Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Sử dụng phương pháp lập bảng để giúp học sinh tính nhanh nguyên hàm từng phần trong ôn thi tốt nghiệp THPT

Chia sẻ: Caphesuadathemhanh | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:36

Thêm vào BST

Báo xấu

37
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm là nhằm tìm hiểu những khó khăn mà học sinh gặp phải khi làm các bài toán sử dụng nguyên hàm từng phần. Hơn thế nữa, tôi muốn giới thiệu phương pháp để học sinh làm tốt phần này trong các đề thi. Cuối cùng nhưng cũng không kém phần quan trọng, thông qua thu thập và phân tích các dữ liệu cũng như áp dụng các phương pháp đó vào một số lớp học tại trường, tôi sẽ đưa ra một số gợi ý để giáo viên Toán có thể áp dụng hiệu quả các giải pháp đó.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Sử dụng phương pháp lập bảng để giúp học sinh tính nhanh nguyên hàm từng phần trong ôn thi tốt nghiệp THPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH  Sáng kiến kinh nghiệm: Sử dụng phương pháp lập bảng để giúp học sinh tính nhanh nguyên hàm từng phần trong ôn thi tốt nghiệp THPT Linh v ̃ ực: Toan hoc ́ ̣
Năm học: 2020 – 2021 3
MỤC LỤC Trang I. PHẦN MỞ ĐẦU 1 1. Lý do chọn đề tài…………….………………………………………………. 1 2. Mục tiêu nghiên cứu………………………………………………………… 1 3. Đối tượng nghiên cứu……………………………………………………….. 1 4. Phạm vi nghiên cứu…………………………………………………………. 1 5. Nhiệm vụ nghiên cứu……………………………………………………….. 2 6. Phương pháp nghiên cứu……………………………………………………. 2 7. Những đóng góp mới của đề tài……………………………………………. 2 8. Bố cục của đề tài……………………………………………………………. 2 II. PHẦN GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ…………………………………………... 3 1. Cơ sở khoa học……………………………………………………………… 3 1.1. Cơ sở lý luận………………………………………………………………. 3 1.2. Cơ sở thực tiễn……………………………………………………………. 4 1.1.2. 2. Phương pháp sử dụng bảng trong nguyên hàm từng 5 phần………………….. 2.1. Các bước làm bài…..……………………………………………………… 5 2.2. Hệ thống hóa các dạng bảng trong nguyên hàm từng phần và bài tập 6 …… 2.2.1. Dạng kết hợp giữa hàm số đa thức và hàm số mũ hoặc hàm số đa thức và hàm số lượng giác 6 ……………………………………………………………… 2.2.2. Dạng kết hợp giữa hàm số mũ và hàm số lượng 11 giác…………………… 2.2.3. Dạng kết hợp giữa hàm số đa thức và hàm số 14 lôgarit…………………… 3. Đánh giá tính hiệu quả của đề tài………………………………………….... 19 III. PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ…………………………………... 20 1. Tóm tắt quá trình nghiên cứu……………………………………………….. 20 2. Ý nghĩa của đề tài…………………………………………………………… 20 3. Những hạn chế của đề 20
tài…………………………………………………… 4. Những nội dung cần được tiếp tục nghiên 21 cứu……………………………… PHỤ LỤC……………………………………………………………………... 22 A. Bài kiểm tra …..…………………………………………………………… 22 B. Bài tập rèn luyện ……….. 24 …………………………………………………… C. Phiếu thăm dò ý kiến ………………………... 28 ……………………………… TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………………. 29 5
I. PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Theo định hướng về đổi mới phương pháp dạy học thì phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh và đặc biệt là đem lại niềm vui và hứng thú học tập cho các em. Bên cạnh đó việc ôn tập cho học sinh 12 đạt kết của tốt trong kì thi cuối cấp cũng là một vấn đề cực kì quan trọng được đặt ra cho các môn học trong đó có Toán học. Phải làm thế nào để học sinh vừa nắm được bản chất các dạng toán, vừa làm toán nhanh, phát hiện các sai sót kịp thời để phù hợp theo phương pháp thi trắc nghiệm như hiện nay cũng như làm thế nào để đưa lại sự hứng thú và niềm vui khi học Toán vẫn luôn là trăn trở của đại đa số các giáo viên. Bản thân tôi là một giáo viên dạy lớp 12 trong năm 2019 – 2020 khi cho học sinh làm quen với khác niệm nguyên hàm trong chương trình giải tích 12, tôi đã thấy được sự “e ngại” của các em khi tìm nguyên hàm theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần, đặc biệt đối với những bài toán sử dụng đến tính từng phần lần thứ hai trở lên. Bài toán này đang khá khó đối với học sinh mà đây lại là dạng toán không ít gặp trong các kì thi. Vì vậy để nâng cao chất lượng dạy học cũng như góp phần đem lại niềm hứng thú học tập cho các em học sinh về dạng toán này tôi đã chọn đề tài “Sử dụng phương pháp lập bảng để giúp học sinh tính nhanh nguyên hàm từng phần trong ôn thi tốt nghiệp THPT” cho sáng kiến kinh nghiệm của mình. 2. Mục tiêu nghiên cứu Đề tài nghiên cứu nhằm tìm hiểu những khó khăn mà học sinh gặp phải khi làm các bài toán sử dụng nguyên hàm từng phần. Hơn thế nữa, tôi muốn giới thiệu phương pháp để học sinh làm tốt phần này trong các đề thi. Cuối cùng nhưng cũng không kém phần quan trọng, thông qua thu thập và phân tích các dữ liệu cũng như áp dụng các phương pháp đó vào một số lớp học tại trường, tôi sẽ đưa ra một số gợi ý để giáo viên Toán có thể áp dụng hiệu quả các giải pháp đó. 3. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu chính của đề tài này là 2 lớp 12 tại trường tôi. 6
4. Phạm vi nghiên cứu Đề tài nghiên cứu về các phương pháp giúp học sinh làm tốt phần nguyên hàm từng phần trong đề thi THPT quốc gia. Các số liệu nghiên cứu được thu thập trong năm học 2019 – 2020. 5. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu những khó khăn mà học sinh gặp phải khi làm nguyên hàm từng phần. Giới thiệu phương pháp để học sinh làm nhanh nguyên hàm từng phần trong các đề thi. Áp dụng những phương pháp trên vào lớp 12 tại trường để tìm ra tính hiệu quả của sáng kiến. 6. Phương pháp nghiên cứu Đề tài sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau: Phương pháp nghiên cứu tài liệu. Phương pháp trưng cầu ý kiến bằng bảng hỏi. Biên soạn các bài tập và áp dụng chúng vào việc dạy học. Phương pháp quan sát, trao đổi với đồng nghiệp. Phương pháp xử lý dữ liệu: phương pháp xử lý dữ liệu định lượng và định tính. 7. Những đóng góp mới của đề tài Đề tài tìm ra những phương pháp để giúp đối tượng học sinh khá giỏi có thể làm nhanh bài toán sử dụng nguyên hàm từng phần; giúp đối tượng học sinh trung bình và yếu không còn “e ngại” khi gặp dạng toán này . Thông qua đề tài, các giáo viên Toán có thể giúp học sinh rút ngắn thời gian làm bài và cải thiện điểm số. Học sinh có thể sử dụng đề tài để tự học và phát triển kỹ năng tư duy làm toán. 8. Bố cục của đề tài Đề tài gồm 3 phần: Phần mở đầu, phần giải quyết vấn đề và phần kết luận kiến nghị. Phần mở đầu nêu lý do chọn đề tài, tính cấp thiết, mục tiêu, đối tượng, phạm vi, nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu cũng như dự báo những đóng góp mới của đề tài. Phần giải quyết vấn đề nêu cơ sở khoa học của vấn đề, trình bày khảo sát tình hình thực tế, đưa ra một số phương pháp gồm cả lý thuyết và bài tập 7
thực hành để học sinh có thể làm tốt các bài toán sử dụng nguyên hàm từng phần, nêu những nhận định về tính hiệu quả của đề tài thông qua đối chiếu các số liệu liên quan. Phần kết luận và kiến nghị nêu quy trình nghiên cứu, ý nghĩa của đề tài và những đề xuất. 8
II. PHẦN GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1. Cơ sở khoa học 1.1. Cơ sở lý luận 1.1.1. Định nghĩa nguyên hàm Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên K . Hàm số F ( x ) la ̀ nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên K nếu F ' ( x ) = f ( x ) với mọi x K . Định lí 1: Nếu F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số G ( x ) = F ( x ) + C cũng là một nguyên hàm của f ( x ) trên K . Định lí 2: Nếu F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên K thì mọi nguyên hàm của f ( x ) trên K đều có dạng F ( x ) + C , với C là một hằng số. Do đó: Nếu F ( x ) la m ̀ ột nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên K thì F ( x ) + C , C R là họ tất cả các nguyên hàm của f ( x ) trên K . Kí hiệu: f ( x)dx = F ( x ) + C . 1.1.2. Tính chất cua nguyên hàm ̉ ́ f '( x)dx = f ( x) + C Tinh chât 1: ́ ́ ́ � Tinh chât 2: kf ( x)dx = k � f ( x )dx ( k la hăng sô khác 0) ̀ ̀ ́ ́ � Tinh chât 3: ́ [ f ( x) g ( x)] dx = � f ( x) dx � g ( x)dx 1.1.3. Phương phap tinh nguyên hàm t ́ ́ ừng phần Nếu hai hàm số u = u ( x) và v = v( x) có đạo hàm liên tục trên K thì � u ( x)v '( x)dx = u ( x)v ( x ) − � u '( x)v( x)dx. Chú ý: Vì v '( x)dx = dv , u '( x)dx = du , nên đẳng thức trên còn được viết ở dạng � udv = uv − � vdu. Lưu ý: + Đối với phương pháp nguyên hàm từng phần thì cách chọn đặt u và dv là rất quan trọng. Khi tìm nguyên hàm theo phương pháp từng phần cần ưu tiên đặt u theo thứ tự “Nhất loga – Nhì đa thức – Tam lượng – Tứ mũ” ( Ưu tiên: Thứ nhất là hàm 9
số lôgarit; Thứ hai là hàm số đa thức; Thứ ba là hàm số lượng giác; Thứ tư là hàm số mũ) phần còn lại đặt là dv. + Khi sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần thì số lần thực hiện phụ thuộc vào bậc của hàm lôgarit và đa thức. Cụ thể: * Nếu trong biểu thức nguyên hàm có dạng ln f ( x ) , log a f ( x ) thì phải nguyên hàm n n từng phần n lần. * Nếu trong biểu thức nguyên hàm có chứa đa thức bậc n (không có hàm lôgarit) thì cũng phải nguyên hàm từng phần n lần. + Yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó. 1.1.4. Định nghĩa tich phân ́ ̣ ̣ [ a; b ] . Gia s Cho hàm số y = f ( x ) liên tuc trên đoan ̉ ử F ( x ) la môt nguyên hàm c ̀ ̣ ủa hàm số f ( x ) trên [ a; b ] . Hiêu sô ̣ ́ F ( b ) − F ( a ) được goi la tich phân t ̣ ̀ ́ ừ a đên ́ b (hay b tich ̣ trên [ a; b ] ) cuả ham ́ phân xać đinh ̀ số f ( x ) , kí hiêụ là f ( x)dx . Ta có a b f ( x)dx = F ( x) b a = F (b) − F (a ) a a b a Chu y ́ f ( x)dx = 0 ; � ́ ́: Ta quy ươc: f ( x)dx = − � ́ ( a > b) f ( x)dx nêu a a b 1.2. Cơ sở thực tiễn 1.2.1. Nội dung “đề cương” trong đề thi môn Toán Thực tế kiến thức phần Nguyên hàm – Tích phân luôn có trong nội dung ôn thi. Mà phương pháp từng phần là một phương pháp quan trọng thường được đề cấp tới. Mặt khác theo hình thức thi trắc nghiệm 50 câu chỉ có 90 phút làm bài nên làm cách nào để có đáp án chính xác và nhanh nhất là điều mà ta cần hướng tới. 1.2.2. Những khó khăn học sinh gặp phải khi làm phần nguyên hàm từng phần Qua thăm dò ý kiến của 82 học sinh bằng bằng phiếu hỏi (Phụ lục – trang 28), bảng thống kê như sau: 10
Đánh giá mức độ Trung Rất dễ Dễ Khó Rất khó bình Số lượng 0 5 40 30 7 Tỉ lệ 0% 6.1% 48.8% 36.6% 8.5% Cũng qua phiếu thăm dò thấy được để làm một bài toán sử dụng nguyên hàm từng phần ở mức độ thông hiểu học sinh đã làm trong khoảng thời gian như sau: Thời gian làm bài Không làm (x phút) 3 x 5 5 < x 10 10 < x 20 được trong 20 phút Số lượng 22 22 18 20 Tỉ lệ 26.8% 26.8% 22% 24.4% Một số khó khăn chủ yếu mà học sinh đã nêu trong phiếu thăm dò: + Khó khăn trong việc chọn đặt u và dv. + Việc làm theo nguyên hàm từng phần nhiều hơn một lần làm các em “rối” và muốn bỏ qua. + Đặt u, dv nhiều lần cũng làm mất rất nhiều thời gian. + Sự “quay vòng” dẫn đến khó hiểu ở dạng nguyên hàm từng phần của hàm mũ kết hợp với hàm lượng giác. Nhận xét: Từ thực tế trên ta thấy rằng khi giải quyết dạng toán này học sinh còn gặp nhiều khó khăn đồng thời còn mất nhiều thời gian làm ảnh hưởng đến kết quả trong kiểm tra và thi. Chính vì vậy việc hướng dẫn học sinh làm nguyên hàm từng phần theo phương pháp nào nhanh và hiệu quả là thực sự rất cần thiết. 2. Phương pháp làm nguyên hàm từng phần 2.1. Các bước làm bài Bước 1: Đọc kỹ đề bài và nhận dạng toán sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần. (Các dạng toán cụ thể sẽ được đề cập trong đề tài). Bước 2: Chọn loại bảng để sử dụng cho bài toán. Bước 3: Dựa vào bảng để tìm ra kết quả cho nguyên hàm. Bước 4: Tìm ra phương án đúng và kiểm tra lại để chắc chắn câu trả lời của mình. 11
Tuy nhiên, để làm dạng bài nguyên hàm từng phần hiệu quả nhất, học sinh cần ̉ ́ ́ ́ ́ ̉ phai năm cac tinh chât cua nguyên ham va công th ̀ ̀ ức tinh nguyên ham cua ham sô ́ ̀ ̉ ̀ ́ thương găp và luy ̀ ̣ ện tập thường xuyên dạng bài này để đạt được kết quả tốt nhất. 2.2. Hệ thống hóa các dạng sử dụng bảng trong nguyên hàm từng phần 2.2.1. Dạng kết hợp giữa hàm số đa thức và hàm số mũ hoặc hàm số đa thức và hàm số lượng giác Dạng: f ( x ) e ax +b dx ; hoặc f ( x ) sin(ax + b)dx ; hoặc f ( x ) co s(ax + b)dx trong đó f ( x ) là đa thức Phương pháp tự luận thông thường Đặt u = f ( x ) ; dv = eax +b dx hoặc dv = sin(ax + b)dx hoặc dv = co s(ax + b)dx . Cụ thể nếu sử dụng nguyên hàm từng phần u = f ( x) du = u1dx Đặt � � . Khi đó: I = � udv = uv − � vdu = uv − � v1u1dx dv = g ( x)dx v = v1 Và nếu I1 = v1u1dx tiếp tục sử dụng nguyên hàm từng phần ta có: I = uv1 − I1 = uv1 − u1v2 − � ( u2 v2 dx = uv1 − u1v2 + � u2v2 dx ) Hoàn toàn tương tự I = uv1 − u1v2 + u2 v3 − u3v4 + ... + ( −1) un −1vn + ( −1) ( vn .0 ) dx n −1 n I = uv1 − u1v2 + u2 v3 − u3v4 + ... + ( −1) n −1 un −1vn + C Phương pháp lập bảng (Tự luận rút gọn) Dựa trên công thức tính nguyên hàm ta suy ra cách lập bảng để tính nguyên hàm từng phần một cách đơn giản hơn mà những đối tượng học sinh năng lực Trung bình – yếu vẫn làm được: 12
Từ công thức tính nguyên hàm ta đễ thấy đối với những cặp theo mũi tên kẻ xiết thì đan xen dấu bắt đầu từ “+”  “” “+”…. và đối với dạng này khi đặt f ( x ) là hàm đa thức bằng u ta tính đạo hàm của đa thức tới khi nào bằng 0 thì dừng quá trình. Theo cách lấy như vậy cũng cho ta được kết quả: I = uv1 − u1v2 + u2 v3 − u3v4 + ... + ( −1) n −1 un −1vn + C Ví dụ 1: (BT4b – SGK giải tích 12 – trang 101). Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính: I = (x 2 ) + 2 x − 1 e x dx Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp tự luận thông thường u = x2 + 2x −1 � �du = ( 2 x + 2 ) dx Đặt � � x dv = e x dx v=e Do đó: I = ( x 2 + 2 x − 1) e x − e x ( 2 x + 2 ) dx = ( x 2 + 2 x − 1) e x − I1 (1) Áp dụng nguyên hàm từng phần cho I1 = e ( 2 x + 2 ) dx x �u1 = 2 x + 2 �du1 = 2dx Đặt � � �dv1 = e dx v1 = e x x � Khi đó: I1 = e ( 2 x + 2 ) − 2e dx = e ( 2 x + 2 ) − 2e + C1 = 2 xe + C1 (2) x x x x x Thay (2) vào (1) ta được: I = ( x 2 + 2 x − 1) e x − ( 2 xe x + C1 ) = ( x 2 − 1) e x + C . 13
Cách 2: Sử dụng bảng Dựa vào bảng ta có kết quả I = ( x + 2 x − 1) e − ( 2 x + 2 ) e + 2e + C = ( x − 1) e + C 2 x x x 2 x Nhận xét: Rõ ràng đối với phương pháp sử dụng bảng sẽ chiếm lợi thế hơn trong cách thi trắc nghiệm như hiện nay và các học sinh đặc biệt là những học sinh học lực Trung bình – yếu thấy dễ tiếp thu hơn nhiều. Ví dụ 2: Cho bài toán: “Gọi F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x 2e ax với �1 � a 0 sao cho F � �= F ( 0 ) + 1 . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. �a � A. 0 < a 1 . B. a < 0 . C. a 3 . D. 1 < a < 2 .” Hãy xét xem các hướng làm sau đúng hay sai? Chỉ ra chỗ sai (nếu có)? Hãy cho kết quả đúng? Hướng 1: I = x 2e ax dx du = 2 xdx u = x2 � � x 2 ax ex x 2 ax Đặt � � 1 ax Do đó: I = e − 2 x dx = e − I1 (1) dv = e ax dx v= e a a a a ex Áp dụng nguyên hàm từng phần cho I1 = 2 x dx a u1 = 2 x � �du1 = dx � � 2 x ax 1 2 x ax 1 ax � e ax . Khi đó: I1 = 2 e − 2 e dx = 2 e − 3 e + C1 (2) ax Đặt � ex dv �1 = dx v1 = � a a a a � a � a2 x 2 ax 2 x ax 1 ax Thay (2) vào (1) ta được: I = e − 2 e + 3 e +C . a a a �1 � e 2e e 1 Mặt khác: F � �= F ( 0 ) + 1 3 − 3 + 3 = 3 +1 a 3 = −1 a = −1 �a � a a a a 14
Do đó chọn B. Hướng 2: I = x 2e ax dx x 2 ax 2 x ax 4 ax Dựa vào bảng ta có I = e − 2 e + 3 e +C . a a a �1 � e 2e 4e 4 Mặt khác F � �= F ( 0 ) + 1 − + = +1 a 3 = 3e − 4 a = 3 3e − 4 �a � a3 a3 a3 a3 Do đó chọn D. Phân tích: Rõ ràng ta thấy rằng theo “Hướng 1” thì phát hiện được lỗi sai (khoanh đỏ) bằng việc lần theo từng bước của bài giải là khá khó khăn đồng thời tiếp tục chỉnh sửa sai sót và làm lại là mất nhiều thời gian. Trong khi đó nếu theo dõi bảng của “Hướng 2” thì ta dễ dàng tìm ra lỗi sai (khoanh đỏ) và hoàn toàn có thể sửa ngay trên bảng 15
x 2 ax 2 x ax 2 ax Từ đó có kết quả I = e − 2 e + 3 e +C . a a a �1 � e 2e 2e 2 Mặt khác F � �= F ( 0 ) + 1 − + = +1 a3 = e − 2 a = 3 e − 2 . �a � a3 a 3 a3 a3 Do đó chọn A. Nhận xét: Qua ví dụ trên cho ta thấy rằng cách sử dụng bảng dễ dàng phát hiện ra sai sót nhanh hơn và sửa lỗi cũng hiệu quả hơn nhiều. Điều đó cũng làm cho chúng ta thấy được một “lợi thế” không nhỏ của cách lập bảng để tính nguyên hàm từng phần trong khâu kiểm tra lại bài làm của mình – một bước cực kì quan trọng trong quá trình làm bài. Ví dụ 3: Tính nguyên hàm I = x5 cos xdx Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp tự luận thông thường �u = x5 �du = 5 x 4 dx Đặt � � . Do đó: I = x5 sin x − 5 x 4 sin xdx = x5 sin x − 5 I1 (1) �dv = cos xdx v � = sin x Áp dụng nguyên hàm từng phần cho I1 = x sin xdx 4 �u1 = x 4 �du1 = 4 x 3dx Đặt � � . �dv1 = sin xdx v1 = − cos x � I1 = − x 4 cos x + 4 x3 cos xdx = − x 4 cos x + 4 I 2 (2) Áp dụng nguyên hàm từng phần cho I 2 = x3 cos xdx �u2 = x 3 �du2 = 3x 2 dx Đặt � � �dv2 = cos xdx v2 = sin x � I 2 = x3 sin x − 3 x 2 sin xdx = x3 sin x − 3I 3 (3) Áp dụng nguyên hàm từng phần cho I 3 = x sin xdx 2 u3 = x 2 du3 = 2 xdx Đặt � � . dv3 = sin xdx v3 = − cos x I 3 = − x 2 cos x + 2 x cos xdx = − x 2 cos x + 2 I 4 (4) 16
Áp dụng nguyên hàm từng phần cho I 4 = x cos xdx �u4 = x �du4 = dx Đặt � � �dv4 = cos xdx �v4 = sin x I 4 = x sin x − sin xdx = x sin x + cos x + C4 (5) Từ (1), (2), (3), (4), (5) ta có: { I = x 5 sin x − 5 − x 4 cos x + 4 x 3 sin x − 12 � � } − x 2 cos x + 2 ( x sin x + cos x + C4 ) � � I = x 5 sin x + 5 x 4 cos x − 20 x3 sin x − 60 x 2 cos x + 120sin x + 120 cos x + C Cách 2: Sử dụng bảng Dựa vào bảng ta có kết quả I = x 5 sin x + 5 x 4 cos x − 20 x3 sin x − 60 x 2 cos x + 120sin x + 120 cos x + C Nhận xét: Đối chiếu hai phương pháp làm ở trên ta càng thấy rõ nếu chúng ta làm theo phương pháp tự luận thông thường với 5 lần sử dụng nguyên hàm từng phần thì quả thực là rất dài dòng, làm cho học sinh dễ rối gây ra chán nản và dẫn đến tình trạng các em “bỏ qua”, không kể đến việc thay các I i ,i =1;5 vào tính toán dễ sai đồng thời khó rà soát lại cũng như việc mất khá nhiều thời gian để đưa ra kết quả cuối cùng. Qua đây ta càng thấy rõ được lợi thế của cách dùng 17
bảng vừa ngắn gọn, dễ hiểu, dễ kiểm tra lại vừa tiết kiệm th ời gian đồng thời tạo hứng thú học cho học sinh. 2.2.2. Dạng kết hợp giữa hàm số mũ và hàm số lượng giác Dạng: eax sin ( bx ) dx hoặc eax cos ( bx ) dx trong đó a, b 0 Phương pháp tự luận thông thường: Đặt u = sin bx hoặc u = cos bx ; dv = eax dx . Sau đó sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần như trong dạng 1 đã nêu ở trên đến khi xuất hiện un vn dx giống với nguyên hàm ban đầu thì dừng lại. Lưu ý đối với dạng toán này có thể đặt u và dv theo thứ tự lượng giác – mũ hoặc ngược lại đều được nhưng phải thống nhất theo cùng thứ tự khi phải sử dụng nguyên hàm từng phần của tất cả các lần sử dụng, nếu không sẽ xảy ra trường hợp đi vòng I = I . Phương pháp lập bảng (Tự luận rút gọn): Ta cũng lập bảng hoàn toàn tương tự như trong dạng 1 nhưng đến khi xuất hiện tích của hàng ngang giống với nguyên hàm cần tính ban đầu (không kể dấu và hệ số) thì dừng lại và cách lấy kết quả dựa vào sơ đồ sau Khi đó I = uv1 − u1v2 + u2v3 − u3v4 + ... + ( −1) un −1vn + ( −1) n −1 n un vn dx (Trong đó un vn dx = k .I , với k 1 ) . Từ đó chuyển vế rút ra kết quả nguyên hàm I cần tìm. 18
Ví dụ 1: Tính nguyên hàm I = e x sin 3 xdx Giải: Sử dụng bảng Dựa vào bảng ta có: I = e x sin 3x − 3e x cos 3 x − 9 e x sin xdx I = e x sin 3x − 3e x cos 3 x − 9 I + C1 e x sin 3x − 3e x cos 3 x 10 I = e x sin 3 x − 3e x cos 3 x + C1 I= +C 10 Ví dụ 2: Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin 2 x.e 2 x và �π � a2 F � �− F ( 0 ) = aeπ + b với a, b Q. Khi đó 2 có giá trị là �2 � b A. 9 B. 27 C. 3 D. 36 Giải: Ta có: 1 − cos 2 x 2 x 1 2x 1 1 1 F ( x) = � f ( x ) dx = � sin 2 x.e 2 x dx = � .e dx = �e dx − �cos 2 x.e 2 x dx = e 2 x − I1 (1) 2 2 2 4 2 Tính I1 = cos 2 x.e 2 x dx bằng cách sử dụng bảng Dựa vào bảng ta có 19
1 1 I1 = cos 2 x.e 2 x + sin 2 x.e 2 x − cos 2 x.e 2 x dx 2 2 1 1 1 I1 = 2 cos 2 x.e 2 x + sin 2 x.e 2 x − I1 2 I1 = 4 ( ) cos 2 x.e 2 x + sin 2 x.e 2 x + C1 (2) Thay (2) vào (1) ta được 1 1 1 4 8 ( 8 ) F ( x ) = e 2 x − cos 2 x.e 2 x + sin 2 x.e 2 x + C = e 2 x ( 2 − cos 2 x − sin 2 x ) + C �π � 3 1 F � �− F ( 0 ) = eπ − . �2 � 8 8 3 1 a2 Kết hợp với giả thiết của bài toán ta có a = ; b = − � =9 Chọn đáp án A. 8 8 b2 π 2 Lưu ý: Giả thiết của bài toán cũng chính là sin 2 x.e2 x dx = aeπ + b với a, b Q. Nói 0 cách khác phương pháp nguyên hàm từng phần theo bảng cũng hoàn toàn sử dụng được trong tích phân từng phần. 2.2.3. Dạng kết hợp giữa hàm số đa thức là hàm số lôgarit Dạng: f ( x ) .ln ( ax + b ) dx hoặc f ( x ) .log a ( bx + c ) dx trong đó f ( x ) là đa thức Phương pháp tự luận thông thường: Đặt u = ln ( ax + b ) hoặc u = log a ( bx + c ) ; dv = f ( x ) dx . Sau đó sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần như trong dạng 1 đã nêu ở trên. Phương pháp lập bảng (Tự luận rút gọn): Ta cũng lập bảng hoàn toàn tương tự như trong dạng 1 nhưng cần lưu ý ở dạng nguyên hàm này khi ta đã ưu tiên đặt u = ln ( ax + b ) hoặc u = log a ( bx + c ) thì khi lấy đạo hàm của u sẽ không thể bằng 0 được, do vậy cần phải điều chỉnh cột lấy đạo hàm và cột lấy nguyên hàm theo nguyên tắc � u.vdx = � u1.v1dx với u.v = u1.v1 , trong đó ta cần chọn u1 là hàm lôgarit hoặc hàm đa thức (nếu không còn hàm lôgarit). Cách lấy kết quả dựa vào bảng sau 20
Trong đó u1.v1 = u1( 2 ) .v1( 2) ; u2 .v2 = u2( 2) .v2( 2 ) ; …; un −1.vn −1 = un −1( 2) .vn −1( 2) (tích các cặp số theo hàng ngang ở trong mỗi khung hình chữ nhật nhỏ luôn bằng nhau). Và ưu tiên đưa về các ui( 2) là hàm lôgarit hoặc hàm đa thức (nếu không còn hàm lôgarit) và tiếp tục làm cho tới khi đạo hàm về bằng 0 . Khi đó: I = uv1 − u1( 2) v2 + u2( 2) v3 − u3( 2) v4 + ... + ( −1) n −1 un −1( 2) vn + C . Ví dụ 1: Tính I = x ln xdx Giải: Đặt I = x ln xdx Sử dụng bảng 21