intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Luyện thi Đại học Toán chuyên đề: Phương pháp vi phân tìm nguyên hàm - Thầy Đặng Việt Hùng

Chia sẻ: Tran Binh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST
Báo xấu
174
lượt xem 26
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo môn Toán dành cho quý thầy cô và các bạn học sinh với chuyên đề: Phương pháp vi phân tìm nguyên hàm. Mời quý thầy cô và các bạn học sinh tham khảo nhằm củng cố kiến thức và ôn thi Đại học đạt kết quả cao nhất.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luyện thi Đại học Toán chuyên đề: Phương pháp vi phân tìm nguyên hàm - Thầy Đặng Việt Hùng

  1. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Tài li u bài gi ng: 02. PP VI PHÂN TÌM NGUYÊN HÀM Th y ng Vi t Hùng CÁC BI U TH C VI PHÂN QUAN TR NG 1. xdx = d ( x 2 ) = d ( x 2 ± a ) = − d ( a − x 2 ) 1 1 1 dx 6. = −d ( cot x ) = −d ( cot x ± a ) = d ( a − cot x ) 2 2 2 sin 2 x 2. x 2 dx = d ( x 3 ) = d ( x 3 ± a ) = − d ( a − x3 ) 1 3 1 3 1 3 7. dx 2 x =d ( x) = d( ) ( x ± a = −d a − x ) 3. sin x dx = −d (cos x) = −d (cos x ± a ) = d (a − cos x) 8. e x dx = d ( e x ) = d ( e x ± a ) = −d ( a − e x ) dx 4. cos x dx = d (sin x) = d (sin x ± a ) = −d (a − sin x) 9. = d ( ln x ) = d ( ln x ± a ) = −d ( a − ln x ) x dx 1 1 5. = d ( tan x ) = d ( tan x ± a ) = −d ( a − tan x ) 10. dx = d ( ax + b ) = − d ( b − ax ) cos 2 x a a Ví d 1. Tìm nguyên hàm c a các hàm s sau: x x 2 dx a) I1 = ∫ 1 + x2 dx b) I 2 = x(1 + x 2 )10 dx ∫ c) I 3 = ∫ x3 + 1 L i gi i:  x  1 ( ) ( ) 2 1  xdx = d   = d x = d x ± a 2 2   2  2 2 a) S d ng các công th c vi phân   du  u = d ( ln u )  1 d x 2 ( ) 1 d x +1 2 du ( ) Ta có I1 = x ∫ 1 + x2 dx = = 2 1 + x2 2 ∫ 1 + x2 ∫ ∫ u = ∫ d (ln u ) =ln u +C I = 1 ln x 2 + 1 + C. ←→ 1 2 ( )  x  1 ( ) ( ) 2 1  xdx = d   = d x = d x ± a 2 2   2  2 2 b) S d ng các công th c vi phân   n  u n +1  u du = d     n +1 (1 + x ) 11 2 ∫ ( ) ∫ (1 + x ) d ( x ) 10 1 10 Ta có I 2 = x 1 + x 2 dx = 2 2 +1 = + C. 2 22  2  x3  1  x dx = d   = d x ± a  3 ( ) c) S d ng các công th c vi phân   3 3  du 2 u = d u  ( ) 1 d ( x + 1) 2 d ( x + 1) 2 x3 + 1 3 3 x 2 dx Ta có I 3 = ∫ ∫ x 3 + 1 3 2 x3 + 1 = 3 + C. = = ∫ x3 + 1 3 Ví d 2. Tìm nguyên hàm c a các hàm s sau: dx a) I 4 = ∫ x 1 − x 2 dx b) I 5 = ∫ c) I 6 = ∫ 5 − 2 x dx 2x −1 H c offline: Ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  2. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 L i gi i:  x  1 ( ) ( ) 2 1  xdx = d   = d x = − d a − x 2 2   2  2 2 a) S d ng các công th c vi phân   n  u n +1  u du = d     n +1 1 1 (1 − x ) 2 3 Ta có I 4 = ∫ x 1 − x dx = ∫ (1 − x 2 ) 2 d ( x 2 ) = − ∫ (1 − x 2 ) 2 d (1 − x 2 ) = − 1 1 2 + C. 2 2 3  1 1 dx = a d ( ax + b ) = − a d ( b − ax )  b) S d ng các công th c vi phân   du = d u  2 u ( ) 1 d ( 2 x − 1) d ( 2 x − 1) 2 u = d ( u ) du dx Ta có I 5 = ∫ = ∫ =∫ ← I 5 = 2 x − 1 + C . → 2x −1 2 2x − 1 2 2x −1  1 1  dx = a d ( ax + b ) = − a d ( b − ax )  c) S d ng các công th c vi phân   n +1  u n du = d  u     n +1 3 1 2 (5 − 2x )2 (5 − 2x) 3 1 1 1 ⇒ I 6 = ∫ 5 − 2 x dx = ∫ 5 − 2 x d ( 2 x ) = − ∫ ( 5 − 2 x ) 2 d ( 5 − 2 x ) = − . +C = − + C. 2 2 2 3 3 Ví d 3. Tìm nguyên hàm c a các hàm s sau: 2 x3 dx ln 3 x a) I 7 = ∫x −5 5 4 dx b) I 8 = ∫ (3 − 2 x)5 c) I 9 = ∫ x dx L i gi i:  3 x  1 ( ) ( ) 4 1  x dx = d   = d x ± a = − d a − x 4 4   4  4 4 a) S d ng các công th c vi phân   du  u − n +1   un =d    −n + 1   x4  ( ) 4 d  ( ) 4 1 5 x4 − 5 5 5 5 x4 − 5 ∫( ) ( ) 3 2x  4  = 1 x4 − 5 − 5 d x4 − 5 = 1 . ⇒ I7 = ∫x −5 5 4 dx = 2 x −5 2 5 4 ∫ 2 4 +C = 8 + C. ( 3 − 2 x ) + C. 6 dx 1 b) Ta có I 8 = ∫ = − ∫ (3 − 2x ) d (3 − 2x) = − 5 (3 − 2 x) 5 2 12 ln 3 x ln 4 x = d ( ln x ) ta ư c I 9 = ∫ dx c) S d ng công th c vi phân dx = ∫ ln 3 x d ( ln x ) = + C. x x 4 Ví d 4. Tìm nguyên hàm c a các hàm s sau: 3 dx cos x a) I10 = ∫ ( 4 − 2x) 2010 b) I11 = x dx ∫ c) I12 = cos x sin x dx ∫ L i gi i: 3 (4 − 2x) −2009 3 dx 3 3 = − ∫ ( 4 − 2x ) d (4 − 2x) = − −2010 a) Ta có I10 = ∫ +C = + C. ( 4 − 2x ) 2 −2009 4018 ( 4 − 2 x ) 2010 2009 2 cos u du = d ( sin u )  ( ) b) S d ng các công th c vi phân  dx  =d x 2 x H c offline: Ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  3. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Ta có I11 = cos x x ∫ dx = 2 cos x 2 x ∫ dx = 2 cos x d x = 2sin x + C. ∫ ( ) cos u du = d ( sin u )  c) S d ng các công th c vi phân  sin x dx = −d ( cos x )  3 1 2 ( cos x ) 2 2 cos3 x Ta có I12 = ∫ cos x sin x dx = − ( cos x ) d ( cos x ) = − ∫ 2 =− + C. 3 3 Ví d 5. Tìm nguyên hàm c a các hàm s sau: sin x a) I13 = ∫ 3 sin x cos x dx cos5 x dx b) I14 = ∫ c) I15 = ∫ sin 4 x cos x dx L i gi i: sin u du = −d ( cos u )  a) S d ng các công th c vi phân  cos x dx = d ( sin x )  3   1 4 4 1 u 3 du = d  u 3  4   3 ( sinx ) 3 3 3 sin 4 x Ta có I 3 = ∫ 3 sin x cos x dx = ∫ ( sinx ) d ( sin x ) ← I13 = 3 →   +C = +C 4 4 ( cos x ) + C = 1 + C. −4 sin x d (cos x) b) Ta có I14 = ∫ dx = − ∫ =− 5 cos x 5 cos x −4 4 cos 4 x cos x dx = d ( sin x )  c) S d ng các công th c vi phân  n  u n +1   u du = d     n +1  u5  u 4 du = d    5  sin 5 x Khi ó ta ư c I15 = ∫ sin x cos x dx = ∫ sin x d ( sin x ) ← I15 = 4 → 4   + C. 5 Ví d 6. Tìm nguyên hàm c a các hàm s sau: sin x dx a) I16 = ∫ tanx dx b) I17 = ∫ sin 4 x cos 4 x dx c) I18 = ∫ 1 + 3cos x L i gi i: sin x dx = −d (cos x)  a) S d ng các công th c  du  ∫ u = ln u + C  sin xdx d ( cos x ) Ta có I16 = ∫ tan x dx = ∫ = −∫ = − ln cos x + C. cos x cos x 1 1 ∫ b) Ta có I17 = sin 4 x cos 4 x dx = sin 4 x cos 4 x d ( 4 x ) = ∫ ∫ sin 4 x d ( sin 4 x ) 4 4 3 1 2 ( sin 4 x ) 2 sin 3 4 x = . +C = + C. 4 3 6 sin x dx d ( cos x ) 1 d ( 3cos x + 1) 1 c) Ta có I18 = ∫ = −∫ =− ∫ = − ln 1 + 3cos x + C. 1 + 3cos x 1 + 3cos x 3 1 + 3cos x 3 Ví d 7. Tìm nguyên hàm c a các hàm s sau: 2cos x dx cos x dx a) I19 = ∫ b) I 20 = ∫ c) I 21 = ∫ tan x.ln ( cos x ) dx ( 2 − 5sin x ) 4sin x − 3 2 L i gi i: cos xdx = d (sin x)  a) S d ng công th c vi phân  du  1  u2 = d  − u     2cos x dx 2 d ( sin x ) 2 d ( 2 − 5sin x ) 2 ⇒ I19 = ∫ =∫ =− ∫ = + C. ( 2 − 5sin x ) 2 ( 2 − 5sin x ) 2 5 ( 2 − 5sin x ) 2 5 ( 2 − 5sin x ) H c offline: Ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  4. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 cos xdx = d (sin x)  ( ) b) S d ng công th c vi phân  du 2 u = d u  cos x dx d ( sin x ) 1 d ( 4sin x ) 1 d ( 4sin x − 3) 1 Ta ư c I 20 = ∫ =∫ = ∫ = ∫ = 4sin x − 3 + C. 4sin x − 3 4sin x − 3 4 4sin x − 3 2 2 4sin x − 3 2  sin xdx d ( cos x )  ∫  tan xdx = ∫ cos x =− ∫ cos x = − ln cos x + C c) S d ng các công th c nguyên hàm cơ b n  2  u du = u + C   ∫ 2 d ( cos x ) = − ∫ ln ( cos x ) d ( ln cos x ) = sin x Ta có I 21 = ∫ tan x.ln ( cos x ) dx = ∫ ln ( cos x ) dx = − ∫ ln ( cos x ) cos x cos x ln 2 (cos x) ln 2 (cos x) =− + C  I 21 = − → + C. 2 2 Ví d 8. Tìm nguyên hàm c a các hàm s sau: tan x tan 3 x tan 2 x + 1 a) I 22 = ∫ 2 cos x dx b) I 23 = ∫ 4 cos x dx c) I 24 = ∫ cos 2 2 x dx L i gi i:  dx  cos 2 x = d ( tan x )  a) S d ng các công th c  2  u du = u + C ∫  2 tan x dx tan 2 x tan 2 x Ta có I 22 = ∫ ∫ dx = tan x. = tan x d ( tan x ) = ∫ + C  I 22 = → + C. cos 2 x cos 2 x 2 2  dx  cos 2 x = d ( tan x )  b) S d ng các công th c   1 = 1 + tan 2 x  cos 2 x  Ta có I 23 = ∫ tan 3 x 4 cos x ∫ dx = tan 3 x. 2 . 1 cos x cos x dx 2 ∫ ( ) ∫( ) = tan 3 x. 1 + tan 2 x d (tan x) = tan 5 x + tan 3 x d (tan x) 6 4 tan x tan x tan 6 x tan 4 x = + + C  I 23 = → + + C. 6 4 6 4  dx 1 d (ax) 1  cos 2 ax = a cos 2 ax = a d ( tan(ax) )  c) S d ng các công th c  2  u du = u + C ∫  2 tan 2 x + 1 tan 2 x dx dx 1 tan 2 x d (2 x) 1 d (2 x) Ta có I 24 = ∫ 2 cos 2 x dx = ∫ 2 cos 2 x + ∫ 2 cos 2 x 2 = ∫ cos 2 2 x + ∫ 2 cos 2 2 x 1 1 tan 2 2 x tan 2 x tan 2 2 x tan 2 x = 2 ∫ tan 2 x d (tan 2 x) + 2 ∫d (tan 2 x) = 4 + 2 + C  I 24 = → 4 + 2 + C. Ví d 9. Tìm nguyên hàm c a các hàm s sau: cot x tan x cot x a) I 25 = ∫ 2 dx b) I 26 = ∫ dx c) I 27 = ∫ dx sin x 3 cos x  π cos  x +   2 L i gi i:  dx  sin 2 x = − d ( cot x )  a) S d ng các công th c  2  u du = u + C ∫  2 H c offline: Ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  5. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 cot x dx cot 2 x cot 2 x Ta có I 25 = ∫ dx = cot x. 2 = − cot x d ( cot x ) = − ∫ ∫ + C  I 25 = − → + C. sin 2 x sin x 2 2 sin x dx = −d ( cos x )  b) S d ng các công th c  du u − n +1 ∫ n = +C  u −n + 1 d ( cos x ) ( cos x ) + C = 1 + C  I = 1 + C. −3 tan x sin xdx Ta có I 26 = ∫ dx = ∫ = −∫ =− → 26 3 cos x 4 cos x 4 cos x −3 3cos3 x 3cos3 x  cos x dx = d ( sin x )    π c) S d ng các công th c cos  x +  = − sin x   2  du 1 ∫ 2 = − + C  u u cot x cos x cos x dx d (sin x) 1 1 Ta có I 27 = ∫ dx = ∫ dx = − ∫ = −∫ = + C  I 27 = → + C.  π sin x. ( − sin x ) 2 sin x 2 sin x sin x sin x cos  x +   2 Ví d 10. Tìm nguyên hàm c a các hàm s sau: 3e x e tan x + 2 dx a) I 28 = ∫ b) I 29 = ∫ c) I 30 = ∫ x.e1− x dx 2 dx x cos 2 x e 2 ln x + 3 d) I 31 = ∫ ecos x sin x dx e) I 32 = ∫ dx x L i gi i:  dx  a) S d ng các công th c  2 x =d x ( )  eu du = eu + C ∫ ( x ) = 6e x 3e dx Ta có I 28 = ∫ ∫ dx = 3.2 e ∫ = 6 e xd + C  I 28 = 6e → + C. x x x x 2 x  dx  cos 2 x = d ( tan x ) = d ( tan x ± k ) b) S d ng các công th c   eu du = eu + C ∫ tan x + 2 e dx dx Ta có I 29 = ∫ = ∫ e tan x + 2 = e tan x + 2 d ( tan x + 2 ) = e tan x + 2 + C  I 29 = e tan x + 2 + C. cos 2 x ∫ 2 → cos x   x dx = 2 d ( x ) = − 2 d (1 − x ) 1 2 1 2 c) S d ng các công th c   eu du = eu + C ∫ Ta có I 30 = ∫ x.e1− x dx = ∫ e1− x x dx = − ∫ e1− x d (1 − x 2 ) = − e1− x + C  I 30 = − e1− x + C . 1 1 1 → 2 2 2 2 2 2 2 2 sin x dx = −d ( cos x )  d) S d ng các công th c  u  ∫ e du = e + C u  Ta có I 31 = ∫ ecos x sin x dx = − ∫ ecos x d ( cos x ) = −ecos x + C  I 31 = −ecos x + C . →  dx  = d ( ln x ) = d ( ln x ± k ) e) S d ng các công th c  x  eu du = eu + C ∫ 2 ln x + 3 e dx 1 1 Ta có I 32 = ∫ dx = ∫ e 2 ln x + 3 = ∫ e 2 ln x + 3 d ( ln x ) = ∫ e 2 ln x + 3 d ( 2ln x + 3) = e 2 ln x + 3 + C. x x 2 2 H c offline: Ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  6. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 e2 ln x + 3 1 V y I 32 = ∫ dx = e 2 ln x + 3 + C. x 2 LUY N T P T NG H P 1. Vi phân nhóm hàm a th c, hàm căn • I1 = ∫ x3 (4 − 5 x 4 )dx = .................................................................................................................................... • I 2 = ∫ 2 x 2 3 1 + 3 x3 )dx = ................................................................................................................................. xdx • I3 = ∫ = ........................................................................................................................................... 4 3 − 2 x2 x5 • I4 = ∫ dx = .......................................................................................................................................... 1 − 5 x6 3x3 • I5 = ∫ dx = ...................................................................................................................................... 2 + 3x 4 xdx • I6 = ∫ = ......................................................................................................................................... ( 2 − 3x 2 ) 2 • I 7 = ∫ x cos(3 − 4 x 2 )dx = ................................................................................................................................ • I 8 = ∫ x 3 sin(1 + 5 x 4 )dx = ............................................................................................................................... 2 • I 9 = ∫ xe −4 x +5 dx = .......................................................................................................................................... 4 e x dx • I10 = ∫ 2 = ................................................................................................................................................ x e3 x dx • I11 = ∫ = .............................................................................................................................................. 2 x dx • I12 = ∫ = ........................................................................................................................................... x+3 x 2. Vi phân nhóm hàm lư ng giác • I1 = ∫ sin x.cos3 xdx = ................................................................................................................................... • I 2 = ∫ cos x.sin 5 xdx = ................................................................................................................................... • I 3 = ∫ sin x. 3cos x + 2dx = ......................................................................................................................... • I 4 = ∫ cos x. 4 5 − 2 sin xdx = .......................................................................................................................... sin xdx • I5 = ∫ = ...................................................................................................................................... 2 + 5cos x H c offline: Ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  7. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 sin xdx • I6 = ∫ = ...................................................................................................................................... 1 − 3cos x cos xdx • I7 = ∫ = ..................................................................................................................................... (1 − 2 sin x ) 2 sin 2 xdx • I8 = ∫ = ...................................................................................................................................... 7 − 2 cos 2 x sin 3 xdx • I9 = ∫ = ..................................................................................................................................... 1 + 2 cos 3 x tan xdx • I10 = ∫ = ........................................................................................................................................... 3cos 2 x tan xdx • I11 = ∫ = ............................................................................................................................................ cos 4 x • I12 = ∫ sin x.e3cos x − 2 dx = ................................................................................................................................. • I13 = ∫ cos 2 x.e 2 −5sin 2 x dx = ............................................................................................................................. e2cot x −1 • I14 = ∫ dx = ........................................................................................................................................ sin 2 x dx • I15 = ∫ = ........................................................................................................................... sin x 4 cot x − 3 2 3. Vi phân nhóm hàm mũ, loga ex • I1 = ∫ dx = ......................................................................................................................................... 2e x − 1 e3 x • I2 = ∫ dx = ..................................................................................................................................... 1 − 5e3 x e −2 x • I3 = ∫ dx = .................................................................................................................................. (1 − 3e−2 x ) 2 ln 3 x • I4 = ∫ dx = ........................................................................................................................................... x dx • I5 = ∫ = ..................................................................................................................................... x 1 − 5 ln x dx • I6 = ∫ = .................................................................................................................................. x ( 2 + 3ln x ) 2 ln xdx • I7 = ∫ = ................................................................................................................................... x 1 − 4 ln 2 x BÀI T P LUY N T P H c offline: Ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  8. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 x cos x 1) I1 = ∫ 1+ x 2 dx ∫ 2) I 2 = x(1 + x 2 )10 dx 3) I 3 = ∫ x dx sin x 4) I 4 = ∫ cos x sin xdx 5) I 5 = ∫ cos 3 x dx 6) I 6 = ∫ 3 sin x cos xdx x dx 7) I 7 = ∫ dx 4) I 8 = ∫ 3) I 9 = ∫ 5 − 2 xdx x2 + 5 2x −1 ln 3 x I10 = ∫ 11) I11 = ∫ x.e x +1dx 12) I12 = ∫ sin 4 x cos xdx 2 10) dx x sin x tan x 13) I13 = ∫ dx 14) I14 = ∫ cot x dx 15) I15 = ∫ dx cos5 x cos 2 x e tan x e x 16) I16 = ∫ dx 17) I17 = ∫ dx 18) I18 = ∫ x x 2 + 1 dx cos 2 x x dx x 2 dx 19) I19 = ∫ 20) I 20 = ∫ x 2 x3 + 5 dx 21) I 21 = ∫ (3 − 2 x)5 x3 + 1 22) I 22 = ∫ x 1 − x 2 dx 23) I 23 = ∫ cos x 1 + 4sin x dx 24) I 24 = ∫ x x 2 + 1 dx +2 sin x dx 25) I 25 = ∫ ecos x sin x dx 26) I 26 = ∫ x.e x 27) I 27 = ∫ 2 dx 1 + 3cos x e2 ln x +1 ∫ 28) I 28 = x.e1− x dx ∫ (e ) 2 29) I 29 = sinx + cos x cos x dx 30) I 30 = ∫ dx x H c offline: Ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2