2x +1 0 2 12. ∫ 2 1 x 3dx 1 (x 2 + 1) dx 14. ∫ 2 1 xdx 2 x 2 dx 0 x + 2x +1 13. ∫x 2 + 4x + 4 −1 x + 4x + 4 15. ∫ x 2 − 7 x + 12 1 0 5 ( 3x − 7 ) dx 1 ( 4 x + 11) dx x.dx 1 0 dx 16. ∫x − 5x + 6 2 x + 5x + 6 17. ∫ 2 18. ∫ 4 − x2 19. ∫x 2 − 2x + 4 4 0 0 −1 B. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ: 1 1 7 x 3 x +1 2 x +1 1. ∫ x 1 − x dx 0 2. ∫ 0 2x +1 dx 3. ∫ 3 3x + 1 dx; ∫ 3 3x + 2 dx 0 0 1 3 x x +1 2 7 1 4 1 4. ∫ x +2 dx 5. ∫ x +1 dx 6. ∫ 2 + x +1 dx 8. ∫ x.(1 + x) dx 0 0 −1 1 −2 1 4 2 dx dx dx 9. ∫ ∫ ∫x ∫x x 3 + 1 dx 2 10. 11. 12. −3 x 1 − x x +1 + x x +9 2 0 7 0 Tài liệu ôn thi ĐẠI HỌC 10
  11. Trường THPT Phân hiệu Lương Tâm GV: Phạm Minh Đen 2 2 1 1 2 2 dx dx x 3dx x +1 ∫ x+ ∫x − x dx 2 13. ∫ 1 x 1− x 2 14. ∫x 1 1+ x 3 15. 0 1+ x 2 16. ∫ 0 3 x +1 dx 17. 0 2 π 2 5 ∫( x + 2 − x − 2 ) dx sin 2008 x 2 ∫x 4 − x 2 dx 2 18. 0 19. −3 20. ∫ sin 2008 x + cos2008 x dx 0 Tài liệu ôn thi ĐẠI HỌC 11
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2