intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Luyện thi Đại học môn Toán: Phương pháp vi phân tìm nguyên hàm - Thầy Đặng Việt Hùng

Chia sẻ: Thành Chung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST
Báo xấu
142
lượt xem 18
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Luyện thi Đại học môn Toán: Phương pháp vi phân tìm nguyên hàm - Thầy Đặng Việt Hùng" tóm lược nội dung cần thiết và cung cấp các bài tập ví dụ hữu ích, giúp các bạn củng cố và nắm kiến thức về phương pháp vi phân tìm nguyên hàm thật hiệu quả.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luyện thi Đại học môn Toán: Phương pháp vi phân tìm nguyên hàm - Thầy Đặng Việt Hùng

  1. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 02. PP VI PHÂN TÌM NGUYÊN HÀM Thầy Đặng Việt Hùng CÁC BIỂU THỨC VI PHÂN QUAN TRỌNG 1. xdx = d ( x 2 ) = d ( x 2 ± a ) = − d ( a − x 2 ) 1 1 1 dx 6. = −d ( cot x ) = −d ( cot x ± a ) = d ( a − cot x ) 2 2 2 sin 2 x 2. x 2 dx = d ( x 3 ) = d ( x 3 ± a ) = − d ( a − x3 ) 1 3 1 3 1 3 7. dx 2 x =d ( x) = d( ) ( x ± a = −d a − x ) 3. sin x dx = −d (cos x) = −d (cos x ± a ) = d (a − cos x) 8. e x dx = d ( e x ) = d ( e x ± a ) = −d ( a − e x ) dx 4. cos x dx = d (sin x) = d (sin x ± a ) = −d (a − sin x) 9. = d ( ln x ) = d ( ln x ± a ) = −d ( a − ln x ) x dx 1 1 5. = d ( tan x ) = d ( tan x ± a ) = −d ( a − tan x ) 10. dx = d ( ax + b ) = − d ( b − ax ) cos 2 x a a Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: x x 2 dx a) I1 = ∫ 1 + x2 dx ∫ b) I 2 = x(1 + x 2 )10 dx c) I 3 = ∫ x3 + 1 Lời giải:  x  1 ( ) ( ) 2 1  xdx = d   = d x = d x ± a 2 2   2 2 2 a) Sử dụng các công thức vi phân   du  u = d ( ln u ) 1 d x 2 1 d x +1( ) 2 du ( ) ∫ u ∫ ( ) x = d (ln u ) = ln u + C 1 Ta có I1 = 1+ x∫2 dx = 2 1+ x 2 = 2 ∫1+ x 2 ∫ ←→ I1 = ln x 2 + 1 + C. 2  x  1 ( ) ( ) 2 1  xdx = d   = d x = d x ± a 2 2   2 2 2 b) Sử dụng các công thức vi phân   n  u n +1   u du = d     n +1 (1 + x ) 11 2 ∫ ( ) ∫ (1 + x ) d ( x ) 10 1 10 Ta có I 2 = x 1 + x 2 dx = 2 2 +1 = + C. 2 22  2  x3  1  x dx = d   = d x ± a  3 ( ) c) Sử dụng các công thức vi phân   3 3  du 2 u = d u  ( ) 1 d ( x + 1) 2 d ( x + 1) 2 x3 + 1 3 3 x 2 dx Ta có I 3 = ∫ ∫ x 3 + 1 3 ∫ 2 x3 + 1 = 3 + C. = = x3 + 1 3 Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: dx a) I 4 = ∫ x 1 − x 2 dx b) I 5 = ∫ c) I 6 = ∫ 5 − 2 x dx 2x −1 Lời giải: Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
  2. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95   x2  1  xdx = d 1  = d x =− d a−x 2 2 ( ) ( )   2  2 2 a) Sử dụng các công thức vi phân   n  u n +1  u du = d     n +1 1 1 (1 − x ) 2 3 Ta có I 4 = ∫ x 1 − x dx = ∫ (1 − x 2 ) 2 d ( x 2 ) = − ∫ (1 − x 2 ) 2 d (1 − x 2 ) = − 1 1 2 + C. 2 2 3  1 1 dx = a d ( ax + b ) = − a d ( b − ax ) b) Sử dụng các công thức vi phân   du = d u  2 u ( ) 1 d ( 2 x − 1) d ( 2 x − 1) 2 u = d ( u ) du dx Ta có I 5 = ∫ = ∫ =∫ ← → I5 = 2 x − 1 + C. 2x −1 2 2x − 1 2 2x −1  1 1  dx = a d ( ax + b ) = − a d ( b − ax )  c) Sử dụng các công thức vi phân   n +1  u n du = d  u    n +1 3 1 2 (5 − 2x )2 (5 − 2x) 3 1 1 1 ⇒ I 6 = ∫ 5 − 2 x dx = ∫ 5 − 2 x d ( 2 x ) = − ∫ ( 5 − 2 x ) 2 d ( 5 − 2 x ) = − . +C = − + C. 2 2 2 3 3 Ví dụ 3: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 2 x3 dx ln 3 x a) I 7 = ∫x −5 5 4 dx b) I 8 = ∫ (3 − 2 x)5 c) I 9 = ∫ x dx Lời giải:  3 x  1 ( ) ( ) 4 1  x dx = d   = d x ± a = − d a − x 4 4  4   4 4 a) Sử dụng các công thức vi phân   du  u − n +1   un = d     −n + 1   x4  ( ) 4   ( ) d 4 1 1 5 x −5 4 5 5 5 x4 − 5 ∫( ) ( ) 3 4  1 − 2x  ⇒ I7 = ∫ dx = 2 ∫= x −5 d x −5 = . +C = + C. 4 5 4 x −5 5 4 x −5 2 5 4 2 4 8 ( 3 − 2 x ) + C. 6 dx 1 b) Ta có I 8 = ∫ = − ∫ (3 − 2x ) d (3 − 2x) = − 5 (3 − 2 x) 5 2 12 ln 3 x ln 4 x = d ( ln x ) ta được I 9 = ∫ dx c) Sử dụng công thức vi phân dx = ∫ ln 3 x d ( ln x ) = + C. x x 4 Ví dụ 4: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 3 dx cos x a) I10 = ∫ ( 4 − 2x) 2010 b) I11 = x dx ∫ c) I12 = cos x sin x dx ∫ Lời giải: 3 (4 − 2x) −2009 3 dx 3 3 ( 4 − 2x ) d ( 4 − 2x) = − −2010 a) Ta có I10 = ∫ =− ∫ +C = + C. ( 4 − 2x ) 2 −2009 4018 ( 4 − 2 x ) 2010 2009 2 cos u du = d ( sin u )  ( ) b) Sử dụng các công thức vi phân  dx  =d x 2 x Ta có I11 = ∫ cos x x dx = 2 cos x 2 x ∫ dx = 2 cos x d ∫ ( x ) = 2sin x + C. Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
  3. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 cos u du = d ( sin u ) c) Sử dụng các công thức vi phân  sin x dx = −d ( cos x ) 3 1 2 ( cos x ) 2 2 cos3 x Ta có I12 = ∫ cos x sin x dx = − ( cos x ) d ( cos x ) = − ∫ 2 =− + C. 3 3 Ví dụ 5: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: sin x ∫ a) I13 = 3 sin x cos x dx b) I14 = ∫ cos5 x dx c) I15 = ∫ sin 4 x cos x dx Lời giải: sin u du = −d ( cos u ) a) Sử dụng các công thức vi phân  cos x dx = d ( sin x ) 3   1 4 4 1 u 3 du = d  u 3  4   3 ( sinx ) 3 3 3 sin 4 x Ta có I 3 = ∫ 3 sin x cos x dx = ∫ ( sinx ) d ( sin x ) ← 3 → I13 =   +C = +C 4 4 ( cos x ) + C = 1 + C. −4 sin x d (cos x) b) Ta có I14 = ∫ dx = − ∫ =− 5 cos x 5 cos x −4 4 cos 4 x cos x dx = d ( sin x )  c) Sử dụng các công thức vi phân  n  u n +1   u du = d     n +1  u5  u 4 du = d    5  sin 5 x Khi đó ta được I15 = ∫ sin x cos x dx = ∫ sin x d ( sin x ) ← 4 4 → I15 =   + C. 5 Ví dụ 6: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: sin x dx a) I16 = ∫ tanx dx b) I17 = ∫ sin 4 x cos 4 x dx c) I18 = ∫ 1 + 3cos x Lời giải: sin x dx = −d (cos x)  a) Sử dụng các công thức  du  ∫ u = ln u + C sin xdx d ( cos x ) Ta có I16 = ∫ tan x dx = ∫ = −∫ = − ln cos x + C. cos x cos x 1 1 ∫ b) Ta có I17 = sin 4 x cos 4 x dx = sin 4 x cos 4 x d ( 4 x ) = ∫ ∫ sin 4 x d ( sin 4 x ) 4 4 3 1 2 ( sin 4 x ) 2 sin 3 4 x = . +C = + C. 4 3 6 sin x dx d ( cos x ) 1 d ( 3cos x + 1) 1 c) Ta có I18 = ∫ = −∫ =− ∫ = − ln 1 + 3cos x + C. 1 + 3cos x 1 + 3cos x 3 1 + 3cos x 3 Ví dụ 7: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 2cos x dx cos x dx a) I19 = ∫ b) I 20 = ∫ c) I 21 = ∫ tan x.ln ( cos x ) dx ( 2 − 5sin x ) 4sin x − 3 2 Lời giải: cos xdx = d (sin x)  a) Sử dụng công thức vi phân  du  1  u2 = d  − u     2cos x dx 2 d ( sin x ) 2 d ( 2 − 5sin x ) 2 ⇒ I19 = ∫ =∫ =− ∫ = + C. ( 2 − 5sin x ) 2 ( 2 − 5sin x ) 2 5 ( 2 − 5sin x ) 2 5 ( 2 − 5sin x ) Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
  4. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 cos xdx = d (sin x)  ( ) b) Sử dụng công thức vi phân  du 2 u = d u  cos x dx d ( sin x ) 1 d ( 4sin x ) 1 d ( 4sin x − 3) 1 Ta được I 20 = ∫ =∫ = ∫ = ∫ = 4sin x − 3 + C. 4sin x − 3 4sin x − 3 4 4sin x − 3 2 2 4sin x − 3 2  sin xdx d ( cos x ) ∫  tan xdx = ∫ cos x =− ∫ cos x = − ln cos x + C c) Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản  2  u du = u + C ∫  2 d ( cos x ) = − ∫ ln ( cos x ) d ( ln cos x ) = sin x Ta có I 21 = ∫ tan x.ln ( cos x ) dx = ∫ ln ( cos x ) dx = − ∫ ln ( cos x ) cos x cos x ln 2 (cos x) ln 2 (cos x) =− + C  → I 21 = − + C. 2 2 Ví dụ 8: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: tan x tan 3 x tan 2 x + 1 a) I 22 = ∫ 2 cos x dx b) I 23 = ∫ 4 cos x dx c) I 24 =∫ cos 2 2 x dx Lời giải:  dx  cos 2 x = d ( tan x ) a) Sử dụng các công thức  2  u du = u + C  ∫ 2 tan x dx tan 2 x tan 2 x Ta có I 22 = ∫ dx = ∫ tan x. = ∫ tan x d ( tan x ) = + C  → I 22 = + C. cos 2 x cos 2 x 2 2  dx  cos 2 x = d ( tan x ) b) Sử dụng các công thức   1 = 1 + tan 2 x  cos 2 x Ta có I 23 = ∫ tan 3 x 4 cos x ∫ dx = tan 3 x. 2 . 1 dx cos x cos 2 x ∫ ( ) ∫( = tan 3 x. 1 + tan 2 x d (tan x) = tan 5 x + tan 3 x d (tan x)) tan 6 x tan 4 x tan 6 x tan 4 x = + + C  → I 23 = + + C. 6 4 6 4  dx 1 d (ax) 1  cos 2 ax = a cos 2 ax = a d ( tan(ax) ) c) Sử dụng các công thức  2  u du = u + C  ∫ 2 tan 2 x + 1 tan 2 x dx dx 1 tan 2 x d (2 x) 1 d (2 x) Ta có I 24 = ∫ 2 cos 2 x dx = ∫ 2 cos 2 x + ∫ 2 cos 2 x 2 = ∫ cos 2 2 x + ∫ 2 cos 2 2 x 1 1 tan 2 2 x tan 2 x tan 2 2 x tan 2 x = 2 ∫ tan 2 x d (tan 2 x) + 2 ∫ d (tan 2 x) = 4 + 2 + C  → I 24 = 4 + 2 + C. Ví dụ 9: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: cot x tan x cot x a) I 25 = ∫ 2 dx b) I 26 = ∫ dx c) I 27 = ∫ dx sin x 3 cos x  π cos  x +   2 Lời giải:  dx  sin 2 x = − d ( cot x ) a) Sử dụng các công thức  2  u du = u + C  ∫ 2 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
  5. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 cot x dx cot 2 x cot 2 x Ta có I 25 = ∫ dx = cot x. ∫ = − cot x d ( cot∫x ) = − + C  → I 25 = − + C. sin 2 x sin 2 x 2 2 sin x dx = −d ( cos x )  b) Sử dụng các công thức  du u − n +1 ∫ n = +C  u −n + 1 d ( cos x ) ( cos x ) + C = 1 + C  −3 tan x sin xdx 1 Ta có I 26 = ∫ dx = ∫ = −∫ =− → I 26 = + C. 3 cos x 4 cos x 4 cos x −3 3cos x3 3cos3 x  cos x dx = d ( sin x )    π c) Sử dụng các công thức cos  x +  = − sin x   2  du 1 ∫ 2 = − + C  u u cot x cos x cos x dx d (sin x) 1 1 Ta có I 27 = ∫ dx = ∫ dx = − ∫ = −∫ = + C  → I 27 = + C.  π sin x. ( − sin x ) 2 sin x 2 sin x sin x sin x cos  x +   2 Ví dụ 10: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 3e x e tan x + 2 dx a) I 28 = ∫ b) I 29 = ∫ c) I 30 = ∫ x.e1− x dx 2 dx x cos 2 x e 2 ln x + 3 d) I 31 = ∫ ecos x sin x dx e) I 32 = ∫ dx x Lời giải:  dx  a) Sử dụng các công thức  2 x =d x ( )  eu du = eu + C ∫ ( x ) = 6e x 3e dx Ta có I 28 = ∫ ∫ dx = 3.2 e ∫ = 6 e xd + C  → I 28 = 6e + C. x x x x 2 x  dx  cos 2 x = d ( tan x ) = d ( tan x ± k ) b) Sử dụng các công thức   eu du = eu + C ∫ tan x + 2 e dx dx Ta có I 29 = ∫ = ∫ e tan x + 2 = e tan x + 2 d ( tan x + 2 ) = e tan x + 2 + C  → I 29 = e tan x + 2 + C. cos 2 x cos 2 x ∫   x dx = 2 d ( x ) = − 2 d (1 − x ) 1 2 1 2 c) Sử dụng các công thức   eu du = eu + C ∫ Ta có I 30 = ∫ x.e1− x dx = ∫ e1− x x dx = − ∫ e1− x d (1 − x 2 ) = − e1− x + C  1 1 1 → I 30 = − e1− x + C . 2 2 2 2 2 2 2 2 sin x dx = −d ( cos x ) d) Sử dụng các công thức  u  ∫ e du = e + C u Ta có I 31 = ∫ ecos x sin x dx = − ∫ ecos x d ( cos x ) = −ecos x + C  → I 31 = −ecos x + C .  dx  = d ( ln x ) = d ( ln x ± k ) e) Sử dụng các công thức  x  eu du = eu + C ∫ 2 ln x + 3 e dx 1 1 Ta có I 32 = ∫ dx = ∫ e 2 ln x + 3 = e 2 ln x + 3 d ( ln x ) = ∫ e 2 ln x + 3 d ( 2ln x + 3) = e 2 ln x + 3 + C. x x ∫ 2 2 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
  6. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 e2 ln x + 3 1 Vậy I 32 = ∫ dx = e 2 ln x + 3 + C. x 2 LUYỆN TẬP TỔNG HỢP 1. Vi phân nhóm hàm đa thức, hàm căn • I1 = ∫ x3 (4 − 5 x 4 )dx = .................................................................................................................................... • I 2 = ∫ 2 x 2 3 1 + 3 x3 )dx = ................................................................................................................................. xdx • I3 = ∫ = ........................................................................................................................................... 4 3 − 2 x2 x5 • I4 = ∫ dx = .......................................................................................................................................... 1 − 5 x6 3x3 • I5 = ∫ dx = ...................................................................................................................................... 2 + 3x 4 xdx • I6 = ∫ = ......................................................................................................................................... ( 2 − 3x ) 2 2 • I 7 = ∫ x cos(3 − 4 x 2 )dx = ................................................................................................................................ • I 8 = ∫ x 3 sin(1 + 5 x 4 )dx = ............................................................................................................................... 2 • I 9 = ∫ xe −4 x +5 dx = .......................................................................................................................................... 4 e x dx • I10 = ∫ 2 = ................................................................................................................................................ x e3 x dx • I11 = ∫ = .............................................................................................................................................. 2 x dx • I12 = ∫ = ........................................................................................................................................... x+3 x 2. Vi phân nhóm hàm lượng giác • I1 = ∫ sin x.cos3 xdx = ................................................................................................................................... • I 2 = ∫ cos x.sin 5 xdx = ................................................................................................................................... • I 3 = ∫ sin x. 3cos x + 2dx = ......................................................................................................................... • I 4 = ∫ cos x. 4 5 − 2 sin xdx = .......................................................................................................................... sin xdx • I5 = ∫ = ...................................................................................................................................... 2 + 5cos x Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
  7. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 sin xdx • I6 = ∫ = ...................................................................................................................................... 1 − 3cos x cos xdx • I7 = ∫ = ..................................................................................................................................... (1 − 2 sin x ) 2 sin 2 xdx • I8 = ∫ = ...................................................................................................................................... 7 − 2 cos 2 x sin 3 xdx • I9 = ∫ = ..................................................................................................................................... 1 + 2 cos 3 x tan xdx • I10 = ∫ = ........................................................................................................................................... 3cos 2 x tan xdx • I11 = ∫ = ............................................................................................................................................ cos 4 x • I12 = ∫ sin x.e3cos x − 2 dx = ................................................................................................................................. • I13 = ∫ cos 2 x.e 2 −5sin 2 x dx = ............................................................................................................................. e2cot x −1 • I14 = ∫ dx = ........................................................................................................................................ sin 2 x dx • I15 = ∫ = ........................................................................................................................... sin x 4 cot x − 3 2 3. Vi phân nhóm hàm mũ, loga ex • I1 = ∫ dx = ......................................................................................................................................... 2e x − 1 e3 x • I2 = ∫ dx = ..................................................................................................................................... 1 − 5e3 x e −2 x • I3 = ∫ dx = .................................................................................................................................. (1 − 3e−2 x ) 2 ln 3 x • I4 = ∫ dx = ........................................................................................................................................... x dx • I5 = ∫ = ..................................................................................................................................... x 1 − 5 ln x dx • I6 = ∫ = .................................................................................................................................. x ( 2 + 3ln x ) 2 ln xdx • I7 = ∫ = ................................................................................................................................... x 1 − 4 ln 2 x Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
  8. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 BÀI TẬP LUYỆN TẬP x cos x 1) I1 = ∫ 1+ x 2 dx ∫ 2) I 2 = x(1 + x 2 )10 dx 3) I 3 = ∫ x dx sin x 4) I 4 = ∫ cos x sin xdx 5) I 5 = ∫ cos 3 x dx 6) I 6 = ∫ 3 sin x cos xdx x dx 7) I 7 = ∫ dx 4) I 8 = ∫ 3) I 9 = ∫ 5 − 2 xdx x2 + 5 2x −1 ln 3 x I10 = ∫ 11) I11 = ∫ x.e x +1dx 12) I12 = ∫ sin 4 x cos xdx 2 10) dx x sin x tan x 13) I13 = ∫ dx 14) I14 = ∫ cot x dx 15) I15 = ∫ dx cos5 x cos 2 x e tan x e x 16) I16 = ∫ dx 17) I17 = ∫ dx 18) I18 = ∫ x x 2 + 1 dx cos 2 x x dx x 2 dx 19) I19 = ∫ 20) I 20 = ∫ x 2 x3 + 5 dx 21) I 21 = ∫ (3 − 2 x)5 x3 + 1 22) I 22 = ∫ x 1 − x 2 dx 23) I 23 = ∫ cos x 1 + 4sin x dx 24) I 24 = ∫ x x 2 + 1 dx +2 sin x dx 25) I 25 = ∫ ecos x sin x dx 26) I 26 = ∫ x.e x 27) I 27 = ∫ 2 dx 1 + 3cos x e2 ln x +1 ∫ 28) I 28 = x.e1− x dx ∫ (e ) 2 29) I 29 = sinx + cos x cos x dx 30) I 30 = ∫ dx x Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
3=>0