intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Luyện thi Đại học môn Toán: Phương pháp đổi biến số tìm nguyên hàm (Phần 1) - Thầy Đặng Việt Hùng

Chia sẻ: Thành Chung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Thêm vào BST
Báo xấu
185
lượt xem 29
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Luyện thi Đại học môn Toán: Phương pháp đổi biến số tìm nguyên hàm (Phần 1) - Thầy Đặng Việt Hùng" tóm lược nội dung cần thiết và cung cấp các bài tập ví dụ hữu ích, giúp các bạn củng cố và nắm kiến thức về phương pháp đổi biến số tìm nguyên hàm thật hiệu quả.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luyện thi Đại học môn Toán: Phương pháp đổi biến số tìm nguyên hàm (Phần 1) - Thầy Đặng Việt Hùng

  1. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 03. PP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM – P1 Thầy Đặng Việt Hùng Dạng 1. Đổi biến số cho các hàm vô tỉ Phương pháp giải: Nếu hàm f(x) có chứa n → n.t n −1 = g '( x)dx g ( x) thì đặt t = n g ( x) ⇔ t n = g ( x)  Khi đó, I = ∫ f ( x)dx = ∫ h(t )dt , việc tính nguyên hàm ∫ h(t )dt đơn giản hơn so với việc tính ∫ f ( x)dx.  MỘT SỐ VÍ DỤ MẪU: Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: xdx x 2 dx a) I1 = ∫ 4x + 1 ∫ b) I 2 = x3 x 2 + 2 dx c) I 3 = ∫ 1− x Lời giải: 2tdt = 4dx t 2 − 1 tdt .  xdx 2 = 1 (t 2 − 1)dt a) Đặt t = 4 x + 1 ⇔ t 2 = 4 x + 1 →  x = t 2 − 1  → I1 = ∫ 4x + 1 = ∫ 4 t 8 ∫  4 1  t3  1  (4 x + 1)  3 =  −t+C =  − 4 x + 1  + C. 8 3  8 3    b) Đặt t = x 2 + 2 ⇔ t 2 = x 2 + 2  → x 2 = t 2 − 2 ⇔ 2 xdx = 2tdt  → x3 dx = x 2 .xdx = (t 2 − 2).tdt ( ) ( ) 5 3 x2 + 2 2 x2 + 2 ∫ ( ) ∫( ) t5 t3 Khi đó I 2 = ∫ x + 2 .x dx = t. t − 2 tdt = t − 2t dt = − 2. + C = − +C 2 3 2 4 2 5 3 5 3 dx = −2tdt ( ) 2 x 2 dx 1 − t 2 .tdt c) Đặt t = 1 − x ⇔ t 2 = 1 − x ⇔ x = 1 − t 2  → 2  x = 1 − t 2 2  → ( I 3 = 1− x) = −2 ∫t ∫  t 5 2t 3   (1 − x)5 2 (1 − x)3  ∫( ) ∫( ) 2 = −2 1 − t 2 dt = −2 t 4 − 2t 2 + 1 dt = −2  − + t  + C = −2  − + 1− x  + C 5 3   5 3    (x ) (x ) 5 3 2 +2 2 2 +2 ∫ ( ) ∫ (t ) t5 t3 Khi đó I 2 = ∫ x + 2 .x dx = t. t − 2 tdt = − 2t dt = − 2. + C = − + C. 2 3 2 4 2 5 3 5 3 Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: ln x dx ln 2 x dx ln x 3 + 2ln x dx a) I 4 = ∫ x 1 + ln x b) I 5 = ∫ x 3 2 − ln x c) I 6 = ∫ x Lời giải: ln x = t − 1 ( ) 2  ln x dx t 2 − 1 .2tdt a) Đặt t = 1 + ln x ⇔ t = 1 + ln x  →  dx  → I4 = = ∫ ∫ 2  = 2tdt 1 + ln x x t x  t3   (1 + ln x)3  2 (1 + ln x)3 = 2 ∫ ( t 2 − 1) dt = 2  − t  + C = 2  − 1 + ln x  + C  → I4 = − 2 1 + ln x + C . 3   3  3   ln x = 2 − t 3  ln 2 x dx (2 − t 3 ) 2 .3t 2 dt b) Đặt t = 3 2 − ln x ⇔ t 3 = 2 − ln x  →  dx  = 3t dt 2  → I5 = ∫ 3 . 2 − ln x x = t ∫  x Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
  2. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95  t 8 4t 5   3 (2 − ln x)8 4 3 (2 − ln x)5  = 3∫ ( t 7 − 4t 4 + 4t ) dt = 3  − + 2t 2  + C = 3  − + 2 3 (2 − ln x)2  + C 8 5   8 5     t2 − 3  ln x = c) Đặt t = 3 + 2ln x ⇔ t 2 = 3 + 2ln x  → 2  2 dx = 2tdt  x ln x 3 + 2ln x dx  t2 − 3  ∫ (t ) dx 1 Từ đó ta có I 6 = ∫ ∫ = ln x 3 + 2ln x . =   .t.tdt = ∫ − 3t 2 dt 4 x x  2  2 1  t5  t5 t3 ( 3 + 2 ln x )5 ( 3 + 2ln x )3 ( 3 + 2ln x )5 ( 3 + 2ln x )3 =  − t3  + C = − + C = − + C  → I6 = − + C. 2 5  10 2 10 2 10 2 Ví dụ 3: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: dx e 2 x dx dx dx a) I 7 = ∫ b) I8 = ∫ c) I 9 = ∫x d) I10 = ∫x ex −1 (e ) x2 + 4 x4 + 1 3 x +1 Lời giải: e x = t 2 − 1 e x = t 2 − 1  a) Đặt t = e − 1 ⇔ t = e − 1  x 2 x → x ← → 2tdt e dx = 2tdt dx = 2  t −1 dx 2tdt 2dt 2dt (t + 1) − (t − 1) dt dt Khi đó I 7 = e −1 x = ∫ t.(t − 1) 2 = 2 t −1 = ∫ (t − 1)(t + 1) =∫ (t − 1)(t + 1) ∫ dt = t −1 − t +1 ∫ ∫ ∫ t −1 ex −1 −1 ex −1 − 1 = ln t − 1 − ln t + 1 + C = ln + C = ln + C  → I 7 = ln + C. t +1 ex − 1 + 1 ex −1 + 1 e = t − 1 x 2 e 2 x dx e x .e x dx (t 2 ) − 1 .2tdt b) Đặt t = e + 1 ⇔ t = e + 1  → x  → I8 = ∫ = ∫ = ∫ x 2 x e dx = 2tdt (e ) (e ) 3 3 3 t x +1 x +1 (t 2 − 1 .2tdt) t2 −1  dt   1  1  = ∫ t3 =2 ∫ t 2  ∫ t  ∫ dt = 2  dt − 2  = 2  t +  + C = 2  e x + 1 +  t    + C . ex + 1   x2 = t 2 − 4   x 2 = t 2 − 4  c) Đặt t = x 2 + 4 ⇔ t 2 = x 2 + 4 → ←→  dx xdx tdt 2 xdx = 2tdt  = 2 = 2 x x t −4 dx 1 dx 1 tdt dt 1 (t + 2) − (t − 2) 1  dt dt  Khi đó, I 9 = x x +4 2 = ∫ x +4 2 x = . 2 t t −4 ∫= 2 t −4 = 4 (∫ t + 2)(t − 2) dt =  4  t − ∫ 2 − t +2  ∫ ∫ ∫ 1 t−2 x2 + 4 − 2 x2 + 4 − 2 = 1 ( ln t − 2 − ln t + 2 ) + C = ln 4 t+2 1 + C = ln + C  → I9 = 1 ln + C. 4 4 x2 + 4 + 2 4 x2 + 4 + 2  x4 = t 2 − 1   x 4 = t 2 − 1  d) Đặt t = x 4 + 1 ⇔ t 2 = x 4 + 1  → 3 ← →  dx x3 dx tdt  4 x dx = 2tdt  = 4 = x x 2(t 2 − 1) dx 1 dx 1 tdt 1 dt 1 (t + 1) − (t − 1) Khi đó, I10 = x x +1 4 = ∫ x +1 4 . = . 2 x t ∫ 2(t − 1) = 2 ∫ = t − 1 4 (t + 1)(t − 1) 2 dt ∫ ∫ 1  dt dt  1 1 t −1 x4 + 1 − 1  = ( ln t − 1 − ln t + 1 ) + C = ln 1 =  4  t −1∫− t +1 4 ∫ 4 t +1 + C = ln 4 x4 + 1 + 1 + C. Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
  3. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Ví dụ 4: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: dx x dx a) I11 = ∫1+ 2 − 5x b) I12 = ∫1− 2 + x2 x 3 dx 1 + 4ln 2 x ln x c) I13 = ∫ 3 4 + x2 d) I14 = ∫ x dx Lời giải: 2tdt a) Đặt t = 2 − 5 x ⇔ t 2 = 2 − 5 x ⇔ 2tdt = −5dx  → dx = − 5 2 1+ t −1 2  1   dt = − ( t − ln t + 1 ) + C dx 2 t dt 2 Khi đó, I11 = ∫ 1 + 2 − 5x =− 5 1+ t =− 5 1+ t ∫dt = − 1 − ∫ 5  1+ t  5 ∫  → I11 = − 2 5 ( 2 − 5 x − ln 2 − 5 x + 1 + C . ) b) Đặt t = 2 + x 2 ⇔ t 2 = 2 + x 2 ⇔ 2tdt = 2 xdx  → xdx = tdt x dx t dt 1 − (1 − t )  1  d (1 − t ) Khi đó, I12 = 1 − 2 + x2 ∫ = 1− t = 1− t∫ dt =  ∫− 1 dt = − 1− t  ∫ 1− t ∫ − dt = − ln 1 − t − t + C ∫  → I12 = − ln 1 − 2 + x 2 − 2 + x 2 + C . x2 = t3 − 4  x 2 = t 3 − 4 c) Đặt t = 4 + x ⇔ t = 4 + x  3 → 2 2 3 ← → 2  3t 2 dt  3 → x3 dx = t 3 − 4 t 2 dt ( ) 3t dt = 2 xdx  xdx = 2  2 3 ( t − 4 ) t dt 3 4 33 ( 4 + x ) 2 5 33 ( 4 + x2 ) 2 3 2 x 3 dx 3  t5   → I13 = ∫ = ∫ = ∫ ( t − 4t ) dt =  − 2t 2  + C = − + C. 3 4 + x2 2 t 2 2 5  10 4 dx ln x dx tdt d) Đặt t = 1 + 4 ln 2 x ⇔ t 2 = 1 + 4ln 2 x ← → 2tdt = 4.2ln x.  → = x x 4 (1 + 4 ln x ) 2 3 ln x dx tdt 1 2 t3  → I14 = ∫ 1 + 4ln x = t. = ∫ t dt = + C = ∫ + C. 2 x 4 4 12 12 BÀI TẬP LUYỆN TẬP 4 − 3x xdx 1) I1 = ∫ dx 2) I 2 = ∫ x +1 2x + 1 x +1 dx 3) I 3 = ∫ x dx 4) I 4 = ∫1+ 1 + 3x xdx 5) I 7 = ∫ 6) I 6 = ∫ x 3 1 − x 2 dx 1 + 2x −1 7) I 7 = ∫ x 3 x + 4 dx 8) I 8 = ∫ x 2 3 − 2 x dx x 3 dx dx 9) I 9 = ∫ 10) I10 = ∫ 3 1+ x 2 x x3 + 1 dx 1 + 3ln x ln x 11) I11 = ∫ x3 x 2 + 4 12) I12 = ∫ x dx e 2 x dx dx 13) I13 = ∫ 14) I14 = ∫ ( ) 2 1+ e −1 x x 1+ x Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2