CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
I. Mục tiêu
1.Về kiến thức:
- Hiểu được phương pháp đổi biến số và lấy nguyên hàm từng phần .
2. Về kĩ năng:
- Giúp học sinh vận dụng được 2 phương pháp tìm nguyên hàm của một số hàm số không
quá phức tạp.
3. Về tư duy thái độ:
- Phát triển tư duy linh hoạt.
-Học sinh tích cực tham gia vào bài học, có thái độ hợp tác.
II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh
1. Giáo viên:
- Lập các phiếu học tập, bảng phụ.
2. Học sinh:
Các kiến thức về :
- Vận dụng bảng các nguyên hàm, tính chất cơ bản của nguyên hàm, vi phân.
III. Phương pháp: Gợi mở vấn đáp
IV. Tiến trình bài học
TIẾT 1
Kiểm tra bài cũ: (5 phút)
Câu hỏi: a/ Phát biểu định nghĩa nguyên hàm .
b/ Chứng minh rằng hàm số F(x) =
5
)12( 52 x là một nguyên hàm của hàm số
f(x) = 4x(2x2 +1)4.
- Cho học sinh khác nhận xét bài làm của bạn.
- Nhận xét, kết luận và cho điểm.
Hoạt động 1: Xây dựng phương pháp đổi biến số.
Tg Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng
5’
5’
- Nếu đặt u = 2x2 + 1, thì
dxxx 42 )12(4 =
dxxx )'12()12( 242
=
duu 4=
5
5
u+ C =
5
)12( 52 x+ C
- Thông qua câu hỏi b/ ,
hướng dẫn hsinh đi đến
phương pháp đổi biến số.
dxxx 42 )12(4 =
=
dxxx )'12()12( 242
-Nếu đặt u = 2x2 + 1, thì biểu
thức ở trên trở thành như thế
nào, kết quả ra sao?
- Phát biểu định lí 1.
-Định lí 1 : (sgk)
Hoạt động 2 :Rèn luyện kỹ năng tìm nguyên hàm bằng PPĐBS.
Tg
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng
7’
7’
6’
- HS suy nghĩ cách biến đổi về
dạng
dxxuxuf )(')]([
- Đ1:
dx
x
x
3 2 1
2=
dxxx )'1()1( 2
3
1
2
Đặt u = x2+1 , khi đó :
dxxx )'1()1( 2
3
1
2=
duu 3
1
=
2
3u3
2
+ C =
2
3(x2+1) 3
2
+ C
- HS suy nghĩ cách biến đổi về
dạng
dxxuxuf )(')]([
Đ2:
dxxx )1sin(2 2=
dxxx )'1)(1sin( 22
Đặt u = (x2+1) , khi đó :
dxxx )'1)(1sin( 22 =
udusin
= -cos u + C = - cos(x2+1) +C
-HS suy nghĩ cách biến đổi về
dạng
dxxuxuf )(')]([
Đ3:
xdxe xsin
cos =
= -
dxxe x)'(cos
cos
Đặt u = cos x , khi đó :
xdxe xsin
cos = -
dxxe x)'(cos
cos
= -
dueu= -eu +C = - ecosx +C
H1:Có thể biến đổi
dx
x
x
3 2 1
2 về dạng
dxxuxuf )(')]([ được không?
Từ đó suy ra kquả?
- Nhận xét và kết luận.
H2:Hãy biến đổi
dxxx )1sin(2 2 về dạng
dxxuxuf )(')]([ ? Từ đó suy
ra kquả?
- Nhận xét và kết luận.
H3:Hãy biến đổi
xdxe xsin
cos về dạng
dxxuxuf )(')]([ ? Từ đó suy
ra kquả?
- Nhận xét và kết luận.
Vd1: Tìm dx
x
x
3 2 1
2
Bg:
dx
x
x
3 2 1
2=
dx
xx )'1()1( 2
3
1
2
Đặt u = x2+1 , khi đó :
dxxx )'1()1( 2
3
1
2=
duu 3
1
=
2
3u3
2
+ C =
2
3(x2+1) 3
2
+ C
Vd2:Tìm
dxxx )1sin(2 2
Bg:
dxxx )1sin(2 2=
xx )(1sin( 22
Đặt u = (x2+1) , khi đó :
dxxx )'1)(1sin( 22 =
udusin
= -cos u + C = - cos(x2+1) +C
Vd3:Tìm
xdxe xsin
cos
Bg:
xdxe xsin
cos = -
dxxe x)'(cos
cos
Đặt u = cos x , khi đó :
xdxe xsin
cos = -
dxxe x)'(cos
cos
= -
dueu= -eu + c = - ecosx + c
* chú ý: có thể trình bày cách kh
á
xdxe xsin
cos = - )(
cos osxcde x
= - ecosx + C
Hoạt động 3: Củng cố ( 10 phút) . Hoạt động nhóm.
V. Bài tập về nhà: 6, 7 trang 145
VI. Phụ lục:
+ Phiếu học tập1:
Câu 1.Tìm kết quả sai trong các kết quả sau:
a/
xdxex2 =
2
1
)( 2
2xde x=
2
1e2
x+ C ; b/ dx
xln =
)(lnln xxd =
2
1ln 2x + C
c / dx
xx )1(
1= 2
dx
x
xd
1
)1( = 2 ln(1+ x) + C ; d/ inxdxxs
= -xcosx + C
Câu 2.
Tìm kết quả sai trong các kết quả sau:
a/
dxxe x2
3 =
3
1
)( 3
3xdex=
3
1e3
x+ C ; b/
xdxx cos.sin 2 =
)(sin.sin 2xdx =
3
1sin 3x + C
c / dx
xx )1(2
1=
x
xd
1
)1( = ln(1+ x) + C ; d/ xdxx
cos = x.sinx + C
Tg Hoạt động của học sinh
Hoạt động của giáo viên Ghi bảng
10’
- Các nhóm tập trung
giải quyết .
- Theo dõi phần trình
bày của nhóm bạn và
rút ra nhận xét và bổ
sung.
- Cho HS hđ nhóm thực hiện phiếu
HT1 .
- Gọi đại diện một nhóm trình bày.
- Đại diện nhóm khác cho nhận xét.
- GV nhận xét và kết luận.
* Chú ý: Đổi biến số
như thế nào đó để đưa
bài toán có dạng ở bảng
nguyên hàm.
TIẾT 2
Hoạt động 4:Giới thiệu phương pháp lấy nguyên hàm từng phần .
Tg
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng
5’
8’
Đ:
(u.v)’= u’.v + u.v’
dxvu )'(
= vdxu
'+dxvu '
dvu
= dxuv
)'( +duv
dvu
= uv - duv
Đ:Đặt u = x, dv = sinxdx
Khi đó du = dx, v = -cosx
Ta có :
xdxx
sin =- x.cosx + xdx
cos
= - xcosx + sinx + C
H: Hãy nhắc lại công thức đạo
hàm một tích ?
Hãy lấy nguyên hàm hai vế, suy
ra dvu
= ?
- GV phát biểu định lí 3
- Lưu ý cho HS: đặt u, dv sao cho
duv
tính dễ hơn dvu
.
- H: Từ đlí 3 hãy cho biết đặt u và
dv như thế nào? Từ đó dẫn đến
kq?
- yêu cầu một HS khác giải bằng
cách đặt u = sinx, dv = xdx thử
kq như thế nào
-Định lí 3: (sgk)
dvu
= uv - duv
-Vd1: Tìm xdxx
sin
Bg:
Đặt u = x,dv = sinxdx
Khi đó du =dx,v =-cosx
Ta có :
xdxx
sin =- x.cosx
+xdx
cos = - xcosx +
sinx + C
Hoạt động 5: Rèn luyện kỹ năng tìm nguyên hàm bằng pp lấy nguyên hàm từng phần.
Tg Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng
5’
5’
- Học sinh suy nghĩ và tìm ra
hướng giải quyết vấn đề.
Đ :Đặt u = x ,dv = exdx
du = dx, v = ex
Suy ra :
dxxex
= x. ex - dxe x
= x.ex – ex + C
Đ: Đặt u = x2, dv = exdx
du = 2xdx, v = ex
Khi đó:
dxex x
2=x2.ex-dxex x
H :- Dựa vào định lí 3, hãy đặt u, dv
như thế nào ? Suy ra kết quả ?
H : Hãy cho biết đặt u, dv như thế
nào ? Suy ra kquả ?
- Lưu ý :Có thể dùng từng phần
nhiều lần để tìm nguyên hàm.
- Vd2 :Tìm dxxex
Bg :
Đặt u = x ,dv = exdx
du = dx, v = ex
Suy ra :
dxxex
= x. ex - dxe x
= x.ex – ex + C
Vd3 : Tìm I= dxex x
2
Bg :Đặt u = x2, dv = exdx
du = 2xdx, v = ex
Khi đó:
dxex x
2=x2.ex-dxex x