Bài tập tìm nguyên hàm của hàm số

Chia sẻ: Phạm Thành Danh | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:23

Thêm vào BST

Báo xấu

1.689
lượt xem 364
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu luyện thi môn toán gồm hệ thống các bài tập tính tích phân bằng cách tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập tìm nguyên hàm của hàm số

I. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất 1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số. 1 x 3 3x 2 1. f(x) = x2 – 3x + − + ln x + C ĐS. F(x) = x 3 2 2x 4 + 3 2x3 3 − +C 2. f(x) = ĐS. F(x) = x2 3 x x −1 1 . f(x) = 2 ĐS. F(x) = lnx + + C x x ( x 2 − 1) 2 3 x 1 − 2x + + C 4. f(x) = ĐS. F(x) = x2 3 x 4 3 5 ĐS. F(x) = 2 x + 3x + 4 x + C 3 2 4 5. f(x) = x + x + x 3 4 3 4 5 1 2 − 6. f(x) = ĐS. F(x) = 2 x − 33 x 2 + C x 3x ( x − 1) 2 7. f(x) = ĐS. F(x) = x − 4 x + ln x + C x x −1 5 2 8. f(x) = ĐS. F(x) = x 3 − x 3 + C 3 x x 9. f(x) = 2 sin 2 ĐS. F(x) = x – sinx + C 2 10. f(x) = tan2x ĐS. F(x) = tanx – x + C 1 1 x + sin 2 x + C 11. f(x) = cos2x ĐS. F(x) = 2 4 12. f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS. F(x) = tanx - cotx – 4x + C 1 13. f(x) = ĐS. F(x) = tanx - cotx + C sin x. cos 2 x 2 cos 2 x 14. f(x) = ĐS. F(x) = - cotx – tanx + C sin x. cos 2 x 2 1 ĐS. F(x) = − cos 3x + C 15. f(x) = sin3x 3 1 ĐS. F(x) = − cos 5 x − cos x + C 16. f(x) = 2sin3xcos2x 5 1 ĐS. F(x) = e 2 x − e x + C 17. f(x) = ex(ex – 1) 2 e−x 18. f(x) = ex(2 + ĐS. F(x) = 2ex + tanx + C ) cos 2 x 2a x 3 x 19. f(x) = 2ax + 3x + +C ĐS. F(x) = ln a ln 3 1 ĐS. F(x) = e 3 x +1 + C 20. f(x) = e3x+1 3 2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng ĐS. f(x) = x2 + x + 3 1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 x3 2. f’(x) = 2 – x2 và f(2) = 7/3 ĐS. f(x) = 2 x − +1 3
8 x x x 2 40 3. f’(x) = 4 x − x và f(4) = 0 ĐS. f(x) = − − 3 2 3 1 2 x 1 3 + 2 và f(1) = 2 + + 2x − 4. f’(x) = x - ĐS. f(x) = x2 2x 2 5. f’(x) = 4x3 – 3x2 + 2 và f(-1) = 3 ĐS. f(x) = x4 – x3 + 2x + 3 b x2 1 5 6. f’(x) = ax + 2 , f ' (1) = 0, f (1) = 4, f (−1) = 2 ++ ĐS. f(x) = x 2x2 II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số. Tính I = ∫ f [u ( x)].u ' ( x)dx bằng cách đặt t = u(x) ặ Đặt t = u(x) ⇒ dt = u ' ( x)dx ⇒ I = ∫ f [u ( x)].u ' ( x)dx = ∫ f (t )dt BÀI TẬP Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: dx dx 2. ∫ (3 − 2 x) 5 ∫ 1. ∫ (5 x − 1)dx ∫ 5 − 2 x dx 3. 4. 2x − 1 x ∫ (2 x ∫ (x 8. ∫ 2 ∫ + 1) 7 xdx + 5) 4 x 2 dx 2 3 x 2 + 1.xdx 5. 6. 7. dx x +5 dx 3x 2 ln 3 x ∫ ∫ ∫ x.e x 2 +1 ∫ x dx dx 9. 10. 11. 12. dx x (1 + x ) 2 5 + 2x 3 sin x tgxdx 13. ∫ sin x cos xdx 14. ∫ 5 dx ∫ cot gxdx ∫ cos 4 15. 16. 2 cos x x x dx dx e ∫ tgxdx 17. ∫ 18. ∫ ∫ 19. 20. dx sin x cos x x dx e x dx e tgx ∫ ∫ ∫ ∫ cos 2 x dx 1 − x 2 .dx 21. 22. 23. 24. 4 − x2 e −3x x 2 dx dx dx ∫ ∫ 1+ x2 ∫x ∫ x 1 − x .dx 2 2 25. 26. 27. 28. + x +1 2 1− x2 dx ∫ cos ∫x 31. ∫ x ∫x x − 1.dx 3 x sin 2 xdx x 2 + 1.dx 3 29. 30. 32. e +1 2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần. Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I ∫ u( x).v' ( x)dx = u ( x).v( x) − ∫ v( x).u ' ( x)dx Hay ∫ udv = uv − ∫ vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx) Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 1. ∫ x. sin xdx 2. ∫ x cos xdx 3. ∫ ( x + 5) sin xdx 4 ∫ ( x + 2 x + 3) cos xdx 2 2 ∫ x sin 2 xdx ∫ x cos 2 xdx ∫ x.e ∫ ln xdx x dx 5. 6. 7. 8.
ln xdx ∫ ∫ x ln xdx ∫ ln ∫e 2 x xdx 9. 10. 11. 12. dx x x ∫ xtg ∫ sin x dx ∫ ln( x + 1)dx ∫ cos x dx 2 2 xdx 13. 14. 15. 16. 2 ∫ e . cos xdx 19. ∫ x ln(1 + x 20. ∫ 2 xdx ∫ x e dx 2 x 2 x 3x )dx 17. 18. ln(1 + x) ∫ x lg xdx ∫ 2 x ln(1 + x)dx 23. ∫ x dx 24. ∫ x cos 2 xdx 2 21. 22. 2 TÍCH PHÂN I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN: 1 e 11 1. ∫ ( x + x + 1)dx 2. ∫ ( x + + + x 2 )dx 3 x x2 0 1 3 2 ∫ ∫ x − 2 dx x + 1dx 2. 3. 1 1 π 1 2 ∫ (e 4. ∫ (2 sin x + 3cosx + x)dx + x )dx x 5. π 0 3 1 2 ∫ (x 7. ∫ ( x + 1)( x − x + 1)dx + x x )dx 3 6. 0 1 π 1 2 1 ∫ (e 8. ∫ (3sin x + 2cosx + ) dx + x 2 + 1)dx x 9. x π 0 3 2 2 10. ∫ ( x + x x + 3 x )dx 11. ∫ ( x − 1)( x + x + 1)dx 2 1 1 3 2 x.dx ∫ (x + 1). 13. ∫ 3 12. dx x +2 2 −1 1 e2 5 7x − 2 x − 5 dx 15. ∫ 14. ∫ dx x+ 2 + x − 2 x 2 1 π 2 ( + 1)dx 2 3 x cos x.dx . 17. ∫ 3 16. ∫ 2 x + xl x n snx i π 1 6 π 1 ex − e− x 4 tgx . dx 19. ∫ dx 18. ∫ ex + e− x cos2 x 0 0 2 1 ex . dx dx 21. ∫ 20. ∫ 4x 2 + 8x e x + e− x 1 0 π l3 n dx . 2 dx ∫ 22. 22. ∫ 1 + si x e + e− x x n 0 0
2 1 2 25. ∫ (2 x 3 − x − )dx 24. ∫ (2 x 2 + x + 1)dx 3 −1 0 4 2 27. ∫ ( x 2 − 4)dx 26. ∫ x( x − 3)dx −3 −2 2 2 x − 2x 2 1 1 28. ∫  29. ∫ + 3 dx dx 2 x3 1x x 1 1 16 e dx 30. ∫ 31. ∫ x .dx x 1 1 e   e2 8 2 x + 5 − 7x 1 33. ∫  4 x − dx 32. ∫ dx   x 33 x 2   1 1 II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ: π π 2 2 ∫ sin ∫ sin 3 xcos 2 xdx 2 xcos 3 xdx 1. 2. π π 3 3 π π 2 4 sin x 3. 3. ∫ 1 + 3cosx dx ∫ tgxdx 0 0 π π 4 6 ∫ cot gxdx 4. 5. ∫ 1 + 4sin xcosxdx π 0 6 1 1 6. ∫ x x + 1dx ∫x 1 − x 2 dx 2 7. 0 0 1 1 x2 8. ∫ x x + 1dx ∫ 3 2 dx 9. x3 + 1 0 0 1 2 1 ∫x ∫x 1 − x 2 dx 3 dx 10. 11. x3 + 1 0 1 1 1 1 1 ∫ 1+ x 13. ∫ 2 dx dx 12. x + 2x + 2 2 −1 0 1 1 1 1 ∫ ∫ (1 + 3x dx dx 14. 15. 22 ) x2 + 1 0 0 π π 2 2 16. ∫ e cosxdx 17. ∫ e sin xdx sin x cosx π π 4 4 π 1 2 ∫e ∫ sin x2 + 2 3 xcos 2 xdx xdx 18. 19. π 0 3 π π 2 2 ∫e ∫e sin x cosx cosxdx sin xdx 20. 21. π π 4 4
π 1 2 ∫e 23. ∫ sin 3 xcos 2 xdx 2 x +2 xdx 22. π 0 3 π π 2 2 sin x 24. ∫ sin xcos xdx 2 3 ∫ 1 + 3cosx dx 25. π 0 3 π π 4 4 27. ∫ cot gxdx ∫ 26. tgxdx π 0 6 π 1 6 ∫x x 2 + 1dx ∫ 28. 29. 1 + 4sin xcosxdx 0 0 1 1 ∫ x 1 − x dx ∫x x 2 + 1dx 2 3 30. 31. 0 0 1 1 2 x ∫ ∫x 1 − x 2 dx 3 dx 32. 33. x +1 3 0 0 2 e 1 + ln x 1 ∫x ∫ dx dx 34. 35. x x +1 3 1 1 e e 1 + 3ln x ln x sin(ln x) 36. ∫ ∫ dx dx 37. x x 1 1 e2 2 ln x +1 e 1 + ln 2 x e ∫ 39. ∫ dx dx 38. x x ln x 1 e 2 2 e x 1 ∫ 1+ ∫ cos 2 (1 + ln x) dx dx 40. 41. x −1 1 e 1 1 x ∫ ∫x x + 1dx dx 42. 43. 2x +1 0 0 1 1 1 1 ∫ ∫ dx dx 44. 45. x +1 + x x +1 − x 0 0 3 e x +1 1 + ln x ∫ ∫ 46. dx dx 46. x x 1 1 e e 1 + 3ln x ln x sin(ln x) ∫ ∫ dx dx 47. 48. x x 1 1 e2 2 ln x +1 e 1 + ln 2 x e ∫ ∫ x ln x dx dx 49. 50. x 1 e 1 ∫ e2 1 x 2 x 3 + 5dx ∫ cos dx 51. 52. (1 + ln x) 2 e 0
π 4 ∫ 2 ∫ ( sin x + 1) cos xdx 4 − x 2 dx 53. 54. 4 0 0 4 1 dx ∫ ∫ 4 − x 2 dx 55. 56. 1+ x 2 0 0 1 0 58. ∫ e − x dx 57. ∫ e 2 x +3 dx −1 0 1 1 x x 59. ∫ (2x + 1)3dx ∫ dx 60. 2x + 1 0 0 1 1 4x + 11 61. ∫ x 1− xdx 62. ∫ x2 + 5x + 6dx 0 0 1 3 2x − 5 x3 63. ∫ x2 − 4x + 4dx 64. ∫ x2 + 2x + 1dx 0 0 π π 3 6 2 66. ∫ 4sin x dx 65. ∫ (sin6 x + cos6 x)dx 1+ cosx 0 0 π π 67. ∫ 1+ sin2xdx 4 2 68. ∫ cos4 2xdx 2 cos x 0 0 π 1 1+ sin2x + cos2x 1 2 70. ∫ ex + 1dx . 69. ∫ dx sinx + cosx π 0 6 π π 72. ∫ cos 2 x dx 4 4 71. ∫ (cos 4 x − sin 4 x)dx 1 + 2 sin 2 x 0 0 π π 73. ∫ sin 3x dx cos x 2 2 74. ∫ dx 0 2 cos 3 x + 1 0 5 − 2 sin x 0 2x + 2 dx 1 75. ∫ 2 76. ∫ 2 dx x + 2x − 3 −1 x + 2 x + 5 −2 π π 2 2 77. ∫ cos3 xsin2 xdx 78. ∫ cos xdx 5 0 0 π 1 4 79. ∫ sin4x dx 80. ∫ x 1− x dx 3 2 1+ cos2 x 0 0 π π 2 4 1 81. ∫ sin2x(1+ sin2 x)3dx 82. ∫ cos xdx 4 0 0 π e 1+ lnx 4 1 ∫ dx 83. 84. ∫ cosxdx x 1 0
1 e 1+ ln2 x 86. ∫ x (1− x ) dx 85. ∫ 5 36 dx x 0 1 π 3 tg4x 6 cosx ∫ dx 87. ∫ 88. dx cos2x 6 − 5sinx + sin2 x 0 0 π π 89. ∫ cos x + sin x dx sin 2 x 4 2 90. ∫ dx 3+ sin2x cos x + 4 sin 2 x 2 0 0 π dx ln 5 sin 2 x 2 91. ∫ x 92. ∫ dx −x ln 3 e + 2e −3 0 ( 2 + sin x ) 2 π π ln(tgx ) 3 4 dx 93. π 94. ∫ (1 − tg 8 x)dx ∫ sin 2 x 0 4 π π sin x − cos x 2 96. ∫ sin 2 x + sin x dx 2 dx 95. ∫ 1 + sin 2 x π 1 + 3 cos x 0 4 π π 97. ∫ sin 2 x cos x dx 2 2 98. ∫ (e sin x + cos x) cos xdx 0 1 + cos x 0 x 1 + 3 ln x ln x 2 e dx 99. ∫ 100. ∫ dx 11+ x −1 x 1 π 1 101. ∫ 1 − 2 sin x dx 2 ∫ 1− x2 dx 4 102. 0 1 + sin 2 x 0 1 1 1 1 103. ∫ 1+ x2 dx ∫ dx 104. 4 − x2 0 0 1 1 1 x 105. ∫ x2 − x + 1dx 106. ∫ x4 + x2 + 1dx 0 0 π 2 2 1 x2 2 107. ∫ 108. ∫ dx dx 1+ cos x + sin x 1− x2 0 0 2 2 3 109. ∫ x 4− x dx 1 2 2 110. ∫x dx x2 − 1 1 2 1 1− x 3 9 + 3x2 ∫ ∫ dx 101. 112. dx x2 (1+ x)5 0 1 π 2 1 ∫ 2 cos x dx 113. 114. ∫ dx x x2 − 1 2 7+ cos2x 0 3 π 1 1+ x 4 cos x 115. ∫ 1+ x6 dx ∫ dx 116. 1+ cos2 x 0 0 dx dx 1 0 118. ∫ 117. ∫ −1 x + 2 x + 2 1 + 1 + 3x 2 0
8 1 x x −1 2 120. ∫ 119. ∫ dx dx 1 x−5 3 x x +1 2 7 3 x3 ∫ ∫x 1+ x2 dx 5 121. 122. dx 1+ x 3 2 0 0 7 ln2 1 x+ 1 3 ∫ dx 123. 124. ∫ dx e +2x 3x + 1 3 0 0 2 dx 23 125. ∫ x x + 1dx 2 3 126. ∫ x x2 + 4 5 0 II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: b b Công thức tích phân từng phần : ∫ u( x)v'(x)dx = u ( x)v( x) a − ∫ v( x)u '( x)dx b a a Tich phân cac ham số dễ phat hiên u và dv ́ ́ ̀ ́ ̣ sin ax β   ∫ f ( x) cosax dx ̣ @ Dang 1 e ax  α   u = f ( x) du = f '( x)dx   sin ax  sin ax     ⇒      dv = cos ax  dx v = ∫ cosax  dx   e ax  e ax        β ∫ f ( x) ln(ax)dx ̣ @ Dang 2: α  dx du = x u = ln(ax ) ⇒ Đăt  ̣  dv = f ( x)dx v = f ( x)dx ∫ β ax sin ax  @ Dang 3: ∫ e .  ̣ dx cosax  α Ví dụ 1: tinh cac tich phân sau ́ ́́ u = x 5 u = x 2 e x 1 3 2x 8   xe x dx a/ ∫ b/ ∫ 4 dx đăt  3 đăt  ̣ ̣ x3 dx dx ( x + 1)  dv = ( x + 1) 2 ( x − 1) 2 dv = 4  0 2 ( x − 1)3   1 1 1 1 1 + x2 − x2 x 2 dx dx dx c/ ∫ =∫ dx = ∫ −∫ = I1 − I 2 (1 + x 2 ) 2 0 (1 + x 2 ) 2 1 + x 2 0 (1 + x 2 ) 2 0 0 1 dx Tinh I 1 = ∫ ́ băng phương phap đôi biên số ̀ ́ ̉ ́ 1 + x2 0
u = x 1 x 2 dx  Tinh I 2 = ∫  x ́ băng phương phap từng phân : đăt ̀ ́ ̀ ̣ dv = (1 + x 2 ) 2 dx  (1 + x 2 ) 2 0  Bài tập e e ln 3 x 1. ∫ 3 dx ∫ x ln xdx 2. x 1 1 1 e ∫ x ln( x ∫x + 1)dx 2 2 ln xdx 3. 4. 0 1 e e 3 ln x ∫ ∫ x ln xdx dx 5. 6. x3 1 1 1 e ∫ x ln( x ∫x + 1)dx 2 2 ln xdx 7. 8. 0 1 π e 1 2 ∫x( x + ) ln xdx ∫ 9. ( x + cosx) s inxdx 10. 1 0 π 2 3 ∫ ln( x ∫ x tan + x )dx 2 2 xdx 11. 12. π 1 4 π 2 ln x ∫ 2 ∫ dx 13. 14. x cos xdx x5 1 0 π 1 ∫ 2 ∫ x 15. xe dx 16. e x cos xdx 0 0 Tính các tích phân sau π π 1 6 2 1) ∫ x.e dx 2) ( x − 1) cos xdx 3) (2 − x) sin 3xdx 3x ∫ ∫ 0 0 0 π 2 4) x. sin 2 xdx ∫ 0 e e 3 5) ∫ x ln xdx 6) ∫ (1 − x ). ln x.dx 7) ∫ 4 x. ln x.dx 2 1 1 1 1 2 8) ∫ x. ln(3 + x 2 ).dx 9) ∫ ( x 2 + 1).e x .dx 0 1 π π π 2 2 10) ∫ x. cos x.dx 11) x 2 . cos x.dx 12) ( x 2 + 2 x).sin x.dx ∫ ∫ 0 0 0
π 1 2 lnx 2 15) ∫ ex sinxdx 16) 13) ∫ 5 dx 14) xcos2 xdx ∫ x 0 1 0 π2 e 17) ∫ xln2 xdx 18) ∫ sin xdx 1 0 π π π x + sinx 19) xsinxcos2 xdx 20) 3 4 ∫ ∫ x(2cos x − 1)dx ∫ cos2 x dx 2 0 0 0 1 2 e ln(1+ x) dx 22) ∫ (x + 1)2 e2xdx 23) ∫ (xlnx)2 dx 24) 21) ∫ 2 x 0 1 1 π 2 ∫ cosx.ln(1+ cosx)dx 0 e ln x 1 25) ∫ (x + 1) 1 dx 26) xt 2xdx 27) ( x − 2)e 2 x dx ∫ g ∫ 2 1 0 0 e ln x e 1 28) ∫ x ln(1 + x 2 )dx 29) ∫ dx 30) x 1 0 π 2 3 ∫ (2 x + 7) ln( x + 1)dx 32) ∫ ln( x − x) dx 2 2 ∫ ( x + cos x ) sin xdx 31) 0 3 2 0 III. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ: 5 b 2x −1 1 1. ∫ 2 2. ∫ dx dx ( x + a )( x + b) 3 x − 3x + 2 a 1 1 x3 + x + 1 x3 + x + 1 3. ∫ 4. ∫ dx dx x +1 x2 +1 0 0 1 1 x2 1 5. ∫ ∫ ( x + 2) dx dx 6. 0 (3 x + 1) ( x + 3) 2 3 2 0 2 0 1− x 2x 3 − 6x 2 + 9x + 9 2008 ∫ x(1 + x 2008 ) dx ∫1 x 2 − 3x + 2 dx 7. 8. − 1 1 x 2 n −3 3 x4 10. ∫ 9. ∫ 2 dx dx 0 (1 + x ) 2n 2 ( x − 1) 2 2 2 x2 − 3 1 ∫ x( x 4 + 3x 2 + 2) dx ∫ x(1 + x dx 11. 12. 4 ) 1 1 2 1 1 x ∫4+ x ∫1+ x dx dx 13. 14. 2 4 0 0 2 1 1 x ∫x ∫ (1 + x dx dx 15. 16. − 2x + 2 2 23 ) 0 0 4 3 3x 2 + 3 x + 3 1 ∫ x 3 − 2 x 2 + x dx ∫ x 3 − 3x + 2 dx 17. 18. 2 2
1 2 1− x2 1 ∫1+ x 19. ∫ dx dx 20. 3 1+ x4 0 1 1 1 x6 + x5 + x4 + 2 2 − x4 21. ∫ 22. ∫ dx dx x6 + 1 0 1+ x 2 0 1 4 x + 11 ∫ 1 23. 1 + x 4 24. ∫ 1 + x 6 dx dx x + 5x + 6 2 0 0 1 dx ∫ 3 x+2 ∫ x − 1 dx 25. 26. x2 + x + 1 2 0 1  2x − 2 0  x−2   27. ∫  28. ∫  − 3 dx − 2 x + 1dx x +1 2x − 1 0  −1  2 1  3x − 1 x 2 + 2x + 3  29. ∫  30. ∫ − x − 1dx dx x+2 x+3 0  0  x2 + x +1   2x 2 + x − 2  0 1 31. ∫  32. ∫  − 2 x + 1dx − x + 1dx     x −1 x +1 −1  0  1 dx 33. ∫ x + 4x + 3 2 0 IV. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC: π π 2 2 2. sin 2 x cos 3 xdx 1. sin 2 x cos 4 xdx ∫ ∫ 0 0 π π 2 2 3. sin 4 x cos 5 xdx 4. (sin 3 x + cos 3 ) dx ∫ ∫ 0 0 π π 2 2 5. cos 2 x(sin 4 x + cos 4 x)dx 6. (2 sin 2 x − sin x cos x − cos 2 x) dx ∫ ∫ 0 0 π π 2 1 2 7. ∫ dx 8. (sin 10 x + cos10 x − cos 4 x sin 4 x)dx ∫ π sin x 0 3 π π 2 2 dx 1 9. 10. ∫ 2 − cos x ∫ 2 + sin x dx 0 0 π π 3 dx sin 3 x 2 ∫ 11. 12. ∫ 1 + cos 2 x dx 4 π sin x. cos x 0 6 π π 4 2 dx cos x 13. 14. ∫ sin ∫ 1 + cos x dx x + 2 sin x cos x − cos 2 x 2 0 0
π π 2 2 cos x sin x 15. 16. ∫ 2 − cos x dx ∫ 2 + sin x dx 0 0 π π cos 3 x 2 2 1 17. 18. ∫ 1 + cos x dx ∫ sin x + cos x + 1 dx 0 0 π π sin x − cos x + 1 2 2 cos xdx ∫ ∫π sin x + 2 cos x + 3 dx 19. 20. π (1 − cos x ) 2 − 3 2 π π 4 4 22. ∫ cot g xdx 3 21. tg 3 xdx ∫ π 0 6 π π 3 4 23. ∫ tg xdx 1 4 24. ∫ 1 + tgx dx π 0 4 π π 4 dx sin x + 7 cos x + 6 ∫ 2 25. 26. ∫ 4 sin x + 5 cos x + 5 dx π 0 cos x cos( x + ) 0 4 π 2π 4 ∫ dx 1 + sin x dx 27. 28. ∫ 2 sin x + 3 cos x + 13 0 0 π π 30. 1 + cos 2 x + sin 2 x dx 4 sin 3 x 4 2 29. ∫ 1 + cos 4 x dx ∫ sin x + cos x 0 0 π π 2 dx 2 ∫ sin 3x 31. 32. ∫ 1 + cos x dx π sin 2 x − sin x 0 4 π π sin 3 x 4 2 33. 34. sin 2 x(1 + sin 2 x) 3 dx ∫ cos 2 x dx ∫ 0 0 π π sin 3 x − sin x 33 ∫ cos x ∫ sin x dx dx 35. 36. sin 3 xtgx π 0 4 π π 2 2 dx dx 37. 38. ∫ 1 + sin x + cos x ∫ 2 sin x + 1 0 0 π π 2 4 39. ∫ cos x sin xdx sin 4 xdx 3 5 40. ∫ 1 + cos 2 x π 0 4
π π 6 dx 2 2. ∫ dx 41. ∫ 5 sin x + 3 4 sin x cos x π 0 6 π π 3 3 dx dx ∫ 4. ∫ 43. π π sin x sin( x + ) sin x cos( x + π π ) 6 4 6 4 π π π 2 3 3 sin xdx ∫ 46. ∫ tgxtg ( x + )dx 45. cos 6 x 6 π π 4 6 π 0 sin 2 x ∫π (2 + sin x) 3 4 sin xdx 47. 48. ∫ (sin x + cos x) 3 2 − 0 2 π π 2 2 49. sin 3 x dx 50. ∫ ∫x 2 cos xdx 0 0 π π 1 + sin x 2 2 51. sin 2 x.e 2 x +1 dx 52. ∫ ∫ 1 + cos x e x dx 0 0 π π 4 sin 3 x sin 4 x 2 53. ∫ sin 2 xdx dx 54. ∫ sin π tgx + cot g 2 x x − 5 sin x + 6 2 0 6 π 2 3 ln(sin x ) ∫ 55. ∫ cos(ln x )dx dx 56. cos 2 x π 1 6 π π 2 ∫ x sin x cos 2 xdx 57. (2 x − 1) cos 2 xdx 58. ∫ 0 0 π π 4 60. ∫ e sin xdx 2x 2 59. ∫ xtg xdx 2 0 0 π π 2 4 62. ln(1 + tgx )dx 61. e sin x sin x cos 3 xdx ∫ ∫ 2 0 0 π π (1 − sin x ) cos x 4 2 dx 64. 63. ∫ (sin x + 2 cos x) ∫ (1 + sin x)(2 − cos dx 2 2 x) 0 0 π π 2 ∫ sin 2 x sin 7 xdx 2 ∫ cos x(sin 4 x + cos 4 x) dx 65. 66. π − 0 2
π π 2 2 3 4sin x ∫ 68. ∫ cos 5 x. cos 3 xdx 67. dx 1 + cos x π − 2 0 π π 2 4 69. ∫ sin 7 x. sin 2 xdx 70. sin x cos xdx ∫ 2 π − 0 2 π 4 71. sin 2 xdx ∫ 0 V. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ: b ∫ R( x, f ( x))dx Trong ®ã R(x, f(x)) cã c¸c d¹ng: a π +) R(x, a − x ) §Æt x = a cos2t, t ∈ [0; ] a+x 2 +) R(x, a − x ) §Æt x = a sin t hoÆc x = a cos t 2 2 +) R(x, n ax + b ) §Æt t = n ax + b cx + d cx + d 1 Víi ( αx 2 + βx + γ +) R(x, f(x)) = (ax + b) αx 2 + β x + γ )’ = k(ax+b) Khi ®ã ®Æt t = αx 2 + βx + γ , hoÆc ®Æt t = 1 ax + b ππ +) R(x, a 2 + x 2 ) §Æt x = a tgt , t ∈ [− ; ] 22 π a , t ∈ [0; π ] \ { } +) R(x, x 2 − a 2 ) §Æt x = 2 cos x ( ) n1 n2 ni x ; x ;.; x Gäi k = BCNH(n1; n2; ...; .. +) R ni) §Æt x = tk 2 dx 23 2. ∫ dx ∫ 1. x x2 −1 x x2 + 4 2 5 3 1 2 2 dx dx 3. ∫ 4. ∫ (2 x + 3) 4 x + 12 x + 5 x x3 + 1 2 1 1 − 2 2 2 dx 6. ∫ 5. ∫ x 2 + 2008dx x 2 + 2008 1 1
1 1 7. ∫ x 2 1 + x 2 dx 8. ∫ (1 − x 2 ) 3 dx 0 0 2 3 x2 +1 1+ x 2 9. ∫ 10. dx ∫ dx x +1 2 2 x 1− x 1 0 2 1 dx 2 11. ∫ dx 12. ∫ (1 + x ) 23 (1 − x 2 ) 3 0 0 2 1 x 2 dx 2 13. ∫ 1 + x dx 2 14. ∫ 1− x2 0 0 π π 2 2 cos xdx 15. 16. sin x cos x − cos 2 x dx ∫ ∫ 7 + cos 2 x 0 0 π π 18. sin 2 x + sin x dx 2 2 cos xdx 17. ∫ ∫ 1 + 3 cos x 2 + cos 2 x 0 0 3 7 x 3 dx 20. ∫ x 3 10 − x 2 dx 19. ∫ 3 1+ x2 0 0 1 1 x 3 dx xdx 21. ∫ 22. ∫ 2x + 1 x + x2 +1 0 0 1 7 dx 24. ∫ x15 1 + 3x 8 dx 23. ∫ 2x + 1 + 1 0 2 π 26. ln 3 dx 25. 2 ∫ ∫ 1 − cos x sin x cos xdx 3 5 6 ex +1 0 0 1 ln 2 e 2 x dx dx 27. ∫ ∫ 28. 1+ x + x2 +1 ex +1 −1 0 1 e 1 + 3 ln x ln x 29. ∫ 12 x − 4 x − 8dx 2 30. ∫ dx x 5 1 4 4 3 x5 + x3 32. ∫ x 3 − 2 x 2 + x dx 31. ∫ dx 1+ x 2 0 0 0 ln 3 ln 2 x 33. ∫ x(e 2 x + 3 x + 1)dx ∫ 34. dx x ln x + 1 −1 ln 2 cos 2 x π ln 2 + 2 3tgx e x dx ∫ 3 35. 36. cos 2 x ∫ dx (e x + 1) 3 cos 2 x 0 0 π π 3 2 cos xdx cos xdx 37. 38. ∫ ∫ 2 + cos 2 x 1 + cos 2 x 0 0
7 2a x+2 39. ∫ 3 40. ∫ x 2 + a 2 dx dx x+3 0 0 VI. MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT: Bµi to¸n më ®Çu: Hµm sè f(x) liªn tôc trªn [a; a], khi a a ®ã: ∫ f ( x )dx = ∫ [ f ( x) + f (− x)]dx −a 0 3π 3π VÝ dô: +) Cho f(x) liªn tôc trªn [ ] tháa m∙n ; 22 f(x) + f(x) = 2 − 2 cos 2 x , 3π 2 ∫π f ( x)dx TÝnh: 3 − 2 1 x 4 + sin x +) TÝnh ∫ dx −1 1 + x 2 Bµi to¸n 1: Hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ lÎ trªn [a, a], a khi ®ã: ∫ f ( x)dx = 0. −a π 1 2 ∫π cos x ln( x + ∫ ln( x + 1 + x 2 )dx 1 + x 2 )dx VÝ dô: TÝnh: −1 − 2 Bµi to¸n 2: Hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ ch½n trªn [a, a a a], khi ®ã: ∫ f ( x)dx = 2 ∫ f ( x)dx −a 0 π 2 x + cos x ∫ 1 x dx VÝ dô: TÝnh ∫ dx 4 − sin 2 x x − x +1 4 2 −1 π − 2 Bµi to¸n 3: Cho hµm sè y = f(x) liªn tôc, ch½n trªn [a, a a f ( x) a], khi ®ã: ∫ dx = ∫ f ( x)dx (1 ≠ b>0, ∀ a) 1+ bx −a 0 π 3 x +1 2 2 sin x sin 3 x cos 5 x VÝ dô: TÝnh: ∫ ∫π dx dx −3 1 + 2 1+ ex x − 2 π Bµi to¸n 4: NÕu y = f(x) liªn tôc trªn [0; ], th× 2 π π 2 2 ∫ f (sin x) = ∫ f (cos x)dx 0 0
π π 2009 2 2 sin x sin x VÝ dô: TÝnh ∫ sin ∫ dx dx x + cos 2009 x 2009 sin x + cos x 0 0 Bµi to¸n 5: Cho f(x) x¸c ®Þnh trªn [1; 1], khi ®ã: π ππ ∫ xf (sin x)dx = 2∫ f (sin x)dx 0 0 π π x x sin x ∫ 1 + sin x dx ∫ 2 + cos x dx VÝ dô: TÝnh 0 0 b b b b Bµi to¸n 6: ∫ f (a + b − x)dx = ∫ f ( x)dx ∫ f (b − x) dx = ∫ f ( x)dx ⇒ a a 0 0 π π x sin x 4 VÝ dô: TÝnh ∫ dx ∫ sin 4 x ln(1 + tgx)dx 0 1 + cos x 2 0 Bµi to¸n 7: NÕu f(x) liªn tôc trªn R vµ tuÇn hoµn víi chu k× T th×: a +T T nT T ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx ∫ f ( x)dx = n ∫ f ( x)dx ⇒ a 0 0 0 2008π ∫ 1 − cos 2 x dx VÝ dô: TÝnh 0 C¸c bµi tËp ¸p dông: π x7 − x5 + x3 − x + 1 1 4 1− x 2 ∫π 1. ∫ 2. dx dx cos 4 x 1+ 2x −1 − 4 π x + cos x 1 2 dx 4. ∫ 3. ∫ dx 4 − sin 2 x −1 (1 + e )(1 + x ) x 2 π − 2 1 2π 1− x 2 5. ∫ cos 2 x ln( 6. ∫ sin(sin x + nx)dx )dx 1+ x 1 0 − 2 π tga cot ga xdx dx sin 5 x 2 ∫ 1+ x2 + ∫ = 1 (tga>0) ∫ 7. 8. 1 dx x(1 + x 2 ) 1 + cos x 1 −π 2 e e VII. TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: 3 2 ∫ 2. ∫ x 2 − 4 x + 3 dx x 2 − 1 dx 1. −3 0 π 1 2 3. ∫ x x − m dx 4. ∫ sin x dx π 0 − 2 π π 3 5. ∫ 1 − sin x dx 6. ∫ tg 2 x + cot g 2 x − 2dx π −π 6
3π 2π 4 7. ∫ sin 2 x dx 8. ∫ 1 + cos x dx π 0 4 3 5 10. ∫ 2 x − 4 dx 9. ∫ ( x + 2 − x − 2 )dx −2 0 π 4 3 11. ∫ cos x cos x − cos 3 x dx 12. 2) ∫ x2 − 3x + 2dx π −1 − 2 2 1 5 14. ∫ x + x2 − 2dx 2 13. ∫ ( x + 2 − x − 2)dx 1 −3 2 π 3 15. ∫ 2x − 4dx 16. ∫ 1+ cos2xdx 0 0 2π 2 17. ∫ 1+ sinxdx 18. ∫ x 2 − x dx 0 0 VIII. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 1 b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x =1 c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x=4 d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2 π Ví dụ 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 1 b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x =1 c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x=4 d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2 π µi 1 Cho (p) : y = x2+ 1 vµ ®êng th¼ng (d): y = mx + B : 2. T×m m ®Ó diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi hai ®êng trªn cã diÖn tÝch nhá nhÈt Bµi 2: Cho y = x4 4x2 +m (c) T×m m ®Ó h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (c) vµ 0x cã diÖn tÝch ë phÝa trªn 0x vµ phÝa díi 0x b»ng nhau
Bµi 3: X¸c ®Þnh tham sè m sao cho y = mx chia h×nh ph¼ng x − x 3  giíi h¹n bëi y = o ≤ x ≤ 1 y = 0  Cã hai phÇn diÖn tÝch b»ng nhau Bµi 4: (p): y2=2x chia h×nh ph¼ng giíi bëi x2+y2 = 8 thµnh hai phÇn.TÝnh diÖn tÝch mçi phÇn Bµi 5: Cho a > 0 TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi  x 2 + 2ax + 3a 2 y=   1+ a4 T×m a ®Ó diÖn tÝch lín nhÊt   y = a − ax 2  1+ a4  Bµi 6: Tính diện tích của các hình phẳng sau: −3x − 1   y = x − 1 x2 y = 4−  y = x2 − 4x + 3    4 3) (H3): y = 0 1) (H1):  2) (H2) :  y = x + 3 2 y = x x = 0     42  y = x  y = x2  y2 + x − 5 = 0   4) (H4):  5) (H5):  6) (H6):  x + y − 3 = 0 x = −y 2 y = 2− x 2    lnx y = 2 x  3 3  y = x + x −  y = x2 − 2x 2   (H7): y = 0 2 2 7) 8) (H8) :  9) (H9):   y = − x + 4x 2  x = e y = x   x = 1  (C ) : y = x (C ) : y = e x  y2 − 2y + x = 0   11) (d ) : y = 2 − x 12) (d ) : y = 2 10) (H10):  x + y = 0 (Ox) (∆) : x = 1   y = x y = − 4 − x2  y 2 = 2x + 1   x + y − 2 = 0 13)  14)  2 15) y = x −1 x + 3 y = 0 y = 0    x2  y = ln x, y = 0 y =  y 2 = 2x   2 16  17  18)  1 x = e , x = e  y = x, y = 0, y = 3 y = 1   1+ x  2  1 1  y = sin 2 x ; y = cos 2 x  20): y = 4x – x2 ; (p) vµ tiÕp 19.  π π x = ; x =   6 3 tuyÕn cña (p) ®i qua M(5/6,6)
 y = −x 2 + 6x − 5  y = x 2 − 4x + 5    y = −2 x + 4  y = −x + 4x − 3 21) 22) 23) 2  y = 4 x − 11  y = 3 x − 15   y = x  y = 1  x  y = 0  x = e   y = x  y = / x 2 − 1/ 3 24)  25)  2 26)  y = / x /+ 5 y = x   y = −3 x 2 − / x / + 2  y = 0  y = x 2 − 2x + 2   y = / x − 1/ y = x + 2  2 2 28)  y = x 2 + 4 x + 5 27)  29)  y = 4 − x y = −x2 + 7 y = 1    y = x3  y = sin x − 2 cos x  2 y = x + 3 +   30)  y = 0 31)  y = 3 32)  x  x = −2; x = 1  x = 0; x = π y = 0     y = 2x 2 − 2x  y = x + 2x  2 34)  y = x 2 + 3x − 6 33)  35) y = x + 2  x = 0; x = 4   y = / x 2 − 5x + 6 /  y = 6  y = 2x 2   y = / x 2 − 3x + 2 / 36)  y = x 2 − 2 x − 1 37)  y = 2 y = 2    y = / x − 3x + 2 /  y = / x 2 − 5x + 6 /  y = / x 2 − 4x + 3 / 2 38)  39)  40)  y = x +1 y = 3 y = −x2  y = eÏ  x2 y=   41)  y = e − x 42)  x 2 − x 6 43) x = 1  x = 0; x = 1    y = sin/ x /   y = / x /− π