Giáo án Giải tích lớp 12: Chuyên đề 2 bài 2 - Lôgarit

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:21

Thêm vào BST

Báo xấu

14
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo án "Giải tích lớp 12: Chuyên đề 2 bài 2 - Lôgarit" được biên soạn dành cho các bạn học sinh lớp 12 tham khảo để nhận biết được khái niệm và tính chất của lôgarit. Biết các quy tắc lôgarit và công thức đổi cơ số. Nắm được khái niệm lôgarit thập phân, lôgarit tự nhiên,... Mời quý thầy cô và các em cùng tham khảo giáo án tại đây.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo án Giải tích lớp 12: Chuyên đề 2 bài 2 - Lôgarit

CHUYÊN ĐỀ 2: MŨ VÀ LÔGARIT BÀI 2. LÔGARIT Mục tiêu  Kiến thức + Biết khái niệm và tính chất của lôgarit. + Biết các quy tắc lôgarit và công thức đổi cơ số. + Biết các khái niệm lôgarit thập phân, lôgarit tự nhiên.  Kĩ năng + Biết vận dụng định nghĩa để tính một số biểu thức chứa lôgarit đơn giản. + Biết vận dụng các tính chất của lôgarit vào các bài toán biến đổi, tính toán các biểu thức chứa lôgarit. TOANMATH.com Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Khái niệm lôgarit Nhận xét: log a b    a  b  a, b  0, a  1 Cho hai số dương a , b với a  1 . Số  thỏa mãn đẳng Ví dụ: log 2 8  3  23  8  thức a  b được gọi là lôgarit cơ số a của b , và ký Chú ý: Không có lôgarit của số âm và số 0. hiệu là log a  b . 2. Tính chất Cho a , b  0, a  1 . Ta có: log a  0; log a a  1 a loga b  b; log a  a    3. Quy tắc tính lôgarit Ví dụ: a. Lôgarit của một tích 1 1   log  log 2  log  .2   log 1  0; Cho a , b1 , b2  0 với a  1 , ta có: 2 2  1 2 3 7 8 log a (b1b2 )  log a b1  log a b2  log 3  log 3  log 3  ...  log 3  log 3 2 3 4 8 9 Chú ý: Định lý trên có thể mở rộng cho tích của n số 1 2 3 7 8  log 3  . . ..... .  dương: 2 3 4 8 9 log a  b1 ...bn   log a b1  ...  log a bn 1  log 3  2. 9 trong đó a, b1 , b2 ,..., bn  0, a  1. b. Lôgarit của một thương Ví dụ: Cho a, b1 , b2  0 với a  1, ta có: 125 • log5  log5 125  log5 25  3  2  1; 25 b1 log a   loga b1  log a b2 1 b2 • log 7   log 7 49  2. 49 1 Đặc biệt: loga b   log a b  a  0, b  0  . c. Lôgarit của một lũy thừa Ví dụ: Cho hai số dương a, b, a  1. Với mọi  , ta có: • log2 83  3 log2 8  3.3  9; loga b   log a b 1 1 3 • log2 4 8  log2 8  .3  . 4 4 4 Đặc biệt: 1 loga n b  log a b n 4. Đổi cơ số Ví dụ: Cho a, b, c  0; a  1; c  1, ta có: log2 16 4 • log8 16   ; log2 8 3 TOANMATH.com Trang 2
logc b 1 log a b  • log3 27   3; logc a log27 3 1 1 1 • log128 2  log27 2  log2 2  . Đặc biệt: log a b  logb a  b  1 ; 7 7 1 loga b  log a b   0  .  5. Lôgarit thập phân – lôgarit tự nhiên a. Lôgarit thập phân Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10. Với b  0, log10 b thường được viết là log b hoặc lg b . b. Lôgarit tự nhiên Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số e . Với b  0, loge b được viết là ln b . SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA TOANMATH.com Trang 3
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Biến đổi biểu thức lôgarit Bài toán 1. Chứng minh đẳng thức Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho x , y  0 và x 2  4 y 2  12 xy. Khẳng đinh nào sau đây đúng? Nhận xét: Các lôgarit có mặt trong các đáp A. log2  x  2 y   log2 x  log2 y  1. án đều có cùng cơ số  x  2y  2. Do đó ta cũng có B. log2    log2 x  log2 y.  4  thể dùng các quy tắc 1 C. log2  x  2 y   2   log2 x  log2 y  . của lôgarit, biến đổi 2 từng đáp án đến khi D. 4 log2  x  2 y   log2 x  log2 y. thấy xuất hiện biểu Hướng dẫn giải thức không còn lôgarit và so sánh với Với x , y  0 , ta có: x 2  4 y 2  12 xy   x  2 y   16 xy 2 giả thiết ban đầu để  log2  x  2 y   log2 16 xy 2 tìm ra đáp án đúng.  2 log2  x  2 y   4  log2 x  log 2 y 1  log2  x  2 y   2   log2 x  log2 y  . 2 Chọn C. Ví dụ 2: Cho các số thực a  b  0 . Mệnh đề nào sau đây sai? Chú ý: Khi biến đổi  ab   12  ln a  ln b  . biểu thức chứa   A. ln  ab   ln a2  ln b 2 .  2 B. ln lôgarit, ta cần thận a a 2 trọng trong việc lựa C. ln    ln a  ln b . b   D. ln    ln a2  ln b 2 . b   chọn tính chất, công Hướng dẫn giải thức, quy tắc sao cho Vì khi a  b  0 không tồn tại ln a, ln b. biểu thức luôn xác Chọn B. định với điều kiện ban đầu. Ví dụ 3: Cho a, b, c, d là các số thực dương, khác 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng? a c ln a d A. a c  b d  ln    . B. ac  b d   . b d ln b c ln a c a d C. ac  b d   . D. a c  b d  ln    . ln b d b c Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 4
Do a, b, c, d là các số thực dương, khác 1 nên ta có: ln a d ac  b d  c ln a  d ln b   . ln b c Chọn B. Ví dụ 4: Với các số thực dương a, b bất kỳ, mệnh đề nào dưới đây đúng?  2a3  A. log2    1  3log2 a  log2 b.  b   2a3  1 B. log2    1  log2 a  log2 b.  b  3  2a3  C. log2    1  3log2 a  log2 b.  b   2a3  1 D. log2    1  log2 a  log2 b.  b  3 Hướng dẫn giải Ta có:  2a3  log2  3     log2 2a  log2  b   log2 2  log2 a  log2 b  1  3log2 a  log2 b. 3  b  Chọn A. Bài toán 2. Tính giá trị của biểu thức không có điều kiện. Rút gọn biểu thức. Phương pháp giải Để tính log a b ta có thể biến đổi theo một trong các cách sau: Ví dụ: • b  a , từ đó suy ra log a b  log a a   ; 7 • log32 128  log25 2 7  ; 5 1 • a  b , từ đó suy ra log a b  log b b  ; • 32 log2 9 2 5log2 9  95.  • a  c , b  c  , từ đó ta suy ra  log a b  logc c   .  loga c  Để tính b , ta biến đổi b  a , từ đó suy ra log a c  loga c b a  c Ví dụ mẫu TOANMATH.com Trang 5
Ví dụ 1: Cho a, b, c,d  0 . Rút gọn biểu thức a b c d S  ln  ln  ln  ln ta được b c d a A. S  1. B. S  0. a b c d C. S  ln      . D. S  ln  abcd  . b c d a Hướng dẫn giải a b c d a b c d Ta có: S  ln  ln  ln  ln  ln  . . .   ln1  0. b c d a b c d a Chọn B. Phương pháp giải trắc nghiệm: Ta thấy các đáp án Ví dụ 2: Cho a, b  0 và a, b  1 , biểu thức P  log a b3 .logb a 4 đều là các hằng số, như vậy ta bằng dự đoán giá trị của P không A. 6 B. 24 C. 12. D. 18. phụ thuộc vào giá trị của a, b . Hướng dẫn giải Sử dụng máy tính bỏ túi Casio, Ta có : thay a  b  2 vào biểu thức 3 4 3 3 4 1 P  log a b .log b a  log 1 b .logb a  .4.log a b.  24. log b3 .log b a 4 rồi bấm =, a2 1 log a b a 2 được kết quả P  24. Chọn B. Chọn B. Ví dụ 3: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a  1, a  b và Phương pháp giải trắc nghiệm: log a b  3. Chọn a  2, b  2 3 . b Biến đổi biểu thức P  log ta được Bấm máy ta được a b a P  1  3. A. P  5  3 3. B. P  1  3. Chọn C. C. P  1  3. D. P  5  3 3. Hướng dẫn giải Ta có: P log a b 1 a 2  log a b  1 1  2  3 1   3 1  1  3. b loga b  1 1 3  2 log a loga b  1 a 2 Chọn C. Ví dụ 4 : Biến đổi biểu thức TOANMATH.com Trang 6
 a    P  loga2 a10 b 2  log a  2   log 3 b b (với 0  a  1, 0  b  1 )  b ta được A. P  2. B. P  1. C. P  3. D. P  2. Hướng dẫn giải Sử dụng các quy tắc biến đổi lôgarit ta có:  a    P  loga2 a10 b 2  log a    log 3 b b 2  b 1   log a a10  log a b2   2  loga a  log a b   3.  2  logb b 2    1  1   10  2 loga b   2 1  loga b   6  1. 2  2  Chọn B. Bài toán 3. Tính giá trị biểu thức theo một biểu thức đã cho Phương pháp giải Để tính log a b theo m  log a x; n  loga y ta biến đổi Ví dụ: Cho log a b  2, log a c  3. b  a . x  . y  . a 2 b3 Tính giá trị của loga . c4 Từ đó suy ra log a b  log a a .x  .y     m  n . Hướng dẫn giải Ta có: a 2 b3 log a  loga a2  log a b3  loga c4 c4  2  3.2  4.  3  20. Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Cho log12 27  a. Khi đó giá trị của log6 16 được tính theo a là 4 3  a 4 3  a 4a 2a A. . B. . C. . D. . 3 a 3a 3 a 3 a Hướng dẫn giải log2 27 3log2 3 2a Ta có: a  log12 27    log2 3  . log2 12 2  log2 3 3 a 4 4 4 4 3  a  Khi đó log6 16  4 log6 2     . log2 6 1  log2 3 2a 3 a 1 3 a Chọn A. TOANMATH.com Trang 7
Ví dụ 2. Cho lg 3  a,lg 2  b. Khi đó giá trị của log125 30 được tính theo a là: 4 3  a 1 a a a A. . B. . C. . D. . 3b 3 1  b  3 b 3 a Hướng dẫn giải lg 30 1  lg3 1 a Ta có: log125 30    . lg125 3 1  lg 2  3 1  b  Chọn B. Ví dụ 3. Cho a  log2 3; b  log3 5; c  log 7 2. Khi đó Trắc nghiệm: Sử dụng máy tính: gán lần lượt giá trị của log140 63 được tính theo a, b, c là: log2 3,log3 5,log 7 2 cho a, b, c. Lấy log140 63 trừ đi lần lượt các đáp án ở A, B, C, D. Kết quả nào 2ac  1 abc  2c  1 A. . B. . bằng 0 thì đó là đáp án. abc  2c  1 2ac  1 2ac  1 ac  1 C. . D. . abc  2c  1 abc  2c  1 Hướng dẫn giải Ta có: log2 63 log2 32.7 2 log2 3  log 2 7 log124 63    log 2 140 log2 2 .5.7 2  log2 5  log2 7 2 1 1 2 log2 3  2a  log7 2 c   1 1 2  log2 3.log3 5  2  ab  log7 2 c 1  2ac  . 1  2c  abc Chọn C. HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH Phương pháp giải Cơ sở lý thuyết: A  B  A  B  0 +) Đây là một nhận định cực kì cơ bản nhưng dựa vào nó ta có thể có các kỹ thuật bấm rất nhanh gọn phù hợp với yêu cầu của thi trắc nghiệm. +) Khi đề bài cho dưới dạng tính giá trị của biểu thức P và bên dưới cho 4 đáp án. Khi đó 1 trong 4 đáp án sẽ bằng P và ta sử dụng máy tính bỏ túi để tìm ra đáp án đúng một cách nhanh nhất. Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Nếu a  log15 3 thì TOANMATH.com Trang 8
3 5 A. log25 15  . B. log25 15  . 5 1  a  3 1  a  1 1 C. log25 15  . D. log25 15  . 2 1  a  5 1  a  Hướng dẫn giải Tư duy tự luận thì ta làm như sau: 1 1 1 1 a Ta có: a  log15 3    log3 5   1  log3 (3.5) 1  log3 5 a a. 1 1 1 1 1  Khi đó: log 25 15  log 5 15  log 5  5.3  1  log 5 3   1   2 2 2 2  log 3 5    1 1  1 a  1  1    1    . 2  1  a  2  1  a  2 1  a   a  Chọn C. Bây giờ, ta sẽ sử dụng casio - vinacal theo cơ sở lí thuyết đã trình bày ở trên để giải bài toán này. Bước 1: Để dễ dàng bấm máy ta gán các giá trị log15 3 cho A. Bấm log15 3 . Bước 2: Nhập biểu thức: log 25 15  (...) 3 Lần 1: Nhập log 25 15   3(1  A) Loại A. 5 Lần 2: Bấm để sửa biểu thức thành log 25 15   2(1  A) Loại B. 1 Lần 3: Bấm để sửa biểu thức thành log 25 15   2(1  A) Chọn C. TOANMATH.com Trang 9
Ví dụ 2. Đặt a  log2 3, b  log5 3. Biểu diễn log6 45 theo a, b ta được a  2ab 2a2  2ab A. log6 45  . B. log6 45  . ab ab a  2ab 2a2  2ab C. log6 45  . D. log6 45  . ab  b ab  b Hướng dẫn giải 1 1 Ta có: log2 3  a  log3 2  và log5 3  b  log3 5  . a b Khi đó: 1 log3 45 log3 9  log3 5 2  log3 5 2  b a 1  2b  a  2ab log6 45       . log3 6 log3 3  log3 2 1  log3 2 1 b 1  a  b  ab 1 a Chọn C. SỬ DỤNG MÁY TÍNH BỎ TÚI (CASIO HAY VINACAL) ĐỂ GIẢI NHƯ SAU: Bước 1: Để dễ dàng bấm máy ta gán các giá trị log2 3, log5 3 cho A, B. Gán log2 3  A. Bấm log2 3. Gán log5 3  B. Bấm log5 3. Bước 2: Nhập biểu thức: log6 45   ... A  2 AB Lần 1: Nhập log6 45   AB Loại A. 2 A 2  2 AB Lần 2: Bấm để sửa biểu thức thành log6 45   AB Loại B. A  2 AB Lần 3: Bấm để sửa biểu thức thành log6 45   AB  B Chọn C. Ví dụ 3. Nếu log27 5  a; log8 7  b; log2 3  c thì log12 35 bằng TOANMATH.com Trang 10
3b  2ac 3b  3ac 3b  2ac 3b  3ac A. . B. . C. . D. . c2 c2 c3 c 1 Hướng dẫn giải Bước 1: Để dễ dàng bấm máy ta gán các giá trị log27 5, log8 7, log2 3 cho A, B, C. Gán log27 5  A. Bấm log 27 5. Gán log8 7  B. Bấm log8 7. Gán log2 3  C. Bấm log2 3. Bước 2: Nhập biểu thức: log12 35   ... 3B  2 AC Lần 1: Nhập log12 35   C2 Loại A. 3B  3 AC Lần 2: Bấm để sửa biểu thức thành log12 35   C2 Chọn B. Bài tập tự luyện dạng 1 Câu 1: Với mọi số tự nhiên n. Khẳng định nào sau đây đúng? A. n   log2 log2 ... 2 . B. n  log2 log2 ... 2 .   n caên baäc hai n caên baäc hai C. n  2  log2 log2 ... 2 . D. n  2  log2 log2 ... 2 .   n caên baäc hai n caên baäc hai 8   Câu 2: Cho a, b là hai số thực dương khác 1 và thỏa mãn log2a b  8 log b a 3 b   . Tính giá trị biểu 3   thức P  log a a 3 ab  2017, ta được A. P  2019. B. P  2020. C. P  2017. D. P  2016. 27 Câu 3: Biết log5 3  a, khi đó giá trị của log3 được tính theo a là 25 3a  2 3a 3 a A. . B. . C. . D. . a 2 2a 3a  2 Câu 4: Cho a  log 2 20. Giá trị log20 5 theo a bằng TOANMATH.com Trang 11
5a a 1 a2 a 1 A. . B. . C. . D. . 2 a a a2 1 Câu 5: Số thực x thỏa mãn: log x  log3a  2 log b  3log c (a, b, c là các số thực dương). Hãy biểu 2 diễn x theo a, b, c. 3ac3 3a 3a .c3 3ac A. x  . B. x  2 3 . C. x  . D. x  . b2 bc b2 b2 Câu 6: Đặt log3 5  a. Mệnh đề nào sau đây đúng? a 1 2a  1 2a  1 2a  1 A. log15 75  . B. log15 75  . C. log15 75  . D. log15 75  . 2a  1 a 1 a 1 a 1 2 log b Câu 7: Cho a, b là các số thực dương, a  1. Rút gọn biểu thức: P  log2a  ab    1, ta được log a A. P  log a b . B. P  loga b  1 . C. P  loga b  1 . D. P  0. Câu 8: Cho log27 5  a, log8 7  b, log2 3  c. Giá trị của log12 35 bằng 3b  3ac 3b  2ac 3b  2ac 3b  3ac A. . B. . C. . D. . c2 c2 c3 c 1 Câu 9: Cho a  0, b  0,a  1, b  1,n  * . 1 1 1 1 Một học sinh tính: P     ...  theo các bước sau: log a b log a2 b log a3 b log an b Bước I: P  logb a  logb a2  log b a3  ...  log b an .  Bước II: P  log b a.a2 .a3 ...a n .  Bước III: P  logb a1 2 3... n . Bước IV: P  n  n  1 .logb a. Trong các bước trình bày, bước nào sai? A. Bước III B. Bước I C. Bước II D. Bước IV axy  1 Câu 10: Cho log 7 12  x , log12 24  y và log54 168  , trong đó a, b, c là các số nguyên. Tính bxy  cx giá trị biểu thức S  a  2b  3c, ta được A. S  4. B. S  19. C. S  10. D. S  15. b 16 Câu 11: Cho a, b  0,a  1 thỏa mãn log a b  và log2 a  . Tổng a  b bằng 4 b A. 12. B. 10. C. 16. D. 18. Câu 12: Biết rằng log2 a, log3 b, log5 c theo thứ tự lập thành một cấp số nhân và có tổng bằng 14, đồng thời log2 a 4 ,log3 b2 , log5 c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Giá trị của P  a  b  c bằng A. 125. B. 390725. C. 390625. D. 390710. TOANMATH.com Trang 12
 xy  Câu 13: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn log 4 x  log9 y  log6   1  . Giá trị của biểu thức  4  log9 6 P  x log4 6  y bằng A. 2. B. 5. C. 4. D. 6. ma  nb Câu 14: Cho a  log20 15; b  log30 15 biết log4000 600  và trong đó m, n, p, q  . Giá trị ab  pb  qa của biểu thức S  m  n  p  q bằng A. S  1. B. S  2. C. S  3. D. S  4. 2 log a log b log c b Câu 15: Cho    log x  0;  x y . Tính y theo p, q, r. p q r ac pr A. y  q 2  pr. B. y  . C. y  2q  p  r . D. y  2q  pr. 2q Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức chưa lôgarit theo một biểu thức đã cho Phương pháp giải Thật vậy: Để tính loga b theo m  log a x; n  log a y, ta sẽ biến đổi log a b  log a a . x  .y b  a . x  . y  .     .loga x   .log a y Từ đó suy ra: log a b  log a a .x  .y     m  n .    m  n . Ví dụ mẫu Phương pháp trắc nghiệm: Ví dụ 1: Cho log12 27  a. Khi đó giá trị của log6 16 tính Sử dụng máy tính: gán log12 27  A. theo a bằng Lấy log6 16 trừ đi lần lượt các đáp số ở 4 3  a 4 3  a 4a 2a A, B, C, D kết quả nào bằng 0 thì đó là A. . B. . C. . D. . 3 a 3 a 3 a 3 a đáp án. Hướng dẫn giải Chọn A. log2 27 3log2 3 2a Ta có: a  log12 27    log2 3  . log2 12 2  log2 3 3 a 4 4 4 4 3  a  log6 16  4 log6 2     . log2 6 1  log 2 3 2a 3 a 1 3a Chọn A. Ví dụ 2: Cho log 3  a, log 2  b. Khi đó giá trị của log125 30 tính theo a là Phương pháp trắc nghiệm: 4 3  a 1 a a a A. . B. . C. . D. . 3 1  b  3b 3 b 3 a Sử dụng máy tính: gán lần lượt log 3  A; log 2  B. TOANMATH.com Trang 13
Hướng dẫn giải Lấy log140 63 trừ đi lần lượt các đáp án số log 30 1  log 3 1 a ở A, B, C, D, kết quả nào bằng 0 thì đó là Ta có: log125 30    . log125 3 1  log 2  3 1  b  đáp án. Chọn B. Ví dụ 3: Cho a  log2 3; b  log3 5; c  log 7 2. Khi đó giá trị của biểu thức log140 63 được tính theo a, b, c là 2ac  1 abc  2ac  1 A. . B. . abc  2c  1 2ac  1 2ac  1 ac  1 C. . D. . abc  2c  1 abc  2c  1 Phương pháp trắc nghiệm: Hướng dẫn giải Sử dụng máy tính: gán lần lượt log2 63 log2 32.7 2 log2 3  log 2 7 Ta có: log140 63    log2 3  A; log3 5  B; log 7 2  C . log2 140 log2 2 .5.7 2  log2 5  log2 7 2 Lấy log140 63 trừ đi lần lượt các đáp án số 1 1 ở A, B, C, D, kết quả nào bẳng 0 thì đó là 2 log2 3  2a  log7 2 c 1  2ac đáp án.    1 1 1  2c  abc 2  log2 3.log3 5  2  ab  log7 2 c Chọn C. Ví dụ 4. Cho các số thực a, b, c  1;2  thỏa mãn điều kiện log32 a  log32 b  log32 c  1   Khi biểu thức P  a3  b3  c3  3 log2 a a  log2 b b  log2 cc đạt giá trị lớn nhất thì giá trị của a  b  c bằng 1 A. 3. B. 3.2 33 3 . C. 4. D. 6. Hướng dẫn giải Ta xét hàm số f  x   x 3  3 x log2 x  log32 c với x  1;2  . 3 3 log2 x 2 Ta có đạo hàm f   x   3 x 2  3 log2 x   ; ln 2 x ln 2 3 6log x 3 log2 x f   x   6 x   2 22  2 2 . x ln 2 x ln 2 x ln 2  1  3 6 log2 x  3  log2 x  Vì f   x   6  1  3 3   2   0 x  1;2  nên  x ln 2  x ln 2 x 3 ln 2 2 f   x   f  1  1,67  0. TOANMATH.com Trang 14
Như vậy hàm số f   x  đồng biến và có nghiệm duy nhất trên 1;2  vì f  1  0; f   2   0 và có đồ thị lõm trên 1;2  . Do đó ta có bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta nhận thấy rằng f  x   1 cho nên P  3  log32 a  log32 b  log32 c  4 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  1, c  2 và các hoán vị. Chọn C. Ví dụ 5. Trong tất cả các cặp  x; y  thỏa mãn log x 2  y2  2  4 x  4 y  4   1. Với giá trị nào của m thì tồn tại duy nhất cặp  x; y  sao cho x 2  y 2  2 x  2 y  2  m  0?       2 2 2 A. 10  2 . B. 10  2 và 10  2 . C. 10  2 và 10  2. D. 10  2. Hướng dẫn giải Điều kiện: 4 x  4 y  4  0. Ta có log x 2  y2  2  4 x  4 y  4   1  4 x  4 y  4  x 2  y 2  2   x  2    y  2   2  C1  . 2 2 Miền nghiệm của bất phương trình là hình tròn (cả bờ)  C1  có tâm I1  2;2  bán kính R1  2. Mặt khác: x 2  y 2  2 x  2 y  2  m  0   x  1   y  1  m  * . 2 2 Với m  0 thì x  1; y  1 (không thỏa mãn  x  2    y  2   2 ). 2 2 Với m  0 thì  * là đường tròn  C2  có tâm I 2  1;1 bán kính R2  m . Để tồn tại duy nhất cặp  x; y  thì  C1  và  C2  tiếp xúc với nhau. Trường hợp 1:  C1  và  C2  tiếp xúc ngoài. TOANMATH.com Trang 15
  2 Khi đó: R1  R2  I1I 2  m  2  10  m  10  2 . Trường hợp 2:  C1  nằm trong  C2  và hai đường tròn tiếp xúc trong.   2 Khi đó: R2  R1  I1I 2  m  2  10  m  10  2 .     2 2 Vậy m  10  2 và m  10  2 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B. Ví dụ 6. Xét các số thực a, b thỏa mãn a  b  1. Giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức a   P  log2a a2  3log b   bằng b b A. Pmin  19. B. Pmin  13. C. Pmin  14. D. Pmin  15. Hướng dẫn giải Ta có: 2    a   2  P  log2a   a2  3log b       3  log b a  1  b   log a  b  a   b 2  2      3  log b a  1 .  1  log a b  TOANMATH.com Trang 16
4 3 Đặt loga b  t  0  t  1 . Khi đó P    3  f  t  với 0  t  1. 1  t  t 2 8 3 1 Ta có f   t     f t   0  t  . 1  t  3 3 2 t Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên, ta có Pmin  15. Chọn D. Ví dụ 7. Cho hai số thực x, y thỏa mãn:   x 2  y 2  3 và log x 2  y2  x 4 x 2  3 x  4 y 2  3y 2   2   Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x  y. Khi đó biểu thức T  2  M  m  1 có giá trị gần nhất số nào sau đây? A. 7. B. 8. C. 9. D. 10. Hướng dẫn giải     Ta có log x 2  y2  x 4 x 2  3 x  4 y 2  3y 2   2  log x2  y2  x 2  y 2  4 x  3  2        4 x  3   x    x  2   y 2  1. 2 2  x2  y2 2  y2  x 2  y 2  3 Tập hợp các số thực x, y thỏa mãn:  những điểm thuộc miền trong hình tròn  C1  có tâm  x  2   y  1 2 2 I  2; 0  , bán kính R1  1 và nằm ngoài hình tròn  C2  có tâm O  0; 0  và bán kính R2  3. TOANMATH.com Trang 17
Biểu thức: P  x  y  x  y  P  0 là họ đường thẳng  song song với đường y  x. 3 3 3 3 Các giao điểm của hai hình tròn là A  ; , B ;  2 2  2 2     P đạt giá trị nhỏ nhất khi đường thẳng  đi qua A. 3 3 3 3 Khi đường thẳng  qua điểm A, ta có:   Pmin  0  Pmin  . 2 2 2 P đạt giá trị lớn nhất khi đường thẳng  tiếp xúc với đường tròn  C1  ta có: 2P d  I ;    R1   1  P  2  2  Pmax  2  2. 11  3 3  Do đó T  2  M  m  1  2  2  2    10.  2    Chọn D Bài tập tự luyện dạng 2 Câu 1: Cho x  y; xy  1 thỏa mãn 3  log2  x  y   32 2 xy log2  2  2 xy  . Giá trị lớn nhất của biểu 2 xy 2   thức M  2 x 3  y 3  3 xy bằng 13 17 A. 7. B. . C. . D. 3. 2 2 Câu 2: Cho các số thức a, b, c thuộc đoạn 1;3 thỏa mãn log32 a  log32 b  log32 c  3. Giá trị lớn nhất của  biểu thức P  a3  b3  c3  3 log2 aa  log2 b b  log2 cc bằng  A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. Câu 3: Cho hai số thực a, b lớn hơn 1 thay đổi thỏa mãn a  b  10. Gọi m, n là hai nghiệm của phương trình  loga x  logb x   2 log a x  3log b x  1  0. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức S  mn bằng 16875 4000 A. . B. . C. 15625. D. 3456. 16 27 abc Câu 4: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn log2  a  a  4   b  b  4   c  c  4  . Giá trị lớn a  b2  c 2  2 2 nhất của biểu thức P  a  2b  3c bằng A. 3 10. B. 12  2 42. C. 12  2 35. D. 6 10. Câu 5: Cho các số thực a, b  1 thỏa mãn điều kiện log2 a  log3 b  1. Giá trị lớn nhất của biểu thức P  log3 a  log2 b bằng 1 2 A. log3 2  log2 3. B. log3 2  log2 3. C. 2  log3 2  log2 3 . D. . log3 2  log2 3 TOANMATH.com Trang 18
Câu 6: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn log x  log y  1  log  x  y  . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức S  x  3y bằng 1 3 2 3 3 3 1 3 A. . B. . C. . D. . 10 5 30 4 xy Câu 7: Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn log  x  x  3   y  x  3  xy. Giá trị 3 x  y 2  xy  2 2 x  2y  3 nhỏ nhất của biểu thức P  bằng xy6 69  249 43  3 249 37  249 69  249 A. . B. . C. . D. . 94 94 21 94  a  b   10  2 2 Câu 8: Cho b  0. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  a  log b bằng  1  1  A. 2 log  ln10  . B. 2  log   .  ln10  ln10    1  1   1  1  C. 2  log   . D. 2  ln  .  ln10  ln10    ln10  ln10   Câu 9: Cho các số thực a, b thỏa mãn điều kiện 0  b  a  1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4  3b  1 P  loga  8log2b a  1 bằng 9 a A. 6. B. 3 3 2. C. 8. D. 7.   Câu 10: Cho x, y là số thực dương thỏa mãn ln x  ln y  ln x 2  y . Giá trị nhỏ nhất P  x  y bằng A. Pmin  2 2  3. B. Pmin  6. C. Pmin  2  3 2. D. Pmin  17  3. 1 Câu 11: Xét các số thực a, b thỏa mãn điều kiện  b  a  1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3  3b  1  2 P  loga    12 log b a  3 bằng  4  a 1 A. min P  13. B. min P  . C. min P  9. D. min P  3 2. 3 2   Câu 12: Xét các số thực dương x, y thỏa mãn log 1 x  log 1 y  log 1 x  y 2 . Giá trị nhỏ nhất Pmin của 3 3 3 biểu thức P  2 x  3y bằng A. Pmin  7  2 10. B. Pmin  3  2. C. Pmin  7  3 2. D. Pmin  7  2 10. Câu 13: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn b  1 và a  b  a. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức a P  log a a  2 log b   bằng b b TOANMATH.com Trang 19
A. 6. B. 7. C. 5. D. 4. Câu 14: Cho 2 số dương a và b thỏa mãn log2  a  1  log2  b  1  6. Giá trị nhỏ nhất của S  a  b bằng A. min S  12. B. min S  14. C. min S  8. D. min S  16. Câu 15: Gọi a là giá trị nhỏ nhất của f  n    log 2  log 3 log 4  ...  log n  , với n  , n  2. Có bao 3 3 3 3 9 n nhiêu số n để f  n   a. A. 2. B. vô số. C. 1. D. 4. 1  Câu 16: Cho P  9 log31 3 a  log21 a  log 1 a3  1 với a   ;3 và M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và 3 3 3  27  giá trị nhỏ nhất của biểu thức P. Giá trị của biểu thức S  4 M  3m bằng 109 83 A. 42. B. 38. C. . D. . 9 2 Câu 17: Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn b2  3ab  4a2 và a   4;232  . Gọi M, m lần lượt là giá 3 b trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  log b 4a  log2 . Tính tổng T  M  m. 8 4 4 1897 3701 2957 7 A. T  . B. T  . C. T  . D. T  . 62 124 124 2 Câu 18: Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn hệ thức: 2 log2 a  log2 b  log2  a  6b  . Giá trị lớn nhất ab  b2 PM ax của biểu thức P  bằng a 2  2ab  2b2 2 1 2 A. PM ax  . B. PM ax  0. C. PM ax  . D. PM ax  . 3 2 5 Câu 19: Cho a, b, c là các số trực thuộc đoạn 1;2  thỏa mãn log32 a  log32 b  log32 c  1. Khi biểu thức   P  a3  b3  c3  3 log2 aa  log2 b b  log2 cc đạt giá trị lớn nhất thì giá trị của tổng a  b  c là 1 B. 3.2 3 . 3 A. 3. C. 4. D. 6. Câu 20: Cho a, b, c là các số thực lớn hơn 1. Giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức: 4 1 8 P   là log bc a log b 3 log 3 c ac ab A. Pmin  20. B. Pmin  10. C. Pmin  18. D. Pmin  12. ĐÁP ÁN Dạng 1. Biến đổi biểu thức chứa lôgarit 1-B 2-A 3-A 4-C 5-A 6-B 7-A 8-A 9-D 10-D TOANMATH.com Trang 20