Giáo án Giải tích lớp 12: Chuyên đề 3 bài 3: Ứng dụng của tích phân

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:48

Thêm vào BST

Báo xấu

21
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo án "Giải tích lớp 12: Chuyên đề 3 bài 3: Ứng dụng của tích phân" được biên soạn nhằm giúp các em học sinh lớp 12 nắm vững công thức tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay. Ghi nhớ các kiến thức cơ bản về phương trình đường thẳng, parabol, đường tròn và elip. Nắm được định nghĩa, tính chất và các phương pháp tính tích phân. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo án Giải tích lớp 12: Chuyên đề 3 bài 3: Ứng dụng của tích phân

CHUYÊN ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Mục tiêu  Kiến thức + Nắm vững công thức tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay. + Ghi nhớ các kiến thức cơ bản về phương trình đường thẳng, parabol, đường tròn và elip. + Nắm được định nghĩa, tính chất và các phương pháp tính tích phân.  Kĩ năng + Hiểu rõ các ứng dụng của tích phân để vận dụng vào việc tính diện tích hình phẳng và thể tích của các vật thể, cũng như vật thể tròn xoay. + Lập được phương trình đường thẳng, parabol, đường tròn và elip để xử lí các bài toán liên quan. + Tính được diện tích hình phẳng, thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay trong các trường hợp cụ thể. TOANMATH.com Trang 1
A. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành Diện tích hình phẳng H  giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b , trục hoành và hai đường thẳng x  a , x  b (với a  b ) được xác định theo công thức: b S   f  x  dx a Chú ý Nếu f  x  không đổi dấu trên đoạn  a; b thì Phần tô màu đen chính là diện tích hình b b phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số S   f  x  dx   f  x  dx a a y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b , trục • Nếu phương trình f  x   0 có nghiệm duy nhất x  c thuộc hoành và hai đường thẳng x  a , x  b (với a  b ). khoảng  a; b  thì Đặc biệt: b c b S   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx • Nếu f  x   0 , x   a; b thì a a c b b c b S   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx a c a a • Nếu f  x  0 , x   a; b thì • Nếu phương trình f  x   0 có hai nghiệm c1  c2 thuộc b b khoảng  a; b  thì S   f  x  dx    f  x  dx a a b c1 c2 b S   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx a c c1 c2 Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong Diện tích hình phẳng H  giới hạn bởi đồ thị hai hàm số  C1  : y  f  x  ,  C2  : y  g  x  liên tục trên đoạn  a; b và hai đường thẳng x  a , x  b (với a  b ) được xác định theo công thức: b Phần gạch chéo trong hình là hình S   f  x   g  x  dx a phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số  C1  : y  f  x  ;  C2  : y  g  x  liên tục trên đoạn  a; b và hai đường TOANMATH.com Trang 2
thẳng x  a , x  b (với a  b ). Đặc biệt: Chú ý ° Nếu f  x   g  x  , x   a; b (đồ thị • Nếu phương trình f  x   g  x  vô nghiệm trên khoảng  C1  nằm phía trên đồ thị  C2  ) thì ta b b  a; b  thì S   f  x   g  x  dx    f  x   g  x  dx . b có: S   f  x   g  x  dx a a a • Nếu phương trình f  x   g  x  có nghiệm duy nhất x  c b    f  x   g  x  dx c b thuộc  a; b  thì S   f  x   g  x  dx   f  x   g  x  dx a a c • Nếu f  x   g  x  , x   a; b (đồ thị c b    f  x   g  x  dx    f  x   g  x  dx  C1  nằm phía dưới đồ thị  C2  ) thì ta a c b • Nếu phương trình f  x   g  x  có hai nghiệm c1  c2 thuộc có: S   f  x   g  x  dx a khoảng  a; b  thì b     f  x   g  x   dx b c1 a S   f  x  dx    f  x   g  x   dx a c c2 b    f  x   g  x  dx  c1   f  x   g  x   dx c2 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA TOANMATH.com Trang 3
Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành Diện tích hình phẳng H  giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b , trục hoành và hai đường thẳng x  a , x  b (với a  b ) được xác định theo công thức: b S   f  x  dx a Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong Diện tích hình phẳng  H  giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y  f  x  ,  C2  : y  g  x  liên tục trên đoạn  a; b và  C1  : hai đường thẳng x  a , x  b (với a  b ) được xác định theo b công thức: S   f  x   g  x  dx a II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính diện tích hình phẳng Bài toán 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị bởi một đường cong Phương pháp giải  C  : y  f  x  Ví dụ: Gọi diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị  Ox : y  0 3 x  1 Xét hình phẳng  H  :  hàm số  C  : y  và hai trục tọa độ là S. x 1 x  a  x  b  a  b Tính S.  Hướng dẫn giải Khi đó diện tích hình phẳng  H  là: b Hoành độ giao điểm của C  và trục hoành là S   f  x  dx nghiệm của phương trình: a 3 x  1 1 Trong loại 1 này, nếu thiếu cận a hoặc b thì ta đi 0 x x 1 3 tìm bằng cách giải phương trình f  x   0 . Do đó diện tích hình phẳng là 0 0 3x  1  4  S 1 x  1 dx    3  x  1  dx 1   3 3 0 4   3 x  4 ln x  1   4 ln  1  1 3 3 TOANMATH.com Trang 4
Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y   x  2   1 , trục hoành và hai đường thẳng 2 x  1 , x  2 bằng 2 3 1 7 A. B. C. D. 3 2 3 3 Hướng dẫn giải 2 2 Ta có S    x  2   1 dx   x 2  4 x  3 dx 2 1 1 2 2 Vì phương trình x 2  4 x  3 không có nghiệm trên 1; 2  nên S  x  4 x  3 dx  2 1 3 Chọn A. Lưu ý: Các phần tính tích phân, học sinh có thể sử dụng máy tính bỏ túi để kiểm tra kết quả. Ví dụ 2: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f  x  , trục hoành và hai đường thẳng x  3 , x  2 (như hình vẽ 1 2 bên). Đặt a   f  x  dx , b   f  x  dx . 3 1 Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. S  a  b . B. S  a  b . C. S  a  b . D. S  b  a . Hướng dẫn giải 1 2 1 2 Ta có S   f  x  dx   f  x  dx    f  x  dx   f  x  dx  a  b 3 1 3 1 Chọn D. ln x Ví dụ 3: Gọi S là diện tích của hình phẳng giới han bởi các đường y  , y  0 , x  1 , x  e . Mệnh x2 đề nào dưới đây đúng? e e e 2 e 2 ln x ln x  ln x   ln x  A. S    dx . B. S   dx . C. S    2  dx . D. S     2  dx . 1 x2 1 x2 1 x  1 x  Hướng dẫn giải ln x Diện tích hình phẳng giới han bởi các đường y  , y  0 , x  1 , x  e là: x2 e e ln x ln x ln x S 2 dx   2 dx vì 2  0 , x  1; e  1 x 1 x x Chọn B. TOANMATH.com Trang 5
Ví dụ 4: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y  ln x , y  1 và đường thẳng x  1 bằng A. e 2 . B. e  2 . C. 2e. D. e  2 . Hướng dẫn giải Ta có ln x  1  x  e . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y  ln x , y  1 và đường thẳng x  1 là: e e e e e S   ln x  1 dx  1   ln x  1 dx 1  x  ln x  1   dx  1  x 1 1 1 e2 Chọn D. Ví dụ 5*: Gọi  H  là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  e x , trục hoành và các đường thẳng x  1 , x  1 . Với k   1;1 , đường thẳng x  k chia hình phẳng  H  thành hai hình phẳng có diện tích lần lượt là S1 và S 2 (như hình vẽ bên). Giá trị k để S1  S2 là  1 A. 2 ln 2  1 . B. 2 ln  e    1 .  e  1 C. ln  e    ln 2 . D. ln 2 .  e Hướng dẫn giải Vì e x  0 với mọi x   nên ta có k k 1 1 S1   e x dx  e x  ek  e1 và S 2   e x dx  e x  e  ek 1 1 k k 1 1 1 S1  S2  e k  e 1  e  e k  2ek  e   e k   e   e 2 e 1 1  1  k  ln  e    ln  e    ln 2 2 e  e Chọn C. Chú ý: a x  b  x  log a b Ví dụ 6*: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị trên  2;6 như hình vẽ bên. Biết các miền A, B, x  2 có diện tích lần lượt là 32; 2; 3. 2 Tích phân   f  2 x  2   1 dx 2 bằng 45 41 A. . B. 41. C. 37. D. . 2 2 Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 6
2 2 Ta có   f  2 x  2   1 dx  2 2  f  2 x  2  dx  4 2 Xét I1   f  2 x  2  dx . 2 dt Đặt t  2 x  2  dt  2 dx  dx  2 Đổi cận: x  2  t  2 ; x  2  t  6 . 6 1 f  t  dt . 2 2 Suy ra I1  Gọi x1 ; x2 là các hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y  f  x  với trực hoành  2  x1  x2  6  . Ta có 1 1  1 x x2 6 I1    f  t  df   f  t  df   f  t  df    S A  S B  SC  2  2 x1 x2  2  1 33   32  2  3  2 2 2 33 41 Vậy   f  2 x  2   1 dx  I 2 1 4 2 4 2 Chọn D. Ví dụ 7*: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị của hàm số y  f   x  như hình bên. Đặt g  x   2 f  x    x  1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 A. g  3  g  3  g 1 . B. g  3  g  3  g 1 . C. g 1  g  3  g  3 . D. g 1  g  3  g  3 . Hướng dẫn giải Ta có g   x   2 f   x   2  x  1 g   x   0  f   x   x  1 . Đây là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số f   x  và đường thẳng d: y  x  1 . x 1 Dựa vào đồ thị ta thấy: g   x   0  f   x   x  1    x  3 Bảng biến thiên: TOANMATH.com Trang 7
  x –3 1 3 g  x  – 0 + 0 – 0 +  g 1  g  x g  3 g  3 Suy ra g  3  g 1 và g  3  g 1 Gọi S1 , S 2 lần lượt là diện tích các hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f   x  , đường thẳng d: y  x  1 trên các đoạn  3;1 và 1;3 ta có: 1 1 1 +) Trên đoạn  3;1 ta có f   x   x  1 nên S1   g   x  dx   f   x    x  1  dx . 3 2 3  3 3 1 +) Trên đoạn 1;3 ta có f   x   x  1 nên S 2   g   x  dx   x  1 f   x   dx . 1 2 1  Dựa vào đồ thị ta thấy S1  S2 nên ta có: 1 3 g  x   g  x   g 1  g  3   g  3   g 1  g  3  g  3 . 3 1 Vậy g 1  g  3  g  3 . Chọn D. Lưu ý: - Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số f   x  và đường thẳng d: y  x  1 chính là nghiệm của phương trình g   x   0 . - Lập bảng biến thịên ta thấy g 1 lớn hơn g  3 . Ta chỉ cần so sánh g  3 và g  3 . - So sánh diện tích dựa vào đồ thị. Bài toán 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong Phương pháp giải  C1  : y  f  x  Ví dụ: Tính diện tích phần gạch chéo trên hình vẽ   C  : y  g  x  sau. Xét hình phẳng  H  :  2 x  a x  b  a  b  Khi đó diện tích hình phẳng  H  là: b S   f  x   g  x  dx a TOANMATH.com Trang 8
Trong loại 2 này, nếu thiếu cận a hoặc b thì ta đi tìm bằng cách giải phương trình f  x   g  x  . Lưu ý: Kĩ năng phá dấu giá trị tuyệt đối, quan sát hình vẽ để xác định diện tích. Hướng dẫn giải Từ đồ thị ta thấy  x 2  3  x 2  2 x  1 x   1; 2 Vậy diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong 2 hình vẽ là S     x 2  3   x 2  2 x  1  dx 1 2    2 x  2 x  4  dx 2 1 2  2 3   x  x2  4x   3  1 3  2 Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số: y  x 3  3x , y  x . Tính S. A. S  4 . B. S  8 . C. S  2 . D. S  0 . Hướng dẫn giải Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là  x  2 x3  3x  x  x 3  4 x  0   x  0 0 2 Vậy S   x  4 x  dx  x  4 x  dx  4  4  8 . 3 3 2 0 Chọn B. Ví dụ 2: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường my  x 2 , mx  y 2 (với m  0 ). Tìm giá trị của m để S  3 . A. m  1 . B. m  2 . C. m  3 . D. m  4 . TOANMATH.com Trang 9
Hướng dẫn giải x2 Vì m  0 nên từ my  x 2 ta suy y   0; m Từ mx  y 2 nên x  0 và y  mx . x2 x  0 Xét phương trình  mx  x 4  m3 x   m x  m Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là: m x2 m  x2  S   mx  dx    mx   dx 0 m 0 m 2 m x3  m 1 2 1 2   .x x    m  m  3 3m  0 3 3 1 2 Yêu cầu bài toán S  3  m  3  m 2  9  m  3 (vì m  0 ). 3 Chọn C. 2x Ví dụ 3: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm y  x2 và y  là S  a  b ln 2 với a, x 1 b là những số hữu tỷ. Giá trị của a  b là 1 2 A.  . B. 2. C.  . D. 1. 3 3 Hướng dẫn giải 2x Phương trình hoành độ giao điểm của  C1  : y  x2 và  C2  : y  là x 1 x  0 2x x  2  x  1  x  x  2 x  0   x  1 3 2 x 1  x  2 TOANMATH.com Trang 10
Diện tích hình phẳng cần tìm là: 0  2x  0  2   x3  0 5 S    x 2  dx    2   x 2  dx   2 x  2ln x  1     2ln 2 1  x 1  1  x 1   3 1 3 5 Suy ra a  và b  2 3 1 Vậy a  b   3 Chọn A. Ví dụ 4*: Cho  H  là hình phẳng giới hạn bởi parabol y  3x 2 , cung tròn có phương trình y  4  x 2 (với 0  x  2 ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của  H  là 4  3 4  3 A. . B. . 12 6 4  2 3  3 5 3  2 C. . D. . 6 3 Hướng dẫn giải Phương trình hoành độ giao điểm của parabol y  3 x 2 và cung tròn y  4  x 2 (với 0  x  2 ) lả 4  x 2  3x 2  4  x 2  3x 4  x  1 . TOANMATH.com Trang 11
Diện tích của  H  là 1 2 1 2 3 3 3 S   3x 2 dx   4  x 2 dx  x I   I với I   4  x 2 dx . 0 1 3 0 3 1    Đặt x  2sin t , t    ;   dx  2 cos t.dt  2 2   Đổi cận x  1  t  , x2t  . 6 2     2 2 2 2 I   4  4sin 2 t .2 cos t.dt   4cos 2 t.dt   2 1  cos 2t  .dt   2 x  sin 2t      6 6 6 6 2 3   3 2 3 3 2 3 4  3 Vậy S  I     3 3 3 2 6 Chọn B. Ví dụ 5*: Hình phẳng  H  được giới hạn bởi đồ thị  C  của hàm đa thức bậc ba và parabol  P có trục đối xứng vuông góc với trục hoành. Phần tô đậm của hình vẽ có diện tích bằng 37 7 A. . B. . 12 12 11 5 C. . D. . 12 12 Hướng dẫn giải Vì đồ thị hàm bậc ba và đồ thị hàm bậc hai cắt trục tung tại các điểm có tung độ lần lượt là y  2 và y  0 nên ta xét hai hàm số là y  ax3  bx 2  cx  2 , y  mx 2  nx (với a, m  0 ). Suy ra  C  : y  f  x   ax3  bx 2  cx  2 và  P  : y  g  x   mx 2  nx . Phương trình hoành độ giao điểm của  C  và  P  là: ax 3  bx 2  cx  2  mx 2  nx   ax 3  bx 2  cx  2    mx 2  nx   0 . Đặt P  x    ax 3  bx 2  cx  2    mx 2  nx  . Theo giả thiết,  C  và  P  cắt nhau tại các điểm có hoành độ lần lượt là x  1 , x  1 , x  2 nên P  x   a  x  1 x  1 x  2  . Ta có P  0   2a . Mặt khác, ta có P  0   f  0   g  0   2  a  1 . TOANMATH.com Trang 12
2 37 Vậy diện tích phần tô đậm là S    x  1 x  1 x  2  dx  12 1 Chọn A. Bài tập tự luyện dạng 1 Câu 1: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  e x , y  0 , x  0 , x  2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 2 2 2 A. S    e dx . 2x B. S   e dx .x C. S    e dx . x D. S   e 2 x dx . 0 0 0 0 Câu 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x  x và đồ thị hàm số y  x  x 2 là 3 37 9 81 A. . B. I  . C. . D. 13. 12 4 12 Câu 3: Gọi S là diện tích hình phẳng H  giới hạn bởi các đường y  f  x  , trục hoành và hai đường thẳng x  1 , x  2 (như hình vẽ bên). 0 2 Đặt a   f  x  dx , b   f  x  dx , mệnh đề nào sau đây đúng? 1 0 A. S  b  a . B. S  b  a . C. S  b  a . D. S  b  a . Câu 4: Cho hình thang cong  H  giới hạn bởi các đường y  e x , y  0 , x  0 , x  ln 4 . Đường thẳng x  k  0  k  ln 4  chia  H  thành hai phần có diện tích là S1 và S 2 như hình vẽ bên dưới. Tìm k để S1  2S2 . TOANMATH.com Trang 13
2 8 A. k  ln 4 . B. k  ln 2 . C. k  ln . D. k  ln 3 . 3 3 Câu 5: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị trên đoạn  1; 4 như 4 hình vẽ bên. Tính tích phân I   f  x  dx . 1 11 A. I  3 . B. I  . 2 5 C. I  5 . D. I  . 2 Câu 6: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị các hàm số y  ln x , y  1 , y  1  x . 3 1 1 3 A. S  e  . B. S  e  . C. S  e  . D. S  e  2 2 2 2 Câu 7: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  , đồ thị hàm y  f   x  như hình vẽ dưới đây. Khẳng định nào trong các phương án dưới đây là đúng? A. f  2   f  1  f  0  . B. f  0   f  1  f  2  . C. f  0   f  2   f  1 . D. f  1  f  0   f  2  . Câu 8: Cho hàm y  F  x  là một nguyên hàm của hàm số y  f  x  , 22 biết đồ thị hàm số y  f  x  trên đọan  2; 2 như hình vẽ ở bên dưới và có diện tích S1  S 2  , 15 76 S3  15 TOANMATH.com Trang 14
Giá trị của biểu thức F  2   F 1  F  1  F  2  bằng 36 32 18 32 A. I  . B. I  . C. I  D. I   . 5 15 5 15 Câu 9: Cho hàm số y  f  x  . Đồ thị của hàm số y  f   x  như hình vẽ. Đặt g  x   2 f  x   x 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. g  3  g  3  g 1 . B. g 1  g  3  g  3 . C. g 1  g  3  g  3 . D. g  3  g  3  g 1 . 1 Câu 10: Cho hai hàm số f  x   ax 3  bx 2  cx  và 2 g  x   dx 2  ex  1 (với a, b, c, d, e   ). Biết rằng đồ thị của hàm số y  f  x  và y  g  x  cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là –3; –1; 1 (tham khảo hình vẽ bên). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng 9 A. . B. 8. 2 C. 4. D. 5. Câu 11: Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây? TOANMATH.com Trang 15
2   2x  2 x  4  dx . 2 A. 1 2 B.   2 x  2  dx . 1 2 C.   2 x  2  dx . 1 2   2 x  2 x  4  dx . 2 D. 1 Câu 12: Cho hai hàm số f  x   ax3  bx 2  cx  2 và g  x   dx 2  ex  2 , với a, b, c, d, e   . Biết rằng đồ thị của hàm số y  f  x  và y  g  x  cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là –2; –1; 1 (tham khảo hình vẽ bên). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng 37 13 A. . B. . 6 2 9 37 C. . D. . 2 12 Câu 13: Cho hai hàm số f  x   ax3  bx 2  cx  1 và 1 g  x   dx 2  ex  với a, b, c, d, e   . Biết rằng đồ thị hàm số 2 y  f  x  và y  g  x  cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là –3; –1; 2 (tham khảo hình vẽ bên). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số đã cho có diện tích bằng 125 253 A. . B. . 12 12 253 125 C. . D. . 48 48 3 Câu 14: Cho hai hàm số f  x   ax3  bx 2  cx  và 4 3 g  x   dx 2  ex  với a, b, c, d, e   . Biết rằng đồ thị của 4 hàm số y  f  x  và y  g  x  cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là –2; 1; 3 (tham khảo hình vẽ bên). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng 125 253 A. . B. . 48 24 TOANMATH.com Trang 16
125 253 C. . D. . 24 48 Câu 15: Cho hình phẳng được giới hạn bởi các đường 4  x 2 , y  x và y  2 có diện tích là S  a  b với a, b   (phần bôi đen như hình vẽ bên). Khẳng định nào sau đây đúng? A. a  0 và b  0 . B. a  1 và b  1. C. a  2b  3 . D. a 2  4b 2  5 . Câu 16: Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi parabol  P : y  8 x  x 2 và trục hoành. Các đường thẳng y  a , y  b , y  c với 0  a  b  c  16 chia H thành bốn phần có diện tích bằng nhau. Giá trị của biểu thức 16  a   16  b   16  c  bằng: 3 3 3 A. 2048. B. 3584. C. 2816. D. 3480. Câu 17: Cho hàm số y  f  x   mx 4  nx 3  px 2  qx  r trong đó m, n, p, q, r   . Biết rằng hàm số y  f   x  có đồ thị như hình vẽ bên. Tập nghiệm của phương trình f  x   r có tất cả bao nhiêu phần tử? A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. Câu 18: Cho hàm số y  f  x   mx 4  nx 3  px 2  qx  r trong đó m, n, p, q, r   . Biết rằng hàm số y  f   x  có đồ thị như hình vẽ bên. Tập nghiệm của phương trình f  x   16m  8n  4 p  2q  r có tất cả bao nhiêu phần tử? A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. Câu 19: Cho đồ thị hàm số y  x3 trên đoạn  0;1 và một số TOANMATH.com Trang 17
thực t   0;1 . Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x3 , y  t 3 , x  0 và S 2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 3 , y  t 3 , x  1 (tham khảo hình vẽ bên). Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của S1  S 2 . Tính 2M  16m . A. 2M  16m  3 . B. 2M  16m  5 . C. 2M  16m  7 . D. 2M  16m  10 . 1 2 Câu 20: Cho Parabol  P  : y  x và đường tròn  C  có bán kính 2 bằng 1 tiếp xúc với trục hoành đồng thời có chung một điểm A duy nhất với  P  . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi  P  ,  C  và trục hoành (phần bôi đậm trong hình vẽ bên) bằng 27 3  8 9 3  9  4 A. . B. . 24 12 29 3  9 3 3  2  C. . D. . 24 3 Câu 21: Hình phẳng  H  được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số đa thức bậc bốn y  f  x  và y  g  x  . Biết rằng đồ thị của hai hàm số này tiếp xúc nhau tại x  3 và cắt nhau tại hai điểm có hoành độ lần lượt là –1; 2 như hình vẽ bên. Diện tích của hình phẳng H  (phần gạch sọc trên hình vẽ) gần nhất với kết quả nào dưới đây? A. 3,11. B. 2,45. C. 3,21. D. 2,95. TOANMATH.com Trang 18
Câu 22: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên. Biết rằng diện tích các hình phẳng  A ,  B  lần lượt bằng 3 và 7.  2 Tích phân  cos x. f  5sin x  1 dx bằng 0 4 4 A.  . B. 2. C. . D. –2. 5 5 Câu 23: Cho đường cong  C  : y  8 x  27 x3 và đường thẳng y  m cắt C  tại hai điểm phân biệt nằm trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ Oxy và chia thành 2 miền phẳng (gạch sọc và kẻ caro) có diện tích bằng nhau (tham khảo hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 1 A. 0  m  . B.  m 1. 2 2 3 3 C. 1  m  . D.  m  2. 2 2 Câu 24: Cho 2 số thực dương a, b khác 1 và đồ thị của các hàm số y  log a x ; y  log b x như hình vẽ bên. Gọi d là đường thẳng song song với trục Oy và cắt trục hoành tại điểm A có hoành độ x  k  k  1 . Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  log a x , đường thẳng d và trục hoành; S 2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  log b x , đường thẳng d và trục hoành. Biết S1  4S2 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. b  a 4 . B. a  b 4 . C. b  a 4 ln 2 . D. a  b 4 ln 2 . Câu 25: Cho đồ thị  C  của hàm số y  x3  3x 2  1 . Gọi  d  là tiếp tuyến của  C  tại điểm A có hoành 27 độ xA  a . Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi  d  và  C  bằng , các giá trị của a thỏa mãn đẳng 4 thức nào? A. 2 a 2  a  1  0 . B. a 2  2a  0 . C. a 2  a  2  0 . D. a 2  2a  3  0 . x 2  2ax  3a 2 a 2  ax Câu 26: Số thực a để hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm y  và y  có diện 1  a6 1  a6 tích lớn nhất là 1 3 A. 3 B. 1. C. 2. D. 3. 2 TOANMATH.com Trang 19
Câu 27: Cho hàm số y  x 4  6 x 2  m có đồ thị  Cm  . Giả sử  Cm  cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt sao cho hình phẳng giới hạn bởi  Cm  và trục hoành có phần phía trên trục hoành và phần phía dưới trục a a hoành có diện tích bằng nhau. Khi đó m  (với a, b là các số nguyên, b  0 , là phân số tối giản). b b Giá trị của biểu thức S  a  b là: A. 7. B. 6. C. 5. D. 4. Câu 28: Cho hai hàm số f  x   ax 4  bx 3  cx 2  dx  e với a  0 và g  x   px 2  qx  3 có đồ thị lần lượt là  C1  và  C2  . Biết rằng  C1  đi qua gốc tọa độ và cắt  C 2  tại bốn điểm có hoành độ lần lượt là 2 ; –1; 1 và m. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x   g  x  tại điểm có hoành độ x  2 15 có hệ số góc bằng  . Gọi  H  là hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị hai hàm số y  f  x  và y  g  x  (phần được tô đậm trong hình vẽ bên). Diện tích của hình  H  bằng 1553 1553 1553 1553 A. . B. . C. . D. . 120 240 60 30 Dạng 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong Phương pháp giải Các kiến thức được sử dụng khi giải toán: C  tâm I  a; b  và bán kính R có phương trình  x  a    y  b 2 2 • Đường tròn  R 2 hay y  b  R 2   x  a  . Diện tích hình tròn là S   R 2 . 2 • Elip  E  có tâm O  0; 0  là gốc tọa độ, độ dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là 2a và 2b (với a  b  0 ), x2 y 2 có các tiêu cự F1  c; 0  và F2  c; 0  , với c 2  a 2  b 2 có phương trình chính tắc là   1 hay a 2 b2 b 2 y a  x2 . a Diện tích của elip là S   .a.b . • Parabol  P  : y  ax 2  bx  c .  b   • Khi đó đỉnh của  P  là I   ;  với   b 2  4ac và điểm M  x0 ; y0    P   y0  ax02  bx0  c .  2a 4a  Ví dụ mẫu TOANMATH.com Trang 20