intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài tập Toán: Nguyên hàm - tích phân

Chia sẻ: Sonny Ik | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:13

Thêm vào BST
Báo xấu
1.632
lượt xem 272
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nguyên hàm các hàm hữu tỷ - NGHỆ AN 1/Nguyên hàm các hàm số Đa thức : Dựa vào định nghĩa,tính chất và công thức nguyên hàm các hàm số thường gặp để tính Ví dụ : Tính I = = 2/Nguyên hàm các hàm số phân thức :Ta tìm cách tính các nguyên hàm dạng I= Trong đó h(x) , g(x) là các đa thức biến số x . *1.Nếu bậc của tử thức cao hơn hay bằng bậc mẫu thức thì chia đa thức ,tách hàm số thành tổng hai hàm số : một hàm số đa thức và một...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập Toán: Nguyên hàm - tích phân

  1. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TRẦN ĐỨC NGỌC – GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I - NGHỆ AN I-Nguyên hàm các hàm hữu tỷ 1/Nguyên hàm các hàm số Đa thức : Dựa vào định nghĩa,tính chất và công thức nguyên hàm các hàm số thường gặp để tính Ví dụ : Tính I = = 2/Nguyên hàm các hàm số phân thức :Ta tìm cách tính các nguyên hàm dạng Trong đó h(x) , g(x) là các đa thức biến số x . I= *1.Nếu bậc của tử thức cao hơn hay bằng bậc mẫu thức thì chia đa thức ,tách hàm số thành tổng hai hàm số : một hàm số đa thức và một hàm phân thức có bậc của tử thức nhỏ hơn bậc mẫu thức ,hoặc tử thức là hằng số. .Trong đó q(x) , r(x) là các đa thức .Bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x) hoặc r(x) = q(x) + là hằng số. Như vậy ta chỉ cần phải nghiên cứu cách tính các nguyên hàm I = .Bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x) hoặc r(x) là hằng số. .Bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x) hoặc r(x) là hằng số. *2. Tính các nguyên hàm I = + Dạng I: với a .(Đổi biến số - đặt U = ax+b) I1 = = = ln +C + Dạng II: với a .(Đổi biến số - đặt U = ax+b ) I2 = = = +C + Dạng III: với a , h(x) là nhị thức bậc nhất hoặc là hằng số .Tùy vào sự có nghiệm hay vô nghiệm của g(x) = ax2+bx+c .Ta chỉ I3 = cần xét với a = 1 .Vì nếu a thì ở mẫu thức lấy a làm nhân tử ,đưa hằng số ra ngoài dấu tích Với b1 = , c1 = phân.Có I3 = = Xét I3 = a -Nếu x2+bx+c = (x- x1)(x- x2) Thì dùng phương pháp “hệ số bất định” tìm 2 số A , B sao TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (1)
  2. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN cho : = + . Do đó : I3 = =A + = Aln(x-x1)+Bln(x-x2) + C b -Nếu x2+bx+c = (x- x0)2 .(x0 là nghiệm kép của mẫu thức ) Hai trường hợp : * Trường hợp h(x) là hằng số a,ta có : I3 = = =- +C (Dạng I2 khi = 2 Dạng đặc biệt,hay gặp ,nên nhớ) *Trường hợp h(x) = px+ q là nhị thức bậc nhất (Với p 0) . Biến đổ i: . Do đó ta có: = = + I3 = = + (q - ) = +( - q). +C c -Nếu x2+bx+c = 0 vô nghiệm . Ta biến đổ i: = = + Do đó: = + (q - ) = + C + (q - ) . dạng I = , với u = x + Nguyên hàm : J = và a = . Đặt u = atant ,Thì du = a(1 + tan2t)dt và u2+a2 = a2(1 + tan2t) Ta có: Nguyên hàm I = I= = = = +C + Dạng IV : I4 = .Trong đó h(x) là đa thức có bậc nhỏ hơn 3 hoặc h(x) là hằng số a-Nếu g(x) = x3+ax2+bx+c có 3 nghiệm phân biệt x3+ax2+bx+c = (x – x1)(x – x2)(x – x3) Bằng phương pháp hệ số bất định,tìm 3 số A , B , C sao cho : = + + Do đó : TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (2)
  3. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN I4 = =A +B +C = A. ln +B. ln + C.ln +D b-Nếu g(x) = x3+ax2+bx+c = (x- x1)(x- x0)2 với x1 x0 (1 nghiệm kép và 1 nghiệm đơn) Thì Bằng phương pháp hệ số bất định,tìm 3 số A , B , C sao cho : = + Do đó : I4 = =A + =A + .dx =A + + + D (Đổi dấu rồi,yên tâm) = A.ln + . ln + (Bx0-C). c-Nếu g(x) = x3+ax2+bx+c = (x- x1)(x2+px + q) trong đó x2+px+q = 0 vô nghiệm Thì Bằng phương pháp hệ số bất định,tìm 3 số A , B , C sao cho : = + = + = + + Do đó : I4 = =A + . + . .ln(x2+px+q) + (C - = A.ln(x-x1) + ). +D Trong đó: J = (Đã nói rõ ở Dạng III: c -Nếu mẫu thức vô nghiệm) = Trường hợp tử thức là bậc 2 thì có thể biến đổi = Do đó: I4 = .Với p1= p- = + ; q1 = q - Bài tập: Tính nguyên hàm 1. I = ; I= ; I= ; I= ; I= ;I= ;I= 2. I = ; I= ;I= ;I= ;I= ;I= TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (3)
  4. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 3. I = ;I= ;I= ;I= ;I= ;I= I= ;I= ; I= ;I= ; I= ; I= 4. a/ I= Chú ý: =(x-1)(x-2)(x-3) 2 dx b/ I= ; Chú ý: 3 x x 1 = (2x-1)(x2+4x+4) c/ I = Chú ý: = (3x-2)(x2+2x+3) d/ I = Chú ý: e/ I = = + + = (x-2)(x2+4x+4) g/ I= Chú ý: = (2x-1)(x2+4x+4) 5. a/ I = Chú ý: = (2x-1)(x2+4x+4) b/ I = Chú ý: c/ I = Chú ý: =(x-1)(x-2)(x-3) = (x+1)(x2-x+1) d/ I = Chú ý : 6. I = Hướng dẫn : Tìm các số A,B,C,D,E để = + + , đặt x = tant ) 7. I = = .dx ( 8. I = 9. I = I= I= I= TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (4)
  5. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN II.Nguyên hàm các hàm s ố Lượng giác 1.Nguyên hàm hàm hợp 1/ I = = = sin(ax+b) +C 2/ I = = =- cos(ax+b) +C 3/ I = = = tan(ax+b) + C 4/ I = = = - cot(ax+b) + C 2. Nguyên hàm của hàm số f(x) = cosmx.sinnx .Hoặc f(x) = (Với m,n , f(x) = N) -Đổi biến số ,đưa về nguyên hàm của hàm số hữu tỷ 1/ Nếu số mũ của cosx lẻ (m là số lẻ) thì đặt sinx = t .Ngược lại nếu số mũ của sinx lẻ (n là số lẻ) thì đặt cosx = t.(Nếu m và n đều là số lẻ thì đặt cosx = t hoặc sinx = t đều được) V í dụ 1 : I = . - Đặt sinx = t Ta có I = = = - +C - Chú ý :Có thể hạ bậc biến đổi tích thành tổng đưa nguyên hàm của f(x) = cosmx.sinnx về nguyên hàm hàm hợp.Chẳng hạn ví dụ 1 ở trên ta giải cách 2: I= = I= = = =- cos3x - cosx + C V í dụ 2 : I= - Đặt sinx = t Ta có I = =I= = = V í dụ 3 : I = (Mặc dù đặt sinx = t cũng được nhưng cosx ở mẫu thức ,đặt cosx = t) -Đặt cosx = t.Ta viết I = =I= =I= = t2 - ln = +C TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (5)
  6. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN V í dụ 4 : I = + C (Đã đặt cosx = t) = =- = - ln 2/Nếu số mũ của cả cosx và sinx đều là số chẵn (m và n đều chẵn) *Nếu f(x) = cosmx.sinnx Trong đó m và n đều là số tự nhiên chẵn thì hạ bậc biến đổi tổng thành tích đưa về nguyên hàm hàm hợp. .2cos2xdx Ví dụ 5: I = =I= = = dx = dx = - = x+ sin2x - sin4x - sin6x - sin2x + C = x+ sin2x - sin4x - sin6x + C *Nếu f(x) = , đặt tanx = t ;Nếu f(x) = , đặt cotx=t (với m và n đều là sỗ chẵn ) V í dụ 5 : I= -Ta có : I = = = - = tanx – x + C (Đã đặt tanx = t) = - (Vì mẫu thức là sin2 x,chính là mẫu thức của cot2x nên ta đặt cotx = t) V í dụ 6 : I = .d(cotx) = - . cot3x + C -Ta có : I = =I= =- (Thực chất đã đặt cotx = t nhưng viết tắt cho gọn thôi) (Vì mẫu thức là cos2x,chính là mẫu thức của tan2x nên ta đặt tanx = t) V í dụ 7 : I = -Ta có : I = =I= = = - = + = tanx + sin2x - x+C TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (6)
  7. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 3.Nguyên hàm của hàm số f(x) = Với h(x) và g(x) là các biểu thức bậc nhất của sinx,cosx *Nếu thay cosx bởi (-cosx) mà hàm số đổi dấu thì đặt sinx = t *Nếu thay sinx bởi (-sinx) mà hàm số đổi dấu thì đặt cosx = t *Nếu thay cosx bởi (-cosx) và sinx bởi (-sinx) mà hàm số không đổi thì đặt tanx = t hoặc cotx = t -Có những bài dùng phương pháp liên kết. 1/ Nếu thay cosx bởi (-cosx) mà hàm số đổi dấu thì đặt sinx = t V í dụ 8 : I = = = = = … (Nguyên hàm Hàm số hữu tỷ) = - 2/ Nếu thay sinx bởi (-sinx) mà hàm số đổi dấu thì đặt cosx = t V í dụ 8 : I = =… = -2 = -2 = -2 3/Nếu thay cosx bởi (-cosx) và sinx bởi(-sinx) mà hàm số không đổi thì đặt tanx = t hoặc cotx = t V í dụ 9 : I = (Đặt tanx = t thì dx = , sinx = cosx = ) -Ta có I = = = = (Dạng .Với u = 1 + tanx) 4/Nếu không thỏa mãn một trong 3 dấu hiệu trên thì đặt t = tan .Ta có dt = (1+ tan2 ).dx , cosx = Nên dx = , và có sinx = Ví dụ 10 : Tính nguyên hàm I = . Đặt t = tan .Ta có : dt = (1+ tan2 ).dx Nên dx = , và có sinx = ,cosx = . Do đó : =- I= =I= = +C 5/Tính nguyên hàm : I = -Tách tử thức thành một tổng, có một số hạng là đạo hàm của mẫu thức : TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (7)
  8. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN I= =I= . dx = + = + .dx = ln + .dx . .dx . xét các dấu hiệu như đã trình bày ở trên .Nếu không thỏa mãn Tính : J = dấu hiệu nào(trong 1/ , 2/ , 3/) thì đặt t = tan Ví dụ 11 : I = J= k= 4. Nguyên hàm của f(x) = cosax.cosbx , f(x) = cosax.sinbx , f(x) = si nax.sinbx : -Biến đổi tích thành tổng , đưa về nguyên hàm của hàm hợp Ví dụ 12 : Tính I = = .sin8x + .sin2x) +C Ví dụ 13 : Tính I = = = = =- .cos9x + cos7x - cos3x + cosx + C ****************************************************************************** 2 2 2 2 Bài tập : 1/ sin 2 x cos4 xdx sin 2 x cos3 xdx sin 4 x cos5 xdx (sin 3 x cos3 )dx 0 0 0 0 2 2 2 2 1 1 2/ cos 2 x(sin 4 x cos4 x)dx ; (2 sin 2 x sin x cos x cos2 x)dx ; dx ; dx sin x 2 sin x 0 0 0 3 TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (8)
  9. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 4 2 2 2 dx cos x cos x sin x 3/ ; dx ; dx dx 2 2 sin x cos x cos2 x 1 cos x 2 cos x 2 sin x 0 sin x 0 0 0 3 sin 3 x 2 2 2 dx dx 4/ (sin10 x cos10 x cos4 x sin 4 x)dx ; ; dx 4 1 cos2 x 2 cos x sin x. cos x 0 0 0 6 3 2 4 cos3 x 2 2 4 cos xdx 1 cot g 3 xdx tg 4 xdx tg 3 xdx 5/ dx dx (1 cos x) 2 1 cos x sin x cos x 1 0 0 0 3 6 4 2 4 sin 3 x 4 4 4 4 1 dx dx 6/ 1 sin x dx dx dx 4 1 tgx 13 0 1 cos x 2 sin x 3 cos x cos x cos(x ) 0 0 0 0 4 2 2 2 dx sin 3x sin 2 x(1 sin 2 x) 3 dx 7/ dx sin 2 x sin x 1 cos x 0 0 4 sin 3 x sin x 33 sin 3 x 2 4 4 dx sin 2 xdx 8/ cos x sin x dx dx dx 3 2 1 sin x cos x sin xtgx a 2 sin 2 x b 2 cos x 0 cos x 0 0 0 4 2 2 2 4 4 2 dx cos xdx sin x cos x sin 4 xdx dx dx cos3 x sin 5 xdx 9/ 2 2 sin x 1 5 sin x 3 0 1 cos x 1 cos2 x 3 sin 2 x 0 0 0 0 4 sin 2 xdx 3 3 6 3 3 dx dx dx 10/ tgxtg ( x ) dx 4 cos6 x 6 sin x cos x sin x cos(x ) sin x sin( x ) 4 6 6 4 6 4 6 0 3 2 2 2 2 sin 2 x 4 sin xdx xdx x 2 cos xdx sin 2 x.e 2 x 1 dx sin 3 x dx 11/ (2 sin x) 2 cos x) 3 22 0 (sin x 0 cos x 0 0 0 2 2 3 4 2 2 sin 3x sin 4 x cos x 1 sin x x sin 2 xdx 12/ dx dx e dx cos(ln x)dx 2 tgx cot g 2 x 1 2 sin x 1 cos x 0 sin x 5 sin x 6 0 1 6 6 2 2 4 4 3 ln(sin x) x sin x cos2 xdx xtg 2 xdx tg 5 xdx (2 x 1) cos2 xdx 13/ cos x 1 sin x dx dx cos2 x 0 0 0 0 0 6 TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (9)
  10. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 2 4 4 dx 2 14/ e 2 x sin 2 xdx e sin x sin x cos3 xdx ln(1 tgx)dx I= 2 cos x) 2 0 (sin x 0 0 0 2 2 4 (1 sin x) cos x cos8 x cos7 x dx cos x sin 2 x cos3 xdx dx cos2 x) 1 2 cos5 x 0 (1 sin x )(2 15/ 0 0 III.Nguyên hàm của hàm số Vô tỷ (Hàm số có chứa căn thức) Bằng cách đổi biến số, đưa nguyên hàm của hàm số vô tỷ về nguyên hàm hàm số hữu tỷ hoặc hàm số lượng giác.Ta tiến hành với một số dạng sau đây 1.Nguyên hàm của hàm số chỉ chứa x và một căn thức : -Thông thường : Đặt căn đó là t hoặc biểu thức trong căn là t V í dụ 1 : I = .dx = t Ta có x + 2 = t2 nên dx = 2t.dt và = (t2 – 1).t - Đặt Do đó : I = .dx = I = =2 Cách 2 : Đặt (x+2) = t thì dx = dt , (x + 1) = (t – 1) – Do đó : I = - = = +C V í dụ 2 : I = = t , x + 1 = t2 nên dx = 2t.dt và -Đặt = . -Do đó : I = 2. = …(Đây là nguyên hàm của hàm hữu t ỷ) = 2. V í dụ 3 : I = . Đặt =t 2.Nguyên hàm của hàm số phân thức chứa nhiều căn,bậc khác nhau :bậc m, n …mà biểu thức trong căn giống nhau : Đặt căn bậc r là t với r là BSCNN của m,n … V í dụ 4 : I = TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (10)
  11. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN = t ,ta có x + 1 = t 6 nên dx = 6 t5dt, = t 3, = t2 Đặt Do đó : I = (đây là nguyên hàm hàm hàm số hữu tỷ) =6 3.Nguyên hàm c ủa hàm số phân thức chỉ chứa x và 0:Đổi biến số đưa về nguyên hàm của hàm số Lượng giác (Đã nói trên) a,b,c R,a . Gọi (x + -Ta có = ) = u và = = Hai trường hợp : 1/Nếu 0 : Thì = 2/Nếu (a > 0 , vì < 0 nên a > 0 căn thức mới có nghĩa )
  12. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN = 2/Tính I2 = =A + (B - ) =A +(B - )I1 (Trong đó: I1 = .Đặt t = x + + nói ở trên ) V í dụ 6 : I = = .dx = - = = - = .ln - Ví dụ 5 ngay phía trên) (Tính Đặt (x – d ) = đưa về dạng I1 nói trên . . 3/Tính I3 = V í dụ 7 : Tính : I= Đặt x-2 = =. thì dx = - dz , (x -2) = Do đó : I = (Giả sử z > 0,Nếu z
  13. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Lấy vi phân hai vế của (*) và đồng nhất các hệ số của những đa thức do vi phân có được, ta sẽ tìm được các hệ số của đa thức Qn-1(x) và hệ số . Cuối cùng chỉ cần phải tính I1 = (đặt t = t = x + + như đã nói rõ ở trên ) Ví dụ 8 : (Ở đây P2(x) = x2-1 Vì n = 2, Q1(x) = ax + b ) Tính tích phân I = Lời giải: Gỉa sử : = (ax+b). . +. - Ta phải tìm các hệ số: a, b, Lấy vi phân hai vế ……. (Đã nói ở trên) - Ví dụ : Tính : I= .dx Ta viết : .dx = (*) I= .dx = +. Vì Pn(x) = x2 + 2x + 4 (n = 2) nên Qn-1(x) = ax + b (Bậc của nó là 1). -Ta tìm các số thực a, b, sao cho : .dx = (ax+b). +. Lấy đạo hàm hai vế .Chú ý đến: đạo hàm của nguyên hàm thì bằng hàm số dưới dấu tích phân, nhớ các công thức :đạo hàm của một tích và đạo hàm của .Tìm được a, b, để thay vào (*).Cuối cùng là tính , đặt t = x + 1+ Hoặc đặt (x+1) = Xem phần trên đã trình bày. BÀI TẬP : 1/ I = I= I= I= .dx với a > 0 2/ I = I= I= .dx I = 3/ I = .dx I= I= I= , 4/ .dx , .dx = .dx ****************************************************************************** Chúc các bạn thành công trong sự nghiệp TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (13)
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.01: Bộ 300+ Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2019
315 tài liệu
1700 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2