zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi ĐH-CĐ

Luyện thi ĐH môn Toán: Nguyên hàm lượng giác (Phần 5) - Thầy Đặng Việt Hùng

Chia sẻ: Nguyễn Thị Oanh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Báo xấu

197
lượt xem 30
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Luyện thi ĐH môn Toán: Nguyên hàm lượng giác (Phần 5) - Thầy Đặng Việt Hùng" tóm lược nội dung cần thiết và cung cấp các bài tập ví dụ hữu ích, giúp các bạn củng cố và nắm kiến thức về nguyên hàm lượng giác thật hiệu quả.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luyện thi ĐH môn Toán: Nguyên hàm lượng giác (Phần 5) - Thầy Đặng Việt Hùng

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 07. NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC – P5 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]   d( A sin x ± B cos x ± C ) ← 2 2 → ( A ∓ B ) sin 2 x dx  Dạng 5. Nguyên hàm dùng biến đổi vi phân  ( d sin x + cos x ← 4 4  ) → − sin 4 x dx Cách giải: 1 1 − cos 4 x 3 1 Ta có sin 4 x + cos 4 x = ( sin 2 x + cos 2 x ) − 2sin 2 x.cos 2 x = 1 − sin 2 2 x = 1 − . 2 1 = + cos 4 x. 2 2 2 4 4 3 1  Từ đó d ( sin 4 x + cos 4 x ) = d  + cos4 x  = − sin 4 x dx. 4 4  Dạng nguyên hàm này thường được “ngụy trang” vào các hàm số có vẻ phức tạp, nên các bạn hãy cố gắng nhớ được vi phân của nó. Với các nguyên hàm lượng giác mà mẫu số có vẻ “dài dòng” thì một kinh nghiệm là các em hãy lấy vi phân của mẫu số xem tử số có quan hệ gì với vi phân đó hay không ? 3 Chú ý: Ngoài hai công thức trên, dạng nguyên hàm này cũng có thể chứa sin6 x + cos 6 x = 1 − sin 2 2x. 4 Ví dụ 1: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: sin 2 x sin 2 x dx a) I1 = ∫ dx b) I 2 = ∫ cos x + 4sin x 2 2 2sin x − 4cos 2 x + 5cos 2 x 2 Hướng dẫn giải: a) Ta có d ( cos x + 4sin x ) = ( −2sin x.cos x + 8sin x.cos x ) dx = 6sin x.cos x dx = 3sin 2 x dx 2 2 → sin 2 x dx = d ( cos 2 x + 4sin 2 x ) . 1  3 1 d ( cos x + 4sin x ) 2 d ( cos x + 4sin x ) 2 2 2 2 2 sin 2 x Từ đó I1 = ∫ dx = ∫ = ∫ = cos 2 x + 4sin 2 x + C. cos x + 4sin x 2 2 3 cos x + 4sin x 2 2 3 2 cos x + 4sin x 2 2 3 Bình luận: Ngoài cách giải như trên, chúng ta có thể mạnh dạn vận dụng kiến thức lượng giác để biến đổi mẫu số gọn gàng hơn 1 + cos2x 1 − cos2x 3 5 như sau cos 2 x + 4 sin 2 x = + 4. = − cos2x + 2 2 2 2  3 5  3 5 d  − cos2x +  d  − cos2x +  = ∫  2 = ∫  sin 2x dx 1 2 2 2 2 2 3 5 Khi đó I 1 = ∫ = − cos2x + + C. 3 5 3 3 5 3 3 5 3 2 2 − cos2x + − cos2x + 2 − cos2x + 2 2 2 2 2 2 Rõ ràng hai kết quả thu được hoàn toàn giống nhau! 5 5 7 b) Ta có 2sin 2 x − 4cos 2 x + 5cos 2 x = (1 − cos 2 x ) − 4cos 2 x + (1 + cos 2 x ) = − cos 2 x + 2 2 2 Khi đó I 2 = ∫ sin 2 x dx = −2 ∫ sin 2 x dx 2 = ∫ d ( 5cos 2 x − 7 ) = 2 ln 5cos 2 x − 7 + C. 5 − cos 2 x + 7 5cos 2 x − 7 5 5cos 2 x − 7 5 2 2 Ví dụ 2: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: 2sin 4 x dx sin 4 x dx a) I1 = ∫ b) I 2 = ∫ ( sin x + cos 4 x ) 2010 sin x + cos x 4 4 4 sin 2 x + 2cos 2 x sin x cos x c) I 3 = ∫ sin 4 x + cos 4 x dx d) I 4 = ∫ sin6 x + cos6 x dx Hướng dẫn giải: Bình luận: Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Ngoài cách giải truyền thống cho loại nguyên hàm này bằng cách lấy vi phân trực tiếp cho biểu thức ở mẫu số, ở đây thầy giới thiệu cách làm thiên về biến đối lượng giác kết hợp với vi phân. 1 1 1 − cos 4 x 3 1 2sin 4 x dx 4sin 4 x dx a) Ta có sin 4 x + cos 4 x = 1 − sin 2 2 x = 1 − . = + cos 4 x  → I1 = ∫ =∫ = 2 2 2 4 4 3 1 3 + cos 4 x + cos 4 x 4 4 d (cos 4 x) d (3 + cos 4 x) = −∫ = −2 ∫ = −2 3 + cos 4 x + C  → I1 = −2 3 + cos 4 x + C. 3 + cos 4 x 2 3 + cos 4 x 3 1 sin 4 x dx 1 d ( cos 4 x ) b) Tương tự, thay sin 4 x + cos 4 x = + cos 4 x  → I2 = ∫ 2010 =− ∫ 2010 = 4 4 3 1  4 3 1   + cos 4 x   + cos 4 x  4 4  4 4  1 3 d  cos 4 x +  = −∫  4 4 1 1 = +C = + C. ( ) 2010 2009 2009 3 1  3 1  2009 sin 4 x + cos 4 x  + cos 4 x  2009  + cos 4 x  4 4  4 4  sin 2 x + 2cos 2 x sin 2 x + 2cos 2 x 2sin 2 x + 4cos 2 x 2sin 2 x 4cos 2 x c) I 3 = ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx + ∫ dx sin x + cos x 4 4 1 2 1 − sin 2 x 2 − sin 2 2 x 2 − sin 2 2 x 2 − sin 2 2 x 2 2sin 2 x 2sin 2 x 2sin 2 x d (cos 2 x) ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx = − ∫ = arctan ( cos 2 x ) + C1. 2 − sin 2 x 2 − (1 − cos 2 x ) 1 + cos 2 x 1 + cos 2 2 x 2 2 2 4cos 2 x d (sin 2 x) dt −2 t+ 2 − t− 2 ( −1  1 ) ( 1  ) ∫ 2 − sin dx = 2∫ = 2∫ = ∫ dt = ∫ −  dt = 2 2x 2 − sin 2 x 2 2−t 2 2 2 t− 2 t+ 2  ( )( 2 t − 2 t + 2  ) −1 t − 2 −1 sin 2 x − 2 = ln + C2 = ln + C2 . 2 t+ 2 2 sin 2 x + 2 −1 sin 2 x − 2 1 sin 2 x − 2 Từ đó ta được I 3 = arctan ( cos2 x ) + C1 + ln + C2 = arctan ( cos2 x ) − ln + C. 2 sin 2 x + 2 2 sin 2 x + 2  1 1 sin x cos x = 2 sin 2 x sin 2 x 2sin 2 x −d (cos 2 x) d) Ta có  sin 6 x + cos6 x = 1 − 3 sin 2 2 x  → I4 = 2 3 ∫ dx = 4 − 3sin 2 x 2 dx = ∫ 4 − 3 + 3cos 2 2 x∫. 1 − sin 2 2 x  4 4 Đặt −dt ( 3t ) = − 1 arctan 3t + C = − d t = cos 2 x → I 4 = ∫ =− ∫ dt =− 1 3 ∫ 3t + 1 ( ) 1 arctan ( ) 3 cos 2 x + C 1 + 3t 2 ( ) ( ) 2 2 3t +1 3 3 Ví dụ 3: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: sin 2 x dx cos x sin xdx a) I1 = ∫ 3sin 2 x + cos 2 x b) I 2 = ∫ a sin 2 x + b 2 cos 2 x 2 sin 4 x dx sin 4 x dx c) I 3 = ∫ d) I 4 = ∫ sin 4 x + cos 4 x cos ( sin 4 x + cos 4 x ) 2 sin 4 x dx e) I 5 = ∫ tan ( sin 4 x + cos 4 x ) Dạng 6. Nguyên hàm lượng giác mẫu số có dạng sina .sinb; cos a .cos b; sina .cos b Cách giải: Nếu mẫu số có chứa sina.sinb thì ta phân tích tử số theo sin(a – b) Nếu mẫu số có chứa cosa.cosb thì ta phân tích tử số theo sin(a – b) Nếu mẫu số có chứa sina.cosb thì ta phân tích tử số theo cos(a – b) Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Ví dụ 4: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: dx dx a) I1 = ∫  π b) I 2 = ∫  π  π sin x.cos  x +  cos  x +  .cos  x +   4  6  3 dx dx c) I 3 = ∫  π d) I 4 = ∫  π cos x.sin  x +  sin x.sin  x +   6  6 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.