intTypePromotion=3

Phương pháp tìm nguyên hàm, tích phân

Chia sẻ: Lý Hoàng Duy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

3
1.134
lượt xem
391
download

Phương pháp tìm nguyên hàm, tích phân

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo chuyên môn toán học - Phương pháp tìm nguyên hàm, tích phân . Để giúp các bạn tổng hợp kiến thức về phần tích phân,mình xin thống kê một số dạng toán và cách giải.Mong được sự ủng hộ của mọi người.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Phương pháp tìm nguyên hàm, tích phân

  1. CHUYÊN ð TÍCH PHÂN B ng công th c tích phân b t ñ nh : ∫ 0dx = C ∫ dx = x + C x n +1 1 ∫ x dx = +C n ≠ −1 ∫ x dx = ln x + C n n +1 ax ∫ e dx = e + C ∫ a dx = x x x C ln a ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ cos xdx = sin x + C 1 1 ∫ cos 2 x dx = tan x + C 2 x ∫ sin dx = − cot x + C u′( x) 1 1 x−a ∫ u ( x) dx = ln u ( x) + C ∫ x 2 − a 2 dx = 2a ln x + a + C x 2 a ∫ x + a dx = 2 x + a + 2 ln x + x + a + C 2 2 Phương pháp bi n s ph : Cho hàm s f (x) liên t c trên ño n [a; b] có nguyên hàm là F (x) . Gi s u (x) là hàm s có ñ o hàm và liên t c trên ño n [α , β ] và có mi n giá tr là [a; b] thì ta có : ∫ f [u ( x)].u' ( x)dx = F ( x)[u ( x)] + C BÀI T P Tính các tích phân sau : 1 1 e xdx e x dx 1 + ln x dx a) I1 = ∫ b) I 2 = ∫ c) I 3 = ∫ 0 x2 + 1 0 ex − 1 1 x Bài làm : dt a) ð t t = x 2 + 1 ⇒ dt = 2 xdx ⇒ xdx = 2 x = 0 → t = 1 ð ic n:  x = 1 → t = 2 2 2 2 xdx 1 dt 1 1 V y : I1 = ∫ 2 = ∫ = ln t = ln 2 1 x +1 21 t 2 1 2 b) ð t t = e x − 1 ⇒ dt = e x dx Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n Trang 1
  2. x = 1 → t = e − 1 ð ic n:  x = 2 → t = e − 1 2 e 2 −1 1 e2 −1 e x dx dt V y : I2 = ∫ x = ∫ = ln t = ln(e + 1) 0 e −1 e −1 t e−1 1 c) ð t t = 1 + ln x ⇒ tdt = dx x x = 1 → t = 1 ð ic n:  x = e → t = 2 3 2 1 + ln x dx e 2 2 2 I3 = ∫ = ∫ t dt = t 2 = (2 2 − 1) 1 x 1 3 1 3 Tích phân lư ng giác : β D ng 1 : I = ∫ sin mx.cos nxdx α Cách làm: bi n ñ i tích sang t ng . β D ng 2 : I = ∫ sin m x. cos n x.dx α Cách làm : N u m, n ch n . ð t t = tan x N u m ch n n l . ð t t = sin x (trư ng h p còn l i thì ngư c l i) β dx D ng 3 : I = ∫ α a. sin x + b. cos x + c Cách làm :  2t sin x = ð t : t = tan ⇒  1+ t2 x  cos x = 1 − t 2 2   1+ t2 β a. sin x + b. cos x D ng 4 : I = ∫ .dx α c. sin x + d . cos x Cách làm : a. sin x + b. cos x B (c. cos x − d . sin x) ð t: = A+ c. sin x + d . cos x c. sin x + d . cos x Sau ñó dùng ñ ng nh t th c . β a. sin x + b. cos x + m D ng 5: I = ∫ .dx α c. sin x + d . cos x + n Cách làm : Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n Trang 2
  3. a. sin x + b. cos x + m B (c. cos x − d . sin x) C ð t: = A+ + c. sin x + d . cos x + n c. sin x + d . cos x + n c. sin x + d . cos x + n Sau ñó dùng ñ ng nh t th c. BÀI T P Tính tích phân : π π π 2 2 4 cos xdx a) I1 = ∫ b) I 2 = ∫ cos 5 xdx c) I 3 = ∫ tan 6 xdx 0 (sin x + 1) 4 0 0 Bài làm : a) ð t : t = sin x + 1 ⇒ dt = cos xdx x = 0 → t = 1 ð ic n:  π  x = 2 → t = 2  π 2 2 2 cos xdx dt 1 7 V y : I1 = ∫ =∫ 4 =− 3 = 0 (sin x + 1) 4 1 t 3t 1 24 b) ð t : t = sin x ⇒ dt = cos xdx x = 0 → t = 0 ð ic n:  π  x = 2 → t = 1  π 1 1 ( ) ( ) 2 2 I 2 = ∫ cos 5 xdx = ∫ 1 − t 2 dt = ∫ 1 + t 4 − 2t 2 dt V y: 0 0 0 1 1  t5 2  8 = ∫ − t3 + t = 5 3  0  0 15 c) ð t : t = tan x ⇒ dt = (tan 2 x + 1)dx x = 0 → t = 0 ð ic n:  π  x = 4 → t = 1  π 1 1 4 t 6 dt  1  I 3 = ∫ tan xdx = ∫ 2 6 = ∫ t 4 − t 2 +1− 2 dt 0 0 t +1 0 t + 1 V y: π 1  t5 t3  4 13 π =  − + t  − ∫ du = 5 3  −  0 0 15 4 Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n Trang 3
  4. Tính các tích phân sau : π π 2 3 sin x. cos x cos x a) I1 = ∫ dx b) I 2 = ∫ dx 0 a 2 .sin 2 x + b 2 . cos 2 x 0 2 + cos 2 x Bài làm : a) ð t : t = a 2 .sin 2 x + b 2 . cos 2 x ⇒ dt = 2(−b 2 + a 2 ) sin x.cos xdx x = 0 → t = a 2 ð ic n:  π  x = → t = b 2  2 N u a≠b π 2 b2 sin x. cos x 1 dt I1 = ∫ V y: 0 a 2 . sin x + b 2 . cos x dx = 2 b − a2 2 ( )∫ a2 t b2 1 a−b 1 = 2 t = = b − a2 a2 b −a 2 2 a+b N u a=b π π 2 2 sin x. cos x sin x. cos xdx I1 = ∫ dx = ∫ 0 a 2 . sin 2 x + b 2 . cos 2 x 0 a V y: π π 2 2 1 1 1 = ∫ 2a 0 sin 2 xdx = − 4a cos 2 x = 2a 0 b) ð t : t = sin x ⇒ dt = cos xdx x = 0 → t = 0 ð ic n:  π  3 x = → t =  3 2 π 3 3 3 2 2 cos x dt 1 dt V y : I2 = ∫ dx = ∫ = ∫ 2 + cos 2 x 3 − 2t 2 2 3 2 0 0 0 −t 2 3 3 ð t: t= cos u ⇒ dt = − sin udu 2 2  π t = 0 → u = 2 ð ic n:   t = 3 → u = π   2 4 Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n Trang 4
  5. 3 π 3 2 2 sin udu 1 dt 1 2 I2 = ∫ = ∫ 2 0 3 2 2 −t 2 π 4 3 2 (1 − cos 2 u ) V y: π π 2 1 4 1 π = ∫ du = 2π 2 u = 4 2 π 4 4 Tính các tích phân sau : π π 2 1 2 sin x + 7 cos x + 6 a) I 1 = ∫ dx b) I 2 = ∫ dx 0 4 sin x + 3 cos x + 5 0 4 sin x + 3 cos x + 5 Bài làm :  x x  2dt a) ð t : t = tan ⇒ dt =  tan 2 + 1dx ⇒ dx = 2  2 2  t +1 x = 0 → t = 0 ð ic n:  π  x = 2 → t = 1  2 1 1 I1 = ∫ 1+ t2 dt = ∫ dt 1− t 0 (t + 1) 2 2 2t V y: 0 4 +3 +5 1+ t2 1+ t2 1 1 1 =− = t+2 0 6 sin x + 7 cos x + 6 4 cos x − 3 sin x C b)ð t : = A+ B + 4 sin x + 3 cos x + 5 4 sin x + 3 cos x + 5 4 sin x + 3 cos x + 5 Dùng ñ ng nh t th c ta ñư c: A = 1 , B = 1 , C = 1 π π sin x + 7 cos x + 6 2 2  4 cos x − 3 sin x 1  I2 = ∫ dx = ∫ 1 + + dx V y: 0 4 sin x + 3 cos x + 5 0 4 sin x + 3 cos x + 5 4 sin x + 3 cos x + 5  π π = (x + ln 4 sin x + 3 cos x + 5 ) 02 + I1 = + ln + 9 1 2 8 6 B n ñ c t làm : π π π 2 3 2 2 cos x dx a) I1 = ∫ dx b) I 2 = ∫ cos3 x. sin xdx c) I 3 = ∫ π sin 2x 0 0 sin x + 2 6 Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n Trang 5
  6. π π π 2 4 sin 3 x 2 1 2 sin x − cos x + 1 c) I 3 = ∫ dx d) I 5 = ∫ dx d) I 6 = ∫ dx 0 cos x + 1 0 sin x + 2 cos x + 3 0 sin x + 2 cos x + 3 Tính nguyên hàm,tích phân các hàm h u t dx 1 1 D ng 1 : I = ∫ =− . + C v i (a, n ) ∈ C × (N − {0,1}) ta có : (x − a )n n − 1 ( x − a )n−1 dx N u n = 1 , a ∈ R ta có : I = ∫ = ln x + C x−a αx + β α , β , a, b, c ∈ R D ng 2 : I = ∫ 2 dx trong ñó :  ( ax + bx + c n ) ∆ = b − 4ac < 0 2 * Giai ño n 1 : α ≠ 0 ,làm xu t hi n t th c ñ o hàm c a tam th c ax 2 + bx + c , sai khác m t s : 2 aβ 2ax + b + −b α α α 2ax + b α  2 aβ  dx 2a ∫ (ax 2a ∫ (ax I= dx = dx +  − b ∫ 2 + bx + c ) n 2 + bx + c ) n 2a  α  (ax + bx + c ) 2 n * Giai ño n 2 : n dx  4a  − ∆ dt Tính I = ∫ n dx =  . ∫ +b 1 + t 2 (ax + bx + c 2  − ∆  2a 2 ax t= ) ( )n −∆ * Giai ño n 3 : 1 Tính I = ∫ dt có th tính b ng hai phương pháp , truy h i ho c ñ t t = tan φ (t 2 +1 ) n Pm ( x ) D ng 3 : I = ∫ dx Qn ( x ) Pm ( x ) am x m + ...... + a1 x + a0 Ta có : = Qn ( x ) bn x n + ...... + b1 x + b0 Pm ( x ) R (x ) N u : deg(P ) ≥ deg(Q ) thì ta th c hi n phép chia = A(m − n ) ( x ) + r trong ñó Qn ( x ) Qn ( x ) Rr ( x ) phân s có deg(R ) < deg(Q ) Qn ( x ) N u : deg(P ) < deg(Q ) ta có các qui t c sau : Pm ( x ) A1 An −1 An *Qt 1: + ...... += + (x − a ) (x − a ) n (x − a ) n −1 (x − a )n Pm ( x ) n Ai Vd 1a : n =∑ (x − ai )i ∏ (x − ai ) i=1 i i =1 Pm ( x ) A B C D Vd 1b : = + + + ( x − a )( x − b)( x − c) 2 x − a x − b x − c ( x − c )2 Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n Trang 6
  7. Pm ( x ) A1 x + B1 An−1 x + Bn−1 An x + Bn *Qt 2': = + ...... + + v i ∆ 0 x +a 2 a a 2 1 1 1 dx dx 1  1 1  I1 = ∫ 4 x + 3x 2 + 3 ∫ = = ∫ 2 − 2 dx 0 0 (2 2 )( ) x +1 x + 3 2 0  x +1 x + 3  1 1 =  arctan x − 2 1 3 arctan x  π  = 9−2 3 30 2 ( ) Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n Trang 7
  8. 4x − 2 A Bx + C x 2 ( A + B ) + x(2 B + C ) + 2C + A b) ð t : = + 2 = (x + 2) x 2 + 1 x + 2 x + 1 ( ) (x + 2) x 2 + 1 ( ) A + B = 0  A = −2 Do ñó ta có h : 2 B + C = 4 ⇔  B = 2   2C + A = 0 C = 0   1 4x − 2 1  2 2x  V y : I2 = ∫ dx = ∫  − + 2 dx 0 ( ) x 2 + 1 (x + 2) 0 x + 2 x +1 [ ] 1 = − 2 ln x + 2 + ln x 2 + 1 = −2 ln 3 + ln 2 + ln 2 − ln 1 = ln 0 4 9 B n ñ c t làm : 3 5 x +1 dx a) I1 = ∫ dx b) I 2 = ∫ 2 x ( x − 1) 2 2 x + 2x − 3 2 2 2 x −13 x c) I 3 = ∫ dx d) I 3 = ∫x dx 1 4x3 − x 3 4 − 3x 2 + 2 HD: x +1 A B C 1 A B a) = + 2+ b) 2 = + x ( x − 1) x x 2 x −1 x + 2x − 3 x −1 x + 3 x −1 1  3 x−4  x A B C D c) 3 = 1 +  x(2 x + 1)(2 x − 1)  d) x 4 − 3 x 2 + 2 = x − 1 + x + 1 +  + 4x − x 4   x+ 2 x− 2 ð ng th c tích phân : Mu n ch ng minh ñ ng th c trong tích phân ta thư ng dùng cách ñ i bi n s và nh n xét m t s ñ c ñi m sau . * C n tích phân , ch n l , tu n hoàn , c n trên + c n dư i, …. Chúng ta c n ph i nh nh ng ñ ng th c n y và xem nó như 1 b ñ áp d ng. BÀI T P 1 1 Ch ng minh r ng : ∫ x m (1 − x )n dx = ∫ x n (1 − x )m dx 0 0 Bài làm : 1 Xét I = ∫ x m (1 − x )n dx 0 ð t : t = 1 − x ⇒ dt = −dx ⇒ dx = −dt Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n Trang 8
  9. x = 0 → t = 1 ð ic n:  x = 1 → t = 0 1 0 1 V y : I = ∫ x (1 − x ) dx = − ∫ (1 − t ) t dt = ∫ (1 − t )m t n dt (ñpcm) m n m n 0 1 0 Ch ng minh r ng n u f (x) là hàm l và liên t c trên ño n [− a, a ] thì : a I= −a ∫ f (x )dx = 0 Bài làm : a 0 a I= ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx (1) −a −a 0 0 Xét −a ∫ f (x )dx . ð t t = − x ⇒ dt = −dx ⇒ dx = −dt  x = −a → t = a ð ic n:  x = 0 → t = 0 0 a a V y: ∫ f (x )dx = ∫ f (− t )dt = − ∫ f (t )dt −a 0 0 Th vào (1) ta ñư c : I = 0 (ñpcm) Tương t b n ñ c có th ch ng minh : N u f (x) là hàm ch n và liên t c trên ño n a a [− a, a] thì I= ∫ f ( x )dx = 2 ∫ f ( x )dx −a 0 Cho a > 0 và f (x ) là hàm ch n , liên t c và xác ñ nh trên R . f (x ) α α Ch ng minh r ng : − ∫α a x + 1 dx = ∫ f (x )dx 0 Bài làm : f (x ) f (x ) f (x ) α 0 α ∫α a dx = ∫ x dx + ∫ x dx (1) − x +1 −α a +1 0 a +1 f (x ) 0 Xét − ∫α a x +1 dx . ð t t = − x ⇒ dt = − dx ⇒ dx = − dt  x = −α → t = α ð ic n:  x = 0 → t = 0 f (x ) f (− t ) a t f (t ) 0 α α V y: ∫ ax + 1 0 a + 1 0 a + 1 −α dx = ∫ − t dt = ∫ t Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n Trang 9
  10. f (x ) a x f (x ) f (x ) α 0 α α Th vào (1) ta ñư c : ∫ x dx = ∫ x dx + ∫ x dx = ∫ f (x )dx (ñpcm) −α a +1 −α a +1 0 a +1 0 Cho hàm s f ( x ) liên t c trên [0,1] . Ch ng minh r ng : π π π ∫ x. f (sin x )dx = 0 2 ∫ f (sin x )dx 0 Bài làm : π Xét ∫ x. f (sin x )dx . ð t t = π − x ⇒ dt = −dx ⇒ dx = −dt 0 x = 0 → t = π ð ic n:  x = π → t = 0 π π π V y : ∫ x. f (sin x )dx = ∫ (π − t ). f [sin (π − t )]dt = ∫ (π − t ). f (sin t )dt 0 0 0 π π = π ∫ f (sin t )dt − ∫ t. f (sin t )dt 0 0 π π ⇒ 2 ∫ x. f (sin x )dx = π ∫ f (sin x )dx 0 0 π π π ⇒ ∫ x. f (sin x )dx = 2 ∫ f (sin x )dx 0 0 T bài toán trên , b n ñ c có th m r ng bài toán sau . N u hàm s f (x ) liên t c trên [a, b] và f (a + b − x ) = f (x ) . Thì ta luôn có : π a+b b ∫ x. f (x )dx = a 2 ∫0 f ( x )dx Cho hàm s f ( x ) liên t c,xác ñ nh , tu n hoàn trên R và có chu kì T . a +T T Ch ng minh r ng : ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx a 0 Bài làm : a +T T a +T 0 T a +T ∫ f ( x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx + ∫ f (x )dx a a T a 0 T a a +T V y ta c n ch ng minh ∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx 0 T a Xét ∫ f (x )dx . ð 0 t t = x + T ⇒ dt = dx Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n Trang 10
  11. x = 0 → t = T ð ic n:  x = a → t = a + T a +T a +T V y: ∫ f (t − T )dt = ∫ f (t )dt T T a +T T Hay : ∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx a 0 (ñpcm) T bài toán trên , ta có h qu sau : N u hàm s f (x ) liên t c,xác ñ nh , tu n hoàn trên R và có chu kì T , thì ta luôn T T 2 có : ∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx 0 T − 2 B n ñ c t làm : ( ) 1 1 a) I1 = ∫ x(1 − x ) dx 6 b) I 2 = ∫ sin 2 x. cos x ln x + x 2 + 1 dx 0 −1 π π x. sin x x. sin x c) I 3 = ∫ dx d) I 4 = ∫ dx 0 9 + 4 cos 2 x 0 1 + cos 2 x π 2 x 2 sin x 1 x 2 + sin x e) I 5 = ∫π 1+ 2x dx f) I 6 = ∫ −1 1+ x2 dx − 2 ( ) 2π 2009π g) I 7 = ∫ ln sin x + 1 + sin x dx ∗ 2 ∗ h) I 8 = ∫ 1 − cos 2 x dx 0 0 Tích phân t ng ph n : Cho hai hàm s u và v có ñ o hàm liên t c trên ño n [a, b] , thì ta có : b b ∫ udv = [uv] a − ∫ vdu b a a Trong lúc tính tính tích phân t ng ph n ta có nh ng ưu tiên sau : *ưu tiên1: N u có hàm ln hay logarit thì ph i ñ t u = ln x hay u = log a x . *ưu tiên 2 : ð t u = ?? mà có th h b c. BÀI T P Tính các tích phân sau : Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n Trang 11
  12. π 1 2 e a) I1 = ∫ x.e x dx b) I 2 = ∫ x 2 . cos xdx c) I 3 = ∫ ln xdx 0 0 1 Bài làm : u = x ⇒ du = dx a) ð t :  dv = e dx ⇒ v = e x x 1 1 V y : I1 = ∫ x.e x dx = x.e x 0 − ∫ e x dx = e − e x 0 = e − (e − 1) = 1 1 1 0 0 u = x ⇒ du = 2 xdx 2 b) ð t :  dv = cos xdx ⇒ v = sin x π π π 1 π 2 2 2 V y : I1 = ∫ x.e x dx = − x. cos x 02 − 2 ∫ x. sin xdx = − 2 ∫ x. sin xdx (1) 0 0 4 0 π 2 Ta ñi tính tích phân ∫ x. sin xdx 0 u = x ⇒ du = dx ð t:  dv = sin xdx ⇒ v = − cos x π π 2 π 2 π π V y: ∫ x. sin xdx = − x. cos x 02 + ∫ cos xdx = − x. cos x 02 + sin 02 = 1 0 0 1 π2 −8 Th vào (1) ta ñư c : I1 = ∫ x.e x dx = 0 4  1 u = ln x ⇒ du = dx c) ð t :  x dv = dx ⇒ v = x  e e V y : I 3 = ∫ ln xdx = x. ln x 1 − ∫ dx = x. ln x 1 − x 0 = 1 e e e 1 1 Tính các tích phân sau : π π 4 eπ x a) I1 = ∫ e . sin xdx x b) I 2 = ∫ 2 dx c) I 3 = ∫ cos(ln x )dx 0 0 cos x 1 Bài làm : u = e x ⇒ du = e x dx a) ð t :  dv = sin xdx ⇒ v = − cos x π π π V y : I1 = ∫ e x . sin xdx = − e x . cos x 0 + ∫ e x . cos xdx = eπ + 1 + J (1) 0 0 Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n Trang 12
  13. u = e x ⇒ du = e x dx ð t:  dv = cos xdx ⇒ v = sin x π π π V y : J = ∫ e x . cos xdx = e x . sin x 0 − ∫ e x . sin xdx = − I 0 0 eπ + 1 Th vào (1) ta ñư c : 2 I1 = eπ + 1 ⇒ I1 = 2 u = x ⇒ du = dx b) ð t :   1 dv = cos 2 x dx ⇒ v = tan x  π π 4 x π 4 π π π 2 V y : I2 = ∫ 2 dx = x. tan x 04 − ∫ tan xdx = + ln (cos x ) 04 = + ln 0 cos x 0 4 4 2  1 u = cos(ln x ) ⇒ du = − sin (ln x )dx c) ð t :  x dv = dx ⇒ v = x  eπ eπ V y : I 3 = ∫ cos(ln x )dx = x. cos(ln x ) 1 + ∫ sin (ln x )dx = −(eπ + 1) + J eπ 1 1  1 u = sin (ln x ) ⇒ du = cos(ln x )dx ð t:  x dv = dx ⇒ v = x  eπ eπ eπ V y : I 3 = ∫ sin (ln x )dx = x. sin (ln x ) 1 − ∫ cos(ln x )dx = 0 − I 3 1 1 eπ + 1 Th vào (1) ta ñư c : 2 I 3 = −(eπ + 1) ⇒ I 3 = − 2 B n ñ c t làm : ln 2 e a) I1 = ∫ x.e − x dx b) I 2 = ∫ (1 − ln x )2 dx 0 1 ( ) 2 1 c) I 3 = ∫  1 1   2 − dx d) I 4 = ∫ ln x + 1 + x 2 dx e  ln x ln x  0 π 3 e e) I 5 = ∫ sin x. ln(tan x )dx f) I 6 = ∫ cos 2 (ln x )dx π 1 4 π π 4 2 1 + sin x x g) I ∗ 7 = ∫ x 2 cos 2 x h) I ∗ 7 = ∫ e dx 0 0 1 + cos x Tích phân hàm tr tuy t ñ i, min , max : Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n Trang 13
  14. b Mu n tính I = ∫ f (x ) dx ta ñi xét d u f (x ) trên ño n [a, b] , kh tr tuy t ñ i a b Mu n tính I = ∫ max[ f (x ), g (x )]dx ta ñi xét d u f (x ) − g (x ) trên ño n [a, b] a b Mu n tính I = ∫ min[ f (x ), g (x )]dx ta ñi xét d u f (x ) − g (x ) trên ño n [a, b] a Tính các tích phân sau : 4 2 a) I1 = ∫ x − 2 dx b) I1 = ∫ x 2 + 2 x − 3 dx 1 0 Bài làm : x 1 2 4 a) x-2 - 0 + 2 4 4 2 4  x2   x2  V y : I1 = ∫ x − 2 dx = ∫ (2 − x )dx + ∫ (x + 2 )dx = 2 x −  +  − 2 x  1 1 2  2 1  2 2   1  5 = (4 − 2 ) −  2 −  + [(8 − 8) − (2 − 4 )] =   2  2 b) L p b ng xét d u x 2 + 2 x − 3 , x ∈ [0,2] tương t ta ñư c 2 1 2 ( ) ( I1 = ∫ x 2 + 2 x − 3 dx = − ∫ x 2 + 2 x − 3 dx + ∫ x 2 + 2 x − 3 dx ) 0 0 1 . 1 2  x3   x3  I1 = 3 x − x 2 −  +  − 3 x + x 2 +  = 4  3 0  3 1 1 Tính I a = ∫ x x − a dx v i a là tham s : 0 Bài làm : x −∞ a +∞ x-a - 0 + (T b ng xét d u trên ta có th ñánh giá ). N u a ≤ 0. Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n Trang 14
  15. 1 1 1  x 3 ax 2  I a = ∫ x x − a dx = ∫ (x − ax dx =  − 2 ) 1 a  =3−2 0 0 3 2 0 N u 0 < a < 1. 1 a 1 I a = ∫ x x − a dx = − ∫ x − ax dx + ∫ x 2 − ax dx( 2 ) ( ) 0 0 a a 1  ax 2 x 3   ax 2 x 3  1 a 2 a3 = −  + − +  = − +  2 3 0  2 3 a 3 2 2 N u a ≥ 1. 1 1  x 3 ax 2  1 I a = ∫ x x − a dx = − ∫ x − ax dx = −  − ( 1 a  =−3+ 2 2 ) 0 0 3 2 0 2 3 Tính : a) I1 = ∫ min (1, x )dx 2 ( ) I 2 = ∫ max x 2 , x dx 0 0 Bài làm : a) Xét hi u s : (1 − x 2 ) ∀x ∈ [0,2] 2 1 2 2 ( V y : I1 = ∫ min 1, x dx = ∫ x dx + ∫ dx = 2 )x3 3 0 2 + x1 = 4 3 2 0 0 1 b) Xét hi u s : x(x − 1) ∀x ∈ [0,3] tương t như trên ta có . 3 1 3 1 3 ( ) I 2 = ∫ max x , x dx = ∫ xdx + ∫ x dx = 2 x2 + x3 = 2 0 3 1 6 55 2 0 0 1 B n ñ c t làm : π 3π 3 a) I1 = ∫ min (x, x 2 − 3)dx b) I 2 = ∫ max(sin x, cos x )dx c) I 3 = ∫ sin x − cos x dx 2 4 −2 0 0 3 5 d) I 4 = ∫ max (x 2 ,4 x − 3)dx d) I ∗ 4 = ∫  x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 dx   −2 1   Nguyên hàm , tích phân c a hàm s vô t : Trong ph n n y ta ch nghiên c u nh ng trư ng h p ñơn gi n c a tích phân Abel ( D ng 1: ∫ R x, ax 2 + bx + c dx ) ñây ta ñang xét d ng h u t . − ∆   2ax + b   2 a > 0  → ax + bx + c = 2 1 +    ∆ < 0 4a   − ∆     ∫ R(x, ax 2 + bx + c dx = ) ∫ S (t, 2 ax +b ) 1 + t 2 dt T i ñây , ñ t t = tan u . t= −∆ Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n Trang 15
  16. − ∆   2ax + b   2 a < 0 D ng 2:  → ax + bx + c = 2 1 −    ∆ < 0 4a   − ∆     ∫ R (x, ax 2 + bx + c dx = ) ∫ S (t , 2 ax + b ) 1 − t 2 dt T i ñây , ñ t t = sin u . t= −∆ ∆  2ax + b   2 a > 0 D ng 3:  → ax + bx + c = 2   − 1 ∆ > 0 4a  − ∆     ∫ R (x, ) ∫ S (t , ) 1 ax 2 + bx + c dx = t 2 − 1 dt T i ñây, ñ t t = . 2 ax + b sin u t= ∆ dx dt D ng 4 (d ng ñ c bi t) : ∫ (αx + β ) ax + bx + c 2 = ∫1 αt + µt + ζ 2 t= αx + β M t s cách ñ t thư ng g p : ( ∫ S x, a − x dx 2 2 ) ñ t x = a. cos t 0≤t ≤π ∫ S (x, +x )x π π a2 d2 ñ t x = a. tan t − 0  ∫ S (x, ax 2 + bx + c dx ) ñ t  ax 2 + bx + c = t (x − x0 ) ; ax0 + bx0 + c = 0   ax 2 + bx + c = ± a .x ± t ; a>0   ax + b  ax + b ∫ S  x,  m  cx + d  ñ t t=m cx + d ; ad − cb ≠ 0   dx Tính : I = ∫ (x 2 + 4x + 7 )3 Bài làm : dx dt ∫ = ∫ (x 2 + 4x + 7 ) 3 t = x+ 2 (t 2 +3 ) 3 ð t : t = 3 tan u ⇒ dt = 3 (tan 2 u + 1)du ( 3 tan 2 u + 1 du ) 1 Ta có I = ∫ = ∫ cos udu 3 3. tan u + 1 3 tan u 3 tan u( 2 )3 3 1 1 t 1 x+2 = sin u + C = +C = +C 3 3 t2 +1 3 x2 + 4x + 7 Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n Trang 16
  17. xdx dx Tính : a) I = ∫ b) I = ∫ x2 + x + 1 x x2 − 2x − 1 Bài làm : xdx xdx 1 3t − 1 a) ∫ =∫ = ∫ dt x + x +1 2  1 3 2 2 t= 2 x +1 t2 +1 x +  + 3  2 4 I= 1 2 ∫ 2 x +1 3t − 1 t2 +1 dt = 2 3 2 1 ( t + 1 − ln t + t 2 + 1 + C 2 ) t= 3 1  1  = x2 + x + 1 − + ln x + + x 2 + x + 1  + C 2  2  1 dt b)ð t : x = ⇒ dx = − 2 t t dx dt t +1 I =∫ =−∫ = − arcsin +C x x 2 − 2x −1 2 − (t + 1) 2 1 2 x= t 1 +1 x +1 = − arcsin x + C = − arcsin +C 2 2 Tìm các nguyên hàm sau dx dx a) I = ∫ b) I = ∫ 1+ x + 3 1+ x x +1+ x +1 Bài làm : a)ð t : t = 6 1 + x ⇒ t 6 = 1 + x ⇒ 6t 5 dt = dx dx t 5 dt  1  V y :I = ∫ = 6 ∫ 3 2 = 6 ∫ t 2 − t +1− dt  1+ x + 1+ x 3 t = 6 1+ x t +t t = 6 1+ x  t +1  = 2t 3 − 3t 2 + 6t − 6 ln t + 1 + C = 2 1 + x − 33 1 + x + 66 1 + x − 6 ln 6 1 + x + 1 + C 1+ x − x +1 1  −2  1 dx 1 x +1 b) I = ∫ =∫  x + 1dx − ∫ dx = ∫  dx x +1+ x +1 2 x 2   2 x  1 1 x +1 = x+ x − ∫ dx (1) 2 2 x x +1 x +1 1 2t Xét ∫ x dx ð t: t= x ⇒ x= t −1 2 ⇒ dx = − ( t 2 −1 ) 2 dt Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n Trang 17
  18. x +1 t 2 dt V y: ∫ x dx = −2 ∫ (t − 1)2 = OK x +1 t= x Tìm các nguyên hàm sau : a) I = ∫ x 2 . x 2 + 9dx b) I = 16 ∫ x 2 . x 2 + 4dx Bài làm : t2 − 9 t2 + 9 a)ð t : x2 + 9 = x − t ⇒ x= ⇒ dx = dt 2t 2t 2  t2 + 9   − t2 − 9  I1 = ∫  (t2 − 9 2 ) 1 t 4 − 81 dt = − ∫ 2 ( )  2t 2 . 2t  .  4t 2 16 t5 dt    1  3 162 6561  1  t4 6561  V y: =− 16 ∫ t t − + 5 dt = −  − 162 ln t − 4  + C t  4 16  4t  =−  ( 1  x − x2 + 9 ) − 162 ln x − 4 x2 + 9 −  +C 6561 16   4 ( 4  4 x− x +9  2 ) t2 − 4 t2 + 4 b)ð t : x2 + 4 = x − t ⇒ x= ⇒ dx = dt 2t 2t 2 t2 + 4 − t2 − 4 t2 − 4 I = 16 ∫  ( )2 dt = − ∫ (t 4 − 16 ) 2  2t 2 . 2t  .  4t 2 t5 dt     36 256  t4 64  = −∫  t 3 − + 5 dt = −  − 36 ln t − 4  + C 4  t t   t  = − (  x − x2 + 4 ) 4 + 36 ln x − x 2 + 4 −  +C 64   4 ( 4  x− x +4  2 ) Tính các tích phân sau : 1 −8 dx a) I1 = ∫ x − x 2 dx b) I 2 = ∫ dx 1 −3 x 1− x 2 Bài làm : 1 1 1 I1 = ∫ x − x dx = ∫ 1 − (2 x − 1) dx 2 2 1 21 2 2 Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n Trang 18
  19. 1 ð t : 2 x − 1 = sin t ⇒ dx = cos tdt 2  1 x = 2 → t = 0 ð ic n:   x = 1 → t = π   2 π π π V y : I1 = ∫ cos tdt = ∫ (1 + cos 2t )dt = 1 + sin 2t  2 1 2 12 1 1 2   40 80 8 2 0 1  π   π =  − 0  − (0 + 0 ) = 8  2   16 b) ð t : t = 1 − x ⇒ − 2tdt = dx  x = −3 → t = 2 ð ic n:   x = −8 → t = 3 −8 3 3 dx tdt dt V y : I2 = ∫ dx = 2 ∫ = 2∫ −3 x 1 − x 2 1− t t 2 ( 2 1− t 2 ) 3 t −1  1  = − ln = − ln − ln 1 = ln 2 t +1 2  2  B n ñ c t làm : dx dx a) I1 = ∫ b) I 2 = ∫ 4 x − x 2 dx c) I 3 = ∫ x x2 + 1 (x 2 +4 ) 3 1 + x2 − 1 1 d) I 4 = ∫ 1 + x 2 dx d) I ∗5 = ∫ dx d) I ∗6 = dx 1 − x2 − 1 1 + x2 + 1 B t ñ ng th c tích phân : b N u f (x ) ≥ 0 ∀x ∈[a, b] ⇒ ∫ f (x )dx ≥ 0 a b b N u f (x ) ≥ g (x ) ∀x ∈[a, b] ⇒ ∫ f (x )dx ≥ ∫ g (x )dx a a b N u m ≤ f (x ) ≤ ∀x ∈[a, b] ⇒ m(b − a ) ≤ ∫ f (x )dx ≤ M (b − a ) a Trong các trư ng h p n y ta thư ng dùng kh o sát , Bunhiacopxki, AM-GM Và các bư c ch n sinx,cosx BÀI T P Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n Trang 19
  20. Ch ng minh các b t ñ ng th c sau : c) ∫ ( 1 + x + 1 − x )dx ≤ 2 1 2 1 1 2 x 1 a) ∫ x(1 − x )dx ≤ b) ≤ ∫ dx ≤ 0 4 5 1 x +1 2 2 0 Bài làm: a)Áp d ng AM-GM ta có :  x + (1 − x )  2 1 x(1 − x ) ≤   2  = 4 ∀x ∈ [0,1]  1 1 1 1 V y : ∫ x(1 − x )dx ≤ ∫ dx = (ñpcm) 0 40 4 x b) Xét hàm s : f (x ) = ∀x ∈ [1,2] x +1 2 ð o hàm : 1 − x2 f ′( x ) = (x 2 +1 )2 x = 1 f ′( x ) = 0 ⇔   x = −1  1  f (1) = 2 Ta có :    f (2 ) = 2   5 2 x 1 ≤ 2 ≤ ∀x ∈ [1,2] 5 x +1 2 2 2 2 2 x 1 V y : ⇒ ∫ dx ≤ ∫ 2 dx ≤ ∫ dx 51 1 x +1 21 2 2 x 1 ⇒ ≤∫ 2 dx ≤ 5 1 x +1 2 Áp d ng Bunhicopxki ta có : 1 + x + 1 − x ≤ 12 + 12 1 + x + 1 − x = 2 ∀x ∈ [0,1] ∫( ) 1 V y: 1 + x + 1 − x dx ≤ 2(1 − 0 ) 0 ∫( ) 1 1 + x + 1 − x dx ≤ 2 (ñpcm) 0 e − x . sin x π 3 Ch ng minh r ng : ∫ x 2 + 1 dx < 12e 1 Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n Trang 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản