zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi ĐH-CĐ

Luyện thi ĐH môn Toán: Nguyên hàm lượng giác - Phần 2

Chia sẻ: Thành Chung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Báo xấu

496
lượt xem 55
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu Luyện thi ĐH môn Toán: Nguyên hàm lượng giác - Phần 2 giúp các bạn nắm bắt những kiến thức tổng quan về các dạng nguyên hàm lượng giác thường gặp. Với hướng dẫn dễ hiều và ví dụ minh họa sẽ giúp các bạn nắm bắt kiến thức về nguyên hàm lượng giác một cách tốt hơn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luyện thi ĐH môn Toán: Nguyên hàm lượng giác - Phần 2

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 07. NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC – P2 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] III. CÁC DẠNG NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Dạng 1. Nguyên hàm dùng công thức lượng giác thuần túy Dạng 2. Nguyên hàm lượng giác của các hàm chỉ có sin, cosin Ví dụ 1: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: a) I 4 = ∫ sin 3 x dx b) I 5 = ∫ cos5 x dx c) I 3 = ∫ cos 4 x dx Hướng dẫn giải: a) I 4 = ∫ sin 3 x dx = ∫ sin 2 x.sin x dx = − ∫ (1 − cos 2 x ) d ( cos x ) = − cos x + cos3 x + C. 3 b) I 5 = ∫ cos5 x dx = ∫ cos 4 x.cos x dx = ∫ (1 − sin 2 x ) d ( sin x ) = ∫ (1 − 2sin x + sin 2 x ) d ( sin x ) = 2 sin 3 x sin 3 x = sin x − sin 2 x + + C  → I 5 = sin x − sin 2 x + + C. 3 3 c) Sử dụng liên tiếp công thức hạ bậc hai ta được:  1 + cos 2 x  1 1 + cos 4 x  3 1 2 1 cos x = ( cos x ) =   = (1 + 2cos 2 x + cos 2 x ) =  1 + 2cos 2 x + 2 1  = + cos 2 x + cos 4 x 4 2 2  2  4 4 2  8 2 8 3 1 1  3x 1 1 Khi đó I 3 = ∫ cos 4 x dx = ∫  + cos 2 x + cos 4 x  dx = + sin 2 x + sin 4 x + C. 8 2 8  8 4 32 Ví dụ 2: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: cos x dx sin 2 x a) I1 = ∫ 2 b) I 2 = ∫ dx sin x + 3sin x + 2 cos x dx dx c) I 3 = ∫ d) I 4 = ∫ sin 3 x + sin x cos3 x Hướng dẫn giải: cos x dx d (sin x) a) Ta có I1 = ∫ 2 sin x + 3sin x + 2 ∫ sin 2 x + 3sin x + 2 = → I1 = ∫ 2 dt =∫ ( t + 2 ) − ( t + 1) dt = dt − dt = ln t + 1 + C = ln sin x + 1 + C. Đặt t = sin x  t + 3t + 2 ( t + 1)( t + 2 ) ∫ t +1 ∫ t + 2 t + 2 sin x + 2 sin 2 x sin 2 x.cos x dx sin 2 x d (sin x) sin 2 x d (sin x) b) I 2 = ∫ dx = ∫ = − ∫ 1 − sin 2 x ∫ sin 2 x − 1 = cos x cos 2 x t 2 dt t2 −1 + 1  1  dt 1 ( t + 1) − ( t − 1) Đặt t = sin x  → I2 = ∫ 2 =∫ 2 dt = ∫  1 + 2  dt = t + ∫ 2 =t+ ∫ dt = t −1 t −1  t −1  t −1 2 ( t + 1)( t − 1) 1 t −1 1 sin x − 1 1 sin x − 1 = t + ln + C = sin x + ln + C  → I 2 = sin x + ln + C. 2 t +1 2 sin x + 1 2 sin x + 1 dx dx dx 1 sin x dx 1 d (cos x) c) I 3 = ∫ sin 3 x + sin x ∫ 2sin 2 x.cos x ∫ 4sin x.cos 2 x 4 ∫ sin 2 x.cos 2 x = = = =− ∫ 4 (1 − cos 2 x ) .cos 2 x 1 (1 − t ) + t 2 2 1 dt 1  dt dt  Đặt cos x = t  → I3 = − ∫ 4 (1 − t ) .t 2 2 = − ∫ 4 (1 − t ) .t 2 2 dt = −  ∫ 2 + ∫ 4 t 1 − t 2  dt 1 ∫t 2 = − + C1 t 1  1 1 1+ t  Mà  → I 3 = −  − + ln  + C. dt 1 (1 − t ) + (1 + t ) 1  dt dt  1 1 + t 4  t 2 1− t  ∫ 1 − t 2 = 2 ∫ (1 − t )(1 + t ) dt = 2  ∫ 1 + t + ∫ 1 − t  = 2 ln 1 − t + C2 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 1 1 1 1 + cos x  Thay t = cosx vào ta được I 3 = −  − + ln  + C. 4  cos x 2 1 − cos x  dx cos x dx d (sin x) d) I 4 = ∫ =∫ = −∫ (1 − sin 2 x ) 3 4 2 cos x cos x  ( t + 1) − ( t − 1)  2 2 dt dt 1  1 1  → I 4 = −∫ = −∫ = ∫ 4 ∫  t −1 t +1 Đặt t = sin x   dt =  −  dt = (1 − t 2 ) (t − 1)  2 ( t + 1)( t − 1)  2 2 2 1 dt dt 2dt  1 1 1 ( t + 1) − ( t − 1) dt  1  1 1 t −1  = ∫ + ∫ + ∫  = − − +∫  = − − + ln  + C. 4  ( t − 1) 2 ( t − 1) 2 ( t − 1)( t + 1)  4  t − 1 t + 1 ( t − 1)( t + 1)  4  t − 1 t + 1 t +1  1 1 1 sin x − 1  Thay t = sinx vào ta được I 4 =  − − + ln  + C. 4  sin x − 1 sin x + 1 sin x + 1  Ví dụ 3: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: dx 4sin 3 x dx sin x dx a) I 5 = ∫ b) I 6 = ∫ c) I 7 = ∫ sin x cos x 1 + cos x cos3 x − 1 Hướng dẫn giải: dx cos x dx d (sin x) a) I 5 = ∫ =∫ =∫ sin x (1 − sin 2 x ) 2 sin x cos x sin x cos x dt t 2 + (1 − t 2 ) t dt dt 1 d (1 − t ) 2 1 → I5 = ∫ Đặt t = sin x  =∫ dt = ∫ +∫ =− ∫ + ln t = − ln 1 − t 2 + ln t + C. t (1 − t ) t (1 − t ) 1− t 1− t 2 2 2 2 t 2 2 1 1 Thay t = sinx vào ta được I 5 = − ln 1 − sin 2 x + ln sin x + C = − ln cos 2 x + ln sin x + C = ln tan x + C. 2 2 dx V ậy I 5 = ∫ = ln tan x + C. sin x cos x b) Sử dụng phép biến đổi lượng giác ta có: 4sin 3 x 4sin 2 x.sin x 4 (1 − cos x ) .sin x 2 = = = 4 (1 − cos x ) .sin x = 4sin x − 2sin 2 x. 1 + cos x 1 + cos x 1 + cos x 4sin 3 x dx T ừ đó I 6 = ∫ = ∫ ( 4sin x − 2sin 2 x ) dx = −4cos x + cos2 x + C  → I 6 = −4cos x + cos2 x + C. 1 + cos x sin x dx d (cos x) c) I 7 = ∫ = −∫ cos x − 1 3 cos3 x − 1 dt dt Đặt t = cosx ta được I 7 = − ∫ 3 = −∫ t −1 (t − 1)(t 2 + t + 1) 1 3t 2 − 3 ( t 2 + t + 1) + 3 ( t − 1) Bằng kĩ thuật phân tích nhảy tầng lầu ta được = ( t − 1) ( t 2 + t + 1) −6 ( t − 1) ( t 2 + t + 1) 1 3t − 3 ( t + t + 1) + 3 ( t − 1) 2 2 1 3t 2 dt 1 dt 1 dt 6∫ ∫ Khi đó I 7 = dt = − ∫ + ∫ 2 ( t − 1) ( t + t + 1) 2 6 t 3 − 1 2 t − 1 2 t + t +1 3t 2 dt d ( t 3 − 1) ∫ t 3 − 1 ∫ t 3 − 1 = ln t − 1 + C1 = 3 dt = ln t − 1 + C2 t −1  1  t+  ∫ 2 dt =∫ dt = 1 arctan  2  + C = 2 arctan  2t + 1  + C t + t +1 2 3   3  1  3 2 3  3  3  3  t +  +      2  2  2  2  1 1 1 2  2t + 1  1 1 1  2t + 1  Từ đó I 7 = ln t 3 − 1 − ln t − 1 + . arctan   + C = ln t 3 − 1 − ln t − 1 + arctan   + C. 6 2 2 3  3  6 2 3  3  Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Bình luận: Ngoài cách sử dụng kĩ thuật nhảy tầng lầu trực tiếp như trên, chúng ta có thể biến đổi theo hướng khác như sau dt dt d( t − 1 ) du I7 = − ∫ 3 = −∫ = −∫ = −∫ t −1 ( t − 1 )( t + t + 1 ) ( t − 1 ) ( t − 1 ) + 3( t − 1 ) + 3 ) u ( u + 3u + 3 ) 2 2 2 1 ( 3u + 6u + 3 ) − 3 ( u + 3u + 3 ) + 3u 1 3u 2 + 6u 2 2 −1 −1 1 1  → = 3 = . = . 3 − + u ( u + 3u + 3 ) u + 3u + 3u 6 u ( u + 3u + 3 ) 6 u + 3u + 3u 2u 2 ( u + 3u + 3 ) 2 2 2 2 2 Thay vào ta được : 1 1 1 du 1 1 1  2u + 3  I7 = ln u 3 + 3u 2 + 3u − ln u + ∫ 2 = ln u 3 + 3u 2 + 3u − ln u + arctan   + C. 6 2 2  3  3 2 6 2 2 3  3  u +  +    2  2  Ví dụ 4: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: dx a) I1 = ∫ cos6 x dx b) I 2 = ∫ 2 sin x.cos x sin 4 xdx c) I 3 = ∫ sin 2 x(2 + sin 2 xdx d) I 4 = ∫ 2cos 4 x − 1 Ví dụ 5: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: dx cos3 x dx a) I1 = ∫ b) I 2 = ∫ sin 3 x sin 5 x dx c) I 3 = ∫ sin x cos 2 x dx d) I 4 = ∫ sin x cos6 x Ví dụ 6: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: 1 + sin 2 x sin 2 x.cos x a) I1 = ∫ dx b) I 2 = ∫ dx cos 2 x 3 + cos x sin 2 x cos x c) I 3 = ∫ dx d) I 4 = ∫ dx 1 + cos x 2 + cos 2 x Ví dụ 7: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: a) I1 = ∫ cos 2 x.cos 4 xdx b) I 2 = ∫ 1 − cos3 x .sin x.cos5 x dx cos 2 x c) I 3 = ∫ sin x.cos x(1 + cos x) 2 dx d) I 4 = ∫ dx 1 + sin x cos x Ví dụ 8: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: sin 3 x a) I1 = ∫ cos 2 x(sin 4 x + cos 4 x)dx b) I 2 = ∫ dx 1 + cos 2 x c) I 3 = ∫ (sin 3 x + cos3 x)dx Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.