Phương pháp tìm nguyên hàm, tích phân

Chia sẻ: Lý Hoàng Duy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

Thêm vào BST

Báo xấu

1.199
lượt xem 391
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo chuyên môn toán học - Phương pháp tìm nguyên hàm, tích phân . Để giúp các bạn tổng hợp kiến thức về phần tích phân,mình xin thống kê một số dạng toán và cách giải.Mong được sự ủng hộ của mọi người.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương pháp tìm nguyên hàm, tích phân

CHUYÊN ð TÍCH PHÂN B ng công th c tích phân b t ñ nh : ∫ 0dx = C ∫ dx = x + C x n +1 1 ∫ x dx = +C n ≠ −1 ∫ x dx = ln x + C n n +1 ax ∫ e dx = e + C ∫ a dx = x x x C ln a ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ cos xdx = sin x + C 1 1 ∫ cos 2 x dx = tan x + C 2 x ∫ sin dx = − cot x + C u′( x) 1 1 x−a ∫ u ( x) dx = ln u ( x) + C ∫ x 2 − a 2 dx = 2a ln x + a + C x 2 a ∫ x + a dx = 2 x + a + 2 ln x + x + a + C 2 2 Phương pháp bi n s ph : Cho hàm s f (x) liên t c trên ño n [a; b] có nguyên hàm là F (x) . Gi s u (x) là hàm s có ñ o hàm và liên t c trên ño n [α , β ] và có mi n giá tr là [a; b] thì ta có : ∫ f [u ( x)].u' ( x)dx = F ( x)[u ( x)] + C BÀI T P Tính các tích phân sau : 1 1 e xdx e x dx 1 + ln x dx a) I1 = ∫ b) I 2 = ∫ c) I 3 = ∫ 0 x2 + 1 0 ex − 1 1 x Bài làm : dt a) ð t t = x 2 + 1 ⇒ dt = 2 xdx ⇒ xdx = 2 x = 0 → t = 1 ð ic n:  x = 1 → t = 2 2 2 2 xdx 1 dt 1 1 V y : I1 = ∫ 2 = ∫ = ln t = ln 2 1 x +1 21 t 2 1 2 b) ð t t = e x − 1 ⇒ dt = e x dx Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n Trang 1
x = 1 → t = e − 1 ð ic n:  x = 2 → t = e − 1 2 e 2 −1 1 e2 −1 e x dx dt V y : I2 = ∫ x = ∫ = ln t = ln(e + 1) 0 e −1 e −1 t e−1 1 c) ð t t = 1 + ln x ⇒ tdt = dx x x = 1 → t = 1 ð ic n:  x = e → t = 2 3 2 1 + ln x dx e 2 2 2 I3 = ∫ = ∫ t dt = t 2 = (2 2 − 1) 1 x 1 3 1 3 Tích phân lư ng giác : β D ng 1 : I = ∫ sin mx.cos nxdx α Cách làm: bi n ñ i tích sang t ng . β D ng 2 : I = ∫ sin m x. cos n x.dx α Cách làm : N u m, n ch n . ð t t = tan x N u m ch n n l . ð t t = sin x (trư ng h p còn l i thì ngư c l i) β dx D ng 3 : I = ∫ α a. sin x + b. cos x + c Cách làm :  2t sin x = ð t : t = tan ⇒  1+ t2 x  cos x = 1 − t 2 2   1+ t2 β a. sin x + b. cos x D ng 4 : I = ∫ .dx α c. sin x + d . cos x Cách làm : a. sin x + b. cos x B (c. cos x − d . sin x) ð t: = A+ c. sin x + d . cos x c. sin x + d . cos x Sau ñó dùng ñ ng nh t th c . β a. sin x + b. cos x + m D ng 5: I = ∫ .dx α c. sin x + d . cos x + n Cách làm : Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n Trang 2
a. sin x + b. cos x + m B (c. cos x − d . sin x) C ð t: = A+ + c. sin x + d . cos x + n c. sin x + d . cos x + n c. sin x + d . cos x + n Sau ñó dùng ñ ng nh t th c. BÀI T P Tính tích phân : π π π 2 2 4 cos xdx a) I1 = ∫ b) I 2 = ∫ cos 5 xdx c) I 3 = ∫ tan 6 xdx 0 (sin x + 1) 4 0 0 Bài làm : a) ð t : t = sin x + 1 ⇒ dt = cos xdx x = 0 → t = 1 ð ic n:  π  x = 2 → t = 2  π 2 2 2 cos xdx dt 1 7 V y : I1 = ∫ =∫ 4 =− 3 = 0 (sin x + 1) 4 1 t 3t 1 24 b) ð t : t = sin x ⇒ dt = cos xdx x = 0 → t = 0 ð ic n:  π  x = 2 → t = 1  π 1 1 ( ) ( ) 2 2 I 2 = ∫ cos 5 xdx = ∫ 1 − t 2 dt = ∫ 1 + t 4 − 2t 2 dt V y: 0 0 0 1 1  t5 2  8 = ∫ − t3 + t = 5 3  0  0 15 c) ð t : t = tan x ⇒ dt = (tan 2 x + 1)dx x = 0 → t = 0 ð ic n:  π  x = 4 → t = 1  π 1 1 4 t 6 dt  1  I 3 = ∫ tan xdx = ∫ 2 6 = ∫ t 4 − t 2 +1− 2 dt 0 0 t +1 0 t + 1 V y: π 1  t5 t3  4 13 π =  − + t  − ∫ du = 5 3  −  0 0 15 4 Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n Trang 3
Tính các tích phân sau : π π 2 3 sin x. cos x cos x a) I1 = ∫ dx b) I 2 = ∫ dx 0 a 2 .sin 2 x + b 2 . cos 2 x 0 2 + cos 2 x Bài làm : a) ð t : t = a 2 .sin 2 x + b 2 . cos 2 x ⇒ dt = 2(−b 2 + a 2 ) sin x.cos xdx x = 0 → t = a 2 ð ic n:  π  x = → t = b 2  2 N u a≠b π 2 b2 sin x. cos x 1 dt I1 = ∫ V y: 0 a 2 . sin x + b 2 . cos x dx = 2 b − a2 2 ( )∫ a2 t b2 1 a−b 1 = 2 t = = b − a2 a2 b −a 2 2 a+b N u a=b π π 2 2 sin x. cos x sin x. cos xdx I1 = ∫ dx = ∫ 0 a 2 . sin 2 x + b 2 . cos 2 x 0 a V y: π π 2 2 1 1 1 = ∫ 2a 0 sin 2 xdx = − 4a cos 2 x = 2a 0 b) ð t : t = sin x ⇒ dt = cos xdx x = 0 → t = 0 ð ic n:  π  3 x = → t =  3 2 π 3 3 3 2 2 cos x dt 1 dt V y : I2 = ∫ dx = ∫ = ∫ 2 + cos 2 x 3 − 2t 2 2 3 2 0 0 0 −t 2 3 3 ð t: t= cos u ⇒ dt = − sin udu 2 2  π t = 0 → u = 2 ð ic n:   t = 3 → u = π   2 4 Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n Trang 4
3 π 3 2 2 sin udu 1 dt 1 2 I2 = ∫ = ∫ 2 0 3 2 2 −t 2 π 4 3 2 (1 − cos 2 u ) V y: π π 2 1 4 1 π = ∫ du = 2π 2 u = 4 2 π 4 4 Tính các tích phân sau : π π 2 1 2 sin x + 7 cos x + 6 a) I 1 = ∫ dx b) I 2 = ∫ dx 0 4 sin x + 3 cos x + 5 0 4 sin x + 3 cos x + 5 Bài làm :  x x  2dt a) ð t : t = tan ⇒ dt =  tan 2 + 1dx ⇒ dx = 2  2 2  t +1 x = 0 → t = 0 ð ic n:  π  x = 2 → t = 1  2 1 1 I1 = ∫ 1+ t2 dt = ∫ dt 1− t 0 (t + 1) 2 2 2t V y: 0 4 +3 +5 1+ t2 1+ t2 1 1 1 =− = t+2 0 6 sin x + 7 cos x + 6 4 cos x − 3 sin x C b)ð t : = A+ B + 4 sin x + 3 cos x + 5 4 sin x + 3 cos x + 5 4 sin x + 3 cos x + 5 Dùng ñ ng nh t th c ta ñư c: A = 1 , B = 1 , C = 1 π π sin x + 7 cos x + 6 2 2  4 cos x − 3 sin x 1  I2 = ∫ dx = ∫ 1 + + dx V y: 0 4 sin x + 3 cos x + 5 0 4 sin x + 3 cos x + 5 4 sin x + 3 cos x + 5  π π = (x + ln 4 sin x + 3 cos x + 5 ) 02 + I1 = + ln + 9 1 2 8 6 B n ñ c t làm : π π π 2 3 2 2 cos x dx a) I1 = ∫ dx b) I 2 = ∫ cos3 x. sin xdx c) I 3 = ∫ π sin 2x 0 0 sin x + 2 6 Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n Trang 5
π π π 2 4 sin 3 x 2 1 2 sin x − cos x + 1 c) I 3 = ∫ dx d) I 5 = ∫ dx d) I 6 = ∫ dx 0 cos x + 1 0 sin x + 2 cos x + 3 0 sin x + 2 cos x + 3 Tính nguyên hàm,tích phân các hàm h u t dx 1 1 D ng 1 : I = ∫ =− . + C v i (a, n ) ∈ C × (N − {0,1}) ta có : (x − a )n n − 1 ( x − a )n−1 dx N u n = 1 , a ∈ R ta có : I = ∫ = ln x + C x−a αx + β α , β , a, b, c ∈ R D ng 2 : I = ∫ 2 dx trong ñó :  ( ax + bx + c n ) ∆ = b − 4ac < 0 2 * Giai ño n 1 : α ≠ 0 ,làm xu t hi n t th c ñ o hàm c a tam th c ax 2 + bx + c , sai khác m t s : 2 aβ 2ax + b + −b α α α 2ax + b α  2 aβ  dx 2a ∫ (ax 2a ∫ (ax I= dx = dx +  − b ∫ 2 + bx + c ) n 2 + bx + c ) n 2a  α  (ax + bx + c ) 2 n * Giai ño n 2 : n dx  4a  − ∆ dt Tính I = ∫ n dx =  . ∫ +b 1 + t 2 (ax + bx + c 2  − ∆  2a 2 ax t= ) ( )n −∆ * Giai ño n 3 : 1 Tính I = ∫ dt có th tính b ng hai phương pháp , truy h i ho c ñ t t = tan φ (t 2 +1 ) n Pm ( x ) D ng 3 : I = ∫ dx Qn ( x ) Pm ( x ) am x m + ...... + a1 x + a0 Ta có : = Qn ( x ) bn x n + ...... + b1 x + b0 Pm ( x ) R (x ) N u : deg(P ) ≥ deg(Q ) thì ta th c hi n phép chia = A(m − n ) ( x ) + r trong ñó Qn ( x ) Qn ( x ) Rr ( x ) phân s có deg(R ) < deg(Q ) Qn ( x ) N u : deg(P ) < deg(Q ) ta có các qui t c sau : Pm ( x ) A1 An −1 An *Qt 1: + ...... += + (x − a ) (x − a ) n (x − a ) n −1 (x − a )n Pm ( x ) n Ai Vd 1a : n =∑ (x − ai )i ∏ (x − ai ) i=1 i i =1 Pm ( x ) A B C D Vd 1b : = + + + ( x − a )( x − b)( x − c) 2 x − a x − b x − c ( x − c )2 Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n Trang 6
Pm ( x ) A1 x + B1 An−1 x + Bn−1 An x + Bn *Qt 2': = + ...... + + v i ∆ 0 x +a 2 a a 2 1 1 1 dx dx 1  1 1  I1 = ∫ 4 x + 3x 2 + 3 ∫ = = ∫ 2 − 2 dx 0 0 (2 2 )( ) x +1 x + 3 2 0  x +1 x + 3  1 1 =  arctan x − 2 1 3 arctan x  π  = 9−2 3 30 2 ( ) Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n Trang 7
4x − 2 A Bx + C x 2 ( A + B ) + x(2 B + C ) + 2C + A b) ð t : = + 2 = (x + 2) x 2 + 1 x + 2 x + 1 ( ) (x + 2) x 2 + 1 ( ) A + B = 0  A = −2 Do ñó ta có h : 2 B + C = 4 ⇔  B = 2   2C + A = 0 C = 0   1 4x − 2 1  2 2x  V y : I2 = ∫ dx = ∫  − + 2 dx 0 ( ) x 2 + 1 (x + 2) 0 x + 2 x +1 [ ] 1 = − 2 ln x + 2 + ln x 2 + 1 = −2 ln 3 + ln 2 + ln 2 − ln 1 = ln 0 4 9 B n ñ c t làm : 3 5 x +1 dx a) I1 = ∫ dx b) I 2 = ∫ 2 x ( x − 1) 2 2 x + 2x − 3 2 2 2 x −13 x c) I 3 = ∫ dx d) I 3 = ∫x dx 1 4x3 − x 3 4 − 3x 2 + 2 HD: x +1 A B C 1 A B a) = + 2+ b) 2 = + x ( x − 1) x x 2 x −1 x + 2x − 3 x −1 x + 3 x −1 1  3 x−4  x A B C D c) 3 = 1 +  x(2 x + 1)(2 x − 1)  d) x 4 − 3 x 2 + 2 = x − 1 + x + 1 +  + 4x − x 4   x+ 2 x− 2 ð ng th c tích phân : Mu n ch ng minh ñ ng th c trong tích phân ta thư ng dùng cách ñ i bi n s và nh n xét m t s ñ c ñi m sau . * C n tích phân , ch n l , tu n hoàn , c n trên + c n dư i, …. Chúng ta c n ph i nh nh ng ñ ng th c n y và xem nó như 1 b ñ áp d ng. BÀI T P 1 1 Ch ng minh r ng : ∫ x m (1 − x )n dx = ∫ x n (1 − x )m dx 0 0 Bài làm : 1 Xét I = ∫ x m (1 − x )n dx 0 ð t : t = 1 − x ⇒ dt = −dx ⇒ dx = −dt Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n Trang 8
x = 0 → t = 1 ð ic n:  x = 1 → t = 0 1 0 1 V y : I = ∫ x (1 − x ) dx = − ∫ (1 − t ) t dt = ∫ (1 − t )m t n dt (ñpcm) m n m n 0 1 0 Ch ng minh r ng n u f (x) là hàm l và liên t c trên ño n [− a, a ] thì : a I= −a ∫ f (x )dx = 0 Bài làm : a 0 a I= ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx (1) −a −a 0 0 Xét −a ∫ f (x )dx . ð t t = − x ⇒ dt = −dx ⇒ dx = −dt  x = −a → t = a ð ic n:  x = 0 → t = 0 0 a a V y: ∫ f (x )dx = ∫ f (− t )dt = − ∫ f (t )dt −a 0 0 Th vào (1) ta ñư c : I = 0 (ñpcm) Tương t b n ñ c có th ch ng minh : N u f (x) là hàm ch n và liên t c trên ño n a a [− a, a] thì I= ∫ f ( x )dx = 2 ∫ f ( x )dx −a 0 Cho a > 0 và f (x ) là hàm ch n , liên t c và xác ñ nh trên R . f (x ) α α Ch ng minh r ng : − ∫α a x + 1 dx = ∫ f (x )dx 0 Bài làm : f (x ) f (x ) f (x ) α 0 α ∫α a dx = ∫ x dx + ∫ x dx (1) − x +1 −α a +1 0 a +1 f (x ) 0 Xét − ∫α a x +1 dx . ð t t = − x ⇒ dt = − dx ⇒ dx = − dt  x = −α → t = α ð ic n:  x = 0 → t = 0 f (x ) f (− t ) a t f (t ) 0 α α V y: ∫ ax + 1 0 a + 1 0 a + 1 −α dx = ∫ − t dt = ∫ t Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n Trang 9
f (x ) a x f (x ) f (x ) α 0 α α Th vào (1) ta ñư c : ∫ x dx = ∫ x dx + ∫ x dx = ∫ f (x )dx (ñpcm) −α a +1 −α a +1 0 a +1 0 Cho hàm s f ( x ) liên t c trên [0,1] . Ch ng minh r ng : π π π ∫ x. f (sin x )dx = 0 2 ∫ f (sin x )dx 0 Bài làm : π Xét ∫ x. f (sin x )dx . ð t t = π − x ⇒ dt = −dx ⇒ dx = −dt 0 x = 0 → t = π ð ic n:  x = π → t = 0 π π π V y : ∫ x. f (sin x )dx = ∫ (π − t ). f [sin (π − t )]dt = ∫ (π − t ). f (sin t )dt 0 0 0 π π = π ∫ f (sin t )dt − ∫ t. f (sin t )dt 0 0 π π ⇒ 2 ∫ x. f (sin x )dx = π ∫ f (sin x )dx 0 0 π π π ⇒ ∫ x. f (sin x )dx = 2 ∫ f (sin x )dx 0 0 T bài toán trên , b n ñ c có th m r ng bài toán sau . N u hàm s f (x ) liên t c trên [a, b] và f (a + b − x ) = f (x ) . Thì ta luôn có : π a+b b ∫ x. f (x )dx = a 2 ∫0 f ( x )dx Cho hàm s f ( x ) liên t c,xác ñ nh , tu n hoàn trên R và có chu kì T . a +T T Ch ng minh r ng : ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx a 0 Bài làm : a +T T a +T 0 T a +T ∫ f ( x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx + ∫ f (x )dx a a T a 0 T a a +T V y ta c n ch ng minh ∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx 0 T a Xét ∫ f (x )dx . ð 0 t t = x + T ⇒ dt = dx Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n Trang 10
x = 0 → t = T ð ic n:  x = a → t = a + T a +T a +T V y: ∫ f (t − T )dt = ∫ f (t )dt T T a +T T Hay : ∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx a 0 (ñpcm) T bài toán trên , ta có h qu sau : N u hàm s f (x ) liên t c,xác ñ nh , tu n hoàn trên R và có chu kì T , thì ta luôn T T 2 có : ∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx 0 T − 2 B n ñ c t làm : ( ) 1 1 a) I1 = ∫ x(1 − x ) dx 6 b) I 2 = ∫ sin 2 x. cos x ln x + x 2 + 1 dx 0 −1 π π x. sin x x. sin x c) I 3 = ∫ dx d) I 4 = ∫ dx 0 9 + 4 cos 2 x 0 1 + cos 2 x π 2 x 2 sin x 1 x 2 + sin x e) I 5 = ∫π 1+ 2x dx f) I 6 = ∫ −1 1+ x2 dx − 2 ( ) 2π 2009π g) I 7 = ∫ ln sin x + 1 + sin x dx ∗ 2 ∗ h) I 8 = ∫ 1 − cos 2 x dx 0 0 Tích phân t ng ph n : Cho hai hàm s u và v có ñ o hàm liên t c trên ño n [a, b] , thì ta có : b b ∫ udv = [uv] a − ∫ vdu b a a Trong lúc tính tính tích phân t ng ph n ta có nh ng ưu tiên sau : *ưu tiên1: N u có hàm ln hay logarit thì ph i ñ t u = ln x hay u = log a x . *ưu tiên 2 : ð t u = ?? mà có th h b c. BÀI T P Tính các tích phân sau : Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n Trang 11
π 1 2 e a) I1 = ∫ x.e x dx b) I 2 = ∫ x 2 . cos xdx c) I 3 = ∫ ln xdx 0 0 1 Bài làm : u = x ⇒ du = dx a) ð t :  dv = e dx ⇒ v = e x x 1 1 V y : I1 = ∫ x.e x dx = x.e x 0 − ∫ e x dx = e − e x 0 = e − (e − 1) = 1 1 1 0 0 u = x ⇒ du = 2 xdx 2 b) ð t :  dv = cos xdx ⇒ v = sin x π π π 1 π 2 2 2 V y : I1 = ∫ x.e x dx = − x. cos x 02 − 2 ∫ x. sin xdx = − 2 ∫ x. sin xdx (1) 0 0 4 0 π 2 Ta ñi tính tích phân ∫ x. sin xdx 0 u = x ⇒ du = dx ð t:  dv = sin xdx ⇒ v = − cos x π π 2 π 2 π π V y: ∫ x. sin xdx = − x. cos x 02 + ∫ cos xdx = − x. cos x 02 + sin 02 = 1 0 0 1 π2 −8 Th vào (1) ta ñư c : I1 = ∫ x.e x dx = 0 4  1 u = ln x ⇒ du = dx c) ð t :  x dv = dx ⇒ v = x  e e V y : I 3 = ∫ ln xdx = x. ln x 1 − ∫ dx = x. ln x 1 − x 0 = 1 e e e 1 1 Tính các tích phân sau : π π 4 eπ x a) I1 = ∫ e . sin xdx x b) I 2 = ∫ 2 dx c) I 3 = ∫ cos(ln x )dx 0 0 cos x 1 Bài làm : u = e x ⇒ du = e x dx a) ð t :  dv = sin xdx ⇒ v = − cos x π π π V y : I1 = ∫ e x . sin xdx = − e x . cos x 0 + ∫ e x . cos xdx = eπ + 1 + J (1) 0 0 Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n Trang 12
u = e x ⇒ du = e x dx ð t:  dv = cos xdx ⇒ v = sin x π π π V y : J = ∫ e x . cos xdx = e x . sin x 0 − ∫ e x . sin xdx = − I 0 0 eπ + 1 Th vào (1) ta ñư c : 2 I1 = eπ + 1 ⇒ I1 = 2 u = x ⇒ du = dx b) ð t :   1 dv = cos 2 x dx ⇒ v = tan x  π π 4 x π 4 π π π 2 V y : I2 = ∫ 2 dx = x. tan x 04 − ∫ tan xdx = + ln (cos x ) 04 = + ln 0 cos x 0 4 4 2  1 u = cos(ln x ) ⇒ du = − sin (ln x )dx c) ð t :  x dv = dx ⇒ v = x  eπ eπ V y : I 3 = ∫ cos(ln x )dx = x. cos(ln x ) 1 + ∫ sin (ln x )dx = −(eπ + 1) + J eπ 1 1  1 u = sin (ln x ) ⇒ du = cos(ln x )dx ð t:  x dv = dx ⇒ v = x  eπ eπ eπ V y : I 3 = ∫ sin (ln x )dx = x. sin (ln x ) 1 − ∫ cos(ln x )dx = 0 − I 3 1 1 eπ + 1 Th vào (1) ta ñư c : 2 I 3 = −(eπ + 1) ⇒ I 3 = − 2 B n ñ c t làm : ln 2 e a) I1 = ∫ x.e − x dx b) I 2 = ∫ (1 − ln x )2 dx 0 1 ( ) 2 1 c) I 3 = ∫  1 1   2 − dx d) I 4 = ∫ ln x + 1 + x 2 dx e  ln x ln x  0 π 3 e e) I 5 = ∫ sin x. ln(tan x )dx f) I 6 = ∫ cos 2 (ln x )dx π 1 4 π π 4 2 1 + sin x x g) I ∗ 7 = ∫ x 2 cos 2 x h) I ∗ 7 = ∫ e dx 0 0 1 + cos x Tích phân hàm tr tuy t ñ i, min , max : Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n Trang 13
b Mu n tính I = ∫ f (x ) dx ta ñi xét d u f (x ) trên ño n [a, b] , kh tr tuy t ñ i a b Mu n tính I = ∫ max[ f (x ), g (x )]dx ta ñi xét d u f (x ) − g (x ) trên ño n [a, b] a b Mu n tính I = ∫ min[ f (x ), g (x )]dx ta ñi xét d u f (x ) − g (x ) trên ño n [a, b] a Tính các tích phân sau : 4 2 a) I1 = ∫ x − 2 dx b) I1 = ∫ x 2 + 2 x − 3 dx 1 0 Bài làm : x 1 2 4 a) x-2 - 0 + 2 4 4 2 4  x2   x2  V y : I1 = ∫ x − 2 dx = ∫ (2 − x )dx + ∫ (x + 2 )dx = 2 x −  +  − 2 x  1 1 2  2 1  2 2   1  5 = (4 − 2 ) −  2 −  + [(8 − 8) − (2 − 4 )] =   2  2 b) L p b ng xét d u x 2 + 2 x − 3 , x ∈ [0,2] tương t ta ñư c 2 1 2 ( ) ( I1 = ∫ x 2 + 2 x − 3 dx = − ∫ x 2 + 2 x − 3 dx + ∫ x 2 + 2 x − 3 dx ) 0 0 1 . 1 2  x3   x3  I1 = 3 x − x 2 −  +  − 3 x + x 2 +  = 4  3 0  3 1 1 Tính I a = ∫ x x − a dx v i a là tham s : 0 Bài làm : x −∞ a +∞ x-a - 0 + (T b ng xét d u trên ta có th ñánh giá ). N u a ≤ 0. Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n Trang 14
1 1 1  x 3 ax 2  I a = ∫ x x − a dx = ∫ (x − ax dx =  − 2 ) 1 a  =3−2 0 0 3 2 0 N u 0 < a < 1. 1 a 1 I a = ∫ x x − a dx = − ∫ x − ax dx + ∫ x 2 − ax dx( 2 ) ( ) 0 0 a a 1  ax 2 x 3   ax 2 x 3  1 a 2 a3 = −  + − +  = − +  2 3 0  2 3 a 3 2 2 N u a ≥ 1. 1 1  x 3 ax 2  1 I a = ∫ x x − a dx = − ∫ x − ax dx = −  − ( 1 a  =−3+ 2 2 ) 0 0 3 2 0 2 3 Tính : a) I1 = ∫ min (1, x )dx 2 ( ) I 2 = ∫ max x 2 , x dx 0 0 Bài làm : a) Xét hi u s : (1 − x 2 ) ∀x ∈ [0,2] 2 1 2 2 ( V y : I1 = ∫ min 1, x dx = ∫ x dx + ∫ dx = 2 )x3 3 0 2 + x1 = 4 3 2 0 0 1 b) Xét hi u s : x(x − 1) ∀x ∈ [0,3] tương t như trên ta có . 3 1 3 1 3 ( ) I 2 = ∫ max x , x dx = ∫ xdx + ∫ x dx = 2 x2 + x3 = 2 0 3 1 6 55 2 0 0 1 B n ñ c t làm : π 3π 3 a) I1 = ∫ min (x, x 2 − 3)dx b) I 2 = ∫ max(sin x, cos x )dx c) I 3 = ∫ sin x − cos x dx 2 4 −2 0 0 3 5 d) I 4 = ∫ max (x 2 ,4 x − 3)dx d) I ∗ 4 = ∫  x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 dx   −2 1   Nguyên hàm , tích phân c a hàm s vô t : Trong ph n n y ta ch nghiên c u nh ng trư ng h p ñơn gi n c a tích phân Abel ( D ng 1: ∫ R x, ax 2 + bx + c dx ) ñây ta ñang xét d ng h u t . − ∆   2ax + b   2 a > 0  → ax + bx + c = 2 1 +    ∆ < 0 4a   − ∆     ∫ R(x, ax 2 + bx + c dx = ) ∫ S (t, 2 ax +b ) 1 + t 2 dt T i ñây , ñ t t = tan u . t= −∆ Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n Trang 15
− ∆   2ax + b   2 a < 0 D ng 2:  → ax + bx + c = 2 1 −    ∆ < 0 4a   − ∆     ∫ R (x, ax 2 + bx + c dx = ) ∫ S (t , 2 ax + b ) 1 − t 2 dt T i ñây , ñ t t = sin u . t= −∆ ∆  2ax + b   2 a > 0 D ng 3:  → ax + bx + c = 2   − 1 ∆ > 0 4a  − ∆     ∫ R (x, ) ∫ S (t , ) 1 ax 2 + bx + c dx = t 2 − 1 dt T i ñây, ñ t t = . 2 ax + b sin u t= ∆ dx dt D ng 4 (d ng ñ c bi t) : ∫ (αx + β ) ax + bx + c 2 = ∫1 αt + µt + ζ 2 t= αx + β M t s cách ñ t thư ng g p : ( ∫ S x, a − x dx 2 2 ) ñ t x = a. cos t 0≤t ≤π ∫ S (x, +x )x π π a2 d2 ñ t x = a. tan t − 0  ∫ S (x, ax 2 + bx + c dx ) ñ t  ax 2 + bx + c = t (x − x0 ) ; ax0 + bx0 + c = 0   ax 2 + bx + c = ± a .x ± t ; a>0   ax + b  ax + b ∫ S  x,  m  cx + d  ñ t t=m cx + d ; ad − cb ≠ 0   dx Tính : I = ∫ (x 2 + 4x + 7 )3 Bài làm : dx dt ∫ = ∫ (x 2 + 4x + 7 ) 3 t = x+ 2 (t 2 +3 ) 3 ð t : t = 3 tan u ⇒ dt = 3 (tan 2 u + 1)du ( 3 tan 2 u + 1 du ) 1 Ta có I = ∫ = ∫ cos udu 3 3. tan u + 1 3 tan u 3 tan u( 2 )3 3 1 1 t 1 x+2 = sin u + C = +C = +C 3 3 t2 +1 3 x2 + 4x + 7 Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n Trang 16
xdx dx Tính : a) I = ∫ b) I = ∫ x2 + x + 1 x x2 − 2x − 1 Bài làm : xdx xdx 1 3t − 1 a) ∫ =∫ = ∫ dt x + x +1 2  1 3 2 2 t= 2 x +1 t2 +1 x +  + 3  2 4 I= 1 2 ∫ 2 x +1 3t − 1 t2 +1 dt = 2 3 2 1 ( t + 1 − ln t + t 2 + 1 + C 2 ) t= 3 1  1  = x2 + x + 1 − + ln x + + x 2 + x + 1  + C 2  2  1 dt b)ð t : x = ⇒ dx = − 2 t t dx dt t +1 I =∫ =−∫ = − arcsin +C x x 2 − 2x −1 2 − (t + 1) 2 1 2 x= t 1 +1 x +1 = − arcsin x + C = − arcsin +C 2 2 Tìm các nguyên hàm sau dx dx a) I = ∫ b) I = ∫ 1+ x + 3 1+ x x +1+ x +1 Bài làm : a)ð t : t = 6 1 + x ⇒ t 6 = 1 + x ⇒ 6t 5 dt = dx dx t 5 dt  1  V y :I = ∫ = 6 ∫ 3 2 = 6 ∫ t 2 − t +1− dt  1+ x + 1+ x 3 t = 6 1+ x t +t t = 6 1+ x  t +1  = 2t 3 − 3t 2 + 6t − 6 ln t + 1 + C = 2 1 + x − 33 1 + x + 66 1 + x − 6 ln 6 1 + x + 1 + C 1+ x − x +1 1  −2  1 dx 1 x +1 b) I = ∫ =∫  x + 1dx − ∫ dx = ∫  dx x +1+ x +1 2 x 2   2 x  1 1 x +1 = x+ x − ∫ dx (1) 2 2 x x +1 x +1 1 2t Xét ∫ x dx ð t: t= x ⇒ x= t −1 2 ⇒ dx = − ( t 2 −1 ) 2 dt Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n Trang 17
x +1 t 2 dt V y: ∫ x dx = −2 ∫ (t − 1)2 = OK x +1 t= x Tìm các nguyên hàm sau : a) I = ∫ x 2 . x 2 + 9dx b) I = 16 ∫ x 2 . x 2 + 4dx Bài làm : t2 − 9 t2 + 9 a)ð t : x2 + 9 = x − t ⇒ x= ⇒ dx = dt 2t 2t 2  t2 + 9   − t2 − 9  I1 = ∫  (t2 − 9 2 ) 1 t 4 − 81 dt = − ∫ 2 ( )  2t 2 . 2t  .  4t 2 16 t5 dt    1  3 162 6561  1  t4 6561  V y: =− 16 ∫ t t − + 5 dt = −  − 162 ln t − 4  + C t  4 16  4t  =−  ( 1  x − x2 + 9 ) − 162 ln x − 4 x2 + 9 −  +C 6561 16   4 ( 4  4 x− x +9  2 ) t2 − 4 t2 + 4 b)ð t : x2 + 4 = x − t ⇒ x= ⇒ dx = dt 2t 2t 2 t2 + 4 − t2 − 4 t2 − 4 I = 16 ∫  ( )2 dt = − ∫ (t 4 − 16 ) 2  2t 2 . 2t  .  4t 2 t5 dt     36 256  t4 64  = −∫  t 3 − + 5 dt = −  − 36 ln t − 4  + C 4  t t   t  = − (  x − x2 + 4 ) 4 + 36 ln x − x 2 + 4 −  +C 64   4 ( 4  x− x +4  2 ) Tính các tích phân sau : 1 −8 dx a) I1 = ∫ x − x 2 dx b) I 2 = ∫ dx 1 −3 x 1− x 2 Bài làm : 1 1 1 I1 = ∫ x − x dx = ∫ 1 − (2 x − 1) dx 2 2 1 21 2 2 Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n Trang 18
1 ð t : 2 x − 1 = sin t ⇒ dx = cos tdt 2  1 x = 2 → t = 0 ð ic n:   x = 1 → t = π   2 π π π V y : I1 = ∫ cos tdt = ∫ (1 + cos 2t )dt = 1 + sin 2t  2 1 2 12 1 1 2   40 80 8 2 0 1  π   π =  − 0  − (0 + 0 ) = 8  2   16 b) ð t : t = 1 − x ⇒ − 2tdt = dx  x = −3 → t = 2 ð ic n:   x = −8 → t = 3 −8 3 3 dx tdt dt V y : I2 = ∫ dx = 2 ∫ = 2∫ −3 x 1 − x 2 1− t t 2 ( 2 1− t 2 ) 3 t −1  1  = − ln = − ln − ln 1 = ln 2 t +1 2  2  B n ñ c t làm : dx dx a) I1 = ∫ b) I 2 = ∫ 4 x − x 2 dx c) I 3 = ∫ x x2 + 1 (x 2 +4 ) 3 1 + x2 − 1 1 d) I 4 = ∫ 1 + x 2 dx d) I ∗5 = ∫ dx d) I ∗6 = dx 1 − x2 − 1 1 + x2 + 1 B t ñ ng th c tích phân : b N u f (x ) ≥ 0 ∀x ∈[a, b] ⇒ ∫ f (x )dx ≥ 0 a b b N u f (x ) ≥ g (x ) ∀x ∈[a, b] ⇒ ∫ f (x )dx ≥ ∫ g (x )dx a a b N u m ≤ f (x ) ≤ ∀x ∈[a, b] ⇒ m(b − a ) ≤ ∫ f (x )dx ≤ M (b − a ) a Trong các trư ng h p n y ta thư ng dùng kh o sát , Bunhiacopxki, AM-GM Và các bư c ch n sinx,cosx BÀI T P Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n Trang 19
Ch ng minh các b t ñ ng th c sau : c) ∫ ( 1 + x + 1 − x )dx ≤ 2 1 2 1 1 2 x 1 a) ∫ x(1 − x )dx ≤ b) ≤ ∫ dx ≤ 0 4 5 1 x +1 2 2 0 Bài làm: a)Áp d ng AM-GM ta có :  x + (1 − x )  2 1 x(1 − x ) ≤   2  = 4 ∀x ∈ [0,1]  1 1 1 1 V y : ∫ x(1 − x )dx ≤ ∫ dx = (ñpcm) 0 40 4 x b) Xét hàm s : f (x ) = ∀x ∈ [1,2] x +1 2 ð o hàm : 1 − x2 f ′( x ) = (x 2 +1 )2 x = 1 f ′( x ) = 0 ⇔   x = −1  1  f (1) = 2 Ta có :    f (2 ) = 2   5 2 x 1 ≤ 2 ≤ ∀x ∈ [1,2] 5 x +1 2 2 2 2 2 x 1 V y : ⇒ ∫ dx ≤ ∫ 2 dx ≤ ∫ dx 51 1 x +1 21 2 2 x 1 ⇒ ≤∫ 2 dx ≤ 5 1 x +1 2 Áp d ng Bunhicopxki ta có : 1 + x + 1 − x ≤ 12 + 12 1 + x + 1 − x = 2 ∀x ∈ [0,1] ∫( ) 1 V y: 1 + x + 1 − x dx ≤ 2(1 − 0 ) 0 ∫( ) 1 1 + x + 1 − x dx ≤ 2 (ñpcm) 0 e − x . sin x π 3 Ch ng minh r ng : ∫ x 2 + 1 dx < 12e 1 Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n Trang 20