Các phương pháp tìm nguyên hàm tích phân

Chia sẻ: Cấn Duy Cát | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

Thêm vào BST

Báo xấu

183
lượt xem 59
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'các phương pháp tìm nguyên hàm tích phân', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Các phương pháp tìm nguyên hàm tích phân

CHUYÊN ð TÍCH PHÂN B ng công th c tích phân b t ñ nh : ∫ 0dx = C ∫ dx = x + C x n +1 1 ∫ x dx = ∫ x dx = ln x + C +C n ≠ −1 n n +1 ax ∫ e dx = e + C ∫ a dx = x x x C ln a ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ cos xdx = sin x + C 1 1 ∫ cos ∫ sin dx = tan x + C dx = − cot x + C 2 2 x x u′( x) x−a 1 1 ∫ u ( x) dx = ln u ( x) + C ∫ x 2 − a 2 dx = 2a ln x + a + C x2 a ∫ x + a dx = 2 x + a + 2 ln x + x + a + C 2 2 Phương pháp bi n s ph : Cho hàm s f ( x) liên t c trên ño n [a; b] có nguyên hàm là F ( x) . Gi s u ( x) là hàm s có ñ o hàm và liên t c trên ño n [α , β ] và có mi n giá tr là [a; b] thì ta có : ∫ f [u ( x)].u' ( x)dx = F ( x)[u ( x)] + C BÀI T P Tính các tích phân sau : 1 1 e 1 + ln x dx e x dx xdx a) I1 = ∫ b) I 2 = ∫ c) I 3 = ∫ x2 + 1 ex − 1 x 0 0 1 Bài làm : dt a) ð t t = x 2 + 1 ⇒ dt = 2 xdx ⇒ xdx = 2 x = 0 → t = 1 ð ic n:  x = 1 → t = 2 2 2 2 xdx 1 dt 1 1 V y : I1 = ∫ 2 = ∫ = ln t = ln 2 1 x +1 21 t 2 2 1 b) ð t t = e x − 1 ⇒ dt = e x dx Trang 1 Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n
x = 1 → t = e − 1 ð ic n:  x = 2 → t = e − 1 2 e 2 −1 e2 −1 1 e x dx dt V y : I2 = ∫ x = ∫ = ln t = ln(e + 1) e −1 t e −1 e−1 0 1 c) ð t t = 1 + ln x ⇒ tdt = dx x x = 1 → t = 1 ð ic n:  x = e → t = 2 32 1 + ln x dx e 2 2 2 I3 = ∫ = ∫ t dt = t 2 = (2 2 − 1) x 313 1 1 Tích phân lư ng giác : β D ng 1 : I = ∫ sin mx.cos nxdx α Cách làm: bi n ñ i tích sang t ng . β D ng 2 : I = ∫ sin m x. cos n x.dx α Cách làm : N u m, n ch n . ð t t = tan x N u m ch n n l . ð t t = sin x (trư ng h p còn l i thì ngư c l i) β dx D ng 3 : I = ∫ a. sin x + b. cos x + c α Cách làm :  2t sin x =  ð t : t = tan ⇒  1+ t2 x  cos x = 1 − t 2 2  1+ t2  β a. sin x + b. cos x D ng 4 : I = ∫ .dx c. sin x + d . cos x α Cách làm : a. sin x + b. cos x B (c. cos x − d . sin x) = A+ ð t: c. sin x + d . cos x c. sin x + d . cos x Sau ñó dùng ñ ng nh t th c . β a. sin x + b. cos x + m D ng 5: I = ∫ .dx c. sin x + d . cos x + n α Cách làm : Trang 2 Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n
a. sin x + b. cos x + m B (c. cos x − d . sin x) C = A+ + ð t: c. sin x + d . cos x + n c. sin x + d . cos x + n c. sin x + d . cos x + n Sau ñó dùng ñ ng nh t th c. BÀI T P Tính tích phân : π π π 2 2 4 cos xdx a) I 1 = ∫ b) I 2 = ∫ cos 5 xdx c) I 3 = ∫ tan 6 xdx (sin x + 1) 4 0 0 0 Bài làm : a) ð t : t = sin x + 1 ⇒ dt = cos xdx x = 0 → t = 1 ð ic n:  π  x = 2 → t = 2  π 2 2 2 cos xdx dt 1 7 V y : I1 = ∫ =∫ 4 =− 3 = 0 (sin x + 1) 4 24 1t 3t 1 b) ð t : t = sin x ⇒ dt = cos xdx x = 0 → t = 0 ð ic n:  π  x = 2 → t = 1  π 1 1 ( ) ( ) 2 2 I 2 = ∫ cos 5 xdx = ∫ 1 − t 2 dt = ∫ 1 + t 4 − 2t 2 dt V y: 0 0 0 1  t5 2  1 8 = ∫ − t3 + t = 5 3   0 15 0 c) ð t : t = tan x ⇒ dt = (tan 2 x + 1)dx x = 0 → t = 0 ð ic n:  π  x = 4 → t = 1  π 1 1 t 6 dt  1 4 I 3 = ∫ tan xdx = ∫ 2 = ∫ t 4 − t 2 +1− 2 6 dt 0 t +1 t + 1 0 0 V y: π 1 13 π  t5 t3  4 =  − + t  − ∫ du = − 5 3  15 4  0 0 Trang 3 Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n
Tính các tích phân sau : π π 3 2 sin x. cos x cos x a) I 1 = ∫ b) I 2 = ∫ dx dx 2 + cos 2 x a 2 .sin 2 x + b 2 . cos 2 x 0 0 Bài làm : a) ð t : t = a 2 .sin 2 x + b 2 . cos 2 x ⇒ dt = 2(−b 2 + a 2 ) sin x.cos xdx x = 0 → t = a 2 ð ic n:  π  x = → t = b 2  2 N u a≠b π b2 2 sin x. cos x 1 dt I1 = ∫ )∫ dx = ( 2 b − a2 2 a 2 . sin x + b 2 . cos x t V y: a2 0 b2 a−b 1 1 =2 = = t a+b b − a2 b −a 2 2 a2 N u a=b π π 2 2 sin x. cos x sin x. cos xdx I1 = ∫ dx = ∫ a 2 . sin 2 x + b 2 . cos 2 x a 0 0 V y: π π 2 2 1 1 1 ∫ = sin 2 xdx = − cos 2 x = 2a 0 4a 2a 0 b) ð t : t = sin x ⇒ dt = cos xdx x = 0 → t = 0 ð ic n:  π  3 x = → t =  3 2 π 3 3 3 2 2 cos x dt 1 dt V y : I2 = ∫ ∫ ∫ dx = = 2 + cos 2 x 3 − 2t 2 2 32 −t 0 0 0 2 3 3 ð t: t= cos u ⇒ dt = − sin udu 2 2 π  t = 0 → u = 2 ð ic n:   t = 3 → u = π   2 4 Trang 4 Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n
3 π 3 sin udu 2 2 1 dt 1 2 ∫ ∫ I2 = = ( ) 2 32 2 3 π −t 1 − cos 2 u 0 4 2 2 V y: π π 2 π 4 1 1 ∫ du = = = u 2π 2 42 π 4 4 Tính các tích phân sau : π π sin x + 7 cos x + 6 2 2 1 a) I 1 = ∫ b) I 2 = ∫ dx dx 4 sin x + 3 cos x + 5 4 sin x + 3 cos x + 5 0 0 Bài làm :  x x 2dt a) ð t : t = tan ⇒ dt =  tan 2 + 1dx ⇒ dx = 2 t +1  2 2 x = 0 → t = 0 ð ic n:  π  x = 2 → t = 1  2 1 1 1+ t2 dt I1 = ∫ dt = ∫ 0 (t + 1) 1− t 2 2 2t +3 +5 0 4 V y: 1+ t2 1+ t2 1 1 1 =− = t+2 0 6 sin x + 7 cos x + 6 4 cos x − 3 sin x C = A+ B + b)ð t : 4 sin x + 3 cos x + 5 4 sin x + 3 cos x + 5 4 sin x + 3 cos x + 5 Dùng ñ ng nh t th c ta ñư c: A = 1 , B = 1 , C = 1 π π sin x + 7 cos x + 6 4 cos x − 3 sin x   2 2 1 I2 = ∫ dx = ∫ 1 + + dx 4 sin x + 3 cos x + 5 4 sin x + 3 cos x + 5 4 sin x + 3 cos x + 5  0 V y: 0 π π = (x + ln 4 sin x + 3 cos x + 5 ) 02 + I1 = + ln + 91 2 86 B n ñ c t làm : π π π 3 2 2 2 cos x dx a) I1 = ∫ b) I 2 = ∫ cos3 x. sin xdx c) I 3 = ∫ dx 0 sin x + 2 sin 2x π 0 6 Trang 5 Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n
π π π sin x − cos x + 1 4 sin 3 x 2 2 2 1 c) I 3 = ∫ d) I 5 = ∫ dx d) I 6 = ∫ dx dx 0 cos x + 1 0 sin x + 2 cos x + 3 0 sin x + 2 cos x + 3 Tính nguyên hàm,tích phân các hàm h u t dx 1 1 + C v i (a, n ) ∈ C × (N − {0,1}) ta có : D ng 1 : I = ∫ =− . (x − a ) n − 1 ( x − a )n−1 n dx N u n = 1 , a ∈ R ta có : I = ∫ = ln x + C x−a α , β , a, b, c ∈ R αx + β D ng 2 : I = ∫ 2 dx trong ñó :  ( ) n ∆ = b − 4ac < 0 2 ax + bx + c * Giai ño n 1 : α ≠ 0 ,làm xu t hi n t th c ñ o hàm c a tam th c ax 2 + bx + c , sai khác m t s : 2 aβ 2ax + b + −b α α α  2 aβ 2ax + b  α dx 2a ∫ (ax 2a ∫ (ax − b ∫ I= dx = dx +  ) )  (ax + bx + c ) 2a  α n n n + bx + c + bx + c 2 2 2 * Giai ño n 2 : n  4a  − ∆ dx dt Tính I = ∫ ∫ +b 1 + t 2 n dx =  . ( ) ( )  − ∆  2a 2 ax n ax + bx + c 2 t= −∆ * Giai ño n 3 : 1 Tính I = ∫ dt có th tính b ng hai phương pháp , truy h i ho c ñ t t = tan φ (t ) n +1 2 Pm ( x ) D ng 3 : I = ∫ dx Qn ( x ) Pm ( x ) am x m + ...... + a1 x + a0 = Ta có : Qn ( x ) bn x n + ...... + b1 x + b0 Pm ( x ) R (x ) N u : deg(P ) ≥ deg(Q ) thì ta th c hi n phép chia = A(m − n ) ( x ) + r trong ñó Qn ( x ) Qn ( x ) Rr ( x ) có deg(R ) < deg(Q ) phân s Qn ( x ) N u : deg(P ) < deg(Q ) ta có các qui t c sau : Pm ( x ) A1 An −1 An = + ...... + + *Qt 1: (x − a ) (x − a ) (x − a ) (x − a )n n −1 n Pm ( x ) n Ai =∑ Vd 1a : n (x − ai )i ∏ (x − ai ) i=1 i i =1 Pm ( x ) A B C D = + + + Vd 1b : x − a x − b x − c ( x − c )2 ( x − a )( x − b)( x − c) 2 Trang 6 Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n
Pm ( x ) A1 x + B1 An−1 x + Bn−1 An x + Bn = + ...... + + v i ∆
Bx + C x 2 ( A + B ) + x(2 B + C ) + 2C + A 4x − 2 A = +2 = b) ð t : ( ) ( ) (x + 2) x 2 + 1 x + 2 x + 1 (x + 2) x 2 + 1 A + B = 0  A = −2 Do ñó ta có h : 2 B + C = 4 ⇔  B = 2   2C + A = 0 C = 0   1 4x − 2 1  2x  2 V y : I2 = ∫ dx = ∫  − + 2 dx ( ) x 2 + 1 (x + 2) x + 2 x +1 0 0 [ ] 4 1 = − 2 ln x + 2 + ln x 2 + 1 = −2 ln 3 + ln 2 + ln 2 − ln 1 = ln 9 0 B n ñ c t làm : 3 5 x +1 dx a) I 1 = ∫ b) I 2 = ∫ dx x ( x − 1) x + 2x − 3 2 2 2 2 2 2 x −13 x c) I 3 = ∫ ∫x d) I 3 = dx dx 4x3 − x − 3x 2 + 2 4 1 3 HD: x +1 1 A B AB C = + 2+ = + a) b) 2 x ( x − 1) x x x −1 x + 2x − 3 x −1 x + 3 2 x −1 1   x−4 3 x A B C D = 1 +  x(2 x + 1)(2 x − 1)  d) x 4 − 3 x 2 + 2 = x − 1 + x + 1 + + c) 3  4x − x 4  x+ 2 x− 2  ð ng th c tích phân : Mu n ch ng minh ñ ng th c trong tích phân ta thư ng dùng cách ñ i bi n s và nh n xét m t s ñ c ñi m sau . * C n tích phân , ch n l , tu n hoàn , c n trên + c n dư i, …. Chúng ta c n ph i nh nh ng ñ ng th c n y và xem nó như 1 b ñ áp d ng. BÀI T P 1 1 Ch ng minh r ng : ∫ x m (1 − x )n dx = ∫ x n (1 − x )m dx 0 0 Bài làm : 1 Xét I = ∫ x m (1 − x )n dx 0 ð t : t = 1 − x ⇒ dt = −dx ⇒ dx = −dt Trang 8 Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n
x = 0 → t = 1 ð ic n:  x = 1 → t = 0 1 0 1 V y : I = ∫ x (1 − x ) dx = − ∫ (1 − t ) t dt = ∫ (1 − t )m t n dt (ñpcm) n mn m 0 1 0 Ch ng minh r ng n u f ( x) là hàm l và liên t c trên ño n [− a, a ] thì : a ∫ f (x )dx = 0 I= −a Bài làm : 0 a a f ( x )dx + ∫ f ( x )dx (1) ∫ ∫ I= f ( x)dx = −a −a 0 0 ∫ f (x )dx . ð t t = − x ⇒ dt = −dx ⇒ dx = −dt Xét −a  x = −a → t = a ð ic n:  x = 0 → t = 0 0 a a ∫ f (x )dx = ∫ f (− t )dt = − ∫ f (t )dt V y: −a 0 0 Th vào (1) ta ñư c : I = 0 (ñpcm) Tương t b n ñ c có th ch ng minh : N u f ( x) là hàm ch n và liên t c trên ño n a a [− a, a] thì f ( x )dx = 2 ∫ f ( x )dx ∫ I= −a 0 Cho a > 0 và f (x ) là hàm ch n , liên t c và xác ñ nh trên R . f (x ) α α ∫α a x + 1 dx = ∫ f (x )dx Ch ng minh r ng : − 0 Bài làm : f (x ) f (x ) f (x ) α α 0 (1) ∫α a dx = ∫ x dx + ∫ x dx +1 a +1 a +1 x −α − 0 f (x ) 0 ∫α a dx . ð t t = − x ⇒ dt = − dx ⇒ dx = − dt Xét +1 x −  x = −α → t = α ð ic n:  x = 0 → t = 0 f (x ) f (− t ) a t f (t ) α α 0 ∫ ax + 1 0 a + 1 0 a + 1 dx = ∫ − t dt = ∫ t V y: −α Trang 9 Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n
f (x ) a x f (x ) f (x ) α α α 0 dx = ∫ f (x )dx (ñpcm) Th vào (1) ta ñư c : ∫ x dx = ∫ x dx + ∫ x a +1 a +1 a +1 −α −α 0 0 f ( x ) liên t c trên [0,1] . Ch ng minh r ng : Cho hàm s π π π ∫ x. f (sin x )dx = ∫ f (sin x )dx 2 0 0 Bài làm : π Xét ∫ x. f (sin x )dx . ð t t = π − x ⇒ dt = −dx ⇒ dx = −dt 0 x = 0 → t = π ð ic n:  x = π → t = 0 π π π V y : ∫ x. f (sin x )dx = ∫ (π − t ). f [sin (π − t )]dt = ∫ (π − t ). f (sin t )dt 0 0 0 π π = π ∫ f (sin t )dt − ∫ t. f (sin t )dt 0 0 π π ⇒ 2 ∫ x. f (sin x )dx = π ∫ f (sin x )dx 0 0 π π π ∫ x. f (sin x )dx = 2 ∫ f (sin x )dx ⇒ 0 0 T bài toán trên , b n ñ c có th m r ng bài toán sau . N u hàm s f (x ) liên t c trên [a, b] và f (a + b − x ) = f (x ) . Thì ta luôn có : π a+b b ∫ x. f (x )dx = f ( x )dx 2∫ a 0 f ( x ) liên t c,xác ñ nh , tu n hoàn trên R và có chu kì T . Cho hàm s a +T T f ( x )dx = ∫ f ( x )dx ∫ Ch ng minh r ng : a 0 Bài làm : a +T a +T a +T T 0 T f ( x )dx = ∫ f (x )dx + f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx + ∫ f (x )dx ∫ ∫ a a T a 0 T a +T a ∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx V y ta c n ch ng minh 0 T a ∫ f (x )dx . ð t t = x + T ⇒ dt = dx Xét 0 Trang 10 Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n
x = 0 → t = T ð ic n:  x = a → t = a + T a +T a +T ∫ f (t − T )dt = ∫ f (t )dt V y: T T a +T T ∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx Hay : (ñpcm) a 0 T bài toán trên , ta có h qu sau : N u hàm s f (x ) liên t c,xác ñ nh , tu n hoàn trên R và có chu kì T , thì ta luôn T T 2 ∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx có : T 0 − 2 B n ñ c t làm : ) ( 1 1 a) I1 = ∫ x(1 − x ) dx b) I 2 = ∫ sin 2 x. cos x ln x + x 2 + 1 dx 6 −1 0 π π x. sin x x. sin x c) I 3 = ∫ d) I 4 = ∫ dx dx 9 + 4 cos 2 x 1 + cos 2 x 0 0 π x 2 sin x x 2 + sin x 1 2 ∫π f) I 6 = ∫ e) I 5 = dx dx 1+ 2x 1+ x2 −1 − 2 ( ) 2π 2009π g) I 7 = ∫ ln sin x + 1 + sin x dx ∫ ∗ ∗ h) I 8 = 1 − cos 2 x dx 2 0 0 Tích phân t ng ph n : Cho hai hàm s u và v có ñ o hàm liên t c trên ño n [a, b] , thì ta có : b b ∫ udv = [uv] a − ∫ vdu b a a Trong lúc tính tính tích phân t ng ph n ta có nh ng ưu tiên sau : *ưu tiên1: N u có hàm ln hay logarit thì ph i ñ t u = ln x hay u = log a x . *ưu tiên 2 : ð t u = ?? mà có th h b c. BÀI T P Tính các tích phân sau : Trang 11 Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n
π 1 e 2 a) I1 = ∫ x.e x dx b) I 2 = ∫ x 2 . cos xdx c) I 3 = ∫ ln xdx 0 0 1 Bài làm : u = x ⇒ du = dx a) ð t :  dv = e dx ⇒ v = e x x 1 1 V y : I1 = ∫ x.e x dx = x.e x 0 − ∫ e x dx = e − e x 0 = e − (e − 1) = 1 1 1 0 0 u = x ⇒ du = 2 xdx 2 b) ð t :  dv = cos xdx ⇒ v = sin x π π π 1 π 2 2 2 (1) V y : I1 = ∫ x.e x dx = − x. cos x 02 − 2 ∫ x. sin xdx = − 2 ∫ x. sin xdx 4 0 0 0 π 2 Ta ñi tính tích phân ∫ x. sin xdx 0 u = x ⇒ du = dx ð t:  dv = sin xdx ⇒ v = − cos x π π π π π 2 2 ∫ x. sin xdx = − x. cos x 02 + ∫ cos xdx = − x. cos x 02 + sin 02 = 1 V y: 0 0 π2 −8 1 Th vào (1) ta ñư c : I1 = ∫ x.e x dx = 4 0  1 u = ln x ⇒ du = dx c) ð t :  x dv = dx ⇒ v = x  e e V y : I 3 = ∫ ln xdx = x. ln x 1 − ∫ dx = x. ln x 1 − x 0 = 1 e e e 1 1 Tính các tích phân sau : π eπ π 4 x c) I 3 = ∫ cos(ln x )dx a) I1 = ∫ e . sin xdx b) I 2 = ∫ 2 dx x cos x 0 0 1 Bài làm : u = e x ⇒ du = e x dx a) ð t :  dv = sin xdx ⇒ v = − cos x π π π V y : I1 = ∫ e x . sin xdx = − e x . cos x 0 + ∫ e x . cos xdx = eπ + 1 + J (1) 0 0 Trang 12 Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n
u = e x ⇒ du = e x dx ð t:  dv = cos xdx ⇒ v = sin x π π π V y : J = ∫ e x . cos xdx = e x . sin x 0 − ∫ e x . sin xdx = − I 0 0 eπ + 1 Th vào (1) ta ñư c : 2 I1 = eπ + 1 ⇒ I1 = 2 u = x ⇒ du = dx b) ð t :   1 dv = cos 2 x dx ⇒ v = tan x  π π π π π π 4 4 x 2 dx = x. tan x 04 − ∫ tan xdx = + ln (cos x ) 04 = + ln V y : I2 = ∫ 2 cos x 4 4 2 0 0  1 u = cos(ln x ) ⇒ du = − sin (ln x )dx c) ð t :  x dv = dx ⇒ v = x  eπ eπ V y : I 3 = ∫ cos(ln x )dx = x. cos(ln x ) 1 + ∫ sin (ln x )dx = −(eπ + 1) + J eπ 1 1  1 u = sin (ln x ) ⇒ du = cos(ln x )dx ð t:  x dv = dx ⇒ v = x  eπ eπ eπ V y : I 3 = ∫ sin (ln x )dx = x. sin (ln x ) 1 − ∫ cos(ln x )dx = 0 − I 3 1 1 eπ + 1 Th vào (1) ta ñư c : 2 I 3 = −(eπ + 1) ⇒ I 3 = − 2 B n ñ c t làm : ln 2 e b) I 2 = ∫ (1 − ln x )2 dx a) I1 = ∫ x.e − x dx 0 1 ( ) 2 1 c) I 3 = ∫  1 1 d) I 4 = ∫ ln x + 1 + x 2 dx −  dx 2  ln x ln x  e 0 π e 3 e) I 5 = ∫ sin x. ln(tan x )dx f) I 6 = ∫ cos 2 (ln x )dx π 1 4 π π 1 + sin x x 4 2 g) I ∗ 7 = ∫ x 2 cos 2 x h) I ∗ 7 = ∫ e dx 1 + cos x 0 0 Tích phân hàm tr tuy t ñ i, min , max : Trang 13 Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n
b Mu n tính I = ∫ f (x ) dx ta ñi xét d u f (x ) trên ño n [a, b] , kh tr tuy t ñ i a b Mu n tính I = ∫ max[ f (x ), g (x )]dx ta ñi xét d u f (x ) − g (x ) trên ño n [a, b] a b Mu n tính I = ∫ min[ f (x ), g (x )]dx ta ñi xét d u f (x ) − g (x ) trên ño n [a, b] a Tính các tích phân sau : 2 4 b) I1 = ∫ x 2 + 2 x − 3 dx a) I1 = ∫ x − 2 dx 1 0 Bài làm : x1 2 4 a) x-2 - 0 + 2 4  x2   x2  4 2 4 V y : I1 = ∫ x − 2 dx = ∫ (2 − x )dx + ∫ (x + 2 )dx = 2 x −  +  − 2 x  2 1  2  2 1 1 2  1   5 = (4 − 2 ) −  2 −  + [(8 − 8) − (2 − 4 )] =  2   2 b) L p b ng xét d u x 2 + 2 x − 3 , x ∈ [0,2] tương t ta ñư c 2 1 2 ( ) ( ) I1 = ∫ x 2 + 2 x − 3 dx = − ∫ x 2 + 2 x − 3 dx + ∫ x 2 + 2 x − 3 dx 0 0 1 . 1 2  x3   x3  I1 = 3 x − x 2 −  +  − 3 x + x 2 +  = 4 3 0  3 1  1 Tính I a = ∫ x x − a dx v i a là tham s : 0 Bài làm : +∞ −∞ x a x-a - 0 + (T b ng xét d u trên ta có th ñánh giá ). N u a ≤ 0. Trang 14 Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n
1  x 3 ax 2  1 1 ( ) 1a I a = ∫ x x − a dx = ∫ x − ax dx =  −  =3−2 2 3 2 0 0 0 N u 0 < a < 1. 1 a 1 ( ) ( ) I a = ∫ x x − a dx = − ∫ x − ax dx + ∫ x 2 − ax dx 2 0 0 a a 1  ax 2 x 3   ax 2 x 3  1 a 2 a3 = −  + − + = − + 2 3 0  2 3 a 3 2 2 N u a ≥ 1. 1  x 3 ax 2  1 1 ( ) 1a I a = ∫ x x − a dx = − ∫ x − ax dx = −  −  =−3+ 2 2 3 2 0 0 0 2 3 Tính : a) I1 = ∫ min (1, x )dx ( ) I 2 = ∫ max x 2 , x dx 2 0 0 Bài làm : a) Xét hi u s : (1 − x 2 ) ∀x ∈ [0,2] 2 2 1 2 ( )x3 4 V y : I1 = ∫ min 1, x dx = ∫ x dx + ∫ dx = 2 + x1 = 2 2 30 3 0 0 1 b) Xét hi u s : x(x − 1) ∀x ∈ [0,3] tương t như trên ta có . 1 3 3 1 3 ( ) x2 x3 55 I 2 = ∫ max x , x dx = ∫ xdx + ∫ x dx = + = 2 2 20 31 6 0 0 1 B n ñ c t làm : π 3π 3 a) I1 = ∫ min (x, x 2 − 3)dx b) I 2 = ∫ max(sin x, cos x )dx c) I 3 = ∫ sin x − cos x dx 2 4 −2 0 0 3 5 d) I 4 = ∫ max (x 2 ,4 x − 3)dx d) I ∗ 4 = ∫  x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 dx     −2 1 Nguyên hàm , tích phân c a hàm s vô t : Trong ph n n y ta ch nghiên c u nh ng trư ng h p ñơn gi n c a tích phân Abel ( ) D ng 1: ∫ R x, ax 2 + bx + c dx ñây ta ñang xét d ng h u t . − ∆   2ax + b   2 a > 0 → ax + bx + c = 1 +   2  ∆ < 0 4a   − ∆     ∫ R(x, ) ∫ S (t, ) ax 2 + bx + c dx = 1 + t 2 dt T i ñây , ñ t t = tan u . 2 ax +b t= −∆ Trang 15 Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n
− ∆   2ax + b   2 a < 0 → ax + bx + c = 1 −   2 D ng 2:  ∆ < 0 4a   − ∆     ∫ R (x, ) ∫ S (t , ) ax 2 + bx + c dx = 1 − t 2 dt T i ñây , ñ t t = sin u . 2 ax + b t= −∆ ∆  2ax + b   2 a > 0 → ax + bx + c =  − 1  2 D ng 3:  ∆ > 0 4a  − ∆     ∫ R (x, ) ∫ S (t , ) 1 ax 2 + bx + c dx = t 2 − 1 dt T i ñây, ñ t t = . sin u 2 ax + b t= ∆ dx dt ∫ (αx + β ) ∫ = D ng 4 (d ng ñ c bi t) : αt + µt + ζ ax + bx + c 2 2 1 t= αx + β M t s cách ñ t thư ng g p : ( ) ∫ S x, a − x dx 0≤t ≤π ñ t x = a. cos t 2 2 ∫ S (x, +x )x π π ñ t x = a. tan t − 0  ∫ S (x, ) ñ t  ax 2 + bx + c = t (x − x0 ) ; ax0 + bx0 + c = 0 ax 2 + bx + c dx   ax 2 + bx + c = ± a .x ± t ; a>0   ax + b  ax + b ∫ S  x,  ñ t t=m ; ad − cb ≠ 0 m  cx + d  cx + d   dx Tính : I = ∫ (x )3 + 4x + 7 2 Bài làm : dx dt ∫ ∫ = (x ) (t ) 3 3 + 4x + 7 +3 2 2 t = x+ 2 ð t : t = 3 tan u ⇒ dt = 3 (tan 2 u + 1)du ( ) 3 tan 2 u + 1 du 1 ∫ ∫ cos udu Ta có I = = ( ) 3 3 3 3. tan u + 1 2 3 tan u 3 tan u x+2 1 1 t 1 = sin u + C = +C = +C 3 t2 +1 3 x2 + 4x + 7 3 Trang 16 Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n
xdx dx Tính : a) I = ∫ b) I = ∫ x2 + x + 1 x x2 − 2x − 1 Bài làm : 3t − 1 xdx xdx 1 a) ∫ =∫ ∫ = dt x + x +1 t2 +1 2 2 2  1 3 2 x +1 t= x +  + 3  2 4 ( ) 3t − 1 1 32 1 ∫ I= dt = t + 1 − ln t + t 2 + 1 + C t2 +1 2 2 2 2 x +1 t= 3   1 1 = x2 + x + 1 − + ln x + + x 2 + x + 1  + C   2 2 1 dt b)ð t : x = ⇒ dx = − 2 t t t +1 dx dt I =∫ =−∫ = − arcsin +C 2 − (t + 1) x x 2 − 2x −1 2 2 1 x= t 1 +1 x +1 = − arcsin x + C = − arcsin +C 2 2 Tìm các nguyên hàm sau dx dx a) I = ∫ b) I = ∫ 1+ x + 3 1+ x x +1+ x +1 Bài làm : a)ð t : t = 6 1 + x ⇒ t 6 = 1 + x ⇒ 6t 5 dt = dx   t 5 dt dx 1 V y :I = ∫ = 6 ∫ 3 2 = 6 ∫ t 2 − t +1− dt  t +1  t +t 1+ x + 1+ x t = 6 1+ x  3 t = 6 1+ x = 2t 3 − 3t 2 + 6t − 6 ln t + 1 + C = 2 1 + x − 33 1 + x + 66 1 + x − 6 ln 6 1 + x + 1 + C 1  −2  1+ x − x +1 1 x +1 dx 1  x + 1dx − ∫ b) I = ∫ =∫ dx = ∫  dx  x +1+ x +1 2 2 x 2x  x +1 1 1 (1) x+ x − ∫ = dx 2 2 x x +1 x +1 1 2t ∫ ð t: t= ⇒ x= ⇒ dx = − Xét dx dt ( ) t −1 2 2 t 2 −1 x x Trang 17 Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n
x +1 t 2 dt ∫ ∫ (t − 1)2 = OK dx = −2 V y: x x +1 t= x Tìm các nguyên hàm sau : a) I = ∫ x 2 . x 2 + 9dx b) I = 16 ∫ x 2 . x 2 + 4dx Bài làm : t2 − 9 t2 + 9 x2 + 9 = x − t ⇒ x= ⇒ dx = a)ð t : dt 2t 2 2t ( ) ( ) 2 2  t2 + 9   − t2 − 9  t2 − 9 1 t 4 − 81 I1 = ∫  dt = − ∫  2t 2 . 2t . dt   4t 2 t5 16    1  t4 6561  1  3 162 6561  ∫ t + 5 dt = −  − 162 ln t − 4  + C =− t − 4 4t  t 16 16   V y: ( ) − 162 ln x − 1  x − x2 + 9  4 =−  +C 6561 x2 + 9 − ( ) 16  4 4 4 x− x +9  2  t2 − 4 t2 + 4 x2 + 4 = x − t ⇒ x= ⇒ dx = b)ð t : dt 2t 2 2t ( ) (t ) 2 2 t2 + 4 − t2 − 4 t2 − 4 − 16 4 I = 16 ∫  dt = − ∫  2t 2 . 2t . dt   4t 2 t5    t4 64   36 256  = −∫  t 3 − + 5 dt = −  − 36 ln t − 4  + C 4 t  t t   ( )  x − x2 + 4  4 = − +C64 + 36 ln x − x 2 + 4 − ( )  4 4 x− x +4  2  Tính các tích phân sau : −8 1 dx a) I1 = ∫ x − x 2 dx b) I 2 = ∫ dx x 1− x −3 1 2 Bài làm : 1 1 1 x − x dx = ∫ 1 − (2 x − 1) dx I1 = ∫ 2 2 21 1 2 2 Trang 18 Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n
1 ð t : 2 x − 1 = sin t ⇒ dx = cos tdt 2  1 x = 2 → t = 0 ð ic n:   x = 1 → t = π   2 π π π V y : I1 = ∫ cos tdt = ∫ (1 + cos 2t )dt = 1 + sin 2t  2 12 1 1 1 2 2   8 2 0 40 80 1  π π  =  − 0  − (0 + 0 ) = 8  2   16 b) ð t : t = 1 − x ⇒ − 2tdt = dx  x = −3 → t = 2 ð ic n:   x = −8 → t = 3 −8 3 3 dx tdt dt V y : I2 = ∫ dx = 2 ∫ = 2∫ ( ) 1− t t 1− t 2 2 −3 x 1 − x 2 2 3 t −1 1  = − ln = − ln − ln 1 = ln 2 t +1 2 2  B n ñ c t làm : dx dx a) I 1 = ∫ b) I 2 = ∫ 4 x − x 2 dx c) I 3 = ∫ (x ) x x2 + 1 3 +4 2 1 + x2 − 1 1 d) I 4 = ∫ 1 + x 2 dx d) I ∗ 5 = ∫ d) I ∗ 6 = dx dx 1 − x2 − 1 1 + x2 + 1 B t ñ ng th c tích phân : b N u f (x ) ≥ 0 ∀x ∈[a, b] ⇒ ∫ f (x )dx ≥ 0 a b b N u f (x ) ≥ g (x ) ∀x ∈[a, b] ⇒ ∫ f (x )dx ≥ ∫ g (x )dx a a b N u m ≤ f (x ) ≤ ∀x ∈[a, b] ⇒ m(b − a ) ≤ ∫ f (x )dx ≤ M (b − a ) a Trong các trư ng h p n y ta thư ng dùng kh o sát , Bunhiacopxki, AM-GM Và các bư c ch n sinx,cosx BÀI T P Trang 19 Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n
Ch ng minh các b t ñ ng th c sau : c) ∫ ( 1 + x + 1 − x )dx ≤ 2 1 1 2 1 2 x 1 a) ∫ x(1 − x )dx ≤ b) ≤ ∫ dx ≤ x +1 2 4 5 2 0 1 0 Bài làm: a)Áp d ng AM-GM ta có :  x + (1 − x )  2 1  = 4 ∀x ∈ [0,1] x(1 − x ) ≤    2 1 1 1 1 V y : ∫ x(1 − x )dx ≤ ∫ dx = (ñpcm) 40 4 0 x ∀x ∈ [1,2] b) Xét hàm s : f (x ) = x +1 2 ð o hàm : 1 − x2 f ′( x ) = (x )2 +1 2 x = 1 f ′( x ) = 0 ⇔   x = −1  1  f (1) = 2 Ta có :    f (2 ) = 2   5 2 x 1 ∀x ∈ [1,2] ≤2 ≤ 5 x +1 2 2 2 2 2 x 1 V y : ⇒ ∫ dx ≤ ∫ 2 dx ≤ ∫ dx x +1 51 21 1 2 2 x 1 ≤∫ 2 ⇒ dx ≤ 5 1 x +1 2 Áp d ng Bunhicopxki ta có : 1 + x + 1 − x ≤ 12 + 12 1 + x + 1 − x = 2 ∀x ∈ [0,1] ∫( ) 1 1 + x + 1 − x dx ≤ 2(1 − 0 ) V y: 0 ∫( ) 1 1 + x + 1 − x dx ≤ 2 (ñpcm) 0 e − x . sin x π 3 ∫ x 2 + 1 dx < 12e Ch ng minh r ng : 1 Trang 20 Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n