Giáo án Giải tích lớp 12: Chuyên đề 3 bài 1: Nguyên hàm và phương pháp tìm nguyên hàm

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:53

Thêm vào BST

Báo xấu

12
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo án "Giải tích lớp 12: Chuyên đề 3 bài 1: Nguyên hàm và phương pháp tìm nguyên hàm" được biên soạn dành cho các bạn học sinh lớp 12 nắm được định nghĩa nguyên hàm; các tính chất của nguyên hàm và bảng nguyên hàm cơ bản. Trình bày được các phương pháp tính nguyên hàm. Mời quý thầy cô và các em cùng tham khảo giáo án tại đây.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo án Giải tích lớp 12: Chuyên đề 3 bài 1: Nguyên hàm và phương pháp tìm nguyên hàm

CHUYÊN ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG BÀI 1: NGUYÊN HÀM VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Mục tiêu  Kiến thức + Nắm được định nghĩa nguyên hàm; các tính chất của nguyên hàm và bảng nguyên hàm cơ bản. + Nắm vững các phương pháp tính nguyên hàm.  Kĩ năng + Hiểu rõ định nghĩa và tính chất của nguyên hàm để vận dụng vào việc tìm nguyên hàm + Sử dụng thành thạo bảng nguyên hàm và các phương pháp tìm nguyên hàm. + Vận dụng nguyên hàm vào các bài toán thực tế. TOANMATH.com Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa nguyên hàm Ví dụ: F  x   x 3 là một nguyên hàm của hàm Cho hàm số f  x  xác định trên K (K là khoảng, đoạn   số f  x   3x 2 vì x 3  3x 2 ' hay nửa khoảng). Hàm số F  x  được gọi là một nguyên hàm của hàm số f x trên K nếu F '  x   f  x  với mọi x  K . Định lí Nhận xét: Nếu F  x  và G  x  cùng là nguyên Giả sử hàm số F  x  là một nguyên hàm của hàm số hàm của hàm số f  x  trên K thì: F  x  trên K. Khi đó:  F '  x   G '  x  , x  K .  Với mỗi hằng số C, hàm số F  x   C cũng là  F  x   G  x   C , với C là hằng số nào một nguyên hàm của f  x  trên K. đó.  Ngược lại, với mỗi nguyên hàm của f  x  trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho G x  F x  C với mọi x  K . Do đó F  x   C, C   là họ tất cả các nguyên hàm của f x trên K. Ký hiệu  f  x  dx  F  x   C . Tính chất Ví dụ 1: Nếu f  x  , g  x  là hai hàm số liên tục trên K thì:  2 sin x  3cos x  dx  2  sin xdx  3 cos xdx  2   cos x   3sin x  C  2 cos x  3sin x  C a)  f '  x  dx  f  x   C Ví dụ 2: b)  kf  x  dx  k  f  x  dx , với k là hai số thực khác 0. 1 1 c)  mf  x   ng  x  dx  m  f  x  dx  n g  x  dx với  3x  1 dx  3 ln 3x  1  C m,n là hai số thực khác 0. d) Với a, b   và a0 ta có: 1  f  ax  b  dx  a F  ax  b   C , ở đó F  x  là một nguyên hàm của f  x  . Sự tồn tại nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số f  x  liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. TOANMATH.com Trang 2
BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP Nguyên hàm của hàm số sơ Nguyên hàm của hàm số Nguyên hàm của hàm số hợp cấp hợp  u = u  x    u = ax + b;a  0   dx  x  C  du  u  C  d  ax  b   ax  b  C 1  ax  b   1 x  1 u 1   ax  b   C   1   C   1  C   1 dx    x dx  u a  1  1  1 1 1 1 1  x dx  ln x  C  u du  ln u  C  ax  b dx  a ln ax  b  C 1 1 1 1 1 1 1  x 2 dx   x  C  u2 du   u  C   ax  b  2 dx   . a ax  b C 2 2 1 2  xdx  x x C  udu  u u C  ax  bdx  .  ax  b  ax  b  C 3 3 a 3 1 1 1 1  x dx  2 x  C  u du  2 u  C  ax  b dx  .2 ax  b  C a 2 ax  b  e dx  e C  e du  e C e x x u u ax  b dx  e C a ax au 1 a mx  n  a dx  x  C  a  0, a  1  a du  u  C  a  0, a  1  a dx  mx  n .  C  a  0, a  1 ln a ln a m ln a 1  sin xdx   cos x  C  sin udu   cos u  C  sin  ax  b  dx   a cos  ax  b   C 1  cos xdx  sin x  C  cos udu  sin u  C  cos  ax  b  dx  a sin  ax  b   C 1  tan xdx   ln cos x  C  tan udu   ln cos u  C  tan  ax  b  dx   a ln cos  ax  b   C 1  cot xdx  ln sin x  C  cot udu  ln sin u  C  cot  ax  b  dx  a ln sin  ax  b   C 1 1 1 1  sin 2 x dx   cot x  C  sin 2 u du   cot u  C  sin  ax  b  dx   a cot  ax  b   C 2 1 1 1 1  cos2 x dx  tan x  C  cos2 u du  tan u  C  cos  ax  b  dx  a tan  ax  b   C 2 1 x 1 u dx 1 ax  b  sin x dx  ln tan 2  C  sin u du  ln tan 2  C  sin  ax  b   a ln tan 2 C TOANMATH.com Trang 3
1 1 x  1 u    cos  ax  b  dx  cos x dx  ln tan  2  4   C  cos u du  ln tan  2  4   C 1  ax  b    ln tan    C a  2 4 HỆ THỐNG HÓA KIẾN THỨC NGUYÊN HÀM:  f  x  dx  F  x   C 1. Định nghĩa nguyên hàm Cho hàm số f  x  xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F  x  được gọi là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên K nếu F '  x   f  x  với mọi x  K . 2. Định lí Giả sử hàm số F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên K. Khi đó:  Với mỗi hằng số C, hàm số F  x   C cũng là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên K.  Hàm số F  x   C, C   được gọi là họ nguyên hàm của hàm số f  x  trên K. Kí hiệu  f  x  dx  F  x   C . 3. Tính chất Nếu hai hàm số f  x  , g  x  liên tục trên K và k  0 thì ta luôn có: a)  f '  x  dx  f  x   C b)  kf  x  dx  k  f  x  dx , với k là hai số thực khác 0. c)  mf  x   ng  x  dx  m  f  x  dx  n  g  x  dx với m,n là hai số thực khác 0. 1 d) Với a, b   và a  0 ta có:  f  ax  b  dx  a F  ax  b   C . 4. Sự tồn tại nguyên hàm Mọi hàm số f  x  liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa Bài toán 1: Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp và hàm số mũ Phương pháp giải  Biến đổi các hàm số dưới dấu nguyên Ví dụ 1: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   e x  x là: hàm về dạng tổng, hiệu của các biểu 1 2 thức chứa x, trong đó mỗi biểu thức A. e x  x 2  C B. e x  x C 2 chứa x là những dạng cơ bản có trong TOANMATH.com Trang 4
bảng nguyên hàm. 1 x 1 2 C. e  x  C D. e x  1  C  Áp dụng các công thức nguyên hàm x 1 2 Hướng dẫn giải trong bảng nguyên hàm cơ bản để tìm 1 2 nguyên hàm.  e   x dx   e x dx   xdx  e x  x C. x 2 Chọn B. Ví dụ 2: Hàm số nào trong các hàm số sau đây không là nguyên hàm của hàm số y  x ? 2 2 A. x x B. x x  2019 3 3 1 2 C. D. x x  2020 2 x 3 Hướng dẫn giải 2 Ta có:  xdx  3 x x  C , với C là hằng số. Nên các phương án A, B, D đều là nguyên hàm của hàm số y  x . Chọn C. Ví dụ 3: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   3x 2  3x là 3x A. x 3  3x ln 3  C B. x 3  C ln 3 ln 3 C. x 3  3x  C D. x 3  C 3x Hướng dẫn giải  f  x  dx   3x   3x dx   3x 2 dx   3x dx 2 Ta có: 3x  x3  C ln 3 Chọn B. Ví dụ mẫu 2 3 Ví dụ 1. Nguyên hàm của hàm số f  x   5 x 4   x là: x2 1 3 3 1 3 3 A. x 5   x x C B. x 5   x x C x2 4 x2 4 3 6 1 C. x 5  2  3x 3 x  C D. 20 x 3  4  C x x 3 3x x 2 Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 5
 2  1 3 Ta có:   5 x 4  2  3 x  dx  x 5  2  x 3 x  C  x  x 4 Chọn A. 4x2  x  6 Ví dụ 2. Nguyên hàm của hàm số f  x   là: x A. 2 x 2  2 x  6 ln x  C B. x 2  2 x  6 ln x  C C. 2 x 2  2 x  6 ln x  C D. x 2  x  3ln x  C Hướng dẫn giải 4x2  x  6  1 6 Ta có:  x dx    4 x     dx  2 x 2  2 x  6 ln x  C x x Chọn C. abc a b c Chú ý: Tính chất phân thức:    . d d d d 2x 1 Ví dụ 3. Nguyên hàm của hàm số f  x   là: ex 2x 2x 2x 2x A.  e x  C B.  e x  C C.  e x  C D.  ex  C x e ln 2 e  ln 2  1 x e  ln 2  1 x e  ln 2  1 x Hướng dẫn giải x 2x  1 2 2x Ta có:  x dx     dx   e  x dx  x  e x  C . e e   e  ln 2  1 Chọn C. Ví dụ 4. Nguyên hàm của hàm số f  x   x  x  2  2019 là:  x  2  x  2  x  2  x  2 2021 2020 2020 2018 A.   C B.  C 2021 1010 2021 1009  x  2  x  2  x  2  x  2 2021 2020 2021 2020 C.  C D.  C 2021 1010 2021 1010 Hướng dẫn giải  x  x  2 dx    x  2   2   x  2  2019 2019 Ta có: dx  x  2  x  2 2021 2020    x  2 dx  2   x  2  2020 2019 dx   C 2021 1010 Chọn D. 1 Ví dụ 5. Nguyên hàm của hàm số f  x   là: e 1 2x 1 A. x  ln e2 x  1  C B. x  ln e 2 x  1  C 2    C. ln e2 x  1  C    D. x  ln e2 x  1  C TOANMATH.com Trang 6
Hướng dẫn giải Ta có: 1   e2 x  1  e2 x   1  e2 x . e2 x  1 e2 x  1 e2 x  1 1  e2 x  1 d e 1 2x 1   Do đó  2 x e 1 dx    1  2 x  dx   dx   2 x  x  ln e2 x  1  C    e 1 2 e 1 2 Chọn B. 1 Ví dụ 6. Nguyên hàm của hàm số f  x   là: x 2  x 2 1     x2 C 1 3 3 A. x 2 B. x  2  x 2 C 6   6  1 1 1 1 C. x  2   x  2 x  2  C D.  x  2 x  2  x  2  C 6 6 6 6 Hướng dẫn giải 1 x 2  x 2 Ta có:  x 2  x 2 dx   4 dx 1 2 2  1 1    x  2 x  2   x  2 x  2   C   x  2 x  2   x  2 x  2  C 4 3 3  6 6 Chọn A. ab Chú ý: Sử dụng kĩ thuật nhân liên hợp: a b . a b 2 Lưu ý:  ax  bdx   ax  b  ax  b  C . 3a 5 x  13 Ví dụ 7. Nguyên hàm của hàm số f  x   là: x  5x  6 2 A. 2 ln x  3  3ln x  2  C B. 3ln x  3  2 ln x  2  C C. 2 ln x  3  3ln x  2  C D. 2 ln x  3  3ln x  2  C Hướng dẫn giải 5 x  13 5 x  13 Ta có:  x  5 x  6  x  2  x  3  2 Ta sẽ phân tích: 5x  13  A  x  2   B  x  3 1 Thế x  2 và x  3 lần lượt vào (1) ta có B  3 và A  2 . 5 x  13 2  x  2   3  x  3 2 3 Khi đó x 2  5x  6 dx    x  2  x  3 dx   x 3 dx   x 2 dx  2 ln x  3  3ln x  2  C Chọn D. TOANMATH.com Trang 7
1 x4 Ví dụ 8. Nguyên hàm của hàm số f  x   là: x5  x 1  A. ln x  ln x 4  1  C 2  B. ln x  ln  x 4  1  C 1 1  C. ln x  ln x 4  1  C 2   D. ln x  ln x 4  1  C 2  Hướng dẫn giải 1 x4  1  x4  2x4  1 2x3 1 Ta có:  x5  x dx   x x4 1 dx   x  x 4  1 dx  ln x  2 ln x  1  C dx  4     Chọn C. 3x 2  3x  3 Ví dụ 9. Nguyên hàm của hàm số f  x   là: x 3  3x  2 3 3 A. ln x  2  2 ln x  1  C B. ln x  2  2 ln x  1  C x 1 x 1 3 3 C. 2 ln x  2  ln x  1  C D. 2 ln x  2  ln x  1  C x 1 x 1 Hướng dẫn giải 3x 2  3x  3 3x 2  3x  3 Ta có:  x 3  3x  2 dx    x  12  x  2  dx . Ta phân tích 3 x 2  3 x  3  A  x  1  B  x  1 x  2   C  x  2  . 2 Ta có thể dùng các giá trị riêng, tính ngay A  1, C  3 và B  2 . (thay x  2  A  1; x  1  C  3 và x  0  B  2 ). 3x 2  3x  3 1 1 1 3 Khi đó   x  1  x  2  dx   x  2 dx  2  x  1dx  3  x  1 2 2 dx  ln x  2  2 ln x  1  x 1 C . Chọn A. Px Lưu ý: Ta có kiến thức tổng quát dùng cho các nguyên hàm hữu tỉ I   dx , với P  x  và Q  x  là Q x các đa thức, cụ thể như sau:  Nếu deg  P  x    deg  Q  x   thì ta thực hiện phép chia P  x  cho Q  x  (ở đây, kí hiệu deg  P  x   là bậc của đa thức P  x  ).  Khi deg  P  x    deg  Q  x   thì ta quan sát mẫu số Q  x  ta tiến hành phân tích thành các nhân tử, sau đó, tách P  x  theo các tổ hợp của các nhân tử đó. Đến đây, ta sẽ sử dụng đồng nhất thức (hoặc giá trị riêng) để đưa về dạng tổng của các phân thức. Một số trường hợp đồng nhất thức thường gặp TOANMATH.com Trang 8
1 1  a c  Trường hợp 1:    .  ax  b  cx  d  ad  bc  ax  b cx  d  Trường hợp 2: mx  n  A  B   Ax  Ba  x  Ad  Bb .  ax  b  cx  d  ax  b cx  d  ax  b  cx  d  Ta đồng nhất thức mx  n   Ax  Ba  x  Ad  Bb 1 . Cách 1. Phương pháp đồng nhất hệ số.  Ac  Ba  m Đồng nhất đẳng thức, ta được  . Suy ra A, B.  Ad  Bb  n Cách 2. Phương pháp giá trị riêng. b d Lần lượt thay x   ; x   vào hai vế của (1), tìm được A, B. a c mx  n A B Trường hợp 3:   .  ax  b  ax  b  ax  b 2 2 mx  n A B C Trường hợp 4:     ax  b   cx  d   ax  b  cx  d ax  b 2 2  mx  n  A  cx  d   B  ax  b   C  ax  b  cx  d  *  2 b d Lần lượt thay x   ; x   ; x  0 vào hai vế của (*) để tìm A, B, C. a c 1 A Bx  C Trường hợp 5:   2 với   b 2  4 ac  0 .    x  m  ax  bx  c x  m ax  bx  c 2 1 A B C D Trường hợp 6:     .  x  a   x  b x  a  x  a x  b  x  b 2 2 2 2 1  2 Ví dụ 10. Cho hàm số f  x  xác định trên  \   thỏa mãn f '  x   ; f  0   1 và f 1  2 . Giá 2  2x 1 trị của biểu thức P  f  1  f  3 là: A. 3 ln 5  ln 2 B. 3ln 2  ln 5 C. 3  2 ln 5 D. 3  ln15 Hướng dẫn giải  1  ln  2 x  1  C1 khi x  2  2 f  x    f '  x  dx   dx  ln 2 x  1  C   2x 1 ln 1  2 x   C khi x  1  2 2  f  0   1 C2  1 Vì   .  f 1  2 C1  2 TOANMATH.com Trang 9
 1 ln  2 x  1  2 khi x  2 Suy ra f  x    . ln 1  2 x   1 khi x  1  2 Do đó P  f  1  f  3  3  ln 3  ln 5  3  ln15 Chọn D. Chú ý: Chú ý đến tính liên tục của hàm số f '  x  và cách xử lí dấu giá trị tuyệt đối. 1 1 Ở đây, ta sử dụng hai hằng số khác nhau ứng với x  và x  . 2 2 2 Ví dụ 11. Cho hàm số f  x  xác định trên  \ 1;1 , thỏa mãn f '  x   ; f  3  f  3  2 ln 2 và x 1 2  1 1 f   f    0 . Giá trị của biểu thức P  f  2   f  0   f  4  là:  2 2 A. 2 ln 2  ln 5 B. 6 ln 2  2 ln 3  ln 5 C. 2 ln 2  2 ln 3  ln 5 D. 6 ln 2  2 ln 5 Hướng dẫn giải 2  1 1  x 1 f  x    f '  x  dx   dx      dx  ln C x 1 2  x 1 x 1  x 1   x 1  ln  x  1   C1 khi x  1    x 1  1 x Hay f  x   ln  C  ln  C2 khi  1  x  1 x 1  1  x   x 1  ln  x  1   C3 khi x  1     f  3  f  3  2 ln 2  C1  C3  2 ln 2 Theo bài ra, ta có:   1  1   f   f    0 C2  0   2 2 3 Do đó f  2   f  0   f  4   ln 3  C3  C2  ln  C1  2 ln 2  2 ln 3  ln 5 . 5 Chọn C. Bài toán 2. Nguyên hàm của hàm số lượng giác Phương pháp giải Yêu cầu chung: Nắm vững công thức lượng giác Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số và biến đổi lượng giác. f  x   cos3x.cos 2 x trên  ta thu được kết quả:  Biến đổi các hàm số dưới dấu nguyên hàm TOANMATH.com Trang 10
về dạng tổng, hiệu của các hàm số lượng sin 5 x sin x giác trong đó, mỗi hàm số là những dạng cơ A.  f  x  dx  10  2 C bản có trong bảng nguyên hàm. sin 5 x B.  f  x  dx  5  sin x  C  Áp dụng các công thức nguyên hàm trong 1 bảng nguyên hàm cơ bản để tìm nguyên C.  f  x  dx  6 sin 3x.sin 2 x  C hàm. sin 5 x sin x D.  f  x  dx  10  2 C Hướng dẫn giải 1 Ta viết: f  x    cos 5x  cos x  . 2 sin 5 x sin x Khi đó:  f  x  dx  10  2 C Chọn A. Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Nguyên hàm của hàm số   2 cos x  3cos 5x  dx là: 3 A. 2 sin x  15sin 5 x  C B. 2 sin x  sin 5 x  C 5 3 C. 2 sin x  sin 5 x  C D. 2 sin x  5sin 5 x  C 5 Hướng dẫn giải 3 Ta có:   2 cos x  3cos 5x  dx  2 sin x  5 sin 5x  C Chọn C. sin ax cos ax Lưu ý:  cos axdx   C;  sin axdx   C. a a Ví dụ 2. Nguyên hàm của hàm số  sin 5x sin 2 xdx là: 1 1 1 A. cos 5 x cos 2 x  C B. cos 3 x  sin 7 x  C 10 6 14 1 1 1 1 C. sin 3 x  sin 7 x  C D. sin 3 x  sin 7 x  C 3 7 2 2 Hướng dẫn giải 1 1 1 Ta có:  sin 5 x sin 2 xdx    cos 3x  cos 7 x  dx  cos 3 x  sin 7 x  C 2 6 14 Chọn B. Ví dụ 3. Nguyên hàm của hàm số  4 cos2 xdx là: TOANMATH.com Trang 11
4 cos3 x A. 4 x  2 sin 2 x  C B. C C. 2 x  sin 2 x  C D. 2 x  sin 2 x  C 3 Hướng dẫn giải Ta có:  4 cos 2 xdx  2  1  cos 2 x  dx  2 x  sin 2 x  C . Chọn D. 1  cos 2 a 1  cos 2 a Chú ý: Dùng công thức hạ bậc: cos2 a  ; sin 2 a  . 2 2  1  2 sin x  2 Ví dụ 4. Nguyên hàm của hàm số dx là: 1  2 sin x  3 A. 3 x  4 cos x  sin 2 x  C B. C 3 C. 3 x  sin 2 x  C D. 3 x  4 cos x  sin 2 x  C Hướng dẫn giải  1  cos 2 x  Ta có:  1  2 sin x  2   dx   1  4 sin x  4 sin 2 x dx    1  4 sin x  4.  2  dx     3  4 sin x  2 cos 2 x  dx  3 x  4 cos x  sin 2 x  C Chọn A. Ví dụ 5. Nguyên hàm của hàm số   sin x  cos x  sin xdx là: 1 1 1 1 1 1 A. x  sin 2 x  cos 2 x  C B. x  sin 2 x  cos 2 x  C 2 4 4 2 4 4 1 1 1 1 1 C. x  sin 2 x  cos 2 x  C D. x  sin 2 x  cos 2 x  C 2 2 2 4 4 Hướng dẫn giải   sin x  cos x  sin xdx   sin x  sin x cos x dx  2 Ta có:  1  cos 2 x sin 2 x  1 1 1      dx   x  sin 2 x  cos 2 x   C  2 2  2 2 2  Chọn B. 1 Ví dụ 6. Nguyên hàm của hàm số  sin 2 x cos2 x dx là: A.  tan x  cot x  C B. tan x  cot x  C C. tan x  cot x  C D. cot x  tan x  C Hướng dẫn giải 1 sin 2 x  cos2 x  1 1  Ta có:  sin 2 x cos2 x dx   sin 2 x.cos2 x dx    cos2 x  sin2 x  dx  tan x  cot x  C . Chọn B. 1 Ví dụ 7. Nguyên hàm của hàm số  4 cos 4 x  4 cos2 x  1 dx là: TOANMATH.com Trang 12
cot 2 x tan 2 x A. C B. tan 2x  C C. cot 2x  C D. C 2 2 Hướng dẫn giải 1 1 1 1 1 tan 2 x Ta có:  4 cos 4 x  4 cos x  1 2 dx   (2 cos x  1) 2 2 dx   2 cos 2 x dx   2 2 cos 2 x d (2 x )  2 C Chọn D. Chú ý: Công thức nhân đôi: cos 2 x  2 cos2 x  1 . Ví dụ 8. Nguyên hàm của hàm số  cos3 xdx là: cos4 x 1 1 4 A. C B. 3sin x  sin 3x  C C. sin x  sin 3 x  C D. 4 sin x  sin 3 x  C 4 3 3 3 Hướng dẫn giải 3cos x  cos3x  dx   3sin x  sin 3x   C  sin x  sin 3 x  C 1 1 1 1  cos xdx   3 Ta có: 4 4 3  3 Chọn C. Chú ý: Công thức nhân ba: cos 3a  4 cos3 a  3cos a sin 3a  3sin a  4 sin 3 a Ví dụ 9. Nguyên hàm của hàm số  tan3 xdx là: tan 2 x tan 2 x A.  ln cos x  C B.  ln sin x  C 2 2 tan 2 x tan 4 x C.  ln cos x  C D. C 2 4 cos2 x Hướng dẫn giải Từ tan3 x  tan x 1  tan 2 x   tan x d  cos x  tan 2 x Suy ra  tan 3 xdx   tan xd  tan x      ln cos x  C . cos x 2 Chọn A. 1 Chú ý:  tan x  '  1  tan 2 x  . cos2 x   3 Ví dụ 10. Gọi F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x   sin 2 x tan x thỏa mãn F    . Giá trị của 3 4   F   là: 4 3 1  3 1  3 1  3 1  A.  B.  C.  D.  2 12 2 12 2 12 2 12 Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 13
sin x Ta có: F  x    sin 2 x. tan xdx   2 sin x.cos x. dx  2  sin 2 xdx . cos x sin 2 x Suy ra F  x    1  cos 2 x  dx  x  C . 2   3  1 2 3 3  Theo giả thiết, ta có: F      sin C  C  . 3 4 3 2 3 4 2 3 sin 2 x 3  Vậy F  x   x    . 2 2 3    1   3  3 1  Do đó F     sin 2       . 4   4 2 4   2 3 2 12 Chọn D. Ví dụ 11. Gọi F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x   cos4 2 x thỏa mãn F  0   2019 . Giá trị của   F   là: 8 3  16153 3  129224 3  129224 3  129224 A. B. C. D. 64 8 64 32 Hướng dẫn giải 2  1  cos 4 x  1 Ta có: cos4 2 x    2   4   1  2 cos 4 x  cos2 4 x  1 1  cos8 x  1   1  2 cos 4 x  4 2   8  3  4 cos 4 x  cos8 x    3  4 cos 4 x  cos8x  dx   3x  sin 4 x  sin 8 x   C 1 1 1 Do đó F  x    8 8 8  Mà F  0   2019 nên ta có C  2019 . 1 1  Vậy F  x    3x  sin 4 x  sin 8 x   2019 . 8 8     3  129224 Do đó F    8 64 Chọn C. cos5 x  Ví dụ 12. Gọi F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x   , với x   k 2 , k   và thỏa mãn 1  sin x 2 3   F    . Giá trị của F    là: 4  2 2 5 1 A. B. 0. C. D. 3 3 3 Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 14
cos5 x Ta thấy: 1  sin x    cos3 x 1  sin x   1  sin 2 x cos x  cos3 x.sin x sin 3 x cos4 x    F  x    1  sin 2 x d  sin x    cos3 xd  cos x   sin x  3  4 C 3 Theo giả thiết, ta có F    nên C  1 . 4 sin 3 x cos 4 x Vậy F  x   sin x   C 3 4   1 Do đó F     .  2 3 Chọn D. Chú ý: cosn 1 x n  * ,  cos x.sin xdx    cos xd  cos x    C n n Với ta có: và n 1 sin n 1 x  sin x. cos xdx   sin xd  sin x   C. n n n 1 Bài toán 3: Các bài toán thực tế ứng dụng nguyên hàm Phương pháp giải Ý nghĩa vật lí của đạo hàm: Ví dụ 1: Một chất điểm chuyển động với phương trình Một chất điểm chuyển động theo phương trình 1 2 S t , trong đó t là thời gian tính bằng giây (s) và S S  S  t  , với S  t  là quãng đường mà chất 2 là quãng đường tính bằng mét (m). Vận tốc của chất điểm đó đi được trong thời gian t, kể từ thời điểm tại thời điểm t0  5  s  là: điểm ban đầu. Gọi v  t  và a  t  lần lượt là vận tốc tức thời và A. 5 (m/s). B. 25 (m/s). C. 2,5 (m/s.) D. 10 (m/s). gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t, ta Hướng dẫn giải có: v  t   S '  t  và a  t   v '  t  . Ta có: v  t   S '  t   t nên v  t0   t0  5  m / s  Từ đó ta có: S  t    v  t  dt và v  t    a  t  dt . Chọn A. Ví dụ 2: Một ô tô đang chạy với vận tốc 10 (m/s) thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v  t   10  2t  m / s  , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Tính quãng đường ô tô di chuyển được trong 8 giây cuối cùng. A. 50 (m). B. 25 (m). TOANMATH.com Trang 15
C. 55 (m). D. 10 (m). Hướng dẫn giải Chọn mốc thời gian và gốc tọa độ lúc ô tô bắt đầu đạp phanh. Ta có: t  0; s  0 . s  t    v  t  dt   10  2t  dt  10t  t 2  C, s  0   0  C  0  s  t   10t  t 2 Ô tô dừng hẳn khi v  t   0  10  2t  0  t  5 . Trong 8 giây cuối, ô tô chuyển động đều với vận tốc 10 (m/s) trong 3 giây đầu và chuyển động chậm dần đều trong 5 giây cuối. Quãng đường ô tô di chuyển là: s  3.10  10.5  52  55m . Chọn C. Ví dụ mẫu 3 Ví dụ 1. Một vật chuyển động với gia tốc a  t   t 1   m / s 2 , trong đó t là khoảng thời gian tính từ thời điểm ban đầu. Vận tốc ban đầu của vật là. Hỏi vận tốc cảu vật tại giây thứ 10 bằng bao nhiêu? A. 10 m/s. B. 15,2 m/s. C. 13,2 m/s. D. 12 m/s. Hướng dẫn giải 3 Vận tốc của vật tại thời điểm t được tính theo công thức: v  t    a  t  dt   dt  3 ln t  1  C t 1 Vì vận tốc ban đầu (lúc t  0 ) của vật là v0  6m / s nên: v  0   3ln 0  1  C  6  C  6  v  t   3ln t  1  6 . Vận tốc của vật chuyển động tại giây thứ 10 là: v 10   3ln 10  1  6  13,2  m / s  . Chọn C. 1 3 5 2 Ví dụ 2. Một vận động viên điền kinh chạy với gia tốc a  t    24   t  t m / s 2 , trong đó t là khoảng 16 thời gian tính từ lúc xuất phát. Hỏi vào thời điểm 5 (s) sau khi xuất phát thì vận tốc của vận động viên là bao nhiêu? A. 5,6 m/s. B. 6,51 m/s. C. 7,26 m/s. D. 6,8 m/s. Hướng dẫn giải Vận tốc v  t  chính là nguyên hàm của gia tốc a  t  nên ta có:  1 5  1 5 v  t    a  t  dt     t 3  t 2  dt   t 4  t 3  C  24 16  96 48 TOANMATH.com Trang 16
Tại thời điểm ban đầu t  0 thì vận động viên ở tại vị trí xuất phát nên vận tốc lúc đó là: 1 4 5 3 v0  0  v  0   0   .0  .0  C  0  C  0 . 96 48 1 4 5 3 Vậy công thức vận tốc là v  t    t  t 96 48 Vận tốc của vận động viên tại giây thứ 5 là v  5  6,51 m / s . Chọn B. 3 Chú ý: Gia tốc của vật chuyển động là a  t   t 1   m / s 2 . Ta tính v  t    a  t  dt , kết hợp với điều kiện vận tốc ban đầu v0  6m / s . Suy ra công thức tính vận tốc v  t  tại thời điểm t và tính được v 10  . Ví dụ 3. Một nhà khoa học tự chế tên lửa và phóng tên lửa từ mặt đất với vận tốc ban đầu là 20 m/s. Giả sử bỏ qua sức cản của gió, tên lửa chỉ chịu tác động của trọng lực. Hỏi sau 2s thì tên lửa đạt đến tốc độ là bao nhiêu? A. 0,45 m/s. B. 0,4 m/s. C. 0,6 m/s. D. 0,8 m/s. Hướng dẫn giải Xem như tại thời điểm t0  0 thì nhà khoa học phóng tên lửa với vận tốc đầu 20 m/s. Ta có s  0   0 và v  0   20 . Vì tên lửa chuyển động thẳng đứng nên gia tốc trọng trường tại mọi thời điểm t là s n  t   9,8 m / s 2 . Nguyên hàm của gia tốc là vận tốc nên ta có vận tốc của tên lửa tại thời điểm t là v  t    9,8dt  9,8t  C1 . Do v  0   20 nên 9,8t  C1  20  C1  20  v  t   9,8t  20 . Vậy vận tốc của tên lửa sau 2s là v  2   9,8.2  20  0, 4  m / s  . Chọn B. Bài tập tự luyện dạng 1 Câu 1: Nguyên hàm của hàm số f  x   x x 2  7   15 là: 1 2 1 2 1 2 1 2         16 16 16 16 A. x 7 C B.  x 7 C C. x 7 C D. x 7 C 2 32 16 32 Câu 2: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   e6 x  2 x  3 là: 1 6x A. e  4 x 2  3x  C B. e6 x  4 x 2  3 x  C 6 1 C. e6 x  x 2  3x  C D.  e6 x  x 2  3x  C 6 2 Câu 3: Nguyên hàm của hàm số f  x   là: 4x  3 TOANMATH.com Trang 17
2 1 2 1 3 A.  4 x  3 dx  4 ln 4 x  3  C B.  4 x  3 dx  2 ln 2 x  2  C 2 2 3 C.  4 x  3 dx  2 ln 4 x  3  C D.  4 x  3 dx  2 ln 2 x  2  C Câu 4: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  1 là: 1 1 A.   2 x  1 2 x  1  C B. 2x 1  C 3 2 2 1 C.  2 x  1 2 x  1  C D.  2 x  1 2 x  1  C 3 3 Câu 5: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   e x 1  3e 2 x  là: A. e x  3e 2 x  C B. e x  e 2 x  C C. e x  3e  x  C D. e x  3e  x  C 1 Câu 6: Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   ; biết F  0   2 . Giá trị của F 1 là: 2x 1 1 1 A. F 1  ln 3  2 B. F 1  ln 3  2 C. F 1  2 ln 3  2 D. F 1  ln 3  2 2 2 Câu 7: Hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  và f '  x   2e2 x  1, x, f  0   2 . Hàm số f  x  là: A. 2e x  2 x B. 2e x  2 C. e2 x  x  2 D. e2 x  x  1 Câu 8: Cho hàm số f  x   2 x 2 e x  f  x  dx  me 3 2 x3 2  2 xe 2 x , ta có  nxe2 x  pe2 x  C , với m, n, p là các số hữu tỉ và C là hằng số thực. Giá trị của biểu thức m  n  p bằng: 1 13 7 A. B. 2. C. D. 3 6 6 1 Câu 9: Gọi F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   2 x thỏa mãn F  0   . Giá trị biểu thức ln 2 T  F  0   F 1  ...  F  2018  F  2019  là: 2 2019  1 2 2019  1 2 2020  1 A. T  1009. B. T  2 2019.2020 C. T  D. T  ln 2 ln 2 ln 2 1 Câu 10: Cho biết x dx  a ln  x  1 x  1  b ln x  C , với a, b là các số hữu tỉ và C là hằng số x 3 thực. Giá trị của biểu thức P  2 a  b là: 1 A. 0. B. 1 C. D. 1. 2 x2  2x  3 Câu 11: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   là:  x  1 2 4 1 2 4 4 A. x  4 ln x  1  C B. x  C C. x x C D. x  C x 1 2 x 1 x 1 4 x  11 Câu 12: Cho biết x 2  5x  6 dx  a ln x  2  b ln x  3  C , với a, b là các số nguyên và C là hằng số thực. Giá trị biểu thức P  a 2  ab  b2 là: TOANMATH.com Trang 18
A. 12. B. 13. C. 14. D. 15. Câu 13: Gọi  2020 x dx  F  x   C với C là hằng số. Khi đó hàm số F  x  bằng: 2020 x 1 x.2020 x 1 2020 x A. 2020 x ln 2020 B. C. D. . x 1 ln 2020 ln 2020 1 Câu 14: Nguyên hàm của hàm số f  x   x 3  là: x 1 x4 A.  f  x  dx  3 x 2  C B.  f  x  dx   ln x  C x2 4 1 x4 C.  f  x  dx  3 x 2  C D.  f  x  dx   ln x  C x2 4 Câu 15: Nguyên hàm của hàm số y  2 x là: 2x 2x A.  2 x dx  ln 2.2 x  C B.  2 x dx  2 x  C C.  2 x dx  C D.  2 x dx  C ln 2 x 1 1 Câu 16: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   là: 2x  3 1 1 1 A. ln 2 x  3  C B. ln  2 x  3  C C. ln 2 x  3  C D. ln 2 x  3  C 2 2 ln 2 Câu 17: Họ nguyên hàm của hàm số y  x 2  1 là: x3 A. x 3  x  C B. x 3  C C. 6x  C D.  x C 3 Câu 18: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   e2 x  x 2 là: e2 x x 3 A. F  x    C B. F  x   e2 x  x 3  C 2 3 x3 C. F  x   2e2 x  2 x  C D. F  x   e 2 x  C 3 Câu 19: Nguyên hàm của hàm số f  x   x 3  3x  2 là hàm số nào trong các hàm số sau? x4 A. F  x   3x 2  3x  C B. F  x    3x 2  2 x  C 3 x 4 3x 2 x4 x2 C. F  x     2x  C D. F  x     2x  C 4 2 4 2 Câu 20: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   e x  3  e  x  là: 1 A. F  x   3e x  C B. F  x   3e x  x  C ex C. F  x   3e x  e x ln e x  C D. F  x   3e x  x  C Câu 21: Với C là hằng số, nguyên hàm của hàm số f  x   e x  x là: x2   e x  x dx  e x  C  e   x dx  e x  2 x  C x A. B. 2 TOANMATH.com Trang 19
x2   e x  x dx  e x  C  e   x dx  e x  x 2  C x C. D. 2 Câu 22: Nguyên hàm của hàm số f  x   x  3x là: x 2 3x 3x A. F  x    C B. F  x   1  C 2 ln 3 ln 3 x2 x2 C. F  x    3x  C D. F  x    3x.ln 3  C 2 2 2 Câu 23: Nguyên hàm của hàm số f  x   là: 4x  3 2 1 2 1 3 A.  4 x  3 dx  4 ln 4 x  3  C B.  4 x  3 dx  2 ln 2 x  2  C 2 2 3 C.  4 x  3 dx  2 ln 4 x  3  C D.  4 x  3 dx  2 ln 2 x  2  C 1 Câu 24: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   là: 5x  4 1 1 1 A. ln  5 x  4   C B. ln 5 x  4  C C. ln 5 x  4  C D. ln 5x  4  C 5 ln 5 5 Câu 25: Hàm số nào trong các hàm số sau đây không là nguyên hàm của hàm số y  x 2019 ? x 2020 x 2020 x 2020 A. 1 B. C. y  2019 x 2018 D. 1 2020 2020 2020 Câu 26: Hàm số nào trong các hàm số sau đây là nguyên hàm của hàm số y  e 2 x ? e 2 x A. y   B. y  2e 2 x  C  C    2 e 2 x C. y  2e 2 x  C  C    D. y  2 2 Câu 27: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   x  là: x x2 x2 2 x2 A.  2 ln x  C B.  xC C. 1  C D.  2 ln x  C 2 2 x2 2 Câu 28: Nguyên hàm của hàm số y  2 x là: 2x 2x A.  2 x dx  ln 2.2 x  C B.  2 x dx  2 x  C C.  2 x dx  C D.  2 x dx  C ln 2 x 1 Câu 29: Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   1 x2  1   . Giá trị của F ' 2 2  F '  0  là: 2 2 8 1 A. B.  C.  D. 3 3 9 3 Câu 30: Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   4e2 x  2 x thỏa mãn F  0   1 . Hàm số F  x  là: TOANMATH.com Trang 20