intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Luyện thi Đại học môn Toán: Phương pháp đổi biến số tìm nguyên hàm (Phần 2) - Thầy Đặng Việt Hùng

Chia sẻ: Thành Chung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST
Báo xấu
187
lượt xem 34
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Luyện thi Đại học môn Toán: Phương pháp đổi biến số tìm nguyên hàm (Phần 2) - Thầy Đặng Việt Hùng" tóm lược nội dung cần thiết và cung cấp các bài tập ví dụ hữu ích, giúp các bạn củng cố và nắm kiến thức về phương pháp đổi biến số tìm nguyên hàm thật hiệu quả.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luyện thi Đại học môn Toán: Phương pháp đổi biến số tìm nguyên hàm (Phần 2) - Thầy Đặng Việt Hùng

  1. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 03. PP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM – P2 Thầy Đặng Việt Hùng Dạng 2. PP lượng giác hóa dx = d (a sin t ) = a cos t dt  Nếu hàm f(x) có chứa a 2 − x 2 thì đặt x = a sin t  → 2  a − x = a − a sin t = a cos t 2 2 2 2  adt dx = d (a tan t ) = cos 2 t  Nếu hàm f(x) có chứa a 2 + x 2 thì đặt x = a tan t  →  a 2 + x 2 = a 2 + a 2 tan 2 t = a  cos t  MỘT SỐ VÍ DỤ MẪU: Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: dx a) I1 = ∫ ; ( a = 2) b) I 2 = ∫ 1 − x 2 dx ; ( a = 1) 4− x 2 x 2 dx c) I 3 = ∫ ; ( a = 1) d) I 4 = x 2 9 − x 2 dx ; ( a = 3) ∫ 1− x 2 Lời giải:  dx = d (2sin t ) = 2cos t dt dx 2cos t dt a) Đặt x = 2sin t  →  → I1 = ∫ =∫ = ∫ dt = t + C  4 − x = 4 − 4sin t = 2cos t 4− x 2 2 2 2cos t x  x Từ phép đặt x = 2sin t ⇔ t = arcsin    → I1 = arcsin   + C  2 2 dx = d (sin t ) = cos t dt b) Đặt x = sin t  →  1 − x = 1 − sin t = cos t 2 2 1 + cos 2t 1 1 t 1 ∫ ∫ Khi đó I 2 = 1 − x 2 dx = cos t.cos t dt = ∫ 2 dt = 2 dt + ∫ 2 ∫ cos 2t dt = + sin 2t + C 2 4 cos t = 1 − sin 2 t = 1 − x 2 Từ x = sin t ⇒   → sin 2t = 2sin t.cos t = 2 x 1 − x 2 t = arcsin x arcsin x 1  → I2 = + x 1 − x2 + C 2 2 dx = d (sin t ) = cos t dt c) Đặt x = sin t  →  1 − x = 1 − sin t = cos t 2 2 x 2 dx sin 2 t.cos t dt 1 − cos2t 1 1 Khi đó, I 3 = ∫ =∫ = ∫ sin 2 t dt = ∫ dt = t − sin 2t + C 1 − x2 cos t 2 2 4 cos t = 1 − sin 2 t = 1 − x 2 Từ x = sin t ⇒   → sin 2t = 2sin t.cos t = 2 x 1 − x 2 t = arcsin x arcsin x 1  → I3 = − x 1 − x2 + C 2 2  dx = d (3sin t ) = 3cos t dt d) Đặt x = 3sin t  →  9 − x = 9 − 9sin t = 3cos t 2 2 81 81 1 − cos4t ∫ ∫ ∫ Khi đó, I 4 = x 2 9 − x 2 dx = 9sin 2 t.3cos t.3cos t dt = 81 sin 2 t.cos 2 t dt = 4 ∫ sin 2 2t dt = 4 ∫ 2 dt Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
  2. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 81  1 1  81  t 1  =  4 2 ∫dt − 2 ∫ cos4t dt  =  − sin 4t  + C  4 2 8   x2 cos t = 1 − sin t = 1 − 2  9 2x x2 Từ x = 3sin t ⇒   → sin 2t = 1− t = arcsin  x  3 9    3 2  x 2x2 2x x2  2x2  Mặt khác, cos2t = 1 − 2sin 2 t = 1 − 2   = 1 −  → sin 4t = 2sin 2t.cos2t = 2. 1 − .1 −  3 9 3 9  9    x   arcsin   2   3  − x 1 − x .  1 − 2 x   + C. 2 81 Từ đó ta được I 4 =    4 2 6 9  9    Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: dx x 2 dx a) I1 = ∫ ; ( a = 1) b) I 2 = ∫ x 2 + 2 x + 5 dx c) I 3 = ∫ ; ( a = 2) x +1 2 x2 + 4 Lời giải:  dt  dx = d (tan t ) = = (1 + tan 2 t )dt (1 + tan 2 t )dt =  →  → = ∫ 1 + tan 2 t = ∫ dt = t + C 2 a) Đặt x tan t  cos t I 1 1 + x = 1 + tan t 2 2  Từ giả thiết đặt x = tan t ⇔ t = arctan x  → I1 = arctan x + C. t = x +1 b) Ta có I 2 = ∫ x 2 + 2 x + 5 dx = ∫ ( x + 1) 2 + 4 d ( x + 1)  →I = ∫ t 2 + 4 dt  2du  dt = d (2 tan u ) = cos 2 u 2du du cos u du Đặt t = 2 tan u →  → I2 = ∫ =∫ =∫  4 + t 2 = 4 + 4 tan 2 u = 2 2 .cos 2 u cos u cos 2 u  cos u cos u d (sin u ) 1 (1 + sin u ) + (1 − sin u ) 1 d (sin u ) 1 d (sin u ) 1 1 + sin u =∫ = ∫ d (sin u ) = ∫ 2 1 − sin u 2 ∫ 1 + sin u 2 1 − sin u + = ln + C. 1 − sin u 2 (1 + sin u )(1 − sin u ) 2 t 1 t2 4 t2 Từ phép đặt t = 2 tan u ⇔ tan u =  → = 1 +  → sin 2 u = 1 − c os 2 u = 1 − = 2 cos 2 u 4 4 + t2 4 + t2 t x +1 1+ 1+ 1 1 + sin u 1 4 + t 2 + C = 1 ln x 2 + 2 x + 5 + C. Từ đó ta được I 2 = ln + C = ln 2 1 − sin u 2 1− t 2 1− x +1 4+t 2 x + 2x + 5 2  2dt  dx = d (2 tan t ) = cos 2 t = 2(1 + tan t ) dt 2 c) Đặt x = 2 tan t  →  x 2 + 4 = 4 tan 2 t + 4  4 tan t.2(1 + tan 2 t ) dt 2 sin 2 t sin 2 t.cos t dt sin 2 t. d (sin t )  → I3 = ∫ = 4 ∫ tan 2 t 1 + tan 2 t dt = 4 ∫ dt = 4 ∫ cos4 t = 4 ∫ 1 − sin 2 t 2 2 1 + tan 2 t cos3 t ( ) 2  1 (1 + u ) − (1 − u )  2 u2  u  → I 3 = 4∫ Đặt u = sin t  du = 4 ∫  2  du = 4 ∫   du ( ) 1 − u 2 2  1 − u   2 (1 + u )(1 − u )  d (1 − u ) d (1 + u ) (1 − u ) + (1 + u )du 2  1 1  du du 2du = ∫ −  du = ∫ +∫ −∫ = −∫ +∫ −∫  1 − u 1 + u  (1 − u ) 2 (1 + u ) 2 (1 − u )(1 + u ) (1 − u ) 2 (1 + u ) 2 (1 − u )(1 + u ) 1 1  1 1  1 1 du du 1 1 − − − ∫ +  du = − − −∫ −∫ =− − − ln 1 + u + ln u − 1 + C 1− u 1+ u 1+ u 1− u  1− u 1+ u 1+ u 1− u 1− u 1+ u Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
  3. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 1 1 u −1 1 1 u −1 1 1 sin t − 1 = − + ln + C  → I3 = − + ln +C = − + ln + C. u −1 1+ u u +1 u −1 u +1 u +1 sin t − 1 sin t + 1 sin t + 1 x 1 x2 4 x2 Từ giả thiết x = 2 tan t ⇔ tan t =  → = 1 + tan 2 t = 1 + ⇔ cos 2 t = → sin 2 t = 2 cos 2t 4 4 + x2 4 + x2 x −1 ⇔ sin t = x  → I3 = 1 − 1 + ln 4 + x 2 + C. 4 + x2 x x x −1 +1 +1 4 + x2 4 + x2 4 + x2 Ví dụ 3: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: dx dx dx a) I1 = ∫ x −1 2 b) I 2 = ∫x 2 x −4 2 c) I 3 = ∫ x − 2x − 2 2 Lời giải:   1  − cos t dt  dx = d  sin t  = sin 2t  − cos t dt 1     dx = sin 2 t dx − cos t dt a) Đặt x =  → ← →  → I1 = ∫ =∫ 2 sin t  x2 − 1 = 1  x 2 − 1 = cot t x −1 2 sin t.cot t  2 −1  sin t sin t dt d (cos t ) d (cos t ) 1 (1 − cos t ) + (1 + cos t ) 1 1 + cos t = −∫ sin 2 t ∫ 1 − cos 2 t ∫ (1 − cos t )(1 + cos t ) 2 ∫ (1 − cos t )(1 + cos t ) = = = d (cos t ) = ln + C. 2 1 − cos t x2 − 1 1+ 1 1 x2 − 1 1 x Từ phép đặt x =  → cos 2 t = 1 − sin 2 t = 1 − 2 ⇔ cos t =  → I1 = ln + C. sin t x x 2 x2 − 1 1− x   2  −2cos t dt  −2 cos t dt dx = d  sin t  = sin 2 t  dx = 2     sin 2 t b) Đặt x = → ← → sin t  x2 − 4 = 4 − 4  x 2 − 4 = 2cot t ⇒ x 2 x 2 − 4 = 8cot t  sin 2 t  sin 2 t dx −2cos t dt 1 1 Khi đó, I 2 = ∫ x x −4 2 2 = 8cot ∫t 4 ∫ = − sin t dt = cos t + C. 4 sin 2 t. 2 sin t 2 4 x2 − 4 x2 − 4 Từ x =  → cos 2t = 1 − sin 2 t = 1 − 2 ⇔ cos t = → I2 = + C. sin t x x 4x dx d ( x − 1) t = x −1 dt dt c) I 3 = ∫ = ∫  → I3 = ∫ = ∫ x − 2x − 2 ( x − 1) − 3 t −3 ( ) 2 2 2 2 t2 − 3   3  − 3 cos u du  dt = d   =  − 3 cos u du 3   sin u  sin 2 u  dt = Đặt t =  → ← → sin 2 u sin u  2 3  2  t −3 = 2 −3  t − 3 = 3 cot u  sin u dt − 3 cos u du sin u du d (cos u ) d (cos u ) → I3 = ∫  =∫ = −∫ =∫ =∫ t −3 2 2 sin u. 3 cot u 2 sin u 1 − cos u 2 (1 − cos u )(1 + cos u ) 1 (1 − cos u ) + (1 + cos u ) 1 1 + cos u 2∫ = d (cos u ) = ln + C. (1 − cos u )(1 + cos u ) 2 1 − cos u t2 − 3 x2 − 2x − 2 1 + 1+ 3 3 t2 − 3 1 t 1 x −1 Từ t = ⇒ cos 2u = 1 − 2 ⇔ cos t =  → I 3 = ln + C = ln + C. sin u t t 2 t −3 2 2 x − 2x − 2 2 1− 1− t x −1 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
  4. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Chú ý: Tổng hợp các kết quả ta thu một số kết quả quan trọng sau: dx 1 x  ∫ 2 = arc tan   + C. x +a 2 a a dx 1 x+a  ∫ 2 = ln + C. x −a 2 2a x − a dx 1 x−a  ∫ 2 = ln + C. a −x 2 2a x + a dx  ∫ = ln x + x 2 ± a + C. x ±a 2 BÀI TẬP LUYỆN TẬP x 2 dx 1 − x2 x 2 dx 1) I1 = ∫ 2) I 2 = ∫ dx 3) I 3 = ∫ x2 + 4 x2 4 − x2 1 dx 4) I 4 = ∫ 3x − 2 x 2 dx 5) I 5 = ∫ 2 x 2 + 1 dx 6) I 6 = ∫ 2 x2 − 5 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2